STATISTIK DASAR

STATISTIK DASAR
OLEH :
1. DIAH OCTAVIANTY (06081181419002)
2. CAHAYA WANIA (06081181419010)
3. LINDA ROSALINA (06081281419014)
Dosen Pembimbing:
1. Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si
2. Puji Astuti, S.Pd. M.Sc.
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAR SRIWIJAYA
2015

2
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, atas rahmat dan
hidayah-Nyalah sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini.
Kami mengucapkan terima kasih kepada Ibu Prof. Dr. Ratu Ilma Indra
Putri, M.Si.selaku dosen pembimbing mata kuliah statistika dasar yang telah
memberikan tugas, sehingga dapat menambah wawasan kami serta dapat
memberikan pengetahuan bagi seluruh pembaca.
Kami sangat menyadari dalam penyusunan makalah ini terdapat banyak
kekurangan dan kesalahan. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan kritik dan
sarannya dari Ibu. Sehingga dikemudian hari dapat kami dapat membuat makalah
lebih baik lagi. Semoga makalah ini dapat digunakan dengna baik dan bermanfaat
bagi kita semua. Aamiin.
Mengetahui,
Dosen Pembimbing Palembang,4 Desember 2015
Prof. Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si Penyusun

3
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ................................................................................................. 2
Daftar Isi ................................................................................................. 3
ISI
BAB I
Pengertian Statistik, Statistika,
Statistik Deskriptif dan Statistik
Inferensial, Macam-Macam Data
.......................................................... 4
BAB II
Penyajian Data dan aplikasi pada data
penelitian
.......................................................... 12
BAB III
Daftar Distribusi Frekuensi dan
aplikasi pada data penelitian
.......................................................... 20
BAB IV
Ukuran Pemusatan, Ukuran
Penyebaran
.......................................................... 32
BAB V
Ukuran keruncingan .......................................................... 46
BAB VI
Distibusi Binomial, Poisson .......................................................... 58
BAB VII
Distribusi Normal dan aplikasinya .......................................................... 66
BAB VIII
Uji Normalitas dan Homogenitas .......................................................... 76
BAB IX
Uji Hipotesis .......................................................... 100
BAB X
Uji Hipotesis satu rata-rata .......................................................... 107
BAB XI
Uji Hipotesis dua rata-rata .......................................................... 115
DAFTAR PUSTAKA .......................................................... 124

4
BAB I
STATISTIKA DAN MACAM-MACAM DATA
A. STATISTIK DAN STATISTIKA
1. Pengertian Statistik dan Statistika
 Pengertian statistik menurut para ahli
Menurut Prof. Dr. H. Agus Irianto, statistik adalah sekumpulan cara
maupun aturan-aturan yang berkaitan dengan pengumpulan, pengolahan
(analisis), penarikan kesimpulan, atas data-data yang berbentuk angka
dengan menggunakan suatu asumsi-asumsi tertentu.
Menurut Stoel dan Torrie, statistik adalah metode yang memberikan
cara-cara guna menilai ketidaktentuan dari penarikan kesimpulan yang
bersifat induktif.
Menurut Anto Dajan, statistik adalah metode/asas-asas mengerjakan/
memanipulasi data kuantitatif agar angka-angka tersebut berbicara.
Menurut Prof. Drs. Sutrisno Hadi MA, statistik adalah cara untuk
mengolah data dan menarik kesimpulan-kesimpulan yang teliti dan
keputusan-keputusan yang logik dari pengolahan data.
Berdasarkan pengertian-pengertian statistik di atas, maka dapat
disimpulkan bahwa statistik adalah suatu metoda atau cara untuk
mengumpulkan, mengolah, menganalisis, menarik kesimpulan, serta
menyajikan dan mempublikasikan data fakta yang berbentuk maupun
bukan angka yang disusun dalam bentuk tabel (daftar) dan atau diagram
yang menggambarkan atau berkaitan dengan suatu masalah tertentu.
 Pengertian Statistika Menurut Para Ahli
Menurut Sujana, statistika adalah pengetahuan yang berhubungan
dengan cara-cara pengumpulan fakta, pengolahan serta penganalisaannya,
penarikan kesimpulan, penyajian dan publikasi dari data-data yang
berbentuk angka.

5
Menurut Sudrajat, statistika adalah ilmu pengetahuan mengenai cara
dan aturan dalam hal pengumpulan data, pengolahan, analisa, penarikan
keseimpulan, penyajian dan publikasi dari kata-kata yang berbentuk angka.
Berdasarkan pengertian-pengertian di atas, maka dapat disimpulkan
bahwa statistika adalah ilmu pengetahuan yang berkaitan dengan metode,
teknik atau cara mengumpulkan, mengolah, menganalisis dan
menginterprestasikan data untuk disajikan secara lengkap dalam bentuk
yang mudah dipahami penggunan.
2. Fungsi Statistik
Menurut Budiyuwono (1987), fungsi-fungsi Statistik dapat dijelaskan
sebagai berikut :
a. Statistik menggambarkan data dalam bentuk tertentu. Tanpa adanya
Statistik, data menjadi kabur dan tidak jelas.
b. Statistik dapat menyederhanakan data yang kompleks menjadi data yang
mudah dimengerti. Data yang kompleks dapat disederhanakan dalam
bentuk tabel,grafik, maupun diagram dalam bentuk lain, seperti rata-rata,
persentase atau koefisien-koefisien sehingga mudah dimengerti.
c. Statistik merupakan teknik untuk membuat perbandingan. Dengan
menyederhanakan data dalam bentuk rata-rata ataupun persentase, suatu
kelompok dan kelompok lainnya dapat dikelompokkan dengan mudah.
d. Statistik dapat memperluas pengalaman individual. Pengalaman
individual sangat terbatas pada apa yang dilihat dan apa yang dapat
diteliti, yang merupakan bagian kecil dari tata kehidupan sosial
seluruhnya. Pengetahuan individual dapat diperluas dengan cara
mempelajari kesimpulan-kesimpulan berdasarkan data penilaian lain.
e. Statistik dapat mengukur besaran dari suatu gejala. Dengan mempelajari
Statistik, berbagai gejala, baik yang bersifat sosial maupun ekonomi
dapat dipelajari.

6
f. Statistik dapat menentukan hubungan sebab-akibat. Statistik dapat
menentukan sebab-sebab pokok suatu gejala yang selanjutnya digunakan
untuk mengadakan prediksi atau ramalan.
3. Kegunaan Statistik
Menurut Agus Iriyanto (1988), Statistik digunakan untuk :
a. Membantu peneliti dalam menggunakan sampel sehingga peneliti dapat
bekerja efisien dengan hasil yang sesuai dengan objek yang ingin diteliti.
b. Membantu peneliti untuk membaca data yang telah terkumpul sehingga
peneliti dapat mengambil keputusan yang tepat.
c. Membantu peneliti untuk melihat ada tidaknya perbedaan antara
kelompok yang satu dengan kelompok lainnya atas objek yang diteliti.
d. Membantu peneliti untuk melihat ada tidaknya hubungan antara variabel
yang sesuai dengan variabel lainnya.
e. Membantu peneliti dalam melakukan prediksi untuk waktu yang akan
datang.
f. Membantu peneliti untuk melakukan interpretasi atas data yang
terkumpul.
4. Ciri Khas Statistik
Beberapa ciri khas pokok Statistik menurut Sutrisno Hadi (1978), adalah
sebagai berikut :
a. Statistik bekerja dengan angka.
Angka-angka dalam Statistik mempunyai dua pengertian. Pengertian
pertama mengandung arti bahwa data Statistik adalah data kuantitatif,
misalnya dalam menyatakan jumlah siswa SMU di suatu kabupaten,
sudah tentu diperlakukan angka-angka yang menyatakan jumlah siswa.
Pengertian yang kedua adalah angka Statistik sebagai nilai mempunyai
arti kualitatif yang diwujudkan dalam angka, seperti kecerdasan, metode
mengajar, mutu sekolah dan sebagainya.

7
b. Statistik bersifat objektif
Statistik bekerja dengan angka sehingga mempunyai sifat objektif,
artinya angka Statistik dapat digunakan sebagai alat pengungkap
kenyataan dan kebenaran berbicara apa adanya.
c. Statistik bersifat universal
Statistik tidak hanya digunakan dalam suatu disiplin ilmu saja, tetapi
dapat digunakan secara universal dalam berbagai disiplin ilmu.
B. STATISTIK DESKRIPTIF DAN STATISTIK INFERENSIAL
Statistika dibedakan berdasarkan jenisnya menjadi dua yaitu Statistika
Deskriptif dan Statistika Inferensia.
Statistika deskriptif adalah statistika yang berkaitan dengan metode atau
cara medeskripsikan, menggambarkan, menjabarkan atau menguraikan data.
Statistika deskripsi mengacu pada bagaimana menata, menyajikan dan
menganalisis data, yang dapat dilakukan misalnya dengan menentukan nilai
rata-rata hitung, median, modus, standar deviasi atau menggunakan cara lain
yaitu dengan membuat tabel distribusi frekuensi dan diagram atau grafik.
Statistika inferensia adalah statistika yang berkaitan dengan cara
penarikan kesimpulan berdasarkan data yang diperoleh dari sampel untuk
menggambarkan karakteristik dari suatu populasi. Dengan demikian dalam
statistika inferensia data yang diperoleh dilakukan generalisasi dari hal yang
bersifat kecil (khusus) menjadi hal yang bersifat luas (umum).
Di sini terjadi pengujian signifikansi dari suatu analisis yang biasanya
didasarkan pada tabel seperti tabel-t untuk uji-t dan tabel-F untuk uji-F
(dapat digunakan alat bantu lainnya seperti MS - Excel).
Statistik inferensial terbagi atas dua, yaitu statistik parametrik dan
statistik nonparametrik. Statistik parametrik adalah statistik yang
berhubungan dengan inferensi statistik yang membahas parameter-
parameter populasi seperti rata-rata proporsi, dan lain-lain. Dengan ciri-ciri
parametrik adalah jenis data interval atau rasio serta distribusi data

8
(populasi) adalah normal atau mendekati normal. Contoh metode statistik
parametric, yaitu:
a. Uji-z (1 atau 2 sampel)
b. Uji-t (1 atau 2 sampel
c. Korelasi pearson,
d. Perancangan percobaan (one or two-way anova parametrik), dll.
Sedangkan statistik nonparametric adalah inferensi statistik yang tidak
membahas parameter-parameter populasi dengan ciri, yaitu data nominal
atau ordinal serta distribusi data (populasi) yang tidak diketahui atau bisa
disebut tidak normal. Contoh metode statistik non-parametrik adalah:
a. Uji tanda (sign test)
b. Rank sum test (wilcoxon)
c. Rank correlation test (spearman)
d. Fisher probability exact test.
e. Chi-square test, dll
Data kasar (raw data) diperoleh dari hasil pengukuran suatu variable pada
sampel yang diambil dari suatu populasi menggunakan teknik pengambilan
sampel tertentu. Langkah-langkah kegiatan statistika untuk menangani data
kasar, yaitu:
1. Pengumpulan data
2. Pengolahan data (diurutkan atau digolongkan)
3. Penyajian data dalam tabel atau grafik
4. Penafsiran sajian data
5. Analisa data
6. Penafsiran dan pengambilan kesimpulan
7. Pemanfaat penafsiran dan kesimpulan utk penentuan kegiatan
8. penelitian lebih lanjut
Untuk 1, 2, 3, 4, dan 7 disebut statistik deskriptif (tanpa analisis, tanpa
generalisasi, tanpa pengujian hipotesis, dan hanya melakukan perhitungan-
perhitungan saja). Data ini disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi

9
(mean, median, dan modus), bar-diagram, histogram, polygon, dll.
Sedangkan untuk 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 disebut statistik inferensial (dengan
analisis, generalisasi, dan pengujian hipotesis).
C. MACAM-MACAM DATA
a. Pengolongan Data
 Data menurut sifat angka
- Data Diskrit (data anumeration)
Angka-angka yang tidak memiliki desimal atau pecahan di antara
bilangan bulatnya, diperoleh dari menghitung. Misalnya: Jumlah Siswa-
Siswi kelas V.5 SMP Negeri 54 Palembang tahun ajaran 2015 sebanyak
40 orang.
- Data Kontinu (data measurement)
Kumpulan angka-angka yang masih dimungkinkan memiliki bilangan
desimal atau pecahan di antara bilangan bulatnya yang banyaknya tak
terhingga, biasanya didapatkan dari proses pengukuran. Misalnya:
Siswa-siswi kelas V.5 SMP Negeri 54 Palembang memiliki berat badan
rata-rata 37,75 kg.
 Data menurut sifatnya
- Data Kualitatif
Data yang tidak berbentuk angka dan tidak pula memungkinkan secara
langsung dapat diubah menjadi angka, sehingga menggunakan
pendekatan dalam bentuk kategori. Contoh: pemandangan bagus, wajah
cantik, penataan rapi, kebijaksanaan tepat, perkataannya benar.
- Data Kuantitatif, yaitu data yang dinyatakan dalam bentuk angka.
Contohnya : FKIP Unsri Indralaya mempunyai 4 gedung perkuliaan.

