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Ecuaciones diferenciales exactas

  1. 1. DEFINICIÓ DE ECUACIÓN EXACTA<br />Una ecuación diferencial es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial de alguna función definida en R. Por tanto, una ED de primer orden de la forma . Es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta. CRITERIO PARA UNA DIFERENCIAL EXACTA<br /> MÉTODO DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN EXACTA<br />EJEMPLO 1: Resolver por el método de las exactas la siguiente ED<br />Teorema del factor integrante (F.I.)Dos consideraciones importantes para obtener las ED generales por F.I.EJEMPLO 4: Obtener el F.I. de la siguiente ED no exacta y posteriormente resolverla por el método de las exactas. 1º Paso: Checar si la ED es exacta o no exacta <br />3739515321945No exactaNo exacta2º Paso: Búsqueda del factor integrante (F. I.) para convertir la ED en exacta: Para esto es necesario realizar las dos consideraciones para ver cuál de las dos se puede factorizar y por ende produce un factor integrante:<br />1082040548005Factorizando se tiene: <br />3º Paso: Conversión de la ED no exacta en exacta<br />4º Paso: Aplicación de los 4 pasos (i a iv) del método de solución de las ED exactas. <br />Paso i): Comprobar si la ED es exacta <br />1853565278130ExactaExactaPaso ii): Integrar con respecto a x, dejando a y constante<br />Paso iii): Derivar con respecto a y la ecuación resultante en el paso ii<br />Despejando g´(y) de la igualdad anterior, se tiene:<br />Paso iv): Obtener la función g (y)<br />Paso v): Sustitución del valor de g (y) en el paso ii Solución general:<br />ECUACIONES LIENALES Definición de ecuación diferencial:<br />Una ecuación diferencial de primer orden, de la forma: a(x)y’+b(x)y=c(x)es una ecuación lineal.Lo cual puede expresarse en su <br />Forma ordinaria:<br />Cuando Q(x)=0, la ecuación lineal es homogénea, en cualquier otro caso, es no homogénea.<br />Propiedad: <br />Es una solución de la ecuación homogénea asociada<br />14439902301875y=1μ(x) Qx*μ(x)dxy=1μ(x) Qx*μ(x)dxEs una solución particular de (a) no homogénea.Cuando la ecuación es homogénea se realiza por el método de variables separadas y cuando es no homogénea se puede realizar por dos métodos:.- factor integrante.- variación de parámetrosL a solución general de las ecuaciones diferenciales lineales es la siguiente:<br />Ejemplo xdy=(x sinx-y)dx1.- el dx se pasa del otro lado de la ecuación dividiendo a dy y la x se pasa dividiendo a (x sinx-y)dydx= (xsinx-y )xEsto es lo mismo que tener:dydx= xsinxx-yxdydx=sinx-yxLa ecuación anterior se pasa a su forma ordinaria y’+ yx = sin xComo aquí podemos observar que Q(x) no es igual a cero por lo tanto es una ecuación lineal no homogénea y en este ejemplo se resolverá por factor integrante.P(x)= 1x Q(x)= sin xμ= e1x dx= elnx=x usando la forma de la solución general tenemos:2606040147955derivadaintegralxSin xresultado1-cos x-xcosx0-sen xSen x00derivadaintegralxSin xresultado1-cos x-xcosx0-sen xSen xy= 1x sinx (x)dx39757355118100401955046228003577590548005394906577470003577590728980y= 1x xsinx dxy= 1x[-x cos x +senx + c]y= -xcosxx+ sinxx+ cxy= -cos x + sinxx+ cxECUACIONES DE BERNOULLI4004310-29457654005580-319786003579495-29457653575685-3161030<br />Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal, como el ejemplo anterior. Otra situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli. <br />  DEFINICION<br /> Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma donde y son funciones reales y continuas en un intervalo y es una constante real diferente de y se conoce como ecuación de Bernoulli1.2<br />  <br />Observación: cuando la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando se trata de una ecuación lineal, casos ya estudiados. <br />  <br />  TEOREMA<br /> La ecuación de Bernoulli 1.12se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución .  <br />Demostración: <br />Al dividir la ecuación 1.12 por yn, resulta <br /> 1.13<br />Usando la regla de la cadena, calculemos y’ a partir de la sustitución u= y1-n<br />Sustituyendo en la ecuación 1.13, esta se transforma en <br />la cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería. <br />  <br />Ejemplo: <br />Resuelva la ecuación <br />Solución  <br />Ésta es una ecuación de Bernoulli con , P(x)=-5y .Q(x)= - 5x2 Para resolverla primero dividamos por y3<br />Ahora efectuemos la transformación u=y-2. Puesto que dudx=-2ydydx, la ecuación se transforma en <br />Simplificando obtenemos la ecuación lineal <br />Cuya solución es <br />y al sustituir u=y-2se obtiene la solución de la ecuación original <br />Observación: en esta solución no está incluida la solución y=0, que se perdió durante el proceso de dividir por y3. Es decir, se trata de una solución singular. <br />  <br />Ejemplo: <br />Compruebe que la ecuación diferencial <br />se transforma en una ecuación de Bernoulli al hacer . <br />  <br />Solución  <br />Como <br />Sustituyendo obtenemos <br />la cual es una ecuación de Bernoulli. <br />

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