Geometric interpretation of derivative Interpretación geométrica de la derivada

1. Actividad 2.1
Interpretación Geométrica de la Derivada
G. Edgar Mata Ortiz

2. El concepto de derivada, desde un punto de vista matemático, es un
límite; y podríamos definirlo directamente como tal, sin embargo, es
preferible comprender dicho concepto a partir de una situación
problemática y, posteriormente, formalizar el término.
En el presente material se parte del problema resuelto en la actividad 1.1
que consiste en: ______________________________
___________________________________________una caja con el
máximo volumen posible, a partir de una pieza de material de tamaño especificado.
Una vez resuelto el problema, se profundiza en la estrategia aplicada, y cómo nos conduce a la determinación
de la pendiente de una recta tangente a la curva en un punto específico.
Contenido
Introducción. ............................................................................................................................................................1
Tangente a la curva. .............................................................................................................................................2
Cálculo de la pendiente de la tangente a la curva en un punto dado......................................................................3
Ejemplo 1. Determina la pendiente de la recta tangente a la curva:...................................................................3
La pendiente de la recta secante a la curva. ....................................................................................................4
Aproximación de la secante a la tangente. ......................................................................................................5
Ejercicio 1. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado...........................................6
Obtención de límites. .......................................................................................................................................6
Gráfica. .............................................................................................................................................................7
Ejercicio 2. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado...........................................7
Obtención de límites. .......................................................................................................................................8
Gráfica. .............................................................................................................................................................9
Ejercicio 3. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado........................................ 10
Obtención de límites. .................................................................................................................................... 10
Gráfica. .......................................................................................................................................................... 11
Bibliografía............................................................................................................................................................. 12

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Introducción.
Vamos a revisar el problema que sirvió como introducción al cálculo:
El problema de la caja que
debe tener el volumen
máximo, el cual se encuentra
en el punto más alto de la
gráfica correspondiente.
Dicho punto fue encontrado
mediante aproximaciones
sucesivas, es decir, buscando
valores de equis (tamaño del
cuadrado que se recorta), que
produjeran un volumen mayor
al que teníamos en cada caso.
¿Cuáles son las dimensiones de la caja que nos produce el volumen
máximo? Considera solamente valores enteros del tamaño del recorte:
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Ya vimos que podemos mejorar la
aproximación al volumen máximo tomando
valores decimales para el tamaño del
recorte. Anota las dimensiones de la caja
con las que se obtiene un volumen mayor al
anterior:
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Interpretaciones
de la derivada.
Como ya hemos visto, el cálculo
es atribuido a Newton y/o a
Leibnitz, quienes en forma
independiente desarrollaron sus
fundamentos, cada uno con un
enfoque completamente
diferente.
Mientras Newton pensaba en
términos de variables que
cambian con respecto al tiempo,
como la velocidad y aceleración;
Leibnitz consideraba un enfoque
geométrico en el que las
variables x, y, tomaban valores
cada vez más cercanos a un
punto dado.
Estos dos enfoques de la
derivada nos muestran que
puede ser interpretada tanto
geométricamente, como
físicamente, en términos de
variaciones de magnitudes como
la velocidad y aceleración.
Además de lo anteriormente
citado, es conveniente destacar
que, la notación empleada
actualmente, es la que desarrolló
Leibnitz.
Tanto el cálculo de Newton como
el de Leibnitz recurría a los
“infinitésimos”, cantidades
fuertemente cuestionadas por los
matemáticos de la época,
especialmente Lord Bishop
Berkeley, quien los llamaba “Los
fantasmas de las cantidades que
se han ido”.
Finalmente, Cauchy, Weierstrass
y Riemann, reformularon el
cálculo en términos de la teoría
de límites evitando así las bien
fundadas críticas al uso de los
infinitésimos.