10
 Data menurut sumbernya
- Data Primer : data yang diperoleh secara langsung dengan
melakukan sendiri pengumpulan terhadap obyek.
- Data Sekunder : data yang diperoleh dari olahan data primer
- Data Tersier : data yang diperoleh dari olahan data sekunder.
- Data Kuarter : data yang diperoleh dari data tersier yang telah
diolah terlebih dahulu.
 Data menurut cara menyusun angkanya
- Data nominal, yaitu data statistik yang cara menyusunnya didasarkan
pada klasifikasi tertentu. Misalnya: Jumlah Siswa-Siswi kelas V.5 SMP
Negeri 54 Palembang menurut jenis kelaminnya.
- Data ordinal/urutan, yaitu data statistik yang cara menyusun angkanya
didasarkan pada urutan/ranking. Misalnya: Hasil nilai ujian Matematika
Siswa-Siswi kelas V.5 SMP Negeri 54 Palembang berdasarkan ranking.
- Data interval, yaitu data statistik dimana terdapat jarak yang sama di
antara hal-hal yang sedang diteliti
 Data berdasarkan bentuk angkanya
- Data tunggal, yaitu data statistik yang angka-angkanya merupakan satu
unit atau satu kesatuan, tidak dikelompokkan.
- Data kelompok, yaitu data statistik tiap unitnya terdiri dari sekelompok
angka, 71-75, 86-80, 91-95, dst.
 Data berdasarkan waktu pengumpulannya
- Data seketika, yaitu data statistik yg mencerminkan keadaan pada suatu
waktu saja. Contoh : Pada semester gazal 2014/2015.
- Data urutan waktu, yaitu data statistik yg mencerminkan keadaan dari
waktu ke waktu secara berurutan. Contoh: Jumlah Siswa-Siswi SMP
Negeri 54 Palembang lulus dari tahun 2010-2015.

11
b. Sumber Data Statistika
- Data primer
Data primer merupakan sumber data yang diperoleh langsung dari
sumber asli (tidak melalui media perantara). Data primer dapat berupa
opini subjek (orang) secara individual atau kelompok, hasil observasi
terhadap suatu benda (fisik), kejadian atau kegiatan, dan hasil
pengujian. Metode yang digunakan untuk mendapatkan data primer
yaitu : (1) metode survei dan (2) metode observasi.
Sumber data primer, misalnya:
1. Wawancara langsung
2. Wawancara tidak langsung
3. Pengisian kuisione
- Data sekunder
Data sekunder merupakan sumber data penelitian yang diperoleh
peneliti secara tidak langsung melalui media perantara (diperoleh dan
dicatat oleh pihak lain). Data sekunder umumnya berupa bukti, catatan
atau laporan historis yang telah tersusun dalam arsip (data dokumenter)
yang dipublikasikan dan yang tidak dipublikasikan. Sumber data
sekunder, misalnya, data dari pihak lain seperti:
1. BPS
2. Bank Indonesia
3. Diknas

12
BAB II
PENYAJIAN DATA DAN APLIKASI PADA DATA
PENELITIAN
A. DEFINISI PENYAJIAN DATA
Penyajian data merupakan salah satu kegiatan dalam pembuatan laporan
hasil penelitian yang telah dilakukan agar dapat dipahami dan dianalisis
sesuai dengan tujuan yang diinginkan. Adapun tujuan penyajian data yaitu
sebagai berikut :
a. Memberikan gambaran yang sistematis tentang peristiwa-peristiwa yang
merupakan hasil penelitian atau observasi;
b. Data lebih cepat ditangkap dan dimengerti;
c. Memudahkan dalam membuat analisis data;
d. Membuat proses pengambilan keputusan dan kesimpulan lebih tepat, cepat
dan akurat.
B. BENTUK PENYAJIAN DATA
Bentuk penyajian data secara garis besar dibagi menjadi dua cara, yaitu
dengan daftar atau tabel dan diagram atau grafik. Dua cara penyajian data ini
saling berkaitan karena pada dasarnya sebelum dibuat grafik data tersebut
berupa tabel.
1. Penyajian data dengan tabel
Penyajian data dalam bentuk tabel merupakan penyajian data dalam
bentuk angka yang disusun secara teratur dalam bentuk kolom dan baris.
Penyajian dalam bentuk tabel banyak digunakan pada penulisan laporan hasil
penelitian dengan maksud agar orang mudah memperoleh gambaran rinci
tentang hasil penelitian yang telah dilakukan. Penyajian data dengan
menggunakan tabel biasanya digunakan untuk menyajikan data yang terdiri

13
atas beberapa variabel dengan beberapa kategori. Tabel dibagi menjadi tiga
macam, antara lain yaitu:
 Tabel baris dan kolom
Terdiri dari baris dan kolom, yang mempunyai ciri tidak terdiri dari
faktor-faktor yang terdiri dari beberapa kategori dan bukan
merupakan data kuantitatif yang dibuat menjadi beberapa kelompok.
Contoh:
Tabel Daftar Indeks Prestasi Kumulatif
Seorang Mahasiswa Pend.Matematika Univ Sriwijaya
SEMESTER IPK
I 3,56
II 3,76
III 3,92
IV 3,86
V 3,82
VI 3,72
VII 3,62
VII 3,56
Sumber: data karangan
 Tabel kontingensi
Merupakan bagian dari tabel kolom dan baris akan tetapi tebel ini
memiliki ciri khusus, yaitu untuk menyajikan data yang terdiri atas
dua faktor atau dua variabel, faktor yang satu terdiri atas b kategori
dan yang lainya terdiri dari k kategori , dapat dibuat daftar
kontingensi berukuran b x k dengan b menyatakan baris an k
menyatakan kolom.
Contoh:
Partisipasi Pendidikan Berdasarkan Jenis Kelamin Di Kota
Palembang 2010-2015

14
JENIS KELAMIN S-1 S-2 S-3 JUMLAH
PRIA 13.000 9.300 6.700 29.000
WANITA 11.000 9.750 8.100 28.850
JUMLAH 24.000 19.050 14.800 57.850
Sumber:data karangan
 Tabel distribusi frekuensi
Tabel distribusi frekuensi merupakan sebuah tabel yang berisikan
nilai-nilai data, dengan nilai-nilai tersebut dikelompokan kedalam
interval-interval dan setiap interval nilai memiliki frekuensi
masing-masing.
Contoh:
Hasil Nilai Tengah Semester Statistik Dasar
Dari Mahasiswa Program S-1 Jurusan Pendidikan Matematika Fkip
Unsri 2010-2011
NILAI BANYAK MAHASISWA
61-65 4
66-70 9
71-75 11
76-80 2
81-85 4
86-90 7
91-95 3
JUMLAH 40
Berdasarkan komponennya ada tiga jenis bentuk tabel,antara lain yaitu:
• Tabel satu arah atau satu komponen adalah tabel yang hanya terdiri atas
satu kategori atau karakteristik data.
Contoh:

15
Nilai Mata Kuliah Statistik DasarMahasiswa Pend.Matematika Fkip Unsri
2014-2015
NILAI FREKUENSI
A 53
B 27
C 13
D 5
Total 98
• Tabel dua arah atau dua komponen adalah tabel yang menunjukkan dua
kategori atau dua karakteristik.
Contoh:
Data Kelulusan Siswa Diberbagai Tingkatan Sekolah Kota Palembang
Tahun 2014-2015
TINGKAT SEKOLAH BANYAK SISWA YANG LULUS BANYAK SISWA YANG TIDAK LULUS
SD 1.523 542
SMP 1.246 478
SMA 1.563 564
SMK 789 301
JUMLAH 5.121 1.885
• Tabel tiga arah atau tiga komponen adalah tabel yang menunjukkan tiga
kategori atau tiga karakteristik.
Contoh:

16
PARTISIPASI PENDIDIKAN BERDASARKAN JENIS KELAMIN KOTA PALEMBANG
2010-2015
JENIS KELAMIN S-1 S-2 S-3
PRIA 13.000 9.300 6.700
WANITA 11.000 9.750 8.100
JUMLAH 24.000 19.050 14.800
2. Penyajian data dengan grafik/diagram
Penyajian data dengan grafik merupakan pengembangan dari
penyajian data menggunakan tabel. Penyajian data dengan grafik dianggap
lebih komunikatif karena dalam waktu singkat dapat diketahui
karakteristik dari data yang disajikan. Terdapat beberapa jenis grafik yaitu
:
• Grafik garis (line chart)
Grafik garis atau diagram garis dipakai untuk menggambarkan data
berkala. Line chart (diagram garis) merupakan diagram yang digunakan
untuk menggambarkan keadaan yang serba terus atau
berkesinambungan. Diagram garis memiliki sistem sumbu
datar(horizontal) dan sumbu tegak(vertikal) yang saling berpotongan
tegak lurus. Sumbu mendatar biasanya menyatakan jenis data, misalnya
waktu dan berat. Sedangkan sumbu tegak menyatakan frekuensi data.

17
• Grafik batang / balok (bar chart)
Grafik batang bertujuan untuk melihat kecenderungan data menurut
waktu, dimana sumbu x berisi data waktu dan sumbu y menunjukkan
frekuensi nilai dari variabel data dan membandingkan beberapa
pengamatan data menurut tempat dan jenis atau kategori tertentu.
• Grafik lingkaran (pie chart)
Grafik lingkaran menyajikan data kualitatif sebagai bagian komponen
perbandingan dari keseluruhan. Syarat bentuk lingkaran dengan jumlah
komponen 100% atau 360°. Perhitungan luas komponen atau sektor
merupakan perbandingan yang dikalikan dengan 100%.
53
27
13
5
0
10
20
30
40
50
60
A B C D
FREKUENSIMAHASISWA
NILAI
NILAI MATA KULIAH STATISTIK DASAR
MAHASISWA PEND.MATEMATIKA FKIP UNSRI
2014-2015
FREKUENSI
0
50
100
A B C D
53
27
13
5
FREKUENSIMAHASISWA
NILAI
NILAI MATA KULIAH STATISTIK DASAR
MAHASISWA PEND.MATEMATIKA FKIP UNSRI
2014-2015
FREKUENSI

18
Partisipasi Pendidikan Tingkat S-1 Berdasarkan Jenis Kelamin
Di Kota Palembang
2010-2015
Sumber :data karangan
• Grafik Gambar (pictogram)
Diagram lambang adalah suatu diagram yang merupakan penyajian data
yang menggunakan lambang-lambang.
Contoh:
Grafik Nilai Teori Bilangan Pend. Matematika Fkip Unsri
2010-2011
NILAI LAMBANG
A 
B 
C 
D 
Sumber: data karangan
Ket :  = Banyaknya 3 orang
C. APLIKASI DALAM PENELITIAN
Data yang disajikan sebaiknya sederhana dan jelas agar mudah dibaca.
Penyajian data juga dimaksudkan agar para pengamat dapat dengan mudah
memahami apa yang kita sajikan untuk selanjutnya dilakukan penilaian atau
perbandingan.
PRIA
54%
WANITA
46%
S-1

19
Suatu “penyajian” sebagai sekumpulan informasi tersusun yang memberi
kemungkinan adanya penarikan kesimpulan dan pengambilan tindakan.
Penyajian-penyajian yang lebih baik merupakan suatu cara yang utama bagi
analisis kualitatif yang valid, yang meliputi berbagai jenis matrik, grafik,
jaringan dan bagan. Semuanya dirancang guna menggabungkan informasi yang
tersusun dalam suatu bentuk yang padu dan mudah diraih. Dengan demikian
seorang penganalisis dapat melihat apa yang sedang terjadi, dan menentukan
apakah menarik kesimpulan yang benar ataukah terus melangkah melakukan
analisis yang menurut saran yang dikisahkan oleh penyajian sebagai sesuatu
yang mungkin berguna.

20
BAB III
DISTRIBUSI FREKUENSI & APLIKASI PADA DATA
PENELITIAN
1. PENGERTIAN DAN TUJUAN DISTRIBUSI FREKUENSI
Definisi distribusi frekuensi menurut para ahli:
 Distribusi Frekuensi atau Tabel Frekuensi adalah Suatu keadaan yang
menggambarkan bagaimana frekuensi dari gejala atau variabel yang
dilambangkan dengan angka itu, telah tersalur, terbagi, atau terpencar.
(Sudijono Anas.2009: 37)
 Distribusi Frekuensi atau Tabel Frekuensi adalah suatu tabel yang
banyaknya kejadian atau frekuensi (cases) didistribusikan ke dalam
kelompok-kelompok (kelas-kelas) yang berbeda. (Budiyuwono,1987)
Dapat disimpulkan bahwa distribusi frekuensi adalah penyusunan data
ke dalam kelas-kelas tertentu, dimana setiap satu data hanya termasuk ke
dalam salah satu kelas tertentu saja. Dalam suatu penelitian, biasanya juga
akan dilakukan pengumpulan data. Salah satu cara untuk mengatur atau
menyusun data adalah dengan mengelompokan data-data berdasarkan ciri-ciri
penting dari sejumlah data ke dalam beberapa kelas dan kemudian dihitung
banyaknya data yang masuk ke dalam setiap kelas.
Tujuan distribusi frekuensi, yaitu :
 Memudahkan dalam penyajian data, mudah dipahami, dan dibaca sebagai
bahan informasi.
 Memudahkan dalam menganalisa atau menghitung data, membuat table
dan grafik.
Kelebihan distribusi frekuensi, yaitu:
 Dapat mengetahui gambaran informasi data secara menyeluruh.

21
Kekurangan distribusi frekuensi, yaitu :
 Rincian data awal atau informasi awal menjadi hilang.
2. BAGIAN-BAGIAN DISTRIBUSI FREKUENSI
 Kelas adalah penggolongan data yang dibatasi dengan nilai terendah dan
nilai tertinggi yang masing-masing dinamakan batas kelas. Batas kelas
(Class Limit) adalah nilai batas dari pada tiap kelas dalam sebuah
distribusi, terbagi menjadi states class limit dan class boundaries (tepi
kelas).
a) stated class limit adalah batas-batas kelas yang tertulis dalam
distribusi frekuensi, terdiri dari Lower Class Limit (batas bawah
kelas) dan upper class limit (batas atas kelas).
b) class boundaries (tepi kelas) adalah batas kelas yang
sebenarnya, terdiri dari lower class boundary (batas bawah kelas
yang sebenarnya) dan upper class boundary (batas atas kelas yang
sebenarnya).
 Panjang kelas atau lebar kelas merupakan lebar dari sebuah kelas dan
dihitung dari perbedaan antara kedua tepi kelasnya.
 Rentang (range) suatu perangkat data yang biasanya dilambangkan dengan
huruf R adalah nilai terbesar dikurangi nilai terkecil.
 Nilai tengah merupakan rata-rata hitung dari kedua batas kelasnya atau
tepi kelasnya.
3. LANGKAH-LANGKAH MENYUSUN DISTRIBUSI FREKUENSI
1. Urutkan data terlebih dahulu
2. Menentukan Range (Jangkauan) : didapat dari nilai yang terbesar
dikurangi nilai yang terkecil.
R = Xmax – X min

22
3. Menentukan banyaknya kelas dengan menggunakan rumus
Sturgess.
K = 1 + 3,3 log n dimana K = Banyaknya kelas dan
n = Jumlah Data.
4. Menentukan Interval Kelas :
I =
𝑅
𝐾
5. Menentukan batas kelas :
Tbk = Bbk – 0,5
Tak = Bak + 0,5
Panjang interval kelas = Tak – Tbk
Keterangan : Tbk = tepi bawah kelas
Tak = tepi atas kelas
Bbk = batas bawah kelas
Bak = batas atas kelas
6. Menentukan titik tengahnya.
7. Memasukkan data kedalam kelas-kelas yang sesuai dengan
memakai sistem turus/tally.
8. Menyajikan distribusi frekuensi : isi kolom frekuensi sesuai dengan
kolom Tally atau Turus.

