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 Entre los componentes del costo de
mantenimiento de inventario destacan:
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artículos.
 Impuestos y seguros
 Roturas, estropicios, deterioros y obsolencia
 Costos de oportunidad
Ejemplo
 28% = costo de capital
2% = Impuestos y seguros
6% = Costo de almacenamiento
1% = Costo de Rotura y deterioro
37% = Cargo total por interés
Esto se interpreta como un cargo de 37 centavos por cada
dólar invertido durante un año.
Ejemplo cont.
 Si tomamos i como la tasa de interés y c como el valor
monetario de la unidad de inventario y h como el costo de
mantener el inventario en dólares por unidad por año, tenemos.
ℎ = 𝑖𝑐
Por consiguiente
ℎ = .37 180 = 66.6
Si se mantuvieran 300 artículos por 5 años entonces el costo de
inventario durante ese periodo sería
5 300 66.6 = 99,900 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
Costo de pedido
 El costo de mantener inventario incluye a todos aquellos
costos que son proporcionales a la cantidad de inventario
a la mano mientas que el costo de pedido depende de la
cantidad de inventario que se pide o se produce.
 El costo de pedido tiene dos componentes: un fijo y un
variable.
 Sea 𝐾 el costo fijo independiente al volumen del pedido
 Y 𝑐 el costo variable proporcional al pedido.
 Se define 𝐶(𝑥) como el costo de pedir 𝑥 unidades
𝐶 𝑥 = ቊ
0 𝑠𝑖 𝑥 = 0,
𝐾 + 𝑐𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0
Costo de penalización
 Es el resultado de no tener existencias suficientes a la
mano para satisfacer la demanda cuando esta se presenta.
 Usaremos el símbolo 𝑝 para representar el costo de
penalización y se carga con base a las unidades.
Modelo de cantidad
económica de pedidos
Supuestos modelo básico
 La tasa de demanda es conocida y constante con 𝜆
unidades por unidad de tiempo.
 No se permiten faltantes
 No hay tiempo de demora de pedido
 Los costos incluyen
 Costo de preparación 𝐾 por pedido colocado
 Costo proporcional de pedido 𝑐
 Costo de mantener inventario ℎ
 Se supondrá que el inventario disponible en el tiempo
cero es cero
 Sea 𝑄 el tamaño del pedido
Niveles de inventario
Objetivo
 El objetivo es elegir Q tal que minimice el costo
promedio por unidad de tiempo.
 Se deduce una ecuación para calcular el costo promedio
anual en función del tamaño del lote Q
𝐶 𝑄 = 𝐾 + 𝑐𝑄
Para obtener el costo por pedido por unidad de tiempo se
divide entre T. Como se consumen Q unidades cada ciclo a
una tasa de 𝜆, en consecuencia 𝑇 = 𝑄/𝜆
El costo de mantener el inventario durante un ciclo es el
costo por unidad por el promedio si el decrecimiento es
continuo entonces este costo es
ℎ𝑄/2
Costo anual promedio
 Por lo tanto llamemos 𝐺 𝑄 al costo anual promedio:
𝐺 𝑄 =
𝐾 + 𝑐𝑄
𝑇
+
ℎ𝑄
2
=
𝐾 + 𝑐𝑄
𝑄
𝜆
+
ℎ𝑄
2
=
𝐾𝜆
𝑄
+ 𝜆𝑐 +
ℎ𝑄
2
Obteniendo punto óptimo
𝐺 𝑄 =
𝐾𝜆
𝑄
+ 𝜆𝑐 +
ℎ𝑄
2
𝐺′
𝑄 =
−𝐾𝜆
𝑄2
+
ℎ
2
𝐺′′ 𝑄 =
2𝐾𝜆
𝑄3
> 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑄 > 0
Si 𝐺′′ 𝑄 > 0 entonces 𝐺(𝑄) es una función convexa de 𝑄.
Por lo tanto el valor optimo de Q se presenta cuando 𝐺′ 𝑄 = 0.
