Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.

Activity 1 2 limits and continuity

180 visualizaciones

Publicado el

Empirical introduction to limit theory
Introducción empírica a la teoría de límites

Publicado en: Ingeniería
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Activity 1 2 limits and continuity

  1. 1. Actividad 1.2 Límites y Continuidad de Funciones G. Edgar Mata Ortiz
  2. 2. El proceso de desarrollo del cálculo pasó por diferentes etapas, en algunas de ellas, especialmente al principio, la fundamentación teórica no era suficientemente sólida. Se realizaban procesos que, al ser revisados con el rigor moderno, podrían considerarse incorrectos o inadecuados. Fue necesario que se desarrollara la teoría de límites y continuidad de funciones para contar con un planteamiento bien fundamentado de esta rama de la matemática. En el presente material se desarrolla el concepto intuitivo de límite para pasar luego a una comprensión y fundamentación matemática de este. Contenido Introducción. ............................................................................................................................................................1 Concepto intuitivo de límite.................................................................................................................................1 Ejemplo 1 . Deformación de un resorte ...........................................................................................................1 Ejemplo 2. Dificultades con la aritmética.........................................................................................................3 La división cero entre cero. ..........................................................................................................................3 La gráfica de la función y el límite calculado................................................................................................4 Ejemplo 3. Repasando el método aritmético...................................................................................................6 La división cero entre cero. ..........................................................................................................................6 La gráfica de la función, el límite calculado y la división entre cero. ...........................................................7 Funciones discontinuas. ...............................................................................................................................8 Ejercicios...................................................................................................................................................................8 Bibliografía................................................................................................................................................................9 The improvement of understanding is for two ends: first, our own increase of knowledge; secondly, to enable us to deliver that knowledge to others. John Locke
  3. 3. http://licmata-math.blogspot.mx/ 1 Límites y Continuidad de Funciones Introducción. La historia del desarrollo de la matemática en general, y del cálculo en particular, muestra un constante ir y venir entre periodos de desarrollo altamente productivos, aunque sin la formalidad adecuada, y periodos de consolidación y cristalización del conocimiento con elevados niveles de rigor científico. En el caso del cálculo, el concepto de límite y continuidad de funciones, resolvió el problema de la falta de rigor científico. Elabora una línea de tiempo acerca del proceso de elaboración de estos dos conceptos. En las siguientes líneas explica la razón por la que es necesario formalizar el conocimiento matemático. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ Concepto intuitivo de límite. El concepto de límite es el resultado del trabajo de grandes matemáticos de diferentes épocas y ubicaciones geográficas, y pudiera pensarse que es difícil de comprender. Sin embargo, es posible abordar el tema desde un punto de vista menos formal para entenderlo con mayor facilidad. Ejemplo 1 . Deformación de un resorte Un resorte tiene una capacidad de carga de 15 Kg. Se desea determinar la longitud máxima que puede alcanzar, por lo que se realiza un experimento consistente en ir aumentando la carga, sin sobrepasar su capacidad, para evitar que se deforme permanentemente, o se rompa. Los resultados del experimento pueden observarse en la tabla siguiente. Historia de la teoría de límites. Actualmente