CALCULO PROPOSICIONAL
Simbolización de proposiciones.
Cada proposición tiene una forma lógica a la cual se le da un
nombre...
Conectivas lógicas
Conectiva Notación
Ejemplo
de uso
Análogo
natural
Ejemplo de uso en
el lenguaje natural
Negación no No ...
Ejemplo:
Hoy es jueves
Hay clases de matemáticas
Ambas proposiciones son simples. Con estas proposiciones se
pueden constr...
último caso las dos "o" son parte del mismo término de enlace y la forma
de la proposición es:
Es tarde = p
Está muy oscur...
Nota: para armar una tabla de la verdad y estar
seguro que contamos con el número correcto de
posibilidades o combinacione...
TABLAS DE LA VERDAD
Negación ( NO)
La negación es un operador que se ejecuta, sobre un
único valor de verdad, devolviendo ...
típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el
valor de verdadverdadero cuando ambas proposiciones...
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Los deseos son caballos, a condición de que los caballos no vuelan.
También, los mendigos no cabal...
Si se da el caso de que los mendigos cabalgan y los deseos no sean
equinos
r^~q
entonces los caballos vuelan
→p
Si se da e...
2. Arma la tabla de la verdad para los siguientes ejercicios:
a) estás seguro y lo que dices es cierto o mientes como un b...
EJERCICIOS PROPUESTOS
I. Escriba la Simbolización de los siguientes enunciados:
a) Las computadoras trabajan más rápido qu...
1. p ∧ q
2. (p ∧ q) ∧ r
3. ¬(p → ¬q) ∧ (p ∧ ¬q)
4. (p ∧ q) ∨ (p ∨ ¬q)
5. p ∧ q ∧ r
6. ¬(p ∧ ¬q) ∧ (p ∧ ¬q)
7. ¬¬(¬p ∧ ¬q) ...
22. ¬q ∨ ¬p
23. (p → q ∧ r) ↔ ¬(¬q v r) v ¬r
24. (¬q ∧ r) → ¬(¬q v r) v ¬r
25. (p → q ) ∧ r Æ ¬(p v r) v ¬r
26. (p → q) ∧ ...
66. (p Æ q → r) → p ∧ r*
67. (p ↔ q ∧ ¬r ) ↔ ¬¬(¬q v ¬r) v(r v s)
68. (¬p ↔ q) ← (p v ¬p → ¬q v r)
69. (p v ¬q→ p ∧ r) ↔ [...
1.- (p ↔ q) v (p → q)
(p v q) ∧ (¬p →¬q)
2.- p ∧ ¬q → ¬p
(p ↔ ¬q) v q
3.- ¬p v q ↔ p
p ∨ q
V. Si p es V y q es F, determín...
6.- p v q →q
7.- ¬(¬q→p) v (¬p →q)
8.- (¬p v ¬q) ↔ (¬p v ¬q → p)
9.- (p → q) v ¬q → ¬p
10.- ¬¬¬p → ¬p
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explicación básica de las tablas de la verdad y su aplicación a proposiciones y algunos ejercicios

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tabla de la verdad

  1. 1. CALCULO PROPOSICIONAL Simbolización de proposiciones. Cada proposición tiene una forma lógica a la cual se le da un nombre. Se distinguen dos tipos de proposiciones: simples y compuestas. Una proposición se denomina simple cuando en ella no interviene ninguna conectiva lógica o término de enlace (y, o, no, si...entonces..., si y sólo si). Si se juntan una o varias proposiciones simples con un término de enlace, se forma una proposición compuesta. Los términos de enlace, "y", "o", "si... entonces...", "si y sólo si"; se usan para ligar dos proposiciones, en cambio el término de enlace "no" se agrega a una sola proposición. Proposiciones simples o Atómicas. Son aquellas que se pueden representar con una sola variable o letra (No tiene Conectivos). Ejemplos: a) p : Pamela tiene 20 años. b) q : 5 x 6 = 30 c) r : El mundial de futbol es en Sudáfrica. Proposiciones Compuestas o Moleculares Son aquellas que están constituidas por proposiciones simples enlazadas entre si por conectivos lógicos. El valor de la verdad de una proposición compuesta depende de los valores de la verdad de las proposiciones que lo forman y de la manera como están unidas.