𝑄∗
=
2𝐾𝜆
ℎ
Función de costo promedio anual
EJEMPLO
 En la papelería de la universidad se venden lápices a una
tasa constante de 60/semana. A la papelería le cuesta a $
0.02 y los vende a $ 0.15/pza. Cuesta $ 12 hacer el
pedido, y los costos de mantener el inventario se basan en
una tasa anual del 25%. Calcule la cantidad óptima de
lápices que debe comprar la papelería, así como el tiempo
entre la colocación de los pedidos. Cuales son los costos
anuales de mantener el inventario y de preparación para
éste artículo?
Inclusión del tiempo de demora
 Uno de los supuestos para deducir el modelo de cantidad económica de
pedido fue que no hay tiempo de demora del pedido. Ahora rebajaremos ese
supuesto.
 Supongamos en el ejemplo anterior que hay que pedir los lápices con 4 meses
de anticipación como se ilustra
 Llamaremos a este pedido, resurtido o reorden y será
identificado con el símbolo R, como el punto de reorden.
Esto es el producto del tiempo de demora por la tasa de la
demanda
𝑅 = 𝜆𝜏
Por ejemplo
𝑅 = (3120)(0.333)
Obsérvese que el tiempo de demora se ha convertido en
años antes de la operación. Es decir 𝜏 = 4 ∗
1
12
= 0.3333
Punto de reorden con tiempos de
demora mayores que un ciclo
 Un artículo cuya cantidad económica de pedido es de 25, tiene una
tasa de demanda de 500 unidades por año y un tiempo de demora de
6 semanas.
 El tiempo de ciclo es de 𝑇 =
25
500
= 0.05 años, es decir 2.6 semanas.
 La relación 𝜏/𝑇 es de 2.31, esto significa, que hay 2.31 ciclos en el
tiempo de demora. Cada pedido debe colocarse 2.31 ciclos por
adelantado.
 Por lo tanto calculamos el punto de reorden para 0.31 ciclos y
tenemos 𝜏 = 0.31 0.05 = 0.0155.
𝑅 = (0.0155)(500)
Análisis de sensibilidad
 De acuerdo al ejemplo de la papelería la cantidad de
reorden es de 3870 como indica la solución óptima.
 ¿Qué pasa si yo hago un pedido con cantidad diferente?
Solución universal para sensibilidad
 Sea G* el costo promedio anual de mantener inventario y de
preparación en la solución óptima.
𝐺∗
=
𝐾𝜆
𝑄∗
+
ℎ𝑄∗
2
=
𝐾𝜆
2𝐾𝜆
ℎ
+
ℎ
2
2𝐾𝜆
ℎ
= 2
𝐾𝜆ℎ
2
= 2𝐾𝜆ℎ
Entonces para cualquier Q,
𝐺 𝑄
𝐺∗
=
𝐾𝜆/𝑄 + (ℎ𝑄)/2
2𝐾𝜆ℎ
=
1
2𝑄
2𝐾𝜆
ℎ
+
𝑄
2
ℎ
2𝐾𝜆
=
1
2
𝑄∗
𝑄
+
𝑄
𝑄∗
Extensión de una tasa finita de
producción
 Un supuesto implícito en el modelo anterior es que el
producto es adquirido de un tercero, entonces se supone
que todo se entrega de una sola vez.
 Si deseamos aplicar la formula CEP cuando la producción
es finita debemos suponer una tasa de producción finita.
Tasa de producción finita
 Suponga que se producen artículos a
la tasa de P durante una corrida de
producción.
 Por factibilidad se requiere 𝑃 > 𝜆.
 Todos los supuestos serán iguales.
Definiciones
 Sea Q el tamaño de cada corrida de producción y T la longitud del
ciclo.
 Entonces 𝑇 = 𝑇1 + 𝑇2, siendo 𝑇1 el tiempo de subida(producción) y 𝑇2
el tiempo de bajada(consumo).
 Recuerde que las unidades consumidas es 𝜆𝑇 por ciclo, que debe ser
igual a las unidades consumidas 𝑄 en consecuencia 𝑄 = 𝜆T, por lo
tanto 𝑇 =
𝑄
𝜆
.
 Definimos H como el nivel máximo de inventario disponible.
