La integral Definida El símbolo de Sumatoria Definición.- Dado n números reales , para expresar la suma de éstos números se emplea el símbolo y se lee como la suma de los desde hasta , i.e Ejemplo.- La suma de los primeros n enteros se expresa como igualmente la suma de los cuadrados de los primeros n enteros es

Propiedades de la Sumatoria Algunas veces se expresa como

Particiones, Suma superior y Suma inferior Partición.- Dado un intervalo [ a, b ], donde a < b, el conjunto de puntos recibe el nombre de partición del intervalo dado. Geométricamente tenemos: Toda partición P de un intervalo [ a, b ], divide a éste en n sub-intervalos no necesariamente de igual longitud La longitud del i-ésimo sub-intervalo se denota por y la longitud de la partición P se denota por

Partición Regular.- Dado un intervalo [ a , b ] una partición P se dice que es regular si todos los sub-intervalos tienen la misma longitud. Para una partición con n +1 puntos, la longitud de cada sub-intervalo se denota por es decir, [ a , b ] se divide en n partes iguales, siendo los puntos de la partición: Refinamiento de una partición.- Dado una partición P de [ a , b ], ésta se puede hacer más fina agregando mas puntos. Si P 1 se obtiene de P añadiendo por lo menos un punto, entonces Ejemplos.- Para el intervalo [0, 4] los siguientes conjuntos representan particiones: P 1 = { 0, 1, 2, 3, 4}, P 2 = { 0, 1, 3/2 ,4}, P 3 = { 0, 2, 5/2, 3, 7/2, 4}, P 4 = { 0, 1, 3/2, 2, 3, 7/2, 4} Siendo P 4 un refinamiento de P 1 ,

Función Acotada Una función se dice que es acotada sobre un intervalo [ a , b ], si existen números reales m , M tales que Dada una partición P de [ a , b ], y f una función acotada sobre [ a , b ], entonces f es acotada sobre cada sub-intervalo en consecuencia números reales m i , M i tales que verificándose la desigualdad NOTA.- Si la función f es continua sobre [ a , b ], entonces M i = valor máximo de f sobre [ a , b ] y m i = valor mínimo de f

Solución: En la solución de éstos ejemplos debemos tener en cuenta que las funciones son continuas, y los intervalos donde crece o decrece ya que: m i = f ( x i-1 ), M i = f ( x i ) si la función es creciente, caso contrario si fuera decreciente. -6 -4 -2 0 2 4 6 36 16 4 0 4 16 36

OBSERVACION.- Como y sumando esta desigualdad desde i = 1 hasta i = n se obtiene (*) Donde es el conjunto de todas las posibles particiones de [ a , b ] Ya que (*) se cumple para elemento de , se generan dos conjuntos acotados de números reales y

Integral superior e integral inferior Integral superior de f sobre el intervalo [ a , b ] denotado por Integral inferior de f sobre el intervalo [ a , b ] denotado por Definición.- Una función acotada sobre [ a , b ] se dice que es integrable según Reimann, si las integrales superior e inferior coinciden lo que se denota por: Y se lee como la integral definida de la función f desde a hasta b . La integral definida es un número real que se obtiene poniendo juntas partes de algo conocido como proceso de integración, el cual se simboliza por una S alargada

Lema.- Si P 1 , P 2 son dos particiones del intervalo [ a , b ] tales que , entonces para toda función f acotada sobre [ a , b ] se cumple: 1. 2.

Teorema 1.- Si f es una función acotada sobre [ a , b ] , entonces Teorema 2.- Si f es integrable sobre [ a , b ] entonces NOTA.- Como entonces Es decir con un error máximo de

Teorema 3.- Toda función f acotada sobre [ a , b ] es integrable sobre éste intervalo, sí y sólo si para tal que Teorema 4.- Toda función f continua sobre [ a , b ] es integrable sobre éste intervalo. Teorema 5.- Si f es una función continua sobre [ a , b ], entonces para cada , y todos los

OBSERVACION.- Por el teorema anterior, la integral definida se puede expresar como: En particular, si P es una partición regular con n +1 puntos, entonces es equivalente a y como x i * podría ser uno de los extremos del i-ésimo intervalo, i.e ó de modo que