  2. 2. Conectivas lógicas Conectiva Notación Ejemplo de uso Análogo natural Ejemplo de uso en el lenguaje natural Negación no No está lloviendo. Conjunción y Está lloviendoy la calle está mojada. Disyunción o Está lloviendoo la calle está mojada. Condicional material si... entonces Si está lloviendo,entonces la calle está mojada. Bicondicional si y sólo si Está lloviendosi y sólo si la calle está mojada. Negación conjunta ni... ni Ni está lloviendo ni la calle está mojada. Disyunción excluyente o bien... o bien O bien está lloviendo, o bien la calle está mojada.
  3. 3. Ejemplo: Hoy es jueves Hay clases de matemáticas Ambas proposiciones son simples. Con estas proposiciones se pueden construir proposiciones compuestas tales como: Hoy es jueves y hay clases de matemáticas. Hoy es jueves o hay clases de matemáticas. Si hoy es jueves entonces hay clases de matemáticas. Hoy no es jueves. La forma de las proposiciones compuestas depende del término de enlace utilizado, y no del contenido de la proposición o proposiciones simples. Es decir, si en una proposición compuesta se sustituyen las proposiciones simples por otras proposiciones simples cualesquiera, la forma de la proposición compuesta se conserva. Ejemplo: Hoy es jueves y hay clase de matemáticas. Esta sería la forma de la proposición. En los cuadros pueden colocarse las proposiciones dadas u otras proposiciones. Para representar las proposiciones se utilizan letra latinas mayúsculas tales como P, Q, R, etc. Por ejemplo, sea: p: Hoy es jueves. q: Hay clase de matemáticas. Luego la proposición: Hoy es jueves y hay clase de matemáticas. Se simboliza así: p ^ q En el siguiente ejemplo se usa el término de enlace "o". Es tarde o está muy oscuro. Otro giro de "o" es: O es tarde o está muy oscuro. En este
  4. 4. último caso las dos "o" son parte del mismo término de enlace y la forma de la proposición es: Es tarde = p Está muy oscuro = q p v q En proposiciones que tienen más de un término de enlace es preciso indicar la manera de agruparse, pues distintas agrupaciones pueden tener distintos significados. En el lenguaje corriente, las agrupaciones se presentan de acuerdo a la colocación de ciertas palabras o mediante la puntuación. En lógica la agrupación se indica por medio de paréntesis o por su jerarquía Ejemplos: a) ~ p : No aprobé el curso de matemática. b) P Λ q : Hoy es sábado y mañana es domingo. c) P → q : Si 5 es primo, entonces 15 es número par d) r Λ s : Carlos es ingeniero y Luis tiene 10 años e) p Ѵ q : Ronaldo gano el partido o esta enfermo. Símbolo Lenguaje natural ~ No ^ Y v O → Si…entonces; implica ↔ Si y solo si
  5. 5. Nota: para armar una tabla de la verdad y estar seguro que contamos con el número correcto de posibilidades o combinaciones Cn, aplicamos la siguiente formula cn = 2n , donde n representa el numero de variables y asi evitamos confusiones Ejemplo: Para 3 variables 2n =23 =8
  6. 6. TABLAS DE LA VERDAD Negación ( NO) La negación es un operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada. Conjunción (Y) La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdaderocuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas Disyunción (O) La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falsocuando ambas son falsas. Implicación o Condicional (Implica) El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso. Equivalencia, doble implicación o Bicondicional El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad,
  7. 7. típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdadverdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad diferente.
