2. Bernoulli
1)Tenemos cartas que están
enumeradas del 1 al 9
¿Cuál es la probabilidad
de sacar la carta 9?
° La probabilidad de que obtengamos
la carta 9.
1 0
P(x=1) = (1/9) * (8/9) = 1/9 = 0.111
° La probabilidad de que NO
obtengamos la carta 9.
0 1
P(x=0) = (1/9) * (8/9) = 8/9 = 0.888
2) Una maestra enumera a sus
alumnos del 1 al 16, para así poder
darles un premio, pero la maestra
los seleccionará con los ojos
cerrados, ¿Cual es la probabilidad
de que salga el alumno numero 16?

3. ° La probabilidad de que seleccione
al alumno numero 16.
1 0
P(x=1) = (1/16) * (15/16) = 1/16 =
0.0625
° La probabilidad de que NO
seleccione al alumno numero 16.
0 1
P(x=0) = (1/9) * (15/16) = 15/16 =
0.937
3) Hay una urna con 342 boletos,
para ganar un automóvil, al momento
de sacar alguno de ellos ¿qué
probabilidad hay para que pueda
salir premiado el boleto número
342?
° La probabilidad de que saque el
boleto número 342.

4. 1 0
P(x=1) = (1/342) * (341/342) = 1/342
= 0.00292
° La probabilidad de que NO
seleccione al alumno numero 342.
0 1
P(x=0) = (1/342) * (341/342) =
341/342 = 0.99707
4) "Lanzar una moneda, probabilidad
de conseguir que salga cruz". Se
trata de un solo experimento, con
dos resultados posibles: el éxito (p)
se considerará sacar cruz. Valdrá
0,5. El fracaso (q) que saliera cara,
que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá
"número de cruces que salen en un
lanzamiento", y sólo existirán dos
resultados posibles: 0 (ninguna cruz,
es decir, salir cara) y 1 (una cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá
como una Bernoulli, ya que cumple
todos los requisitos.

5. ° La probabilidad de obtener cruz.
1 0
P(x=1) = (0.5) * (0.5) = 0.5 = 0.5
° La probabilidad de no obtener
cruz.
0 1
P(x=0) = (0.5) * (0.5) = 0.5 = 0.5
Binomial
1)Supongamos que se lanza un dado
50 veces y queremos la
probabilidad de que el número 3
salga 20 veces. En este caso
tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la
probabilidad sería P(X=20):
2) La última novela de un autor
ha tenido un gran éxito, hasta el
punto de que el 80% de los
lectores ya la han leido. Un

6. grupo de 4 amigos son aficionados
a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que
en el grupo hayan leido la
novela 2 personas?
B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2
2.¿Y cómo máximo 2?
3) Un agente de seguros vende
pólizas a cinco personas de la
misma edad y que disfrutan de
buena salud. Según las tablas
actuales, la probabilidad de que
una persona en estas condiciones
viva 30 años o más es 2/3.
Hállese la probabilidad de que,
transcurridos 30 años, vivan:
1. Las cinco personas.

7. B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3
2.Al menos tres personas.
3.Exactamente dos personas.
4) Se lanza una moneda cuatro
veces. Calcular la probabilidad
de que salgan más caras que
cruces.
B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5
5) La probabilidad de que un
hombre acierte en el blanco es
1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es

8. la probabilidad de que acierte
exactamente en tres ocasiones?
¿Cuál es la probabilidad de que
acierte por lo menos en una
ocasión?
B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4

9. Poisson
1)Si ya se conoce que solo el 3%
de los alumnos de contabilidad
son muy inteligentes ¿ Calcular
la probabilidad de que si
tomamos 100 alumnos al azar 5
de ellos sean muy inteligentes
• n= 100
• P=0.03
• =100*0.03=3
• x=5
2)La producción de televisores en
Samsung trae asociada una
probabilidad de defecto del 2%,
si se toma un lote o muestra de
85 televisores, obtener la
probabilidad que existan 4
televisores con defectos.
• n=85

10. • P=0.02
• P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746
• X=4
• =1.7
3) El número de mensajes
recibidos por el tablero
computado de anuncios es una
variable aleatoria de Poisson con
una razón media de ocho mensajes
por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que
se reciban cinco mensajes en una
hora?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que
se reciban diez mensajes en 1.5
horas?
a) ¿Cuál es la probabilidad de que
se reciban cinco mensajes en una
hora?
-8
P(X=3)= e *
-4
P(X=3)= 3.354626279x10 *
-4
P(X=3)= 3.354626279x10 * 273.0666667