 Como los artículos se producen a una tasa de P durante el tiempo 𝑇1,
entonces 𝑄 = 𝑃𝑇1es decir 𝑇1 =
𝑄
𝑃
.
 Se sabe por la figura
𝐻
𝑇1
= 𝑃 − 𝜆
 Entonces la función es:
𝐺 𝑄 =
𝐾
𝑇
+
ℎ𝐻
2
𝐺 𝑄 =
𝐾𝜆
𝑄
+
ℎ𝑄
2
1 −
𝜆
𝑃
Por lo tanto:
𝑄∗ =
2𝐾𝜆
ℎ(1 −
𝜆
𝑃
)
Ejemplo
 Una empresa local produce una memoria programable
EPROM para varios clientes industriales. Dicha empresa ha
experimentado una demanda relativamente constante de
2500 unidades por año. La EPROM se produce a una tasa
de 10000 unidades por año. El departamento de
contabilidad ha estimado que cuesta $50 iniciar una
corrida de producción, que la fabricación de cada unidad
le cuesta $2 y que el costo de mantener inventario se basa
en una tasa anual de 30% de interés. Calcule el tamaño
óptimo de una corrida de producción, su duración y el
costo anual de inventario, compra y preparación.
Referencias
 Nahmias, S., Castellanos, A. T., Murrieta, J. E. M., Hernández, F. G., Nudiug,
B., Juaárez, R. A., & Milanés, J. Y. (1999). Análisis de la producción y las
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Inventarios

  • 1. Administración de la cadena de suministro: Inventarios Dr. Leonardo Gabriel Hernández Landa
  • 2. Control de inventarios sujeto a demanda conocida
  • 3.  El problema fundamental de la administración de inventarios se puede describir en forma sucinta con dos preguntas:  ¿Cuándo se debe hacer un pedido?  ¿Cuánto se debe pedir?
  • 4. Tipos de inventarios • Recursos que requiere la actividad de producción o procesamientoMaterias primas • Artículos que todavía no han sido terminados o subensamblesComponentes • Inventario que espera en el sistema para procesar o ser procesado Trabajo en proceso • Artículos terminados o finales Bienes terminados
  • 5. Motivación para mantener inventarios Economías de escala Incertidumbres Especulación Transporte Suavizamiento Logística Costos de control
  • 6. Características de los sistemas de inventarios 1. Demanda 1. Constante o variable 2. Conocida o desconocida 2. Tiempo de demora 3. Tiempo de revisión 4. Exceso de demanda 5. Inventario cambiante
  • 7. Costos relevantes  Como nos interesa optimizar el sistema de inventarios debemos determinar un criterio de optimización o de eficiencia adecuado. Casi todos los modelos de inventario usan la minimización del costo como criterio de optimización.  Un criterio alternativo de eficiencia podría ser la maximización de la ganancia.
  • 8. Costo de mantener inventario  Entre los componentes del costo de mantenimiento de inventario destacan:  Costo de suministrar el espacio físico para almacenar artículos.  Impuestos y seguros  Roturas, estropicios, deterioros y obsolencia  Costos de oportunidad
  • 9. Ejemplo  28% = costo de capital 2% = Impuestos y seguros 6% = Costo de almacenamiento 1% = Costo de Rotura y deterioro 37% = Cargo total por interés Esto se interpreta como un cargo de 37 centavos por cada dólar invertido durante un año.
  • 10. Ejemplo cont.  Si tomamos i como la tasa de interés y c como el valor monetario de la unidad de inventario y h como el costo de mantener el inventario en dólares por unidad por año, tenemos. ℎ = 𝑖𝑐 Por consiguiente ℎ = .37 180 = 66.6 Si se mantuvieran 300 artículos por 5 años entonces el costo de inventario durante ese periodo sería 5 300 66.6 = 99,900 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
  • 11. Costo de pedido  El costo de mantener inventario incluye a todos aquellos costos que son proporcionales a la cantidad de inventario a la mano mientas que el costo de pedido depende de la cantidad de inventario que se pide o se produce.  El costo de pedido tiene dos componentes: un fijo y un variable.  Sea 𝐾 el costo fijo independiente al volumen del pedido  Y 𝑐 el costo variable proporcional al pedido.  Se define 𝐶(𝑥) como el costo de pedir 𝑥 unidades 𝐶 𝑥 = ቊ 0 𝑠𝑖 𝑥 = 0, 𝐾 + 𝑐𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0
  • 12. Costo de penalización  Es el resultado de no tener existencias suficientes a la mano para satisfacer la demanda cuando esta se presenta.  Usaremos el símbolo 𝑝 para representar el costo de penalización y se carga con base a las unidades.