  8. 8. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Los deseos son caballos, a condición de que los caballos no vuelan. También, los mendigos no cabalgan, a condición de que los deseos no sean caballos. Si se da el caso de que los mendigos cabalgan y los deseos no sean equinos, entonces los caballos vuelan. Si la imposibilidad de los caballos para volar y la imposibilidad de los mendigos para cabalgar no son alternativas, entonces los mendigos no son ricos. Pero los mendigos cabalgan, ¿son ricos los mendigos? El primer paso es convertir las frases resaltantes o las premisas en variables tomándolas siempre como positivas o afirmativas, en caso que aparesca de forma negativa se emplea en conector ( ~ ) Q W = los deseos son caballos P Hf = los caballos vuelan R brd = los mendigos cabalgan S brch= los mendigos son ricos Luego de asignar las variables, separamos la proposición en oraciones y las representamos 1. Los deseos son caballos, a condición de que los caballos no vuelan. La condición a cumplir es los caballos no vuelan por lo tanto toma el ~p→q 2. También, los mendigos no cabalgan, a condición de que los deseos no sean caballos ~q→~r 3. Si se da el caso de que los mendigos cabalgan y los deseos no sean equinos, entonces los caballos vuelan
  9. 9. Si se da el caso de que los mendigos cabalgan y los deseos no sean equinos r^~q entonces los caballos vuelan →p Si se da el caso de que los mendigos cabalgan y los deseos no sean equinos, entonces los caballos vuelan (r^~q )→p 4. Si la imposibilidad de los caballos para volar y la imposibilidad de los mendigos para cabalgar no son alternativas ~(~p v ~r) entonces los mendigos no son ricos →~s Si la imposibilidad de los caballos para volar y la imposibilidad de los mendigos para cabalgar no son alternativas, entonces los mendigos no son ricos ~(~p v ~r)→~s 5. Pero los mendigos cabalgan r
  10. 10. 2. Arma la tabla de la verdad para los siguientes ejercicios: a) estás seguro y lo que dices es cierto o mientes como un bellaco. p = estar seguro. q = decir la verdad. r = mentir como un bellaco Cn=23=8 ( p ˄ q ) ˅ r cn p q r ( p ˄ q ) ( p ˄ q ) ˅ r 1 v v v v v 2 v v f v v 3 v f v f v 4 v f f f f 5 f v v f v 6 f v f f f 7 f f v f v 8 f f f f f
  11. 11. EJERCICIOS PROPUESTOS I. Escriba la Simbolización de los siguientes enunciados: a) Las computadoras trabajan más rápido que los hombres. b) No tengo un auto azul. c) Marcela estudia en Quito y Pablo en Loja. d) Bailamos o tomamos café. e) Si cantamos entonces necesitamos viajar. f) Leeré este libro si solo si tiene pocas hojas. g) No es cierto que si no tomamos café implica que no es de día. h) La tierra gira alrededor del sol ó no se da que la luna es un planeta. i) Si trabajara los fines de semana y durmiera menos entonces no perdería el vuelo. j) 10. Es falso que vivo en Loja, pero visitaré a mi familia en Cuenca. k) No iremos al partido a menos que salga el sol. l) Ana es profesora o es estudiante pero no puede ser ambas cosas a la vez. II. Formaliza la siguiente inferencia: Si Rosa participa en el municipio escolar entonces los estudiantes se enojan con ella, y si no participa en el municipio escolar, los profesores se enojan con ella. Pero, Rosa participa en el municipio escolar o no participa. Por lo tanto, los estudiantes o los profesores se enojan con ella. III Realice la tabla de verdad de las siguientes expresiones, indicando si es una contradicción, una tautología o una proposición empírica.