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Tangente a la curva.
Vamos a desarrollar un método que nos permita encontrar este punto más
alto de la curva, sin necesidad de realizar tantas operaciones aritméticas o
algebraicas y que además se pueda aplicar a cualquier clase de problema
en el que se trate de obtener el punto máximo o mínimo de una curva.
Ya vimos que podemos mejorar
El razonamiento que nos permitirá llegar a este método general está
basado en un hecho sencillo: El punto más alto de la gráfica se encuentra
justo cuando la curva ha dejado de ascender, pero todavía no comienza a
descender. Es el punto donde la curva “es horizontal”.
¿Cuáles son los valores de equis en los que la curva va ascendiendo?
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
En las secciones donde el valor de ye aumenta al aumentar el valor de equis, se
dice que es “la función es creciente”, y en las secciones en las que ye disminuye al
aumentar el valor de equis, se le llama “función decreciente”.
¿Cuáles son los valores de equis en los que la curva va descendiendo?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Existe solamente un punto, no una sección de la curva, donde la función no está ascendiendo ni descendiendo,
permanece horizontal. A este punto se le llama “Punto Crítico”, y se dice que “la función es estacionaria”.
En el problema de la caja de cartón, el volumen máximo se
obtuvo cuando el tamaño del recorte era de:
______________________, entonces diríamos que:
x = __________, es un punto crítico de la función.
Con la finalidad de facilitar la comprensión, el lenguaje que
hemos empleado no es preciso, se trata simplemente de
captar la idea para, posteriormente, ser más formales con el
vocabulario. Una forma más matemática de expresar la idea
anterior es: la tangente a la curva en el punto máximo es
horizontal, por lo que su pendiente es cero.

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El problema de encontrar el punto máximo se ha reducido a localizar el punto donde la tangente a la curva es
horizontal.
El problema original ha ido sufriendo transformaciones sucesivas conforme lo hemos analizado. De un enfoque
aritmético y geométrico, pasamos a revisarlo algebraicamente, luego en términos de funciones y geometría
analítica. Hemos llegado a un nuevo planteamiento. ¿Cómo calcular la pendiente de la tangente a una curva en
un punto dado?
Cálculo de la pendiente de la tangente a la curva en un punto dado.
A lo largo de la historia se realizaron diversos intentos por resolver este problema, un trabajo interesante es el
“Método de Descartes de las raíces iguales”, sin embargo, no funciona en todos los casos.
Pierre Fermat, matemático contemporáneo de Descartes, propuso un método universal para resolver este
problema: “Método de límites de Fermat”.
El proceso es ingenioso, aunque un poco laborioso, pero para comprenderlo mejor vamos a resolver el siguiente
ejemplo por medio de un acercamiento aritmético.
Ejemplo 1. Determina la pendiente de la recta tangente a la curva:
en el punto
Un primer paso en estos problemas puede ser trazar la gráfica mediante tabulación, para tener una mejor idea
al visualizar de qué se trata el problema.
Toma los valores adecuados para trazar la gráfica, asegúrate de que se utilicen valores negativos, cero, y
positivos.
En este ejercicio se proporciona la gráfica.
La gráfica nos muestra en qué consiste el problema,
con el valor de podemos obtener el valor de ye
sustituyendo en la ecuación:
 𝑦 = _______________
Conocemos las coordenadas de un punto que
pertenece tanto a la curva como a la recta tangente,
pero para calcular la pendiente de una recta se
necesitan las coordenadas de dos puntos.
Puesto que no tenemos la ecuación de la recta, no podemos conocer otro punto de esta, pero si podemos tomar
un punto de la curva, que esté cercano a 1=x y determinar su coordenada ?=y sustituyendo el valor de
equis en la ecuación. Con estos puntos podemos encontrar la pendiente de la recta tangente.
2
xy = 1=x
1=x
2
xy = 2
)1(=y
12
12
xx
yy
m
−
−
=