  • 14. Supuestos modelo básico  La tasa de demanda es conocida y constante con 𝜆 unidades por unidad de tiempo.  No se permiten faltantes  No hay tiempo de demora de pedido  Los costos incluyen  Costo de preparación 𝐾 por pedido colocado  Costo proporcional de pedido 𝑐  Costo de mantener inventario ℎ  Se supondrá que el inventario disponible en el tiempo cero es cero  Sea 𝑄 el tamaño del pedido
  • 16. Objetivo  El objetivo es elegir Q tal que minimice el costo promedio por unidad de tiempo.  Se deduce una ecuación para calcular el costo promedio anual en función del tamaño del lote Q 𝐶 𝑄 = 𝐾 + 𝑐𝑄 Para obtener el costo por pedido por unidad de tiempo se divide entre T. Como se consumen Q unidades cada ciclo a una tasa de 𝜆, en consecuencia 𝑇 = 𝑄/𝜆 El costo de mantener el inventario durante un ciclo es el costo por unidad por el promedio si el decrecimiento es continuo entonces este costo es ℎ𝑄/2
  • 17. Costo anual promedio  Por lo tanto llamemos 𝐺 𝑄 al costo anual promedio: 𝐺 𝑄 = 𝐾 + 𝑐𝑄 𝑇 + ℎ𝑄 2 = 𝐾 + 𝑐𝑄 𝑄 𝜆 + ℎ𝑄 2 = 𝐾𝜆 𝑄 + 𝜆𝑐 + ℎ𝑄 2
  • 18. Obteniendo punto óptimo 𝐺 𝑄 = 𝐾𝜆 𝑄 + 𝜆𝑐 + ℎ𝑄 2 𝐺′ 𝑄 = −𝐾𝜆 𝑄2 + ℎ 2 𝐺′′ 𝑄 = 2𝐾𝜆 𝑄3 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑄 > 0 Si 𝐺′′ 𝑄 > 0 entonces 𝐺(𝑄) es una función convexa de 𝑄. Por lo tanto el valor optimo de Q se presenta cuando 𝐺′ 𝑄 = 0. 𝑄∗ = 2𝐾𝜆 ℎ
  • 19. Función de costo promedio anual
  • 20. EJEMPLO  En la papelería de la universidad se venden lápices a una tasa constante de 60/semana. A la papelería le cuesta a $ 0.02 y los vende a $ 0.15/pza. Cuesta $ 12 hacer el pedido, y los costos de mantener el inventario se basan en una tasa anual del 25%. Calcule la cantidad óptima de lápices que debe comprar la papelería, así como el tiempo entre la colocación de los pedidos. Cuales son los costos anuales de mantener el inventario y de preparación para éste artículo?
  • 21. Inclusión del tiempo de demora  Uno de los supuestos para deducir el modelo de cantidad económica de pedido fue que no hay tiempo de demora del pedido. Ahora rebajaremos ese supuesto.  Supongamos en el ejemplo anterior que hay que pedir los lápices con 4 meses de anticipación como se ilustra
  • 22.  Llamaremos a este pedido, resurtido o reorden y será identificado con el símbolo R, como el punto de reorden. Esto es el producto del tiempo de demora por la tasa de la demanda 𝑅 = 𝜆𝜏 Por ejemplo 𝑅 = (3120)(0.333) Obsérvese que el tiempo de demora se ha convertido en años antes de la operación. Es decir 𝜏 = 4 ∗ 1 12 = 0.3333
  • 23. Punto de reorden con tiempos de demora mayores que un ciclo  Un artículo cuya cantidad económica de pedido es de 25, tiene una tasa de demanda de 500 unidades por año y un tiempo de demora de 6 semanas.  El tiempo de ciclo es de 𝑇 = 25 500 = 0.05 años, es decir 2.6 semanas.  La relación 𝜏/𝑇 es de 2.31, esto significa, que hay 2.31 ciclos en el tiempo de demora. Cada pedido debe colocarse 2.31 ciclos por adelantado.  Por lo tanto calculamos el punto de reorden para 0.31 ciclos y tenemos 𝜏 = 0.31 0.05 = 0.0155. 𝑅 = (0.0155)(500)
  • 24. Análisis de sensibilidad  De acuerdo al ejemplo de la papelería la cantidad de reorden es de 3870 como indica la solución óptima.  ¿Qué pasa si yo hago un pedido con cantidad diferente?