11. P(X=3)= 0.09160366
b) ¿Cuál es la probabilidad de que
se reciban diez mensajes en 1.5
horas?
-12
P(X=10)= e *
-6
P(X=10)= 6.144212353x10 *
-6
P(X=10)= 6.144212353x10 *
17062.76571
P(X=10)= 0.104837255
4) Una jaula con 100 pericos 15 de
ellos hablan ruso calcular la
probabilidad de que si tomamos 20
al azar 3 de ellos hablan ruso
• n=20
• P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!
=0.2240418
• X=3
• =3
5) La concentración de partículas en
una suspensión es 2 por mL. Se agita
por completo la concentración, y

12. posteriormente se extraen 3 mL. Sea
X el número de partículas que son
retiradas. Determine.
a) P(X=5)
b) P(X≤2)
c) μX
d) σx
-6
a) P(X=5)= e *
-3
P(X=5)= 2.478752177x10 *
-3
P(X=5)= 2.478752177x10 * 64.8
P(X=5)= 0.160623141
b) P(X≤2)
-6
P(X=0)= e *
-6
P(X=1)= e *
-3
P(X=0)= 2.478752177x10 *
-3
P(X=1)= 2.478752177x10 *
-3
P(X=0)= 2.478752177x10 * 1
-3
P(X=1)= 2.478752177x10 * 6
-3
P(X=0)= 2.478752177x10
P(X=1)= 0.014872513

13. -6
P(X=2)= e *
P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
-3
P(X=2)= 2.478752177x10 *
P(X≤2)= 2.478752177+0.014872513+
0.044617539
-3
P(X=2)= 2.478752177x10 * 18
P(X=2)= 0.044617539
P(X≤2)= 0.061968804
c) μX
μX= 6
d) σx
σx=
σx= 2.449489743

14. Normal
1)Determine el área bajo la curva
normal
a)Ala derecha de z= -0.85.
b)Entre z = 0.40 y z = 1.30.
c)Entre z =0.30 y z = 0.90.
d)Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45
Estos resultados se obtuvieron con
las tablas anexas al final de los
problemas

15. A – 1 – 0.1977 = 0.8023
B – 0.9032 – 0.6554 = 0.2478
C – 0.8159 – 0.3821 = 0.4338
D – 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.7404
2) Las puntuaciones de una prueba
estandarizada se distribuyen
normalmente con media de 480 y
desviación estándar de 90.
a)¿Cuál es la proposición de
puntuaciones mayores a 700?
b)¿Cuál es el 25º? ¿Percentil de
las puntuaciones?
c)Si la puntuación de alguien es de
600. ¿En qué percentil se
encuentra?
d)¿Qué proporción de las
puntuaciones se encuentra entre
420 y 520?
µ = 480 σ = 90

16. A - Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a
la derecha de Z es 0.0073
B – la puntuación de z en el 25 º
percentil -0.67
El 25 º percentil es entonces 480 -
0.67 (90) = 419.7
C – z = (600-480)/90 = 1.33 el área a
la derecha de z es 0.9082
Por lo que una puntuación de 600
esta en el percentil 91
D - z = (420 - 480)/90 = - 0.67
Z = (520 – 480)/90 = 0.44
El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es
0.6700 – 0.2514 = 0.4186
3) La resistencia de una aleación de
aluminio se distribuye normalmente
con media de 10 giga pascales (Gpa)
desviación estándar de 1.4 Gpa.
a)¿Cuál es la probabilidad de que
una muestra de esta aleación

17. tenga resistencia mayor a 12
GPa?
b)Determine el primer cuartil de
la resistencia de esta aleación.
c) Determine el 95º. Percentil de la
resistencia de esta aleación.
RESULTADOS
µ = 10 σ = 1.4
A) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala
derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 =
0.0764
B) la puntuación de z en el 25 º
percentil es -0.67
El 25 º percentil es entonces 10 -
0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.
C) la puntuación de z en el 95 º
percentil es 1.645
El 25 º percentil es entonces 10 +
1.645(1.4) = 12.303 Gpa.

18. 4) La penicilina es producida por el
hongo penicillium, que crece en un
caldo, cuyo contenido de azúcar debe
controlarse con cuidado. La
concentración optima e azúcar es de
4.9 mg/mL. Si la concentración
excede los 6 mg/mL, el hongo muere
y el proceso debe suspenderse todo
el día.
a)¿Si la concentración de azúcar
en tandas de caldo se
distribuye normalmente con
media 4.9 mg/mL y desviación
estándar 0.6 mg/mL en que
proporción de días se
suspenderá el proceso?
b)El distribuidor ofrece vender
caldo con una concentración de
azúcar que se distribuye
normalmente con medida de 5.2
mg/mL y desviación estándar de
0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá
efectos con menos días de
producción perdida?

