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Movimiento curvilíneo
Es aquel tipo de movimiento en que la trayectoria es una curva, la posición de la partícula en un instante
cualquiera, está dada parenéticamente esto es, donde el vector de posición es
                                                                                      
                               r   r t        x t     i            y t    j           z t k


                                                                   En el instante t, el móvil se encuentra en el
                                                                   punto A, o en otras palabras, su vector posición
                                                                      
                                                                   es r y en el instante t' se encuentra en el punto
                                                                                                             
                                                                                                             
                                                                   B, su posición viene dada por el vector ri

                                                                   Diremos que el móvil se ha desplazado
                                                                       
                                                                        
                                                                     r ri r en el intervalo de tiempo t=t'-t.
                                                                   Dicho vector tiene la dirección de la secante
                                                                   que une los puntos A y B

Vector velocidad media

El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento r y el tiempo que
ha empleado en desplazarse t.
                                                        
                                                        
                                                
                                                      ri r
                                          v     vm
                                                        ti t
El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los
puntos A y B, cuando se calcula la velocidad media <v> entre los instantes t y t1.

Vector velocidad instantánea
El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo
tiende a cero.
                                                        
                                                                                         
                                                       ri     r                      r     dr
                                          v     lim                       lim
                                                t   o     ti   t          t   o       t     dt


Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección
del vector velocidad media, la recta secante que une el punto A, con el punto B tiende hacia la tangente
a la trayectoria en el punto A. En el instante t, el móvil se encuentra en A y tiene una velocidad v cuya
dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

Si el movimiento se efectúa a lo largo de la curva C en termino del parámetro s donde s es la distancia
recorrida por la partícula con respecto al punto O, donde la forma paramétrica queda especificada por

                           x       x s        , y          y s        ,           z       z s
2
                                                                                                
En forma vectorial                r     r s            x s i             y s j                  z s k
                                                                                                                            
                                                 ds        x           y                z                     ds        r
Derivando para hallar la velocidad      v                     i            j                 k
                                                  dt        t            t                 t                      dt        t
                                                                                                            
               r     x      y        z     
                                                                                                v            ve
Si                     i        j         k   e           entonces
             t       t        t         t
donde representa a un vector unitario tangente a la curva en el punto A y apunta en la dirección en que “s”
crece

Vector aceleración

                                                                En el instante t el móvil se encuentra en A y tiene
                                                                una velocidad v cuya dirección es tangente a la
                                                                trayectoria en dicho punto.

                                                                En el instante t i el móvil se encuentra en el punto B
                                                                                                         
                                                                y tiene una velocidad v i .

                                                                El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto
                                                                en módulo como en dirección, en la cantidad dada
                                                                                           
                                                                por el vector diferencia v vi v

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad v y el intervalo de
                                                                                           
                                                                                       vi       v
tiempo t=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio. a                         am
                                                                                           ti       t
                                                                                                       
                                                               vi       v                               v             dv
Y la aceleración a en un instante             a        lim                                 lim
                                                        t   o     ti     t                 t    o        t             dt

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo son
                                                                                                
                              r       r t         x t i                 y t        j            z t k

                                            dx t                    dy t                     dz t         
                          v       v t              i                               j                          k
                                               dt                        dt                         dt

                                          dvx t                     dv y t                   dvz t        
                         a     a t                i                                    j                      k
                                              dt                         dt                             dt
3

              Componentes tangencial y normal de la aceleración

                                                Consideremos una partícula que describe la
                                                trayectoria mostrada en la figura.
                                                En un instante t la partícula se encuentra en la
                                                                                      
                                                posición A con una velocidad v y es tangente a la
                                                                                          
                                                trayectoria y una aceleración a que está dirigida
                                                hacia el lado cóncavo de la trayectoria,
                                                Descomponemos la aceleración de tal forma que una
                                                componente será paralela al vector velocidad, la
                                                                                                         
                                                                                                          
                                                cual llamaremos aceleración tangencial a T , y será
                                                responsable del cambio de magnitud de la velocidad.
                                                La otra componente será perpendicular a ella, la
                                                                                                   
                                                cual llamaremos aceleración normal a N y produce
.                                               un cambio en la dirección de la velocidad


                                                La velocidad se puede expresar de la siguiente
                                                                     
                                                                              
                                                                                
                                                manera v            v eT donde eT es un vector unitario
                                                tangente a la trayectoria en el punto A, entonces la
                                                aceleración es
                                                                             
                                                                                                               
                                                                                                                 
                                                       dv              d   v eT          d v 
                                                                                                             d eT
                                                 a                                            eT          v
                                                         dt                 dt            dt                  dt
                                                                                 *1
                                                                   Se observa en el grafico que
                                                        
                                                                      
                                                                                             
                                                        uT             u x co s               u y sen
                                                                     
                                                                                              
                                                     uN                 u x sen                u y co s
.
      
       
    d uT   
                    d              d             
                                                                                  d             d
           u x sen         u y cos                   u x sen            u y cos                    uN
    dt               dt                    dt                                         dt               dt

                                 d          d   ds             d
                                                         v
                                 dt         ds dt              ds