23
4. MACAM-MACAM DISTRIBUSI FREKUENSI
Dalam dunia statistik kita mengenal berbagai macam Tabel
Distribusi Frekuensi; dalam makalah ini akan dikemukakan mengenai 4
macam Tabel Distribusi Frekuensi,yaitu: Tabel Distribusi Frekuensi Data
Tunggal,Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan,Tabel Distribusi
Frekuensi Kumulatif, dan Tabel Distribusi Frekuensi Relatif ( Tabel
Persentase). (Sudijono Anas.2009: 39)
4.1 Tabel Distibusi Frekuensi Data Tunggal
Tabel Distribusi Data Tunggal adalah salah satu jenis tabel statistik
yang di dalamnya disajikan frekuensi dari data angka ; angka yang ada
itu tidak dikelompok-kelompokkan (ungrouped data).
(Sudijono Anas.2009: 39)
Contoh : TABEL 4.1 Distribusi Frekuensi Nilai UAS Dalam Bidang Studi
Matematika dari 40 Orang Siswa kelas X.1 SMA ANAK BANGSA.
NILAI UAS MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS X.1
SMA ANAK BANGSA
4.2 Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompok
Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompok adalah salah satu jenis
tabel statistik yang di dalamnya disajikan pencaran frekuensi dari data
𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊(𝑿) 𝑭𝒓𝒆𝒌𝒖𝒆𝒏𝒔𝒊 (𝒇)
𝟗
𝟖
𝟕
𝟔
𝟓
4
6
9
16
5
𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 40 = 𝑁

24
angka,di mana angka-angka tersebut dikelompok-kelompokkan (dalam
tiap unit terdapat sekelompok angka)
Contoh: TABEL 4.2 Distribusi Frekuensi Nilai Ulangan Umum Mata
Pelajaran Matematika dari 80 Orang Siswa Kelas XII SMA ANAK
BANGSA.
NILAI ULANGAN UMUM MATA PELAJARAN MATEMATIKA
NILAI ULANGAN UMUM TURUS FREKUENSI
31 − 40 III 3
41 − 50 III 3
51 − 60 III 3
61 − 70 IIII IIII III 13
71 − 80 IIII IIII IIII IIII IIII II 27
81 − 90 IIII IIII IIII IIII III 23
91 − 100 IIII III 8
∑∆𝒇 𝟖𝟎
4.3 Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif
Dimaksud dengan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif ialah salah
satu jenis tabel statistik yang didalamnya disajikan frekuensi yang
dihitung terus meningkat atau: selalu ditambah-tambahkan , baik dari
bawah ke atas maupun dari atas ke bawah. (Sudijono Anas.2009: 41)
Distribusi frekuensi kumulatif terdiri dari dua macam, yaitu :
 Tabel distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas) adalah
suatu total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih kecil dari tepi
bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya.
 Tabel distribusi kumulatif atau lebih (menggunakan tepi bawah) adalah
suatu total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih besar dari tepi
bawah kelas pada masing-masing.

25
4.4 Tabel Distribusi Frekuensi Relatif
Tabel Distribusi Frekuensi Relatif juga dinamakan Tabel
Persentase. Dikatakan “frekuensi relatif” sebab frekuensi yang disajikan di
sini bukanlah frekuensi yang sebenarnya, melainkan frekuensi yang
dituangkan dalam bentuk angka persenan. (Sudijono Anas.2009: 42)
Berikut adalah rumus mencari distribusi frekuensi relatif:
Frekuensi relatif =
𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠
𝑛
× 100
5. APLIKASI PADA DATA PENELITIAN
Dalam membuat suatu daftar distribusi frekuensi peneliti harus
memperhatikan langkah–langkah yang akan diambil. Perhatikan langkah-langkah
pengerjaannya, supaya saat dalam proses pengerjaan tidak terjadi kesalahan yang
dapat mengakibatkan daftar distribusi yang dibuat menjadi salah total.
Berikut ini adalah contoh aplikasi distribusi frekuensi pada penelitian,
contoh objek pengaplikasian penelitiaan ini adalah nilai ulangan umum mata
pelajaran matematika sma anak bangsa. Dibawah ini diberikan data mengenai
nilai ulangan umum dari 80 orang siswa pada pelajaran matematika.
80 48 86 84 71 76 63 60
70 79 82 56 95 92 88 80
88 73 71 89 45 75 74 83
76 87 66 72 90 71 97 74
78 72 74 83 81 91 86 83
74 81 71 68 89 90 51 63

26
Langkah-langkah:
1. Urutkan data, maka akan diperoleh data terbesar = 99 dan
data terkecil = 33
2. Menentukan rentang,
Rentang = data terbesar- data terkecil
Rentang = 99-35
= 66
3. Banyak kelas
(𝑘) = 1 + 3,3 𝑙𝑜𝑔 80 = 7,2
Jadi banyak kelas adalah sebanyak 7 kelas
4. Panjang kelas,
𝑝 =
66
7
= 9,4 maka 𝑝 = 9 atau 𝑝 = 10
Kita tentukan panjang kelasnya 10
5. Menentukan interval (kelas pertama)
Diambil dari data terkecil atau nilai data yang lebih kecil dari data terkecil,
misal kita mengambil interval pertama yaitu 31-40
6. Batas kelas
Tbk = Bbk – 0,5
Tak = Bak + 0,5
Panjang interval kelas = Tak – Tbk
35 82 90 77 93 67 99 80
91 70 70 79 90 33 70 83
79 92 88 49 88 61 75 63
38 80 74 74 82 80 67 65

27
Keterangan : Tbk = tepi bawah kelas, Bbk = batas bawah kelas
Tak = tepi atas kelas, Bak = batas atas kelas
Tbk = 31− 0,5 = 30,5
Tak = 40 + 0,5 = 40,5
Panjang interval = 40,5 − 30,5 = 10
7. Nilai tengah
𝑥1 =
40,5 + 30,5
2
= 35,5
𝑥2 =
50,5 + 40,5
2
= 45,5
.
.
.
Daftar distribusi kelompok dari data yang didapat diatas, didapat seperti tabel
berikut:
NILAI
ULANGAN
UMUM
BATAS KELAS
NILAI
TENGAH
TURUS FREKUENSI
FREKUENSI
RELATIF
31-40 30,5-40,5 35,5 III 3 3,75
41-50 40,5-50,5 45,5 III 3 3,75
51-60 50,5-60,5 55,5 III 3 3,75
61-70 60,5-70,5 65,5 IIII IIII III 13 16,25
71-80 70,5-80,5 75,5
IIII IIII IIII IIII
IIII II
27 33,75
81-90 80,5-90,5 85,5
IIII IIII IIII IIII
III
23 28,75
91-100 90,5-100,5 95,5 IIII III 8 10
TOTAL 𝟖𝟎 100

28
Histogram dan Poligon Frekuensi Nilai Ulangan Umum Mata
Pelajaran Matematika:
Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Untuk Nilai Ulangan
Umum Mata Pelajaran Matematika :
NILAI ULANGAN
UMUM
BATAS
KELAS
Frekuensi
Kumulatif ≤
PERSEN
KUMULATIF
≤30,5 0 0
31-40 ≤40,5 3 3,75
41-50 ≤50,5 6 7,5
51-60 ≤60,5 9 11,25
61-70 ≤70,5 22 27,5
71-80 ≤80,5 49 61,25
81-90 ≤90,5 72 90
91-100 ≤100,5 80 100
Berikut ogif kumulatif kurang dari untuk nilai ulangan umum
Matemtika kelas XII SMA ANAK BANGSA yang diambil dari tabel
distribusi frekuensi ditambah satu kolom frekuensi menurun dengan
menggunakan batas kelas.

29
Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari Untuk Nilai Ulangan
Umum Mata Pelajaran Matematika :
NILAI ULANGAN
UMUM
BATAS
KELAS
Frekuensi
Kumulatif ≤
PERSEN
KUMULATIF
31-40 ≥30,5 80 100
41-50 ≥40,5 77 96,25
51-60 ≥50,5 74 92,5
61-70 ≥60,5 71 88,75
71-80 ≥ 70,5 58 72,5
81-90 ≥80,5 31 38,75
91-100 ≥90,5 8 10
≥100,5 0 0
Berikut Ogif Kumulatif Lebih dari untuk nilai ulangan umum mata
pelajaran Matemtika kelas XII SMA ANAK BANGSA yang diambil dari
table distribusi frekuensi ditambah satu kolom frekuensi menurun dengan
menggunakan batas kelas.
0
20
40
60
80
100
FREKUENSI
NILAI
NILAI ULANGAN UMUM MATA PELAJARAN
MATEMATIKA
OGIVE POSITIF

30
Diagram ogif positif dan ogif negatif dari data diatas:
0
20
40
60
80
100
30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5
FREKUENSI
NILAI
MATEMATIKA
OGIVE NEGATIF
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5
FREKUENSI
NILAI
MATEMATIKA
OGIVE POSITIF
OGIVE NEGATIF

31
KESIMPULAN
Distribusi Frekuensi adalah penyusunanan data ke dalam kelas-kelas
tertentu dimana setiap individu hanya termasuk kedalam salah satu kelas tertentu
saja. Tujuan distribusi frekuensi, yaitu : memudahkan dalam penyajian data,
mudah dipahami, dan dibaca sebagai bahan informasi, memudahkan dalam
menganalisa/menghitung data, membuat tabel, grafik.
Adapun macam-macam tabel distribusi frekuensi, Tabel Distribusi Frekuensi Data
Tunggal,Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan,Tabel Distribusi Frekuensi
Kumulatif, dan Tabel Distribusi Frekuensi Relatif. Bagian-bagian distribusi
frekuensi diantaranya terdapat kelas, interval kelas dan titik tengah.

32
BAB IV
UKURAN PEMUSATAN DAN PENYEBARAN
A. Ukuran Pemusatan Data
1. PengertianUkuran Pemusatan Data
Ukuran pemusatan data adalah sembarang ukuran yang menunjukkan pusat
segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar. Salah
satu kegunaan dari ukuran pemusatan data adalah untuk membandingkan dua
populasi karena sangat sulit untuk membandingkan masing-masing anggota dari
masing-masing anggota populasi. Nilai ukuran pemusatan ini dibuat sedemikian
sehingga cukup mewakili seluruh nilai pada data yang bersangkutan.
2. Bagian-Bagian Ukuran Pemusatan Data
a. Rata-Rata Hitung (Mean)
Rata-rata didefinisikan sebagai hasil bagi jumlah nilai data dengan banyak
data.
1. Rata-rata data tunggal
Rumus
n
x
x

keterangan:
x = rata-rata hitung
n = banyak data
x = jumlah seluruh nilai data
Contoh soal:
Dari hasil tes nilai matematika 10 mahasiswa matematika Unsri 2013
diperoleh data:
3, 7, 6, 5, 3, 6, 9, 8, 7, dan 6. Tentukan rataan dari data tersebut.
𝑥̅ =
3+7+6+5+3+6+9+8+7+6
10
=
60
10
= 6
Jadi, rata-ratanya adalah 6.
2. Rata-rata data berkelompok

33
Rumus: 𝑥̅ =
∑ 𝑓𝑖 𝑥 𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
Tentukan rata-rata dari data berat badan mahasiswa fisika Unsri 2013
berikut ini!
Penyelesaian:
𝑥̅ =
∑ 𝑓𝑖 𝑥 𝑖
5
𝑖=1
∑ 𝑓𝑖
5
𝑖=1
=
1020
20
= 51
Jadi, rata-ratanya adalah 51.
b. Median
Median adalah nilai yang membagi data menjadi dua bagian sama banyak
dari data yang telah diurutkan.
1. Median untuk data tunggal
Contoh soal:
Dari data nilai matematika siswa sd 249 di bawah ini, tentukan mediannya.
5, 5, 6, 6, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8
Penyelesaian:
Data diurutkan menjadi 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9
↓
Me
Jadi, mediannya adalah 6.
2. Median untuk data berkelompok
Rumus : p
f
fkf
TbMe .2
1





 

Berat Badan
(kg)
Frekuensi
40 – 44 1
45 – 49 6
50 – 54 10
55 – 59 2
60 – 64 1Berat badan(kg) Titik tengah(𝒙𝒊) 𝒇𝒊 𝒇𝒊 . 𝒙𝒊
40 – 44 42 1 42
45 – 49 47 6 282
50 – 54 52 10 520
55 – 59 57 2 114
60 – 64 62 1 62
Jumlah 20 1020

34
Keterangan:
Me = median
Tb = tepi bawah kelas interval yang memuat Median.
∑f = jumlah frekuensi
fk = frekuensi komulatif sebelum kelas median.
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas interval
Contoh soal:
Tentukan median dari data berat badan mahasiswa matematika Unsri’13
berikut ini!
Banyaknya data ada 20, sehingga letak mediannya pada frekuensi
1
2
. 20 =
10
Tb = 50 – 0,5 = 49,5 fk = 7 f = 10 P = 5
Maka p
f
fkf
TbMe .2
1