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Un punto ya lo teníamos como dato:  A (1, 1)
El otro punto lo elegimos nosotros:
2
2 xy =  B (0, 0)
Con estos puntos podemos determinar la pendiente de la recta tangente, sustituye los valores y efectúa las
operaciones necesarias:
12
12
xx
yy
m
−
−
= m = ________m =
Si observas cuidadosamente el procedimiento notarás una inconsistencia, es decir, algo que no resulta del todo
convincente. Anota donde te parece que está el problema:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Si observamos con atención veremos que hemos involucrado un punto que no pertenece a la recta tangente,
en la siguiente gráfica podemos observar lo que sucedió.
¿Por qué se utilizó el punto B de coordenadas cero, cero para calcular la pendiente?
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
La pendiente de la recta secante a la curva.
En realidad, estamos calculando la pendiente de una
recta distinta de la que nos interesaba. Es una recta
llamada secante.
Entonces la pendiente de la recta tangente no es 1,
este valor es la pendiente de la recta _____________.
En este punto es donde vamos a involucrar la noción
de límite.
Podemos tomar valores de x2 cada vez más
cercanos al valor de x1, de tal forma que la recta
secante tenga una pendiente muy cercana a la de la
tangente.
11 =x 2
1 xy = 2
1 )1(=y 11 =y
02 =x 2
2 )0(=y 02 =y

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Es muy importante que no olvidemos qué estamos buscando: la pendiente de la recta tangente a la curva en un
punto dado, pero debido a que no ha sido posible calcular dicho valor, decidimos obtener la pendiente de una
recta secante a la curva en el mismo punto, y poco a poco, ir tomando puntos más cercanos al punto (1, 1).
Observa en la gráfica siguiente que, al tomar un valor de x2 (0.5) más cercano a x1 (1), la recta secante dos
tiene una pendiente más parecida a la de la recta tangente.
Aproximación de la secante a la tangente.
Si continuamos este proceso podemos acercar el
punto x2, a x1, tanto como sea necesario para
observar a qué valor se aproxima la pendiente de
la recta secante.
Esta aproximación es una aplicación del concepto
de límite, por lo tanto, es conveniente realizar la
aproximación por la izquierda y por la derecha
para asegurarnos que, efectivamente, la
pendiente de la recta tangente es igual al valor
límite de la pendiente de la recta secante,
cuando x2 se aproxima a x1. En la siguiente línea,
expresa este límite en forma simbólica:
________________________________________
________________________________________
Efectúa las tabulaciones indicadas para determinar el límite por la izquierda y por la derecha y así obtener la
pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A.
En la tabla se van dando valores de x2, cada vez más cercanos a x1, para
ver qué sucede con la pendiente de la recta secante.
¿A qué valor se aproxima la pendiente? ___________
Este valor al que se aproxima, ¿es la pendiente de la recta tangente?
___________________________________________________________
El cálculo realizado hasta ahora es solamente el límite por la
izquierda, para estar seguros debemos obtener el límite por la
derecha. Completa la tabla y determina el valor del límite.
En la siguiente línea, anota la representación simbólica del límite
calculado:
________________________________________________________
A este proceso de aproximación es al que se le llama límite. Podemos decir que la pendiente de la recta tangente
es igual al límite de la pendiente de la recta secante cuando x2 se aproxima a x1.
x2 y2 m
0 0 1
0.8 0.64 1.8
0.9 0.81 1.9
0.99 0.9801 1.99
0.999 0.998 1.999
0.9999 0.9998 1.9999
x2 y2 m
2
1.5
1.1
1.01
1.001
1.0001

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En las siguientes líneas, explica el procedimiento seguido para determinar la pendiente de la recta tangente a la
curva en un punto:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Ejercicio 1. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado
Aplica límites laterales, traza la gráfica de la función e incluye la recta tangente y dos rectas secantes, tal como
se muestra en el ejemplo 1.
Obtención de límites.
Función: y = x2
Punto de tangencia:
x1 = 2
Calcular el valor de y1:
y1 = x2  y1 = (2)2 →y1 =
4
Estos valores (x1, y1) se
utilizarán en cada cálculo de la
pendiente.
Obtener el límite por la izquierda, tomando valores cada vez más cercanos, menores que x1 = 2.
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
izquierda, se aproxima a:
1
1.5
1.7
1.9
1.99
1.999
Obtener el límite por la derecha, tomando valores cada vez más cercanos, mayores que x1 = 2.
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
derecha, se aproxima a:
3
2.5
2.3
2.1
2.01
2.001
La pendiente de la recta tangente a la curva y = x2, en el punto x1 = 2 es: m =