                                                           d           1
                          Pero        ds        d
                                                             ds
4

                     d        v
Lo cual se obtiene                la cual lo reemplazamos en la ecuación
                     dt
                                         
                                          
                                       d uT       d            v 
                                                 uN                 uN
                                       dt            dt

Este resultado lo reemplazamos en *1

                                                      
                                                       
                                   d v 
                                                   d eT        d v 
                                                                          v
                                                                               2   
                                                                                    
                          a             eT      v                   eT             eN
                                    dt              dt          dt


                             
                                            
                                                                   dv                     v
                                                                                               2

                a         a T eT         a N eN            aT              ,       aN
                                                                    dt

Movimiento circular
Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Este movimiento es
un caso particular del movimiento curvilíneo esto es que a T 0 , a N        0


                                                Posición angular,
                                                La distancia recorrida por la partícula a través de una
                                                circunferencia de radio R está dada por S R , de donde
                                                se obtiene que
                                                      ds        d R             dR           d          d
                                                v                                        R          R
                                                      dt           dt           dt             dt       dt

                                                la cantidad
                                                                           d
                                                                           dt

                                                Se denomina Velocidad angular,          cuyas unidades son
                                                radianes por segundo



La velocidad queda de la siguiente forma v                 R
5

                                 Movimiento Circular Uniforme

Periodo.- (P): Es el tiempo requerido para realizar una vuelta completa o revolución

                                           t           tiem po transcurrido
                                   P
                                           n            num ero de vueltas

Frecuencia.- (γ).- Es el numero de revoluciones por unidad de tiempo es decir

                                               n             num ero de vueltas
                                       f
                                               t             tiem po transcurrido

                         f        tf                    tf

                             d         dt                    dt                    f              o
                                                                                                              t   to
                         o        to                    to



Nota: para una revolución completa

                                                   2
                                                                      2                    2      f
                                                   P



Aceleración angular,
                                                             Si en el instante t, la velocidad angular del móvil es

                                                                      o   y en el instante t’, la velocidad angular del móvil

                                                             es           f   .
                                                             La velocidad angular del móvil ha cambiado
                                                                                       f              o   en el intervalo de tiempo
                                                                  t           tf           to   comprendido entre t y t'.
                                                             Se denomina aceleración angular media al cociente entre
                                                             el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo
                                                             que tarda en efectuar dicho cambio.
6


                                                                                f         o
                                                           m
                                                                            tf           to

La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un
intervalo de tiempo que tiende a cero.

                                                                                     d
                                                   lim
                                                   t       o        t                dt

                                                                        2
                                                                   d
                                                                            2
                                                                    dt

Cuando la aceleración angular es constante se tiene

                                                       t

                                           d                   dt                              o
                                                                                                               t       to
                                       o           to



                                      d                                 d
Si                                                                                                 o
                                                                                                                           t    to
                                       dt                                   dt

                                                                                          1                            2
Entonces se tiene                              o           o
                                                               t        to                             t       to
                                                                                          2

La cual representa la posición angular de la partícula en cualquier instante.

Movimiento en coordenadas polares

                                               La localización de una partícula , viene expresado mediante
                                               el radio de posición esto es
                                                                                                            
                                                                                                              
                                                                                               r           r ur

                                               Se observa en la grafica                                x           r cos              y      r sen

                                                                    y                                              y                                  x
                                                       a rtg                         a rcsen                                      a r co s
                                                                                                               2           2                      2           2
                                                                    x                                      x           y                      x           y

                                               Se define los vectores unitarios
                                                                                                                         
                                                                            u                 u X sen                          u Y cos

                                                                                
                                                                                                                           
                                                                                ur        u X cos                              u Y sen
7
                                  
                                 du                                                        o           o
si                                                   u X sen                   u Y co s                   u
                                 dx

                                                        
                                                                              
                                                                                
                                    dr          d       r ur                d ur          d r
                                                                                                               o         o 
                                                                                                                                
la velocidad será       v                                                             r   ur               r        u        r ur
                                     dt                  dt                  dt              dt


                                            o
                                                                  o              
                                                                                                  
                                v           r ur               r       u          vr u r         v u

                            o

Donde                       r           vr                          velocidad radial


                                 o
                            r              v                           velocidad tangencial

                                                   
                                                                    
                               dv           d   vr u r            v u            oo        o        
                                                                                                                       oo    o   o   
                                                                                                 2
La velocidad será   a                                                             r       r( )       ur             r        2r       u
                                dt                        dt

                                                                     
                                                                                
                                                     a             ar u r      a u

                                      oo             o
                                                          2
Donde                       ar         r         r( )                          velocidad radial

                                           oo            o o
                            a         r           2r                           velocidad tangencial