 

= 49,5 + (
1
2
. 20 −7
10
) 5 = 49,5 + 1,5 = 51
c. Modus
Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai
frekuensi tertinggi. Jika suatu data hanya mempunyai satu modus disebut
unimodal dan bila memiliki dua modus disebut bimodal, sedangkan jika
memiliki modus lebih dari dua disebut multimodal. Modus dilambangkan
dengan Mo.
1. Modus untuk data tunggal
Contoh soal:
Tentukan modus dari data nilai matematika siswa sd 249 di bawah ini
5, 5, 6, 6, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8
Penyelesaian:
Berat Badan
(kg)
Frekuensi
40 – 44 1
45 – 49 6
50 – 54 10
55 – 59 2
60 – 64 1

35
Data yang paling sering muncul adalah 6. Jadi, modusnya adalah 6.
2. Modus untuk data berkelompok
Rumus : p
ss
s
TbMo .
21
1


Keterangan :
Mo = modus
Tb = tepi bawah kelas interval yang memiliki frekuensi
terbanyak
s1 = Selisih frekuensi kelas interval kelas modus dengan kelas
interval
sebelumnya
s2 = Selisih frekuensi kelas interval kelas modus dengan kelas
interval
berikutnya
p = Panjang kelas interval
Contoh soal:
Tentukan modus dari data berat badan mahasiswa matematika Unsri’13
berikut ini!
Berat Badan
(kg)
Frekuensi
40 – 44 1
45 – 49 6
50 – 54 10
55 – 59 2
60 – 64 1
Penyelesaian:
Frekuensi modusnya adalah 10, kelas modusnya 50-54, dan tepi bawah
frekuensi modus (Tb) adalah 49,5.
S1 = 10 – 6 = 4 S2 = 10 - 2 = 8 P = 5
p
ss
s
TbMo .
21
1


= 49,5 +
4
8+4
. 5 = 51,17
B.Ukuran Letak
3. Bagian-Bagian Ukuran Letak

36
a. Kuartil (Q)
Kuartil adalah ukuran letak yang membagi sekumpulan data yang telah
diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.
1. Kuartil data tunggal
Letak dari Qi dirumuskan sebagai berikut
Letak Qi =
𝑖(𝑛+1)
4
Keterangan: Qi = kuartil ke-i
n = banyak data
Contoh soal:
Tentukan Q1, Q2, Q3 dari data nilai ulangan matematika 13 orang siswa
kelas VII.1 : 4, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8
Penyelesaian:
Letak Q1 :
1(13+1)
4
=
14
4
= 3,5 sehingga
Q1 = x3 + 0,5(x4 - x3)
= 4 + 0,5(5 – 4)
= 4,5
Letak Q2 :
2(13+1)
4
=
28
4
= 7 sehingga
Q2 = x7 + (x8 – x7)
= 6 + (6 – 6)
= 6
Letak Q3 :
3(13+1)
4
=
42
4
= 10,5
Q3 = x10 + 0,5(x11 – x10)
= 7 + 0,5 (8 – 7)
= 7,5
2. Kuartil data berkelompok
Rumus : p
f
fkf
TbQ
i
i
i
i .)( 4





 
 Letak Qi =
𝑖(𝑛)
4
Keterangan :
Qi = Kuartil-i
i = 1  Q1 = kuartil bawah
i = 2  Q2 = kuartil tengah = Median (Me)

37
i = 3  Q3 = kuartil atas
Tb = Tepi bawah kelas kuartil -i
fi = frekuensi komulatif kelas kuartil-i
ifk = frekuensi komulatif sebelum kelas kuartil-i.
p = lebar kelas (interval kelas)
Contoh soal:
Tentukan Q1, Q2, Q3 dari data berat badan mahasiswa matematika
Unsri’13 berikut!
Berat Badan
(kg)
Frekuensi
40 – 44 1
45 – 49 6
50 – 54 10
55 – 59 2
60 – 64 1
Penyelesaian:
Letak Q1 pada frekuensi =
1(20)
4
= 5 di kelas 45 – 49.
p
f
fkf
TbQ
i
i
i
i .)( 4





 

Q1 = 44,5 + (
1
4
.20 −1
6
) 5 = 44,5 + 3,33 = 47,83
2(20)
4
= 10 di kelas 50 - 54
p
f
fkf
TbQ
i
i
i
i .)( 4





 

Q2 = 49,5 + (
2
4
.20 −7
10
)5 = 49,5 + 1,5 = 51
3(20)
4
= 15 di kelas 50 - 54
p
f
fkf
TbQ
i
i
i
i .)( 4





 

Q3 = 49,5 + (
3
4
.20 −7
10
)5 = 49,5 + 4= 53,5
b. Desil

38
Desil adalah ukuran letak yang membagi sekumpulan data yang telah diurutkan
dari yang terkecil ke yang terbesar menjadi sepuluh bagian yang sama banyak.
1. Desil data tunggal
Rumus
10
)1( 

ni
Di
Contoh soal:
Diketahui data nilai ulangan matematika 13 orang siswa kelas VII.1 adalah
sebagai berikut :
4, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8
Tentukan desil ke-2 dan desil ke-5!
Penyelesaian:
Urutkan data tersebut: 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9
Letak desil ke-2 diurutan data ke-
2(13+1)
10
= 2,8
D2 terletak pada urutan ke-2,8 sehingga:
D2 = x2 + 0,8(x3 – x2)
= 4 + 0,8(4 – 4) = 4
Letak desil ke-5 diurutan data ke-
5(13+1)
10
= 7
D5 = x7 +(x8 – x7)
= 6 + (6 – 6) = 6
2. Desil data berkelompok
Rumus : p
f
fkf
TbiD
i
i
i
i .10





 
 Letak Di =
𝑖(𝑛)
10
Keterangan: iD = Desil ke-i, i = 1,2, …, 9
iTb = Tepi bawah kelas desil-i
f = jumlah frekuensi
if = frekuensi desil ke-i
p = panjang kelas
Contoh soal:
Tentukan desil ke-7 dari data berat badan mahasiswa matematika Unsri’13
berikut!
Berat Badan
(kg)
Frekuensi

39
Penyelesaian:
Letak desil ke-7 pada frekuensi =
7(20)
10
= 14 di kelas 50 - 54
  pTbD i
i
i
f
fkf
ii .10


D7 = 49,5 + (
7
10
.20−7
10
)5 = 49,5 + 3,5 = 53
c. Persentil
Persentil adalah ukuran letak yang membagi sekumpulan data yang telah
diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar menjadi seratus bagian yang sama
banyak.
1. Persentil data tunggal
Rumus
100
)1( 

ni
Pi
Contoh soal:
Diketahui data nilai ulangan matematika 13 orang siswa kelas VII.1 adalah
sebagai berikut :
4, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8
Tentukan persentil ke-4!
Penyelesaian:
Urutkan data tersebut: 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9
Letak persentil ke-4 diurutan data ke-
4(13+1)
100
= 0,56
P4 terletak pada urutan ke-0,56 sehingga:
P4 = x0 + 0,56(x1 – x0)
= 0 + 0,56(2 – 0) = 1.12
2. Persentil data berkelompok
Rumus : p
f
fkf
TbiP
i
i
i
i .100





 
 Letak Pi =
𝑖(𝑛)
100
40 – 44 1
45 – 49 6
50 – 54 10
55 – 59 2
60 – 64 1

40
Keterangan: Pi = Persentil ke-i
iTb = Tepi bawah kelas desil-i
f = jumlah frekuensi
if = frekuensi desil ke-i
p = panjang kelas
Contoh soal:
Tentukan persentil ke-10 dari data berat badan mahasiswa matematika
Unsri’13
berikut!
Penyelesaian:
Letak persentil ke-10 pada frekuensi =
10(20)
100
= 2 di kelas 45 - 49
p
f
fkf
TbiP
i
i
i
i .100





 

P10 = 44,5 + (
10
100
.20−1
6
)5 = 44,5 + 0,83 = 45,33
Berat Badan
(kg)
Frekuensi
40 – 44 1
45 – 49 6
50 – 54 10
55 – 59 2
60 – 64 1

41
3. Pengertian dan Kegunaan Ukuran Penyebaran Data
Ukuran penyebaran data adalah suatu ukuran yang menyatakan
seberapa besar nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran
pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai
pusatnya. Adapun kegunaan ukuran penyebaran data yaitu :
1) Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk menentukan apakah nilai rata-
ratanya benar-benar representatif atau tidak. Apabila suatu kelompok data
mempunyai penyebaran yang tidak sama terhadap nilai rata-ratanya, maka
dikatakan bahwa nilai rata-rata tersebut tidak representatif.
2) Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk mengadakan perbandingan
terhadap variabilitas data.
3) Ukuran penyebaran dapat membantu penggunaan ukuran statistika,
misalnya dalam pengujian hipotesis, apakah dua sampel berasal dari
populasi yang sama atau tidak.
2. Bagian-Bagian Ukuran Penyebaran Data
a.Jangkauan (Range)
Jangkauan (J) didefinisikan sebagai selisih data terbesar dengan data terkecil.
Rumus:
Contoh soal: Tentukan jangkauan dari data berat badan 7 mahasiswa
matematika Unsri 2013 berikut ini : 40, 43, 43, 45, 50, 50, 52
Penyelesaian:
Xmaks = 52 Xmin = 40
J = Xmaks – Xmin = 52 - 40 = 12
Jadi, jangkauannya adalah 12
b.Hamparan (Jangkauan Interkuartil)
Hamparan didefinisikan sebagai selisih kuartil terbesar dengan kuartil terkecil.
Rumus:
Contoh soal: Tentukan jangkaun interkuartil dari data berat badan 7 mahasiswa
matematika Unsri 2013 berikut ini : 40, 43, 43, 45, 50, 50, 52
Penyelesaian:
40, 43, 43, 45, 50, 50, 52
H = Q3 – Q1 = 50 – 43 = 7
Jadi, jangkauan interkuartilnya adalah 7
Q1 Q2 Q3
J = Xmaks - Xmin
H = Q3 – Q1

42
c.Simpangan Kuartil (Jangkauan Semi Interkuartil)
Simpangan kuartil adalah setengah dari jangkauan interkuartil.
Rumus:
Simpangan kuartil dari soal hamparan di atas adalah Qd=
1
2
𝑥 7 =
7
2
d.Simpangan Rata-Rata (Deviasi Rata-Rata)
Simpangan rata-rata (SR) dari x1, x2, x3, ..., xn didefinisikan sebagai :
Rumus:
Jika datanya besar, maka rumus di atas dapat diubah menjadi :
Contoh soal:
1. Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut ini : 2, 3, 6, 8, 11
Penyelesaian:
𝑥̅ =
∑ 𝑥 𝑖
𝑛
=
2+3+6+8+11
5
= 6
SR =
∑ |xi− x̅|
𝑛
=
|2−6|+ |3−6|+ |6−6|+ |8−6|+ |11−6|
5
=
4+3+0+2+5
5
= 2,8
Interval Kelas Frekuensi
40 – 44 3
45 – 49 4
50 – 54 6
55 – 59 8
Qd =
1
2
(Q3 – Q1)
SR =
∑|xi− x̅|
𝑛
atau SR =
∑f |xi− x̅|
𝑛
SR =
∑|di− d̅|
𝑛
atau SR =
∑f |x− x̅|
𝑛

43
2. Hitunglah simpangan rata-rata nilai
ulangan Matematika dari siswa Kelas XI
SMA Merdeka ?
Penyelesaian :
Dari tabel tersebut, diperoleh = 65,7 (dibulatkan).
60 – 64 10
65 – 69 11
70 – 74 15
75 – 79 6
80 – 84 4
85 – 89 2
90 – 94 2
Kelas
Interval
Nilai Tengah (xi) F |x – 𝒙̅| f |x – 𝒙̅|
40 – 44 42 3 23,7 71,1
45 – 49 47 4 18,7 74,8
50 – 54 52 6 13,7 82,2
55 – 59 57 8 8,7 69,6
60 – 64 62 10 3,7 37
65 – 69 67 11 1,3 14,3
70 – 74 72 15 6,3 94,5
75 – 79 77 6 11,3 67,8
80 – 84 82 4 16,3 65,2
85 – 89 87 2 21,3 42,6
90 – 94 92 2 26,3 52,6
Σf = 71 Σf|x – 𝒙̅| = 671,7

44
Jadi, simpangan rata-rata (SR) = 671,7 / 71 = 9,46.
e.Simpangan Baku (Deviasi Standar / Standar Deviasi)
Simpangan baku (s) dari x1, x2, x3, ..., xn didefinisikan sebagai:
Rumus:
Contoh Soal:
1.Tentukan simpangan baku dari data ulangan matematika 5 orang siswa kelas
VIII.2 berikut ini :
7, 7, 8, 8, 10
Penyelesaian:
𝑥̅ =
∑ 𝑥 𝑖
𝑛
=
7+7+8+8+10
5
= 8
SB = √
∑(𝑋−𝑋̅)
2
𝑛
= √
(7−8)2
+(7−8)2
+(8−8)2
+(8−82
+(10−8)2
5
= √
6
8
Jadi, simpangan bakunya adalah √
6
8
2. Diketahui data tinggi badan 50 mahasiswa matematika Unsri’13 adalah sebagai
berikut
SB = √
∑(𝑋−𝑋̅)
2
𝑛
atau SB =
∑ 𝑓(𝑋−𝑋̅)
2
𝑛