se considera resuelta la disputa acerca de la invención del cálculo; existe cierto acuerdo en que Newton y Leibnitz lo desarrollaron en forma independiente y casi simultánea. Las fluxiones de Newton fueron cocientes de diferenciales para Leibnitz. Puesto que no disponían del concepto de límite, está claro que los fundamentos, en ambos casos, son poco rigurosos. El cálculo de fluxiones de Newton se basa en demostraciones algebraicas muy poco convincentes y las diferenciales de Leibnitz son entidades que, a pesar de haber sido definidas como incrementos, no se comportan como tales. Durante todo el siglo XVIII, se aplicaron los métodos del cálculo de Newton y/o Leibnitz en la resolución de problemas de física o, incluso, se propusieron nuevas ramas de la matemática, lo cual constantemente ponía de relieve la falta de rigor del cálculo. No es sino hasta 1821 cuando Cauchy consiguió elaborar un enfoque lógico y adecuado al cálculo, definiendo el concepto de límite y el de función continua.
  4. 4. http://licmata-math.blogspot.mx/ 2 Límites y Continuidad de Funciones Tabla que relaciona la Fuerza aplicada al resorte, con su deformación. Traza la gráfica de estos resultados tomando la fuerza como equis, y la deformación como ye, de acuerdo con la gráfica, contesta las preguntas. ¿La gráfica indica que se trata de una función lineal? ¿Es sólo aproximadamente lineal? ¿O definitivamente no es lineal? Explica tu respuesta ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Fuerza (Kg) 0 6 9.5 14 14.5 14.8 14.9 14.99 14.999 14.9999 Deformación (cm) 0 1.19 1.87 2.85 2.89 2.95 2.98 2.99 2.999 2.9999
  5. 5. http://licmata-math.blogspot.mx/ 3 Límites y Continuidad de Funciones Podemos observar que la magnitud de la fuerza, aunque no es exactamente 15 Kg debido a que esto podría dañar el resorte, sí se aproxima a dicho valor. Conforme la Fuerza es cada vez más cercana a 15 Kg, la deformación se aproxima a: ______________________________. Esta expresión verbal tan extensa, se expresa matemáticamente con la terminología de la teoría de límites: El límite de la deformación del resorte, cuando la fuerza aplicada tiende a 15 Kg, es igual a _______ cm. Simbólicamente se escribe: lim 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎→15 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = Si representamos la Fuerza con F, y la deformación con d: lim 𝐹→15 𝑑 = O, como es más usual, representando con y la deformación y con x la fuerza: lim 𝑥→15 𝑦 = En este caso en particular, la razón por la que no podemos tomar el valor de 15 Kg como carga para el resorte es que esto podría dañarlo, en otros casos, habrá diversas razones por las que un cierto valor de la variable independiente no podrá ser utilizado. Ejemplo 2. Dificultades con la aritmética. Por ahora vamos a olvidarnos de las aplicaciones, y revisaremos el concepto de límite. Determina el límite siguiente: lim 𝑥→1 𝑥2 − 1 𝑥 − 1 = En primer lugar, es conveniente revisar si no podemos, sencillamente, tomar el valor x = 1, y sustituirlo para calcular el valor de la función. 𝑥2 − 1 𝑥 − 1 = 12 − 1 1 − 1 = 0 0 La división cero entre cero. Esta división conduce a resultados incorrectos, aunque interesantes, cuando sin darnos cuenta, asumimos que el resultado es uno. Revisa el ejemplo que se encuentra en el enlace: http://licmata-math.blogspot.mx/2014/09/mathematical-fallacy-report.html En dicho enlace aparece una imagen en la que se “demuestra” que uno es igual a cero. Anota en las siguientes líneas, dónde se encuentra el error de dicha demostración, y en qué consiste: ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________
  6. 6. http://licmata-math.blogspot.mx/ 4 Límites y Continuidad de Funciones Una vez que entendemos las complicaciones que implica la división cero entre cero, vamos a determinar el valor del límite buscado utilizando una estrategia similar a la que empleamos con el resorte; iremos dando a la equis valores cada vez más cercanos a uno, ya que se busca el límite cuando equis tiende a uno, pero sin tomar nunca x = 1. Se dejan espacios para que anotes primero el resultado obtenido en el numerador, luego en el denominador, y al final la división. Con base en los resultados obtenidos en la tabla anota el valor del límite. Esta es una buena estrategia, si encontramos dificultades al resolver un problema, siempre podemos recurrir a la aritmética y geometría elementales. La gráfica de la función y el límite calculado. Con la finalidad de observar lo que sucede con esta función, vamos a trazar su gráfica poniendo especial atención en el punto en el que se calculó el límite; x = 1. Podemos tabular cualquier valor, excepto equis igual a uno, por lo tanto, se realizarán dos tabulaciones; una con valores menores a uno, y otra con valores mayores a uno, como se indica en las tablas. Traza la gráfica en el plano cartesiano de la página siguiente. Tabulación para obtener el límite x x2 – 1 x – 1 (x2 – 1) / (x – 1) Valores de equis menores a uno Valores de equis mayores a uno x y x Y -3 1.1 -2 1.2 -1 1.5 0 2 0.5 3 0.8 4 0.9 5 lim 𝑥→1 𝑥2 − 1 𝑥 − 1 =