19. RESULTADOS
A)(6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 –
0.9664 = 0.0336
B)Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 –
0.9772 = 0.0228
Con este caldo el proceso se
suspendería el 2.28% de los días
5) El volumen de las llantas
llenadas por cierta maquina se
distribuye con media de 12.05
onzas y desviación estándar de
0.03 onzas.
a) ¿Qué proporción de latas contiene
menos de 12 onzas?
b) La medida del proceso se puede
ajustar utilizando calibración. ¿En
que valor debe fijarse la media

20. para que el 99% de las latas
contenga 12 onzas o mas?
c) Si la media del procesos sigue
siendo de 12.05 onzas. ¿En que valor
debe fijarse la media para que el
99% de las latas contenga 12 onzas
o mas?
RESULTADOS
A)(12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la
proporción es 0.0475
B) Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03
despejando µ = 12 .07 onzas
C)– 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ
= 0.0215 onzas

21. Gamma
1)El número de pacientes que
llegan a la consulta de un médico
sigue una distribución de
Poisson de media 3 pacientes por
hora. Calcular la probabilidad de
que transcurra menos de una hora
hasta la llegada del segundo
paciente.
Debe tenerse en cuenta que la
variable aleatoria “tiempo que
transcurre hasta la llegada del
segundo paciente”
sigue una distribución Gamma (6, 2).
Solución:
Cálculo de probabilidades.
Distribuciones continuas
Gam
ma
(a
p)
a : 60
Esca 00
la 0
p : 20
For 00
ma 0

22. Punt 10
o X 00
0
Cola Izquierda Pr[X<=k]
0,9826
Cola Derecha Pr[X>=k]
0,0174
Media
0,3333
Varianza
0,0556
Moda
0,1667
La probabilidad de que transcurra
menos de una hora hasta que
llegue el segundo paciente es
0,98.
2) Suponiendo que el tiempo de
supervivencia, en años, de pacientes
que son sometidos a una cierta
intervención quirúrgica en un
hospital sigue una distribución Gamma
con parámetros a=0,81 y p=7,81,
calcúlese:
1. El tiempo medio de supervivencia.

23. 2. Los años a partir de los cuales
la probabilidad de supervivencia es
menor que 0,1.
Cálculo de probabilidades.
Distribuciones continuas
Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza
11,9037
Moda
8,4074
El tiempo medio de supervivencia es
de, aproximadamente, 10 años.

24. T- Student
1.Sea T ~ t(4,0.5)
a) Determinar
b) Determinar
c) Determinar P(T
P(T
= 1- e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e –
(0.5)(1) - e (0.5)(1)
=1- 0.60653 -0.30327 -0.075816
-0.012636
=0.000175
d) Determinar P(T
P(T

25. = e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e –
(0.5)(3) - e (0.5)(3)
=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551
=0.9344
2)Sea T ~ Weibull(0.5,3)
a) Determinar
b) Determinar
c) Determinar P(T
P (T>5) =1-P(T 1) = 1 – e-

26. 3) En el articulo “Parameter
Estimation with Only One Complete
Failure Observation”se modela la
duracion en horas, de cierto tipo
de cojinete con la distribucion de
Weibull con parámetros
a)Determine la probabilidad de que
un cojinete dure mas de 1000
horas
b)Determine la probabilidad de que
un cojinete dure menos de 2000
horas
P(T<2000)= P(T
c)La función de riesgo se definio
en el ejercicio 4 ¿Cuál es el
riesgo en T=2000 horas?
h(t) =

27. 4) La duración de un ventilador, en
horas , que se usa en un sistema
computacional tiene una
distribución de Weibull con
a)¿Cuáles la probabilidad de que
un ventilador dure mas de 10
000 horas?
P(T>10 000 ) =1 –(1-
=0.3679
b)¿Cuál es la probabilidad de que
un ventilador dure menos de
5000 horas?
P(t<5000) =P(T
5) Un sistema consiste de dos
componentes conectados en serie. El
sistema fallara cuando alguno de
los componentes falle. Sea T el
momento en el que el sistema falla.

28. Sean X1 y X2 las duraciones de los
dos componentes. Suponga que X1 y
X2 son independientes y que cada uno
sigue una distribución Weibull con
2
a) Determine P(
P(
b) Determine P(T 5)
P(T =0.8647
c)T Tiene una distribución de
Weibull= si es Asi ¿Cuáles son
sus parametros?
Si, T~ Weibull (2,