45
Hitunglah berapa simpangan bakunya?
Penyelesaian:

46
BAB V
UKURAN KERUNCINGAN
1. Pengukuran Kemiringan (skewness)
1.1.Pengertian Kemiringan
Rata-rata hitung serta deviasi standar dua distribusi mungkin sama
meskipun bentuk kurva frekuensi kedua distribusi tersebut berbeda karena
tingkat kemencengannya berbeda. Sebuah contoh yang bersifat edukatif
akan coba kami sajikan guna menjelaskan persoalan di atas.
Dalam Tabel Prosedur, kami sajikan cara menghitung rata-rata hitung serta
deviasi standar dari dua disribusi yang bentuk kurvanya berbeda karena
tingkat ke mencengannya berbeda
Cara menghitung rata-rata hitung dan deviasi standar dari distribusi nilai-
nilai observasi sebesar n1=n2=100
Tabel 2.1
Distribusi n1 Distribusi n2
mi fi ui uifi ui
2fi mi fi ui uifi ui
2fi
4,5
4,5
24,5
34,5
44,5
54,5
5
20
5
45
10
5
-2
-1
0
1
2
3
-10
-20
0
45
20
15
20
20
0
45
40
45
4,5
14,5
24,5
34,5
44,5
54,5
5
15
30
30
15
5
-2
-1
0
1
2
3
-10
-15
0
30
30
15
20
15
0
30
60
45

47
100 50 170 100 50 170
Distribusi n1
n1 = 100
𝑢̅ =
50
100
= 0,50
𝑋̅ = 0,50 (10) + 24,5
= 29,5
s2 = (1/100)(10)2[170 − (100)(
50
100
)
2
]
= 145
S = √145
= 12,041 atau 12,04
Distribusi n2
n2 = 100
𝑢̅ = 50/100 = 0,50
𝑋̅ = 0,50(10)+24,5
= 29,5
s2 = (1/100)(10)2[170 − (100)(
50
100
)
2
]
= 145
s =√145
= 12,041 atau 12,04
Meskipun kedua distribusi di atas memiliki rata-rata hitung dan deviasi standar
yang sama, bentuk kurva frekuensinya ( Diagram ) ternyata berbeda sekali
Diagram2.1 dan Diagram 2.2 Kurva frekuensi distribusi n1=100 dengan 𝑋̅ = 29,5
dan s = 12,04Serta n2= 100 dengan𝑋̅ = 29,5 dan s = 12,04

48
Diagram 2.1 Diagram 2.2
Sumber : Data Tabel2.1
Perbedaan di atas disebabkan oleh tingkat kemencengan yang berbeda dari kedua
distribusi tersebut. Distribusi n1 merupakan distribusi yang kurang simetri satu
menceng sekitar rata-ratanya sedangkan distribusi n2 merupakan distribusi yang
simetris sekitar rata-ratanya.
2.1.Koefisien Kemiringan Pearson
Rata-rata hitung dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrimnya. Modus tidak dipengaruhi
oleh nilai-nilai ekstrim sedangkan median hanya dipengaruhi oleh kedudukannya.
Bila sebuah distribusi memang simetris,rata-rata hitung = median=modus(6-5).
Sebaliknya,bila distribusi tidak simetris maka rata-rata hitung ≠ median ≠ modus.
Pengukuran tingkat kemencengan (skewness) sebuah distribusi sebetulnya sudah
lama dirumuskan oleh Karl Pearson dalam bentuk koefisien Pearson sebagai
sk = (𝑋̅-mo) / s (2.2.1)
dimana
sk = kemiringan
𝑋̅= rata-rata hitung
mo = modus
s = deviasi standar
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
4.5 14.5 24.5 34.5 44.5 54.5
0
5
10
15
20
25
30
35
4.5 14.5 24.5 34.5 44.5 54.5

49
Bila hasil Perumusan (2.2.1) sama dengan nol,maka distribusi dikatakan simetris
sekitar rata-ratanya dan 𝑋̅ = mo = md. Makin jauh hasil sk dari nol makin besar
tingkat kemencengannya dan 𝑋̅ ≠ mo ≠ md. Perubahan (2.2.1) di atas dapat
menghasilkan kemencengan yang positif bila nilai-nilai observasi distribusi yang
berfrekuensi rendah lebih banyak ”berkonsentrasi” di sisikanan rata-
ratanya.Dengan lain perkataan,bila distribusi memiliki “ekor” yang menjulur lebih
ke arah kanan dari padake arah kiri distribusi, hasil sk umumnya menjadi positif.
Sebaliknya, hasil menjadi negatif bila nilai-nilai observasi yang berfrekuensi
rendah lebih banyak “berkonsentrasi” di sisi kiri rata-ratanya, atau bila
distribusinya memiliki “ekor” yang menjulur lebih ke arah kiri dari pada arah
kanan distribusi. Dua buah contoh cara menghitung tingkatke mencengan
distribusi akan saya kemukakanguna menjelaskan penggunaan Rumus Pearson
(2.2.1)
Andaikan kita mengukur kemencengan kedua distribusi dalam Tabel Prosedur
1.1.1 dengan menggunakan koefisien Pearson (2.2.1) maka akan diperoleh tingkat
kemencengan bagi distribusi n1sebesar
sk = (29,5 – 34,5)/12,04
= -0,41528atau -0,42
danbagi n2 sebesar
sk = (29,5 – 29,5)/12,04
= 0
Kurva yang tidak simetris dapat menceng ke kiri atau ke kanan. Di dalam kurva
yang simetris, letak modus, median, dan mean sama. Perhatikan tiga bentuk kurva
berikut.
Ukuran tingkat kemencengan (TK) menurut pearson adalah sebagai berikut :

50
Mod = Mean = Med mean med mod mod med
mean
Kurva simetris kurva menceng ke kiri kurva menceng
ke kanan
𝑇𝐾 =
𝑋−𝑀𝑜𝑑
𝑆
. . . . . . . . (2.2.2)
Keterangan :
__
X = rata-rata hitung
Mod = modus
S = simpangan baku
Atau
𝑇𝐾 =
3(𝑋−𝑀𝑜𝑑)
𝑆
. . . . . . . (2.2.3)
Secara empiris dapat ditunjukan bahwa
__
X -Mod =3 (
__
X -Med)
Ukuran tingkat kemencengan dapat pula diitung berdasarkan momen ketiga
dengan perhitungan sebagai berikut :
∝3=
𝑀3
𝑆3 =
1
𝑛𝑆3
∑ (𝑋𝑖− 𝑋)3𝑛
𝑖=1 . . . . . . . (untuk data tak berkelompok)
(2.2.4)
Atau
∝3=
𝑀3
𝑆3 =
1
𝑛𝑆3
∑ 𝑓𝑖(𝑋𝑖− 𝑋)3𝑛
𝑖=1 . . . . . . . (untuk data berkelompok, ada k kelas
skewness) (2.2.5)

51
Disini 𝑎3 sering disebut momen koefisien kemencengan (moment
coefficient of skewness).Apabila kelas intervalnya sama, maka untuk menghitung
3 dapat dipergunakan rumus berikut :
∝3=
𝑐3
𝑆3 {
1
𝑛
∑ 𝑓𝑖𝑑𝑖3
− 3 (
1
𝑛
∑ 𝑓𝑖𝑑𝑖2𝑘
𝑖=1 )(
1
𝑛
∑ 𝑓𝑖𝑑𝑖𝑘
𝑖=1 ) + 2 (
1
𝑛
𝑖=1 ) 3𝑘
𝑖=1 } . . .
. . . . (2.2.6)
Keterangan :
3 = ukuran tingkat kemencemgan
S = simpangan baku
c = besarnya kelas interval
fi = frekuensi kelas ke-i
di = simpangan kelas ke-i terhadap titik asal asumsi
k = banyaknya kelas
Contoh :
Modal dari 40 guru SMP X (dalam ratusan ribu rupiah) untuk membuka koperasi
sekolah adalah sebagai berikut
138 164 150 132 144 125 149 157
146 158 140 147 136 148 152 144
168 126 138 176 163 119 154 165
146 173 142 147 135 153 140 135
161 145 135 142 150 156 145 128
Hitunglah TK dan 3 dengan rumus (2.2.3) dan (2.2.6)
Penyelesaian :
Kelas M F Fm d fd fd2 fd3
fd4
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

52
118-126
127-135
136-144
145-153
154-162
163-171
172-180
122
131
140
149
158
167
176
3
5
9
12
5
4
2
366
655
1260
1788
790
668
352
-3
-2
-1
0
1
2
3
-9
-10
-9
0
5
8
6
27
20
9
0
5
16
18
-81
-40
-9
0
5
32
54
243
80
9
0
5
64
162
Jumlah ∑ 𝑓 = 40 ∑ 𝑓𝑖𝑀𝑖
= 5,879
∑ 𝑓𝑖𝑑𝑖
= −9
= 95
= 39
= 563
𝑋 =
∑ 𝑓𝑖𝑀𝑖
∑ 𝑓𝑖
=
5,879
40
= 146, 975
𝑀𝑒𝑑 = 𝐿𝑜 + 𝑐 {
𝑛
2
− (∑ 𝑓𝑖)0
𝑓𝑚
}
Dari data, 1f + 2f + 3f = 3 + 5 + 9 = 17, belum mencapai 50% observasi (=20).
Untuk mencapai angka 20, harus ditambah dengan frekuensi kelas keempat. Jadi
kelas keempat memuat median fm = 12, (∑ 𝑓𝑖)0 = 17
Nilai batas bawah dan atas dari kelas yang memuat median masing-masing adalah
:
1
2
(144+ 145) = 144,5 𝑑𝑎𝑛
1
2
(153 + 154) = 153,5
𝑐 = 153,5 − 144,5 = 9; 𝐿𝑜 = 144,5
𝑀𝑒𝑑 = 144 + 9(
20 − 17
12
)

53
𝑆 = 𝑐√
𝑛
− (
𝑛
)
= 9√
95
40
− (
−9
40
)
= 13, 72
𝑇𝐾 =
3( 𝑋 − 𝑀𝑒𝑑)
𝑆
𝑇𝐾 =
3(146,975− 146,75)
13,72
= 0,049
∝3=
93
(13,72)3
{
−39
40
− 3(
95
40
)(
−9
40
) + 2 (
−9
40
) 3
}
= 0,282 (0,605)
= 0,17
Makin besar α3 , kurva suatu distribusi makin menceng (miring).
1.2.Koefisien Kemencengan Bowley
Ukuran kemencengan lainnya dengan menggunakan kuartil sebagai
berikut :
𝑄𝐶𝑆 =
(( 𝑄3−𝑄2)−(𝑄2−𝑄1))
𝑄3−𝑄1
=
𝑄3−2𝑄2+𝑄1
𝑄3−𝑄1
. . . . . . . . . (1.19)
Ket : QCS = Quartile Coefficient of Skewness (Kuartil Koefisien kemencengan)

54
Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien
kemencengan
Kemencengan.Apabila nilai skB dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :
1) Jika Q3 – Q2 > Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kanan atau menceng
secara
positif.
2) Jika Q3 – Q2 < Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng
secara
negatif.
3) QCS positif, berarti distribusi mencengke kanan.
4) QCS negatif, nerarti distribusi menceng ke kiri.
5) QCS = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan skB>
0,30
menggambarkan kurva yang menceng berarti.
1.3.Koefisien Kemencengan Persentil
Koefisien Kemencengan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil
(P90,P50 dan P10) dari sebuah distribusi. Koefisien Kemencengan Persentil
dirumuskan :
10 − 90 𝑃𝐶𝑆 =
( 𝑃90−𝑃50)−( 𝑃50−𝑃10)
𝑃90−𝑃10
=
=𝑃90−2𝑃50 +𝑃10
𝑃90−𝑃10
. . . . . . . . . (1.20)
Ket :
10=90 PCS = 10-90 Quartile Coefficient of Skewness (Persentil Koefisien
Kemencengan)
1.4.Keofisien Kemencengan Momen
Koefisien Kemencengan Momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3
dengan pangkat tiga simpang baku. Koefisien menencengan momen
dilambangkan dengan α3. Koefisien kemencengan momen disebut juga

55
kemencengan relatif. Apabila nilai α3dihubungkan dengan keadaan kurva,
didapatkan :
1) Untuk distribusi simetris (normal), nilai α3= 0,
2) Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai α3 = positif,
3) Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai α3= negatif,
4) Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki nilai α3> ±0,50 adalah
distribusi
yang sangat menceng
5) Menurut Kenney dan Keeping, nilai α3 bervariasi antara ± 2 bagi distribusi
yang
menceng.
Dalam pemakaiannya, rumus kedua lebih praktis dan lebih mudah perhitungannya
2. Pengukuran Keruncingan (kurtosis)
2.1. Pengertian Keruncingan
Pengukuran kurtosis (peruncingan) sebuah distribusi teoritis ada kalanya
dinamakan pengukuran ekses (excess) dari sebuah distribusi. Sebetulnya,
kurtosis dapat dianggap sebagai suatu distorsi dari kurva normal.
2.2. Ukuran Keruncingan Kurva ( Kurtosis)
Dilihat dari tingkat keruncingannya kurva distribusi frekuensi dibagi
menjadi leptokurtis, platykurtis, dan mesokurtis

56
a) Leptokurtis (puncaknya b) platykurtis (puncak agak c) mesokurtis
(puncaknya tidak
sangat runcing) datar/merata) begitu runcing
Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva distribusi dipergunakan α4 ,
yaitu moment coefficient of kurtosis yang rumusnya sebagai berikut :
∝4=
𝑀4
𝑆4 =
1
𝑛
∑ (𝑋𝑖−𝑋)4𝑛
𝑖=1
𝑆4 . . . . . . . . . (untuk data tak berkelompok) (1.21)
∝4=
𝑀4
𝑆4 =
1
𝑛
∑ (𝑀𝑖−𝑋)4𝑘
𝑖=1
𝑆4 . . . . . . . . . . (untuk data berkoloompok) (1.22)
Kalau kelas intervalnya sama, maka rumus (1.22) akan menjadi :
∝4=
𝐶4
𝑆4 {
1
𝑛
− 4 (
1
𝑛
𝑖=1 )(
1
𝑛
𝑖=1 )𝑘
𝑖=1 +
6 (
1
𝑛
𝑖=1 )(
1
𝑛
𝑖=1 ) 2
− 3 (
1
𝑛
𝑖=1 ) 4
} . . . . . . . . . Keteragan
symbol sama pada rumus (1.18)
Contoh :
Berdasarkan data pada contoh 1, hitunglah tingkat keruncingan kurva dengan
menggunakan Rumus (1.23).
∝4=
94
(13,72)4
{
1
40
(563) − 4 (
−39
40
)(
−9
40
) + 6(
95
40
)(
−9
40
) 2
− 3(
−9
40
) 4
}
=
6,561
(13,72)3
{14,075 − 4(−0,975)(−0,225)+ 6(2,375)(−0,225)2
− 3 (
−9
40
) 4
}
= 0,185{14,075 – 4(0,219) + 6(0,120) – 3(0,0020)}
= 0,185 (14,075 – 0,876 + 0,72 – 0,0078) = 2,57

