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Técnicas de conteo
Cálculo combinatorio
O El cálculo combinatorio nos permite calcular
de cuántas maneras podemos agrupar un
determinado número de elementos,
cumpliendo con algunas normas y
características los objetos a combinar.
Existen tres tipos de combinatorias:
1. La combinación.
2. La variación.
3. La permutación.
7.4.6 Resolución de problemas
de conteo mediante diversos
procedimientos. Búsqueda de
recursos para verificar
resultados.
OBJETIVO: Utilizarán diversos procedimientos
para resolver problemas que impliquen
obtener la cantidad de combinaciones que se
pueden hacer con los elementos de un
conjunto dado.
¿Qué son las combinaciones?
Es un arreglo de objetos donde el orden NO es
importante.
O Ejercicio 1: Irene tiene 3 pantalones (rojo, verde,
negro) y 2 camisas (azul, rosa). ¿Cuántas
vestimentas distintas puede elegir?
Solución: Cada camisa puede ponerse con cada
pantalón. Por tanto, el número de vestimentas
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O La información se puede organizar en un
diagrama de árbol.
¿Qué es un diagrama de árbol?
Permiten representar gráficamente (con un dibujo) las
posibles formas de combinar una colección de objetos.
Camisa Pantalón Combinaciones
rojo camisa rosa – pantalón rojo
rosa verde camisa rosa – pantalón verde
negro camisa rosa – pantalón negro
rojo camisa azul – pantalón rojo
azul verde camisa azul – pantalón verde
negro camisa azul – pantalón negro
Elabora el diagrama de árbol
con los siguientes datos:
O Ejercicio 2: En la cafetería de la secundaria
hay dos refrigerios para elegir: tortas y
quesadillas, y cuatro bebidas: agua de
limón, de jamaica, refresco y jugo de
naranja.
Realiza las combinaciones:
Refrigerio Bebida Combinaciones
¿Cuántas combinaciones hay?__________
7.4.6 Resolución de problemas
de conteo mediante diversos
procedimientos. Búsqueda de
recursos para verificar
resultados.
OBJETIVO: Utilizarán diversos procedimientos
para resolver problemas que impliquen
obtener la cantidad de variaciones que se
pueden hacer con los elementos de un
conjunto dado.
¿Qué son las variaciones?
Las variaciones son aquellas formas de
agrupar los elementos de un conjunto
teniendo en cuenta: la selección de elementos,
orden en que se colocan y la repetición de
elementos.
Existen dos tipos:
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O El calculo de las variaciones
ordinarias sin repetición se efectúan
de una manera rápida y lo único que
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de los números. Con el siguiente
ejercicio se explicará en qué consiste
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cuatro cifras distintas es posible formar?
O Tenemos 5 elementos de los cuales
queremos agrupar números diferentes de 3
cifras.
Solución: basta con multiplicar los números
sucesivos desde el 5 hasta el 5 − 3 + 1.
𝑉 = 5 × 4 × 3 = 60
𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑑𝑒 3 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠.
Ejercicio (variación sin repetición)
O Tenemos 5 elementos de los cuales
queremos agrupar números diferentes de 4
cifras.
Solución: basta con multiplicar los números
sucesivos desde el 5 hasta el 5 − 4 + 1.
𝑉 = 5 × 4 × 3 × 2 = 120
𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑑𝑒 4 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠.
Resuelve el siguiente ejercicio:
O ¿Cuántas palabras de tres letras diferentes
se pueden escribir con las letras A, B, C, D?
O Tenemos 4 elementos de los cuales
queremos agrupar números diferentes de 3
cifras.
Solución:
O El calculo de las variaciones
ordinarias con repetición es tomando
el número de elementos del conjunto
n, elevado al número de elementos
del subconjunto m. Con el siguiente
ejercicio se explicará en qué consiste
dicho calculo:
Variación con repetición.
Ejercicio (variación con repetición)
O Se extraen 3 bolas sucesivamente de una
bolsa de 10 bolas numeradas, ¿Cuántos
resultados distintos se pueden producir si
se tiene en cuenta el orden de aparición de
cada bola y si se devuelven después de
extraerse?
Solución:
𝑉𝑅 = 103 = 10 × 10 × 10 =
1,000 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜𝑠.
Resuelve el siguiente ejercicio:
O Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5: ¿Cuántos
números de 3 cifras se pueden formar?
Solución:
7.4.6 Resolución de problemas
de conteo mediante diversos
procedimientos. Búsqueda de
recursos para verificar
resultados.
OBJETIVO: Utilizarán diversos procedimientos
para resolver problemas que impliquen
obtener la cantidad de permutaciones que se
pueden hacer con los elementos de un
conjunto dado.
O La forma de calcular las permutaciones es muy
sencilla, haciendo uso del factorial de un
número.
O ¿Qué es el factorial de un número?
La función factorial (símbolo: !) sólo quiere decir
que se multiplican una serie de números que
descienden. Ejemplo:
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“4!” se pronuncia “4 factorial”. También se
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Las permutaciones permiten conocer el número de maneras diferentes
en las que un conjunto de elementos pueden ser ordenados.
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fotografiar 5 amigos frontalmente en línea
recta?