  12. 12. 1. p ∧ q 2. (p ∧ q) ∧ r 3. ¬(p → ¬q) ∧ (p ∧ ¬q) 4. (p ∧ q) ∨ (p ∨ ¬q) 5. p ∧ q ∧ r 6. ¬(p ∧ ¬q) ∧ (p ∧ ¬q) 7. ¬¬(¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ ¬q) 8. p ∨ q ∧ r 9. ¬(¬p ∧ ¬q) ∧ (¬p ∧ ¬q) 10. p ∨ q ∧ ¬r 11. p ∧ q → r 12. p ∧ q → ¬r 13. p ↔ ¬ p 14. ¬ (p ∧ ¬q) ∧ (p ∧ ¬q) 15. ¬¬ p ∨ ¬¬ q 16. p ∨q 17. p ↔ q v r 18. [ (¬p ∨ q) v (p ∧ q)] →[ (¬p ∨ q) v ¬p ] 19. (p ∨ ¬q) → ( ¬p → ¬q) 20. (p ↔ ¬q) v (p ∨ ¬q) 21. (¬p ∧ q) ∨ (¬p → q)
  13. 13. 22. ¬q ∨ ¬p 23. (p → q ∧ r) ↔ ¬(¬q v r) v ¬r 24. (¬q ∧ r) → ¬(¬q v r) v ¬r 25. (p → q ) ∧ r Æ ¬(p v r) v ¬r 26. (p → q) ∧ (q → r) → (p ∧ ¬r) 27. ¬p ↔ (q ∧ r) ∨ ¬(¬q v r) 28. [ (p v ¬ q) → (p → q)] → [(¬p → q) v ¬p] v ¬p 29. [ ¬(p v q) v (p → q)] → [(¬p → q) v ¬p] 30. (p → q) ∧ (q → r) → (p ∧ r) 31. (p ∧ q → r) → (p v r ) 60. (¬p v q → p ∧ r) ↔ ¬(¬q ∧ ¬r) ∧ r 61. (p v q) ↔ (¬p →¬q v r) 62. p v q → (p ↔ q) 63. ¬p v (¬q ∧ r) → (¬r↔ p) 64. (p → ¬q) ∧ (r v ¬p ↔ ¬r) 65. ((p v ¬r Æ ¬p) ∧ ¬(¬q Æ r) ↔ ¬r
  14. 14. 66. (p Æ q → r) → p ∧ r* 67. (p ↔ q ∧ ¬r ) ↔ ¬¬(¬q v ¬r) v(r v s) 68. (¬p ↔ q) ← (p v ¬p → ¬q v r) 69. (p v ¬q→ p ∧ r) ↔ [ ¬(¬q v ¬r) v (r→ ¬q) ]* 70. (p Æ q) ∧ (q Æ r) Æ(p Æ r) 71. (p ← q → p) → (q v r) ∧(¬q ∧ ¬r) 72. ¬(p ∧ ¬q → r) → ¬(q ↔ s v t) ∧ ¬(¬ p ∧ ¬ s) 73. ¬(p ∧ ¬q → r) → ¬(q ↔ ¬r v q) ∧ ¬(¬ p ∧ ¬ ¬¬p) 74. (¬q → r) v (¬r ∧ ¬p ↔ ¬¬r) →p ∧ ¬¬r IV Descubra si las siguientes expresiones son EQUIVALENTES, es decir, si tienen la misma tabla de verdad.
  15. 15. 1.- (p ↔ q) v (p → q) (p v q) ∧ (¬p →¬q) 2.- p ∧ ¬q → ¬p (p ↔ ¬q) v q 3.- ¬p v q ↔ p p ∨ q V. Si p es V y q es F, determínese el valor de verdad de las siguientes fórmulas: 1.- ¬p ← q. 2.- ¬p v ¬p 3.- ¬¬p v ¬¬q 4.- ¬q → ¬p 5.- p →¬(p v¬q)
  16. 16. 6.- p v q →q 7.- ¬(¬q→p) v (¬p →q) 8.- (¬p v ¬q) ↔ (¬p v ¬q → p) 9.- (p → q) v ¬q → ¬p 10.- ¬¬¬p → ¬p . Link de interés https://www.youtube.com/watch?v=pwJK-4Op438

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