57
Kalau α4 > 3 dihasilkan kurva leptokurtis (meruncing)
α4 =3 dihasilkan kurva mesokurtis (normal)
α4< 3 dihasilkan kurva platykurtis (mendatar)
rumus lainnya disebut Quartile Coefficient of Kurtosis (QCK), yaitu
sebagai berikut :
𝑄𝐶𝐾 =
1
2
(𝑄3 − 𝑄1)
𝑃90 − 𝑃10
Suatu distribusi yang mempunyai nilai QCK = 0,263 dapat didekati dengan fungsi
normal
KESIMPULAN
Rata-rata dan varians sebenarnya merupakan hal istimewa dari kelompok
ukuranlain yang disebut momen. Rata-rata
hitungsertadeviasistandarduadistribusimungkinsamameskipunbentukkurva
frekuensikeduadistribusitersebutberbedakarenatingkatkemencengannyaber
beda. Untuk mengetahui distribusi dari sekumpulan data ditinjau dari
kemencengannya,kita harus menghitung Koefisien Kemencengannya.
Pengukuran kurtosis (peruncingan) dapat dianggap sebagai suatu distorsi
dari kurva normal,dan untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva
distribusi dipergunakan koefisien kurtosis .Dilihat dari tingkat
keruncingannya kurva distribusi frekuensi dibagi menjadi leptokurtis,
platykurtis, dan mesokurtis
BAB VI

58
DISTRIBUSI BINOMIAL DAN POISSON
1. Distribusi Binomial
a. Pengertian dan Ciri-Ciri Distribusi Binomial
Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Binomial adalah distribusi
probabilitas diskrit yang jumlah keberhasilan dalam n percobaan (berhasil
atau gagal) saling bebas dengan setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p.
(Raini Manurung 2013)
Distribusi binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh James Bernoulli)
adalah suatu distribusi teoretis yang menggunakan variable random diskrit yang
terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak,
baik-cacat, kepala-ekor. (Hasan,2001:55)
Dalam perhitungan probabilitas distribusi Binomial dilakukan dengan memakai
pendekatan distribusi Poisson. Jika n besar dan p sangat kecil maka
distribusi Binomial dapat didekati dengan memakai distribusi Poisson.
Distribusi binomial memiliki ciri-ciri:
1) Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-
gagal.
2) Probabilitas satu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap
percobaan.
3) Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan
tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya.
4) Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan
binomial harus tentu.
b. Rumus Distribusi Binomial
a) Rumus Binomial Suatu Peristiwa
Secara umum rumus dari probabilitas binomial suatu peristiwa dituliskan:
𝑃( 𝑋 = 𝑥) = 𝑏( 𝑥; 𝑛, 𝑝) = 𝐶 𝑥
𝑛
𝑝 𝑥
𝑞 𝑛−𝑥
Keterangan:

59
𝑥 = banyaknya peristiwa sukses
𝑛 = banyaknya percobaan
𝑝 = probabilitas peristiwa sukses
𝑞 = 1 − 𝑝 = probabilitas peristiwa gagal
Contoh:
Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari
peristiwa mata dadu 5 muncul 1 kali.
Penyelesaian:
Karena dadu memiliki 6 sisi, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 5, sehingga setiap sisi memiliki
probabilitas
1
6
. Jadi, probabilitas untuk mata 1 adalah
1
6
, sehingga:
𝑝 =
1
6
; 𝑞 =
5
6
; 𝑛 = 4; 𝑥 = 1
𝑃( 𝑋 = 𝑥) = 𝐶 𝑥
𝑛
𝑝 𝑥
𝑞 𝑛−𝑥
𝑃( 𝑋 = 𝑥) = 𝐶1
4
𝑝1
𝑞4−1
𝑃( 𝑋 = 𝑥) = 𝐶1
4
𝑝1
𝑞3
𝑃( 𝑋 = 𝑥) = 4 (
1
6
)
1
(
5
6
)
3
𝑃( 𝑋 = 𝑥) = (
4
6
)(
125
216
)
𝑃( 𝑋 = 𝑥) =
500
1296
𝑃( 𝑋 = 𝑥) = 0,386
b) Probabilitas Binomial Kumulatif
Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih
dari satu sukses. (Hasan, 2001:59)
Probabilitas binomial kumulatif dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

60
𝑃𝐵𝐾 = ∑ 𝐶 𝑥
𝑛
𝑛
𝑥=0
𝑝 𝑥
𝑞 𝑛−𝑥
= ∑ 𝑃
𝑛
𝑥=0
( 𝑋 = 𝑥)
= 𝑃( 𝑋 = 0) + 𝑃( 𝑋 = 1) + 𝑃( 𝑋 = 2) + ⋯+ 𝑃( 𝑋 = 𝑛)
c. Rata-Rata, Varians, dan Simpangan Baku Distribusi Binomial
a) Untuk Rata-Rata
𝐸( 𝑋) = 𝜇 = ∑ 𝑥
𝑛
𝑥=0
( 𝐶 𝑥
𝑛
𝑝 𝑥
𝑞 𝑛−𝑥)
b) Untuk Varians
𝜎2
= ∑ 𝑥2
𝑛
𝑥=0
( 𝐶 𝑥
𝑛
𝑝 𝑥
𝑞 𝑛−𝑥) − 𝜇2
c) Untuk Simpangan Baku
𝜎 = √∑ 𝑥2
𝑛
𝑥=0
( 𝐶 𝑥
𝑛 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥)− 𝜇2
Secara singkat, nilai rata-rata, varians, dan simpangan baku distribusi binomial
dapat dapat dihitung dengan rumus:
a) Rata-rata ( 𝜇) = 𝑛 . 𝑝
b) Varians ( 𝜎2) = 𝑛 . 𝑝 . 𝑞
c) Simpangan baku ( 𝜎2) = √ 𝑛 . 𝑝 . 𝑞
Contoh:

61
Suatu distribusi binomial memiliki 𝑛 = 6, 𝑝 =
1
4
, 𝑞 =
3
4
. tentukan nilai rata-rata,
varians, dan simpangan bakunya.
Penyelesaian:
Rata-rata ( 𝜇) = 𝑛 . 𝑝
= 6 ×
1
4
= 1,5
Varians ( 𝜎2) = 𝑛 . 𝑝 . 𝑞
= 6 ×
1
4
×
3
4
= 1,125
Simpangan baku ( 𝜎2) = √ 𝑛 . 𝑝 . 𝑞
= √1,125
= 1,06
2. Distribusi Poisson
a. Pengertian dan Ciri-Ciri Distribusi Poisson
Distribusi Poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi,
ditemukan oleh S.D. Poisson (1781-1841), seorang ahli matematika bangsa
Prancis. Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variable
diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3, ..., n. (Raini Manurung
2013)
Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variable random X(X
diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval
waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu. (Hasan ,2001:64)
Distribusi Poisson memiliki ciri-ciri sebagai berikut:
1. Percobaan di satu selang tertentu tak bergantung pada selang lain.
2. Peluang terjadinya satu percobaan singkat atau pada daerah yang kecil (jarang
terjadi).

62
3. Peluang lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu singkat
tertentu, dapat diabaikan.
b. Rumus Distribusi Poisson
a) Rumus Probabilitas Posisson Suatu Peristiwa
Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan:
𝑃( 𝑋 = 𝑥) =
𝜆 𝑥
𝑒−𝜆
𝑥!
Keterangan:
𝜆= rata-rata terjadinya suatu peristiwa
𝑒= bilangan alam = 2,71828
Contoh:
Dalam sebuah majalah yang terdiri dari 120 halaman terdapat 80 halaman yang
salah cetak dan berdistribusi secara acak dalam halaman-halaman majalah
tersebut. Hitunglah probabilitas, seandainya sebuah halaman majalah tersebut
dibuka 4 kata yang salah cetak.
Penyelesaian:
𝑛 = 80; 𝑝 =
1
120
𝜆 = 𝑛. 𝑝
= 80 ×
1
120
= 0,67

63
Probabilitas terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses Poisson,
dirumuskan:
𝑃( 𝑋 = 𝑥) =
𝑒−𝜆𝑡 ( 𝜆𝑡) 𝑥
𝑥!
Contoh:
UGD suatu rumah sakit memiliki tingkat kedatangan rata-rata pasien sebanyak 4
orang per hari. Berapa probabilitas kedatangan 2 pada malam hari saja.
Penyelesaian:
𝑡 = 1; 𝜆 = 4; 𝑥 = 2
𝑃( 𝑋 = 2) =
𝑒−4
1
2 (4 ×
1
2
)
2
2!
=
(0,135)(4)
2
= 0,271
b) Probabilitas Distribusi Poisson Kumulatif
Probabilitas Poisson Kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa lebih dari satu.
(Hasan, 2001:67)
Probabilitas Poisson Kumulatif dapat dihitung dengan rumus:
𝑃𝑃𝐾 = ∑
𝜆 𝑥
𝑒−𝜆
𝑥!
𝑛
𝑥=0
= ∑ 𝑃( 𝑋 = 𝑥)
𝑛
𝑥=0
= 𝑃( 𝑋 = 0) + 𝑃( 𝑋 = 1) + 𝑃( 𝑋 = 2) + ⋯+ 𝑃( 𝑋 = 𝑛)

64
c) Distribusi Poisson sebagai Pendekatan Distribusi Binomial
Dirumuskan:
𝑃( 𝑋 = 𝑥) =
( 𝑛𝑝) 𝑥
𝑒−𝑛𝑝
𝑥!
Keterangan:
𝑛𝑝 = rata-rata distribusi binomial
Contoh:
Seorang pengusaha angkot menggunakan 20 angkot dalam bisnisnya.
Probabilitas sebuah angkot mengalami dan memerlukan perbaikan adalah 0,02.
Tentukan probabilitas dari 3 angkot yang akan mengalami gangguan dan
memerlukan perbaikan.
Penyelesaian:
𝑛 = 20; 𝑝 = 0,02; 𝑥 = 3
𝑃( 𝑋 = 𝑥) =
(20 × 0,02)3
𝑒−(20×0,02)
3!
𝑃( 𝑋 = 𝑥) =
(0,4)3
𝑒−0,4
6
𝑃( 𝑋 = 𝑥) =
(20 × 0,02)3
𝑒−(20×0,02)
3!
= 0,0072
c. Rata-Rata, Varians, dan Simpangan Baku Distribusi Poisson
a. Rata-rata
𝐸( 𝑋) = 𝜇 = 𝜆 = 𝑛 . 𝑝
b. Varians
𝐸( 𝑋 − 𝜆)2
= 𝜎2
= 𝑛 . 𝑝

65
c. Simpangan baku
𝜎 = √𝜆 = √ 𝑛 . 𝑝
KESIMPULAN
Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa probabilitas dapat
membantu kita dalam mengambil keputusan. Misalnya seperti memperkirakan mana
yang lebih banyak peluang gagal atau sukses dari sebuah usaha yang dilakukan.
Percobaan Binomial adalah suatu percobaan yang terdiri dari beberapa
usaha, yang mana setiap usaha memiliki dua kemungkinan hasil yaitu berhasil dan
gagal. Percobaan tersebut disebut dengan tindakan Bernoulli atau percobaan
Bernoulli (Bernoulli trial)

66
BAB VII
DISTRIBUSI NORMAL DAN APLIKASINYA
1. Pengertian Distribusi Normal
Distribusi normal merupakan suatu alat statistik yang penting dalam
menaksir dan meramalkan peristiwa-peristiwa yang lebih luas.Distribusi
normal adalah salah satu distribusi teoritis dan variabel random kontinu.
Distribusi normal sering disebut distribusi Gauss, sesuai nama
pengembangnya, yaitu Karl Gauss pada abad ke-18, seorang ahli
matematika dan astronomi (Iqbal Hasan,2003 : )
2. Ciri-ciri Distribusi Normal
a. Berbentuk lonceng simetris terhadap 𝑥 = 𝜇.
Dirtibusi normal atau kurve normal disebut juga dengan nama
distribusi Gauss, karena persamaan matematisnya ditemukan oleh
Gauss dengan rumus:
𝑓( 𝑥) =
1
𝜎√2𝜋
𝑒
−1
2
(
𝑥−𝜇
𝜎
)
2
di mana: 𝜋 = nilai konstan yaitu = 3,1416
e = nilai konstan yaitu = 2,7183
𝜇 = parameter yang merupakan rata-rata distribusi
𝜎 = parameter yang merupakan simpangan baku distribusi
(Usman Husaini dan R. Purnomo, 2006:106).
Jika x mempunyai bentuk −∞ < 𝑥 < ∞, maka disebut variabel acak X
berdistribusi normal. Rumus di atas dapat digambarkan sebagai berikut:

67
Gambar 1. Kurve Normal
1) Grafiknya selalu berada di atas sumbu absis X.
2) Mempunyai modus, jadi kurva unimodal tercapai pada 𝑥 = 𝜇 =
0,3939
𝜎
.
3) Grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu absis X dimulai dari
𝑥 = 𝜇 + 3𝜎 ke kanan dan 𝑥 = 𝜇 − 3𝜎 ke kiri.
4) Luas daerah grafik selalu = satu unit persegi
b. Bentuk Kurve Normal
a. Normal Umum
Di mana 𝜇 = 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎
𝜎 = 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑘𝑢
𝜇 − 3𝜎 𝜇 − 2𝜎 𝜇 − 𝜎 𝜇 𝜇 + 𝜎 𝜇 + 2𝜎 𝜇 + 3𝜎
Gambar 2. Kurve Normal Umum

68
b. Normal Baku (Standar)
Gambar 3. Kurve Normal Baku
Menurut Husaini Usman dan R. Purnomo (2006:107-108), perubahan
dari bentuk normal umum menjadi normal baku dilakukan dengan langkah-
langkah berikut:
1) Cari zhitung dengan rumus: 𝑧 =
𝑋̅−𝜇
𝜎
2) Gambar kurvenya.
3) Tuliskan nilai zhitung pada sumbu X di kurve di atas dan tarik garis
dari titik zhitungke atas sehingga memotong garis kurve.
4) Luas yang terdapat dalam tabel merupakan luas daerah antara
garis tegak ke titik 0 di tengah kurve.
5) Carilah tempat nilai z dalam tabel normal.
6) Luas kurve normal = 1, karena 𝜇 = 0, maka luas dari 0 ke ujung
kiri = 0,5. Luas dari 0 ke titik kanan = 0,5.
Jika z bilangan bulat, maka luas daerah (dalam %) adalah sebagai
berikut:

69
Gambar 4. Kurva Normal Baku dalam %
Jika z bukan bilangan bulat, maka luas daerahnya dicari dengan
menggunakan tabel kurve normal baku.
c. Cara Menggunakan Tabel Kurve Normal Baku
Beberapa contoh di bawah ini diambil dari buku Husaini Usman dan R.
Purnomo (2006:108).
a. Berapa z = +2,34?
Jawab: 0,4904 atau 49,04% (ke kanan).
b. Berapa z = -2,34?
Jawab: 0,4904 atau 49,04% (ke kiri).
c. Berapa luas antara z = -2,34 dan z = +2,34 atau (-2,34< z <+2,34)?
Jawab: 49,04 + 49,04 = 98,08%
d. Berapa luas antara z = 1,23 dengan z = 2,34 atau (1,23 < z < 2,34)?
Jawab: z = +2,34 = 49,04%
z = +1,23 = 39,07% _
9,97%
e. Berapa luas z = +1,23 ke kanan?
Jawab: z = +1,23 ke kanan = 10,93%
f. Berapa luas z = + 1,23 ke kiri?
Jawab: 100% - 10,93% = 89,07%
g. Berapa nilai z untuk luas 49,60?
Jawab: 2,65.
d. Contoh Soal
Dari 100 peserta LCCM didapat nilai rata-rata pengerjaan = 75 dengan
simpangan baku = 4.
Ditanyakan:
1) Berapa jumlah peserta yang mendapat nilai 80 ke atas?
2) Berapa jumlah peserta yang mendapat nilai 70 ke bawah?

70
3) Berapa nilai peserta yang dapat dikualifikasikan 10% dari nilai tertinggi?
Jawab:
1) 𝑧 =
𝑋̅−𝜇
𝜎
=
80−75
4
= 1,25
dari tabel kurve normal di dapat luas ke kanan = 10,56%
Jadi jumlah peserta = 10,56% x 100 = 11 orang.
2) 𝑧 =
75−80
4
= −1,25
Dari tabel kurve normal didapat luas ke kiri = 10,56%.
Jadi jumlah peserta = 10,56% x 100 = 11 orang.
3) Batas kualifikasi 10% tertinggi = 50% - 10% = 40% daro tabel kurve
normal di dapat 1,28. Karena SD tertinggi = 4, maka untuk 1,28 SD =
1,28 x 4 = 5,12. Jadi skor tertinggi = 75 + 5,12 = 80,12.
Distribusi normal merupakan distribusi yang simetris dan berbentuk genta
atau lonceng. Pada bentuk tersebut ditunjukkan hubungan ordinat pada
rata-rata dengan berbagai ordinat pada jarak simpangan baku yang diukur
dari rata-rata.
Dalam bentuk diagram atau kurva (disebut kurva normal), distribusi
normal digambarkan: Kurva tersebut dipengaruhi oleh rata (𝜇) dan
simpangan baku (𝜎). Jika rata-rata (𝜇) besar dan simpangan baku (𝜎) besar
maka kurvanya makin rendah (platikurtik). Jika rata-rata (𝜇) dan
simpangan baku (𝜎) kecil maka kurvanya makin tinggi (leptokurtik).
Dari bentuk kurva distribusi normal dapat diketahui sifat-sifat distribusi
normal, yaitu;
a. Bentuk distribusi normal adalah bentuk genta atau lonceng dengan
satu puncak (unimodal).
b. Rata-rata (𝜇) terletak di tengah-tengah.
c. Nilai rata-rata sama dengan median sama dengan modus
memberikan pola simetris.

71
d. Ujung-ujung sisi kurvanya sejajar dengan sumbu horizontal dan
tidak akan pernah memotong sumbu tersebut.
e. Data sebagian besar ada di tengah-tengah dan sebagian kecil ada di
tepi, yaitu;
i. Jarak ±1𝜎 menampung 68% atau 68,26 data,
ii. Jarak ±2𝜎 menampung 95% atau 95,46 data,
iii. Jarak ±1𝜎 menampung 99% atau 99,74 data.
1. Distribusi normal standar
Keluarga distribusi normal memiliki jumlah yang banyak sekali, akibat
pengaruh rata-rata simpangan baku. Akan tetapi, untuk mencari
probabilitas suatu interval dari variabel random kontinu dapat
dipermudah dengan menggunakan bantuan distribsui normal standar.
Distribusi normal standar adalah distribusi normal yang memiliki
rata-rata (𝜇)= 0 dan simpangan baku (𝜎) = 1. Bentuk fungsinya adalah,
𝑓( 𝑍) =
1
√2𝜋
𝑒
−
1
2
𝑍2
Dalam bentuk diagram atau kurva (disebut kurva normal standar),
distribusi normal standar digambarkan:
Dari bentuk kurva distribusi normal standar tersebut, dapat diketahui
sifat-sifat distribusi tersebut yaitu:
a. Kurva simetris terhadap sumbu Y.
b. Mempunyai titik tertinggi (0,
1
√2𝜋
), dengan
1
√2𝜋
= 0,4.
c. Cekung ke bawah untuk interval -1≤ x ≤1 dan cekung ke atas
untuk nilai x di luar interval tersebut.
d. Meluas atau melebar tanpa batas ke kiri dan ke kanan serta
mendekati sumbu X secara cepat begitu bergerak dari X = 0 ke
kiri maupun ke kanan.

72
e. Luas seluruh daerah di bawah kurva dan di atas sumbu X
sebesar 1 unit.
Untuk mengubah distribusi normal umum menjadi distribusi
normal standar, gunakan nilai Z (standard units). Bentuk rumusnya
yaitu,
Z =
𝑋−𝜇
𝜎
Keterangan:
Z = variabel normal standar
X = nilai variabel random
𝜇 = rata-rata variabel random
𝜎 = simpangan baku variabel random
Nilai Z adalah angka atau indeks yang menyatakan
penyimpangan suatu nilai variabel random (X) dari rata-rata
(𝜇) dihitung dalam satuan simpangan baku (𝜎).
2. Penggunaan kurva normal standar
Untuk mencari luas daerah di bawah kurva normal standar, yaitu tabel
luas kurva normal standar dengan nilai-nilai Z tertentu. Dengan daftar
tersebut, bagian-bagian luas dari distribusi normal standar dapat dicari.
Karena seluruh luas kurva adalah 1 dan kurva simetris terhadap 𝜇 = 0
maka luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan
adalah 0,5, dan diartikan: P(Z > 0) = 0,5. Luas daerah di bawah kurva
normal pada interval tertentu dapat dituliskan: P(0 < Z < b).

73
Contoh:Akan dihitung nilai P(0 < Z < 2,13), langkah-langkahnya
adalah:
a. 2,13 = 2,1 + 0,03.
b. Dengan tabel luas kurva normal standar, dicari 2,1 pada kolom
Z (kolom paling kiri) dan 0,03 pada baris pertama (baris paling
atas).
c. Pertemuan baris 0,03 dan kolom 2,1 merupakan nilai Z dari P(0
< Z < 2,13), yaitu 0,4834.
Beberapa bagian luas di bawah kurva untuk distribusi normal
umum dengan rata-rata 𝜇 dan simpangan 𝜎 tertentu, dapat
ditentukan. Artinya, jika sebuah kejadian memiliki distribusi
normal maka dari kejadian itu:
a. Kira-kira 68,27% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan
baku sekitar rata-rata, yaitu antara 𝜇 ± 𝜎.
b. Kira-kira 95,45% dari kasus ada dalam daerah dua simpangan
baku sekitar rata-rata, yaitu antara 𝜇 ± 2𝜎.
c. Kira-kira 99,73% dari kasus ada dalam daerah tiga simpangan
baku sekitar rata-rata, yaitu antara 𝜇 ± 3𝜎.
d. Sekalipun secara teoritis ujung kurva normal ke kanan dan ke
kiri tak berhingga jauhnya, namun praktis dalam jarak lebih
dari tiga simpangan baku dari rata-ratanya (𝜇 ± 3𝜎) luas kurva
normal itu tidak berarti lagi (kurang dari 1%).
Untuk menentukan luas daerah kurva normal (yang bukan baku)
dilakukan transformasi dengan menggunakan nilai Z. Cara
transformasinya adalah sebagai berikut.
a. Menghitung nilai Z sampai dua desimal.
b. Menggambar kurva normal standarnya.

74
c. Meletakkan nilai Z pada sumbu X, kemudian menarik garis
vertikal yang memotong kurva.
d. Nilai yang terdapat dalam daftar merupakan luas daerah
antara garis tersebut dengan garis vertikal di titik nol.
e. Dalam dafta distribusi normal standar, mencari tempat
harga Z pada kolom paling kiri hanya sampai satu desimal
dan mencari desimal keduanya pada baris paling atas.
f. Dari Z di kolom kiri maju ke kanan dan dari Z di baris atas
trun ke bawah, sehingga didapat bilangan yang merupakan
luas daerah yang dicari.
Untuk mencari nilai Z, apabila luas kurva diketahui maka
dilakukan langkah sebaliknya.
Contoh:
Hitunglah P(90 < X < 115) untuk 𝜇 = 105 dan 𝜎 = 10
Penyelesaiannya:
X1 = 90 dan X2 = 115
Z =
𝑋−𝜇
𝜎
Untuk X1 = 90;
Z1 =
90−105
10
= -1,5
Untuk X2 = 115;
Z2 =
115−105
10
= 1
Dengan demikian P(90 < X < 115) ≈ P(-1,5 < Z < 1)
P(-1,5 < Z < 1) = P(-1,5 < Z < 0) + P(0 < Z < 1)
= 0,4332 + 0,3413 = 0,7745

75
Jadi, P(90 < X < 115) = 0,7745
3. Rata-rata, varians, dan simpangan baku distribusi normal
Distribusi normal memiliki rata-rata, varians, dan simpangan baku
sebagai berikut.
a. Rata-rata;
𝜇 =
∑ 𝑋
𝑛
b. Varians;
𝜎2
=
∑(𝑋 − 𝜇)2
𝑛
c. Simpangan baku;
𝜎 = √
∑(𝑋 − 𝜇)2
𝑛
KESIMPULAN
Distribusi normal adalah salah satu distribusi teoritis dan variabel
random kontinu. Kurvanya merupakan kurva normal. Keluarga
distribusi normal memiliki jumlah yang banyak sekali, akibat pengaruh
rata-rata simpangan baku. Akan tetapi, untuk mencari probabilitas
suatu interval dari variabel random kontinu dapat dipermudah dengan
menggunakan bantuan distribsui normal standar. Menghitung luas
daerah kurva normal dapat menggunakan Tabel Kurve Normal
Baku.

76
BAB VIII
UJI HOMOGENITAS DAN UJI NORMALITAS
A. Pengertian Uji Normalitas dan Homogenitas
Uji normalitas adalah alat yang digunakan untuk mengetahui apakah
populasi data berdistribusi normal atau tidak. Uji ini biasanya digunakan
untuk mengukur data berskala ordinal, interval, ataupun rasio. Jika analisis
menggunakan metode parametrik, maka persyaratan normalitas harus
terpenuhi yaitu data berasal dari distribusi yang normal. Jika data tidak
berdistribusi normal, atau jumlah sampel sedikit dan jenis data adalah
nominal atau ordinal maka metode yang digunakan adalah statistik non
parametrik. Di pihak lain, beberapa ahli menyatakan bahwa uji normalitas
tidak diperlukan terhadap data yang jumlahnya sama dengan atau lebih
dari 30 buah atau disebut sampel besar seperti dikemukakan Sudjana dan
Sutrisno Hadi (yang dikutip oleh Usman Husaini dan R. Purnomo,
2006:109). Tetapi Nunnaly (yang dikutip oleh Usman Husaini dan R.
Purnomo, 2006:109) mengemukakan bahwa ada pula ahli yang
menyatakan bahwa data sudah dianggap normal jika jumlahnya 100 buah
lebih.
B. Cara Pengujian Normalitas
Pengujian normalitas data dapat dilakukan dengan cara:
a. Pengujian Normalitas dengan Kertas Peluang
Langkah-langkah Pengujian Normalitas dengan Kertas Peluang.
1) Urutkan data dari yang terendah sampai tertinggi.
2) Buat daftar distribusi komulatif relatif kurang dari.
3) Gambarkan nilai daftar tersebut ke kertas peluang.
4) Hubungkan titik-titik yang digambarkan di kertas peluang tadi.
5) Simpulkan bahwa data berdistribusi normal atau mendekati
distribusi normal apabila titik-titik yang dihubungkan tersebut
merupakan garis lurus atau hampir lurus. Demikian pula jika
sebaliknya.
b. Pengujian Normalitas dengan Kurtosis

77
Kurtosis ialah tinggi atau rendahnya bentuk kurve normal (Usman
Husaini dan R. Purnomo, 2006:110). Kurve disebut normal,
apabila kurvenya tidak terlalu runcing (tinggi) atau pula tidak
terlalu datar (rendah). Kurve yang runcing disebut leptokurtik,
kurve yang datar disebut platikurtik, dan kurve yang tidak terlalu
datar disebut mesokurtik.
Gambar 1. Kurva Normal Baku
Koefisien kurtosis diberi lambang a4 yang dicari dengan rumus: a4
= (m4/m2
2)
Kriterianya jika :
a4 = 3, maka distribusinya normal.
a4 > 3, maka distribusinya leptokurtik.
a4 < 3, maka distribusinya platikurtik.