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Los valores calculados tomando valores de equis por la izquierda y por la derecha, no nos dan el valor buscado
del límite, solamente son valores aproximados.
El proceso de “tomar el límite” consiste en observar los decimales que se van generando y, con base en ellos,
determinar a cuál valor se aproximan los resultados que se van obteniendo al calcular la pendiente. Al
realizar el cálculo por la izquierda y por la derecha facilita el razonamiento que nos permitirá determinar si la
respuesta es entera o tiene decimales, y si tiene decimales, cuáles forman parte del límite y cuáles no. En la
página siguiente se muestra la gráfica como debe quedar, incluyendo la tangente y una secante.
Gráfica.
Es importante que, en la gráfica, se
identifiquen los puntos (x1, y1); (x2,
y2), la recta tangente y, al menos
una recta secante.
En los siguientes problemas,
asegúrate de anotar todo el
proceso ordenadamente, paso por
paso, así como la gráfica de la
función.
Al graficar funciones, es necesario
que se observen los puntos más
altos, más bajos e intersecciones
con los ejes de coordenadas.
Ejercicio 2. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado
En esta ocasión debemos determinar la pendiente de la tangente a la curva: y = 0.5x2 – 1, en x1 = 1.
Recuerda que debes seguir el procedimiento mostrado en el ejemplo 1 y, al final, trazar la gráfica con toda la
información que se utilizó para resolver el problema y todos los resultados obtenidos en el proceso.
La obtención de límites por la izquierda y por la derecha se leva a cabo con la finalidad de asegurarnos que el
resultado no sigue aumentando o disminuyendo indefinidamente, ya que el límite final se encuentra entre los
dos valores obtenidos; el límite por la izquierda y el límite por la derecha.
Por ejemplo: El límite por la izquierda es 1.9999 y por la derecha es 2.0001, entonces el límite buscado es 2,
que se encuentra entre estos dos valores.

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Obtención de límites.
Función: Punto de tangencia: Calcular el valor de y1: Estos valores (x1, y1) se
utilizarán en cada cálculo de la
pendiente.
Obtener el límite por la izquierda, tomando valores cada vez más cercanos, menores que x1 =
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
izquierda, se aproxima a:
Obtener el límite por la derecha, tomando valores cada vez más cercanos, mayores que x1 =
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
derecha, se aproxima a:
La pendiente de la recta tangente a la curva y = , en el punto x1 = es: m =

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Gráfica.
Es importante que, en la gráfica, se identifiquen los puntos (x1, y1); (x2, y2), la recta tangente y, al menos una
recta secante.

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Ejercicio 3. Determina la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado
Determina la pendiente de la tangente a la curva: y = -0.2x3 + 4.5x, en x1 = 1.5; no olvides seguir el
procedimiento mostrado en el ejemplo 1.
Obtención de límites.
Función:
Punto de tangencia: Calcular el valor de y1:
Estos valores (x1, y1) se
utilizarán en cada cálculo de la
pendiente.
Obtener el límite por la izquierda, tomando valores cada vez más cercanos, menores que x1 =
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
izquierda, se aproxima a:
Obtener el límite por la derecha, tomando valores cada vez más cercanos, mayores que x1 =
Valores de x2 Calcular y2 Determinar la pendiente m
El valor de la pendiente, por la
derecha, se aproxima a:
La pendiente de la recta tangente a la curva y = , en el punto x1 = es: m =

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En las siguientes líneas, explica cómo se determina el valor límite a partir de los límites por la izquierda y por la
derecha.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Gráfica.
Es importante que, en la gráfica, se identifiquen los puntos (x1, y1); (x2, y2), la recta tangente y, al menos una
recta secante.

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Bibliografía.