Solución de laSolución de la
expreSiónexpreSión
cuadrática porcuadrática por
factorizaciónfactorización

¿Qué es una ecuación cuadrática?¿Qué es una ecuación cuadrática?
• Una ecuación de segundo grado o ecuación
cuadrática es una ecuación polinómica donde el
mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la
expresión se refiere al caso en que sólo aparece
una incógnita.

La ecuación cuadrática seLa ecuación cuadrática se
expresa de la manera siguiente:expresa de la manera siguiente:
donde a es el coeficiente cuadrático o de
segundo grado y es siempre distinto de 0, b el
coeficiente lineal o de primer grado y c es el
término independiente.

HistoriaHistoria
• La ecuación de segundo grado y su solución
tiene origen antiguo. Se conocieron algoritmos
para resolverla en Babilonia y Egipto.
• En Grecia fue desarrollada por el matemático
Diofanto de Alejandría.
• La solución de las ecuaciones de segundo grado
fue introducida en Europa por el matemático
judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber
embadorum.

Clasificación:Clasificación:
La ecuación de segundo grado se clasifica de laLa ecuación de segundo grado se clasifica de la
siguiente manera:siguiente manera:
• Incompleta pura
• Incompleta mixta
• Completa

Incompleta PuraIncompleta Pura
Para resolver una ecuación cuadrática pura, basta
con despejar la variable y sus raíces serán iguales y de
signo contrario.
ax² + C = 0 despejando tenemos ax² = -C
Por lo tanto : x² = - C
a
x = √ -C
a

Ejemplo ecuaciónEjemplo ecuación
cuadrática Puracuadrática Pura
Forma: ax² + c = 0 Sustitución
Con valores: 3x² - 9 = 0 3x² - 9 = 0
Despejando :3x² = 9 3(1.732…) ² -9= 0
x² = 9/3 3(3) -9 = 0
x² = 3 9 – 9 = 0
x = ± √ 3 0 = 0
Resultado: x1 = + 1.73205…
x2 = - 1.73205 …

Ecuación cuadrática PuraEcuación cuadrática Pura
Forma: ax² + c = 0
Con valores: 8x² + 24 = 0
x² =24/8
x² =3
x = ± √3
Resultado: x1 = + 1.7320
Resultado: x1 = - 1.7320

EjerciciosEjercicios
2x² + 8 = 0 8x² + 16= 0
10x² + 100 = 0 3x² + 24 = 0
4x² + 24 = 0 8x² +48 = 0
x² + 20 = 0 2x² + 24 = 0
5x² + 45 = 0

4x² - 40 = 0 8x² - 80= 0
x² - 12 = 0 3x² - 39 = 0
2x² - 88 = 0 6x² -48 = 0
x² - 20 = 0 15x² - 300 = 0
6x² - 66 = 0

Incompleta MixtaIncompleta Mixta
Las ecuaciones cuadráticas mixtas se resuelven por
factorizacion simple. Una de sus raíces es igual a cero y
la otra tendrá un valor real.
ax² + bx = 0 factorizamos: x (ax + b) = 0
La primera raíz es: x1= 0
Del paréntesis : ax + b = 0
Despejando: ax = - b
Luego la segunda raíz es : x2 = -b
a

Ejemplo ecuaciónEjemplo ecuación
cuadrática mixtacuadrática mixta
Forma: ax² + bx = 0
Con valores: 2x² - 6x = 0
Factorizando: 2x( x – 3) = 0
La primera raiz es: 2x = 0
Por lo tanto: x1 = 0
Igualando a cero: x – 3= 0
La segunda raiz es: x2= 3

Ecuación cuadráticaEcuación cuadrática
mixtamixta
Sustituyendo : 2x² - 6x = 0
x1 = 0 x2= 3
2(0) ² -6(0)= 0 2(3) ² - 6(3) = 0
2(0) – 6 (0) = 0 2(9) – 18 =0
0 – 0 = 0 18 – 18 = 0
0 = 0 0 = 0

• Forma: ax² + bx = 0
• Con valores: 2x² - 8x = 0
• Factorizando: 2x( x – 4) = 0
• La primera raiz es: 2x = 0
• Por lo tanto: x1 = 0
• Igualando a cero: x – 4= 0
• La segunda raiz es: x2= 4

• Forma: ax² + bx = 0
• Con valores: x² - 4x = 0
• Factorizando: x( x – 4) = 0
• La primera raiz es: x = 0
• Por lo tanto: x1 = 0
• Igualando a cero: x – 4= 0
• La segunda raiz es: x2= 4

EjerciciosEjercicios
2x² + 8x = 0 8x² + 16x= 0
10x² + 100x = 0 3x² + 24x = 0
4x² + 24x = 0 8x² +48 x= 0
x² + 20x = 0 2x² + 24x = 0
5x² + 45x = 0

4x² + 40x = 0 8x² + 80x= 0
x² + 12x = 0 3x² + 39x = 0
2x² + 88x = 0 6x² +48 x= 0
x² + 20x = 0 15x² + 300x = 0
6x² + 66x = 0

Ecuación cuadráticaEcuación cuadrática
completacompleta
Las ecuaciones cuadráticas de la forma completa
pueden resolverse por distintos métodos como son
por factorizacion, por formula general o
completando el trinomio del cuadrado perfecto.
Su forma es:

Solución por factorizacionSolución por factorizacion
• Este metodo consiste en:
• Factorizar el trinomio en el producto de dos
binomios
• Para que este producto se anule es necesario que
se anule uno de los factores, es decir, se iguala a
cero el producto
• Se despeja la variable (por lo general “x”)

Ejemplo porEjemplo por
factorizacionfactorizacion
Forma : Ax² + Bx + C = 0
Con valores: x² + 5x + 6 = 0
Factorizamos el trinomio: (x + 2) (x + 3) = 0

• x² + 6x + 8 = 0

xx² + 10x + 21 = 0² + 10x + 21 = 0

xx² + x - 6= 0² + x - 6= 0

• x² + 12x + 36= 0
• x² + 14x + 40 = 0
• x² - 5x - 6 = 0
• x² + 7x + 6 = 0

4x4x² - 12x + 6 = 0² - 12x + 6 = 0

6x6x² - 19x + 10 = 0² - 19x + 10 = 0

12x12x² -17x + 6 = 0² -17x + 6 = 0

Solución por formulaSolución por formula
generalgeneral
• La formula general se aplica empleando los
coeficientes de la ecuación cuadrática completa:
• Ax² + Bx + C = 0
• La formula general es: x= -B ± √ B² - 4 AC
• 2A

Ejemplo por formulaEjemplo por formula
generalgeneral
Los coeficientes son : A = 3, B = 4, C = -4
La ecuación: 3x² + 4 x – 4 = 0
Los sustituimos: x = -4 ± √ (4) ² - 4 (3) (-4)
2(3)
Multiplicando dentro del x = -4 ± √ 16 + 48
Radical. 6
Sumando: -4 ± √ 64
6
La primera solución es: x1 = -4 + 8 = 4 = 2
6 6 3
La segunda solución es: x2 = -4 – 8 = -12 = -2
6 6

Ecuación cuadráticaEcuación cuadrática
completacompleta
3x² + 4 x – 4 = 0
x1= 2/3 x2= -2
3(2/3) ² + 4(2/3) – 4 = 0 3(-2) ² + 4(-2) – 4 = 0
3(4/9) + 4(2/3) – 4 = 0 3(4) + 4 (-2) – 4 = 0
4/3 + 8/3 – 4= 0 12 -8 -4 = 0
12/3 -4 = 0 12 -12 =0
4 -4 = 0 0 = 0