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Técnicas de conteo y cálculo combinatorio

  • 2. Cálculo combinatorio O El cálculo combinatorio nos permite calcular de cuántas maneras podemos agrupar un determinado número de elementos, cumpliendo con algunas normas y características los objetos a combinar. Existen tres tipos de combinatorias: 1. La combinación. 2. La variación. 3. La permutación.
  • 3. 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar resultados. OBJETIVO: Utilizarán diversos procedimientos para resolver problemas que impliquen obtener la cantidad de combinaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto dado.
  • 4. ¿Qué son las combinaciones? Es un arreglo de objetos donde el orden NO es importante. O Ejercicio 1: Irene tiene 3 pantalones (rojo, verde, negro) y 2 camisas (azul, rosa). ¿Cuántas vestimentas distintas puede elegir? Solución: Cada camisa puede ponerse con cada pantalón. Por tanto, el número de vestimentas es: 𝐶 = 2 × 3 = 6 O La información se puede organizar en un diagrama de árbol.
  • 5. ¿Qué es un diagrama de árbol? Permiten representar gráficamente (con un dibujo) las posibles formas de combinar una colección de objetos. Camisa Pantalón Combinaciones rojo camisa rosa – pantalón rojo rosa verde camisa rosa – pantalón verde negro camisa rosa – pantalón negro rojo camisa azul – pantalón rojo azul verde camisa azul – pantalón verde negro camisa azul – pantalón negro
  • 6. Elabora el diagrama de árbol con los siguientes datos: O Ejercicio 2: En la cafetería de la secundaria hay dos refrigerios para elegir: tortas y quesadillas, y cuatro bebidas: agua de limón, de jamaica, refresco y jugo de naranja.
  • 7. Realiza las combinaciones: Refrigerio Bebida Combinaciones ¿Cuántas combinaciones hay?__________
  • 8. 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar resultados. OBJETIVO: Utilizarán diversos procedimientos para resolver problemas que impliquen obtener la cantidad de variaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto dado.
  • 9. ¿Qué son las variaciones? Las variaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta: la selección de elementos, orden en que se colocan y la repetición de elementos. Existen dos tipos: • Variaciones sin repetición. • Variaciones con repetición.
  • 10. Variación sin repetición O El calculo de las variaciones ordinarias sin repetición se efectúan de una manera rápida y lo único que debemos hacer es realizar el producto de los números. Con el siguiente ejercicio se explicará en qué consiste dicho calculo:
  • 11. Ejercicio (variación sin repetición) O Considerando las cifras 1, 3, 5, 7 y 9. ¿Cuántos números diferentes de tres y cuatro cifras distintas es posible formar? O Tenemos 5 elementos de los cuales queremos agrupar números diferentes de 3 cifras. Solución: basta con multiplicar los números sucesivos desde el 5 hasta el 5 − 3 + 1. 𝑉 = 5 × 4 × 3 = 60 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 3 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠.
  • 12. Ejercicio (variación sin repetición) O Tenemos 5 elementos de los cuales queremos agrupar números diferentes de 4 cifras. Solución: basta con multiplicar los números sucesivos desde el 5 hasta el 5 − 4 + 1. 𝑉 = 5 × 4 × 3 × 2 = 120 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 4 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠.
  • 13. Resuelve el siguiente ejercicio: O ¿Cuántas palabras de tres letras diferentes se pueden escribir con las letras A, B, C, D? O Tenemos 4 elementos de los cuales queremos agrupar números diferentes de 3 cifras. Solución:
  • 14. O El calculo de las variaciones ordinarias con repetición es tomando el número de elementos del conjunto n, elevado al número de elementos del subconjunto m. Con el siguiente ejercicio se explicará en qué consiste dicho calculo: Variación con repetición.
  • 15. Ejercicio (variación con repetición) O Se extraen 3 bolas sucesivamente de una bolsa de 10 bolas numeradas, ¿Cuántos resultados distintos se pueden producir si se tiene en cuenta el orden de aparición de cada bola y si se devuelven después de extraerse? Solución: 𝑉𝑅 = 103 = 10 × 10 × 10 = 1,000 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜𝑠.
  • 16. Resuelve el siguiente ejercicio: O Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5: ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar? Solución:
  • 17. 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar resultados. OBJETIVO: Utilizarán diversos procedimientos para resolver problemas que impliquen obtener la cantidad de permutaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto dado.
  • 18. O La forma de calcular las permutaciones es muy sencilla, haciendo uso del factorial de un número. O ¿Qué es el factorial de un número? La función factorial (símbolo: !) sólo quiere decir que se multiplican una serie de números que descienden. Ejemplo: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 “4!” se pronuncia “4 factorial”. También se puede decir “factorial de 4”. ¿Qué son las permutaciones? Las permutaciones permiten conocer el número de maneras diferentes en las que un conjunto de elementos pueden ser ordenados.
  • 19. Ejercicios 1) ¿De cuántas formas pueden sentarse 8 amigos en una fila de butacas de un cine? 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 403,209 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑠𝑒 2) ¿De cuántas formas diferentes se pueden fotografiar 5 amigos frontalmente en línea recta? 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 𝑓𝑜𝑡𝑜𝑔𝑟𝑎𝑓í𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠
  • 20. Resuelve el siguiente ejercicio: O Un técnico de sonido tiene que unir 6 terminales en 6 conexiones. Si lo hiciera al azar. ¿De cuántas formas diferentes podría completar las conexiones?