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Movimiento curvilíneo

  • 1. 1 Movimiento curvilíneo Es aquel tipo de movimiento en que la trayectoria es una curva, la posición de la partícula en un instante cualquiera, está dada parenéticamente esto es, donde el vector de posición es      r r t x t i y t j z t k En el instante t, el móvil se encuentra en el punto A, o en otras palabras, su vector posición  es r y en el instante t' se encuentra en el punto   B, su posición viene dada por el vector ri Diremos que el móvil se ha desplazado     r ri r en el intervalo de tiempo t=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos A y B Vector velocidad media El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento r y el tiempo que ha empleado en desplazarse t.       ri r v vm ti t El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos A y B, cuando se calcula la velocidad media <v> entre los instantes t y t1. Vector velocidad instantánea El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.       ri r r dr v lim lim t o ti t t o t dt Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une el punto A, con el punto B tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto A. En el instante t, el móvil se encuentra en A y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto. Si el movimiento se efectúa a lo largo de la curva C en termino del parámetro s donde s es la distancia recorrida por la partícula con respecto al punto O, donde la forma paramétrica queda especificada por x x s , y y s , z z s
  • 2. 2      En forma vectorial r r s x s i y s j z s k   ds x y  z  ds r Derivando para hallar la velocidad v i j k dt t t t dt t    r x y  z   v ve Si i j k e entonces t t t t donde representa a un vector unitario tangente a la curva en el punto A y apunta en la dirección en que “s” crece Vector aceleración En el instante t el móvil se encuentra en A y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto. En el instante t i el móvil se encuentra en el punto B  y tiene una velocidad v i . El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada    por el vector diferencia v vi v Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad v y el intervalo de    vi v tiempo t=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio. a am ti t    vi v v dv Y la aceleración a en un instante a lim lim t o ti t t o t dt Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo son      r r t x t i y t j z t k   dx t  dy t  dz t  v v t i j k dt dt dt   dvx t  dv y t  dvz t  a a t i j k dt dt dt
  • 3. 3 Componentes tangencial y normal de la aceleración Consideremos una partícula que describe la trayectoria mostrada en la figura. En un instante t la partícula se encuentra en la  posición A con una velocidad v y es tangente a la  trayectoria y una aceleración a que está dirigida hacia el lado cóncavo de la trayectoria, Descomponemos la aceleración de tal forma que una componente será paralela al vector velocidad, la   cual llamaremos aceleración tangencial a T , y será responsable del cambio de magnitud de la velocidad. La otra componente será perpendicular a ella, la  cual llamaremos aceleración normal a N y produce . un cambio en la dirección de la velocidad La velocidad se puede expresar de la siguiente      manera v v eT donde eT es un vector unitario tangente a la trayectoria en el punto A, entonces la aceleración es       dv d v eT d v   d eT a eT v dt dt dt dt *1 Se observa en el grafico que      uT u x co s u y sen     uN u x sen u y co s .   d uT   d  d    d  d u x sen u y cos u x sen u y cos uN dt dt dt dt dt d d ds d v dt ds dt ds d 1 Pero ds d ds
  • 4. 4 d v Lo cual se obtiene la cual lo reemplazamos en la ecuación dt   d uT  d v  uN uN dt dt Este resultado lo reemplazamos en *1    d v   d eT d v   v 2   a eT v eT eN dt dt dt      dv v 2 a a T eT a N eN aT , aN dt Movimiento circular Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Este movimiento es un caso particular del movimiento curvilíneo esto es que a T 0 , a N 0 Posición angular, La distancia recorrida por la partícula a través de una circunferencia de radio R está dada por S R , de donde se obtiene que ds d R dR d d v R R dt dt dt dt dt la cantidad d dt Se denomina Velocidad angular, cuyas unidades son radianes por segundo La velocidad queda de la siguiente forma v R
  • 5. 5 Movimiento Circular Uniforme Periodo.- (P): Es el tiempo requerido para realizar una vuelta completa o revolución t tiem po transcurrido P n num ero de vueltas Frecuencia.- (γ).- Es el numero de revoluciones por unidad de tiempo es decir n num ero de vueltas f t tiem po transcurrido f tf tf d dt dt f o t to o to to Nota: para una revolución completa 2 2 2 f P Aceleración angular, Si en el instante t, la velocidad angular del móvil es o y en el instante t’, la velocidad angular del móvil es f . La velocidad angular del móvil ha cambiado f o en el intervalo de tiempo t tf to comprendido entre t y t'. Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.
  • 6. 6 f o m tf to La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero. d lim t o t dt 2 d 2 dt Cuando la aceleración angular es constante se tiene t d dt o t to o to d d Si o t to dt dt 1 2 Entonces se tiene o o t to t to 2 La cual representa la posición angular de la partícula en cualquier instante. Movimiento en coordenadas polares La localización de una partícula , viene expresado mediante el radio de posición esto es    r r ur Se observa en la grafica x r cos y r sen y y x a rtg a rcsen a r co s 2 2 2 2 x x y x y Se define los vectores unitarios    u u X sen u Y cos     ur u X cos u Y sen
  • 7. 7  du   o  o si u X sen u Y co s u dx       dr d r ur d ur  d r  o  o   la velocidad será v r ur r u r ur dt dt dt dt  o  o     v r ur r u vr u r v u o Donde r vr velocidad radial o r v velocidad tangencial      dv d vr u r v u oo o   oo o o  2 La velocidad será a r r( ) ur r 2r u dt dt     a ar u r a u oo o 2 Donde ar r r( ) velocidad radial oo o o a r 2r velocidad tangencial