  • 25. Solución universal para sensibilidad  Sea G* el costo promedio anual de mantener inventario y de preparación en la solución óptima. 𝐺∗ = 𝐾𝜆 𝑄∗ + ℎ𝑄∗ 2 = 𝐾𝜆 2𝐾𝜆 ℎ + ℎ 2 2𝐾𝜆 ℎ = 2 𝐾𝜆ℎ 2 = 2𝐾𝜆ℎ Entonces para cualquier Q, 𝐺 𝑄 𝐺∗ = 𝐾𝜆/𝑄 + (ℎ𝑄)/2 2𝐾𝜆ℎ = 1 2𝑄 2𝐾𝜆 ℎ + 𝑄 2 ℎ 2𝐾𝜆 = 1 2 𝑄∗ 𝑄 + 𝑄 𝑄∗
  • 26. Extensión de una tasa finita de producción  Un supuesto implícito en el modelo anterior es que el producto es adquirido de un tercero, entonces se supone que todo se entrega de una sola vez.  Si deseamos aplicar la formula CEP cuando la producción es finita debemos suponer una tasa de producción finita.
  • 27. Tasa de producción finita  Suponga que se producen artículos a la tasa de P durante una corrida de producción.  Por factibilidad se requiere 𝑃 > 𝜆.  Todos los supuestos serán iguales.
  • 28. Definiciones  Sea Q el tamaño de cada corrida de producción y T la longitud del ciclo.  Entonces 𝑇 = 𝑇1 + 𝑇2, siendo 𝑇1 el tiempo de subida(producción) y 𝑇2 el tiempo de bajada(consumo).  Recuerde que las unidades consumidas es 𝜆𝑇 por ciclo, que debe ser igual a las unidades consumidas 𝑄 en consecuencia 𝑄 = 𝜆T, por lo tanto 𝑇 = 𝑄 𝜆 .  Definimos H como el nivel máximo de inventario disponible.  Como los artículos se producen a una tasa de P durante el tiempo 𝑇1, entonces 𝑄 = 𝑃𝑇1es decir 𝑇1 = 𝑄 𝑃 .  Se sabe por la figura 𝐻 𝑇1 = 𝑃 − 𝜆
  • 29.  Entonces la función es: 𝐺 𝑄 = 𝐾 𝑇 + ℎ𝐻 2 𝐺 𝑄 = 𝐾𝜆 𝑄 + ℎ𝑄 2 1 − 𝜆 𝑃 Por lo tanto: 𝑄∗ = 2𝐾𝜆 ℎ(1 − 𝜆 𝑃 )
  • 30. Ejemplo  Una empresa local produce una memoria programable EPROM para varios clientes industriales. Dicha empresa ha experimentado una demanda relativamente constante de 2500 unidades por año. La EPROM se produce a una tasa de 10000 unidades por año. El departamento de contabilidad ha estimado que cuesta $50 iniciar una corrida de producción, que la fabricación de cada unidad le cuesta $2 y que el costo de mantener inventario se basa en una tasa anual de 30% de interés. Calcule el tamaño óptimo de una corrida de producción, su duración y el costo anual de inventario, compra y preparación.
  • 31. Referencias  Nahmias, S., Castellanos, A. T., Murrieta, J. E. M., Hernández, F. G., Nudiug, B., Juaárez, R. A., & Milanés, J. Y. (1999). Análisis de la producción y las operaciones. Compañía Editorial Continental, SA.