  7. 7. http://licmata-math.blogspot.mx/ 5 Límites y Continuidad de Funciones Explica, en las siguientes líneas lo que sucede con la gráfica en el punto x = 1. Consulta el nombre que recibe una función que tiene este comportamiento. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________
  8. 8. http://licmata-math.blogspot.mx/ 6 Límites y Continuidad de Funciones Ejemplo 3. Repasando el método aritmético. Utilizando la misma estrategia que ya conocemos, determina el siguiente límite, traza su gráfica, y explica el comportamiento de la función alrededor de x = 1. Determina el límite siguiente: lim 𝑥→1 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 − 2 = Siempre es conveniente revisar si no podemos, sencillamente, tomar el valor x = 1, y sustituirlo para calcular el valor de la función. 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 1 − 1 12 + 1 − 2 = 0 0 La división cero entre cero. Nuevamente encontramos este resultado, por lo tanto, no podemos tomar el valor x = 1. Vamos a efectuar la tabulación; se dejan espacios para que anotes primero el resultado obtenido en el numerador, luego en el denominador, y al final la división. Con base en los resultados obtenidos en la tabla anota el valor del límite. Pudimos obtener el límite utilizando solamente aritmética y geometría. Ahora vamos a trazar la gráfica, tomando en cuenta que, además de la discontinuidad en x = 1, existe otra, que se presenta cuando x = - 2, debido a que, en este punto, el denominador se hace cero. 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 − 2 = −2 − 1 (−2)2 + (−2) − 2 = −3 4 − 2 − 2 = −3 0 = −∞ Debemos recordar que el resultado “menos infinito” no se refiere a ningún número, sino al hecho de que se está dividiendo una cantidad entre cero. Ahora debemos efectuar tres tabulaciones: una para valores de equis menores que menos dos; otra para valores de equis entre menos dos y uno; y finalmente para valores mayores que uno. Estos valores pueden ser seleccionados aleatoriamente, sin embargo, es conveniente siempre considerar cantidades cercanas a los valores en los que la función no está definida. Las tablas siguientes ya contienen la equis para que se comprenda mejor esta idea. Tabulación para obtener el límite x x – 1 x2 + x – 2 (x – 1) / (x2 + x – 2)lim 𝑥→1 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 − 2 =
  9. 9. http://licmata-math.blogspot.mx/ 7 Límites y Continuidad de Funciones La gráfica de la función, el límite calculado y la división entre cero. Utiliza los valores de equis que se proponen para trazar la gráfica. Con los resultados de esta tabulación, traza la gráfica. Valores de equis menores a menos dos (x<-2) Valores de equis entre menos dos y uno (-2<x<1) Valores de equis mayores a uno (x>1) x y x Y x Y -5 -1.9 1.1 -4 -1.7 1.2 -3 -1.5 1.5 -2.7 -1 1.8 -2.5 0 2 -2.3 0.5 3 -2.2 0.7 4 -2.1 0.9 5
  10. 10. http://licmata-math.blogspot.mx/ 8 Límites y Continuidad de Funciones Funciones discontinuas. Cuando existen estos “saltos” o “huecos” en la gráfica de una función, decimos que es discontinua en dichos puntos, para la función que estamos analizando decimos: La función estudiada es discontinua en x = -2, y también en x = 1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 − 2 Ejercicios. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando esta estrategia aritmética y traza las gráficas correspondientes señalando claramente dónde se encuentran las discontinuidades de las funciones. 1) lim 𝑥→3 𝑥2−9 𝑥−3 = 2) lim 𝑥→−2 𝑥+2 𝑥3+8 = 3) lim 𝑥→2 𝑥2−4 4𝑥2+5𝑥−6 = 4) lim 𝑥→4 𝑥−4 2−√ 𝑥 = 5) lim 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 = 6) lim 𝑥→0 𝑥 𝑥2 = 7) lim 𝑥→3 1 𝑥 − 1 3 𝑥−3 = 8) lim 𝑥→0 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = En caso necesario, efectúa las operaciones en hojas adicionales y anota solamente las soluciones de cada uno de los límites calculados.
  11. 11. http://licmata-math.blogspot.mx/ 9 Límites y Continuidad de Funciones Bibliografía.

×