78
c. Pengujian Normalitas Data dengan Koefisien Kurtosis
Persentil
Pengujian normalitas data dengan koefisien kurtosis persentil
dihitung dengan rumus:
𝑘 =
𝑆𝐾
𝑃90 − 𝑃10
=
1
2
(𝐾3 − 𝐾1)
𝑃90 − 𝑃10
Keterangan :
SK = rentang semi antar kuartil
K1 = kuartil kesatu
K3 = kuartil ketiga
P10 = persentil kesepuluh
P90 = persentil ke-90
P90 – P10 = rentang 10 – 90 persentil
Kriterianya jika :
k = 0,263 atau mendekati 0,263, maka datanya berdistribusi normal
atau mendekati distribusi normal.
C. Cara Pengujian Homogenitas
Dalam Husaini Usman dan R. Purnomo (2006:133), pengujian
homogenitas ada tiga cara yaitu:
a. Varians Terbesar dibandingkan Varians Terkecil
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
1) Tulis Ha dan H0 dalam bentuk kalimat.
2) Tulis Ha dan H0 dalam bentuk statistik.

79
3) Cari Fhitung dengan menggunakan rumus: 𝐹 =
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑇𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙
4) Tetapkan taraf signifikansi (𝛼).
5) Hitung Ftabel dengan rumus:
𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 𝐹1
2
𝛼
(𝑑𝑘 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 −
1, 𝑑𝑘 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 − 1) dengan menggunakan tabel F
didapat Ftabel.
6) Tentukan kriteria pengujian H0 yaitu:
Jika Fhitung ≤ Ftabel, maka H0 diterima (homogen).
7) Bandingkan Fhitung dengan Ftabel.
8) Buatlah kesimpulan.
Contoh Soal :
Terdapat dua macam pengukuaran prosedur mengajar di sebuah sekolah.
Prosedur ke-1 dilakukan 10x menghasilkan s2 = 37,2 dan prosedur ke-2
dilakukan 13x menghasilkan s2 = 37,2. 𝛼 = 0,10. Apakah kedua prosedur
mengajar tersebut mempunyai varians yang homogen?
Jawab:
1) Ha : Terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2.
H0 : Tidak terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2.
2) Ha : 𝜎21
2
≠ 𝜎11
2
H0 : 𝜎21
2
= 𝜎11
2
3) Fhitung dengan menggunakan rumus: 𝐹 =
=
37,2
24,7
= 1,506
4) Taraf signifikansi (𝛼) = 0,10.
2
𝛼
( 𝑑𝑘 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 − 1, 𝑑𝑘 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 − 1)
= 𝐹1
2
.0,10(13−1,10−1)
= 𝐹0,05(12,9)

80
Dengan menggunakan tabel F didapat Ftabel = 3,07.
6) Kriteria pengujian H0 yaitu jika Fhitung ≤ Ftabel, maka H0 diterima
(homogen).
7) Ternyata 1,506 ≤ 3,070 atau Fhitung ≤ Ftabel, sehingga H0 diterima
(homogen).
8) Kesimpulannya:
H0 yang berbunyi: “Tidak terdapat p erbedaan varians 1 dengan varians
2”, diterima (homogen). Sebaliknya Ha yang berbunyi “Terdapat
perbedaan varians 1 dengan varians 2”, ditolak (tidak homogen).
b. Varians Terkecil dibandingkan Varians Terbesar
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
3) Cari Fhitung semula dengan menggunakan rumus:
𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑙𝑎 =
𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 𝑘𝑖𝑛𝑖 =
4) Tetapkan taraf signifikansi (𝛼).
5) Hitung Ftabel semula dengan rumus:
𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑙𝑎 = 𝐹1
2
𝛼
(𝑑𝑘 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 −
1, 𝑑𝑘 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 − 1) dengan menggunakan tabel F
didapat Ftabel semula.
6) Cari Ftabel kanan dengan rumus:
𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 = 𝐹1
2
𝛼
( 𝑑𝑘 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 −
1, 𝑑𝑘 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 − 1)
dengan menggunakan tabel F didapat nilai 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛. Nilai
ini selanjutnya sebagai nilai maksimal.
7) Cari Ftabel kiri dengan rumus:

81
𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 = 𝐹(1−𝛼)(𝑑𝑘 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙
− 1, 𝑑𝑘 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 − 1)
atau
𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 =
1
𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑙𝑎
8) Tentukan kriteria pengujiannya yaitu:
Jika - Ftabel kiri ≤ 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 𝑘𝑖𝑛𝑖 ≤ +𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛, maka H0 diterima
(homogen).
9) Bandingkan nilai - Ftabel kiri, 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 𝑘𝑖𝑛𝑖, 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛.
10) Buatlah kesimpulannya.
Contoh Soal :
Terdapat dua macam pengukuaran prosedur mengajar di sebuah sekolah.
Prosedur ke-1 dilakukan 10x menghasilkan s2 = 37,2 dan prosedur ke-2
dilakukan 13x menghasilkan s2 = 37,2. 𝛼 = 0,10. Apakah kedua varians
tersebut homogen?
Jawab:
1) Ha : Terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2.
H0 : Tidak terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2.
2) Ha : 𝜎21
2
≠ 𝜎11
2
H0 : 𝜎21
2
= 𝜎11
2
3) Fhitung kini untuk langkah 3 dengan rumus:
𝐹𝑘𝑖𝑛𝑖 =
=
24,7
37,2
= 0,664
4) Taraf signifikansi (𝛼) = 0,10.
2
𝛼
(𝑑𝑘 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 − 1, 𝑑𝑘 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 − 1)
= 𝐹1
2
.0,10(13−1,10−1)
= 𝐹0,05(12,9)

82
Dengan menggunakan tabel F didapat Ftabel = 3,07 nilai ini sebagai
𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑙𝑎 .
6) Ftabel kanan dengan rumus:
𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 = 𝐹1
2
𝛼
( 𝑑𝑘 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 − 1, 𝑑𝑘 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 −
1)
=
𝐹1
2.0,10(10−1,13−1)
= 𝐹0,05(9,12)
dengan memakai tabel F didapat nilai Ftabel kanan = 2,80. Nilai ini
selanjutnya sebagai nilai maksimal.
7) Cari Ftabel kiri dengan rumus:
𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 = 𝐹(1−𝛼)(𝑑𝑘 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 − 1, 𝑑𝑘 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 − 1)
atau
𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 =
1
𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑙𝑎
=
1
3,07
= 0,328
8) Kriteria pengujiannya yaitu:
Jika - Ftabel kiri ≤ 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 𝑘𝑖𝑛𝑖 ≤ +𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛, maka H0 diterima
(homogen).
9) Ternyata -0,328 < 0,664 < 2,800 atau - Ftabel kiri < 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 𝑘𝑖𝑛𝑖 <
+𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛, sehingga H0 diterima (homogen).
10) Kesimpulannya:
H0 yang berbunyi: “Tidak terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2”,
diterima (homogen). Sebaliknya Ha yang berbunyi “Terdapat perbedaan
varians 1 dengan varians 2”, ditolak (tidak homogen)
c. Uji Bartlett
Pengujian homogenitas data dengan uji Bartlett adalah untuk
melihat apakah variansi-variansi k buah kelompok peubah bebas
yang banyaknya data per kelompok bisa berbeda dan diambil
secara acak dari data populasi masing-masing yang berdistribusi
normal, berbeda atau tidak.

83
Uji Bartlett digunakan apabila pengujian homogenitas dilakukan
terhadap tiga varians atau lebih. Langkah-langkahnya adalah
sebagai berikut:
3) Buatlah tabel penolong untuk uji Bartlett.
Tabel Penolong Uji Bartlett
Kelompok ke:
Dk 1
𝑑𝑘
𝑠𝑖
2
log 𝑠2𝑖
2
dk log 𝑠2𝑖
2
1
2
3
K
n1-1
n2-1
n3-1
nk-1
1
n1 − 1
1
n2 − 1
1
n3 − 1
1
nk − 1
𝑠21
2
𝑠22
2
𝑠23
2
𝑠2𝑘
2
log 𝑠21
2
log 𝑠22
2
log 𝑠23
2
log 𝑠2𝑘
2
dk log 𝑠21
2
dk log 𝑠22
2
dk log 𝑠23
2
dk log 𝑠2𝑘
2
∑ (ni −
1)
1
ni − 1
dk log 𝑠2𝑖
2
4) Hitung 𝑠2
dengan menggunakan rumus:
𝑠2
=
∑(𝑛𝑖 − 1)𝑠𝑖
2
∑(𝑛𝑖 − 1)
5) Hitung log 𝑠2
6) Hitung B dengan rumus:
𝐵 = (log 𝑠2
)∑(𝑛𝑖 − 1)

84
7) Cari 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
2
dengan rumus:
𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
2
= (2,3026) 𝐵 − ∑( 𝑛𝑖 − 1)log 𝑠𝑖
2
8) Tetapkan taraf signifikansi (𝛼)
9) Cari 𝜒𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙
2
dengan rumus:
𝜒𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙
2
= 𝜒(1−𝛼)(𝑑𝑘)
2
dimana dk = banyak kelompok -1
dengan menggunakan tabel χ2 didapat 𝜒𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙
2
10) Bandingkan 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
2
dengan 𝜒𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙
2
.
11) Buatlah kesimpulannya.
Contoh Soal :
Kelompok 1 dengan anggota 8 orang bervarians 400,609.
Apakah keempat varians tersebut homogen?
Jawab:
Ha : Terdapat perbedaan varians.
H0 : Tidak terdapat perbedaan varians.
2) Hipotesis statistiknya
Ha : salah satu ada yang ≠
H0 : : 𝜎1
2
= 𝜎1
2
= 𝜎1
2
= 𝜎1
2
3) Buatlah tabel penolong untuk uji Bartlett sebagai berikut:
Tabel Penolong Uji Bartlett

85
Kelompok ke:
Dk 1
𝑑𝑘
𝑠𝑖
2
log 𝑠2𝑖
2
dk log 𝑠2𝑖
2
1
2
3
4
7
8
8
7
0,1429
0,1250
0,1250
0,1429
400,609
256,889
354,444
147,734
2,6027
2,4097
2,5495
2,1695
18,2190
19,2780
20,3964
15,1867
Jumlah 30 0,5358 73,0801
4) Hitung 𝑠2
dengan menggunakan rumus:
𝑠2
=
∑( 𝑛𝑖 − 1) 𝑠𝑖
2
∑( 𝑛𝑖 − 1)
=
7.400,609 + 8.256,889 + 8.354,444 + 7.147,734
7 + 8 + 8 + 7
= 290,969
5) log 𝑠2
= log290,969 = 2,4638
6) Hitung B dengan rumus:
𝐵 = (log 𝑠2)∑( 𝑛𝑖 − 1) = 2,4638.30 = 73,915
7) Cari 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
2
dengan rumus:
𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
2
= (2,3026) 𝐵 − ∑( 𝑛𝑖 − 1)log 𝑠𝑖
2
= 2,3026(73,915− 73,0801) = 1,92
8) Taraf signifikansi ( 𝛼) = 0,01
9) Cari 𝜒𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙
2
dengan rumus:
𝜒𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙
2
= 𝜒(1−𝛼)(𝑑𝑘)
2
=𝜒0,99(3)
2
dimana dk = banyak kelompok – 1=4-1 = 3
dengan menggunakan tabel χ2 didapat 𝜒𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙
2
= 11,3
10) Ternyata 1,92 < 11,3 atau 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
2
< 𝜒𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙
2
, sehingga H0 diterima.

86
11) Kesimpulannya:
H0 yang berbunyi: “Tidak terdapat perbedaan varians 1”, diterima
(homogen). Sebaliknya Ha yang berbunyi “Terdapat perbedaan varians”,
ditolak (tidak homogen).
D. Macam-macam Metode Uji Normalitas
Uji normalitas berguna untuk menentukan data yang telah dikumpulkan
berdistribusi normal atau diambil dari populasi normal. Metode klasik
dalam pengujian normalitas suatu data tidak begitu rumit. Berdasarkan
pengalaman empiris beberapa pakar statistik, data yang banyaknya lebih
dari 30 angka (n > 30), maka sudah dapat diasumsikan berdistribusi
normal. Biasa dikatakan sebagai sampel besar.
Namun untuk memberikan kepastian, data yang dimiliki berdistribusi
normal atau tidak, sebaiknya digunakan uji statistik normalitas. Karena
belum tentu data yang lebih dari 30 bisa dipastikan berdistribusi normal,
demikian sebaliknya data yang banyaknya kurang dari 30 belum tentu
tidak berdistribusi normal, untuk itu perlu suatu pembuktian. uji statistik
normalitas yang dapat digunakan diantaranya Chi-Square, Kolmogorov
Smirnov, Lilliefors, Shapiro Wilk.
a. Metode Chi Square
Metode Chi-Square atau 𝑋2
untuk Uji Goodness of fit Distribusi
Normal menggunakan pendekatan penjumlahan penyimpangan
data observasi tiap kelas dengan nilai yang diharapkan.
𝑋2
= ∑
(𝑂𝑖 −𝐸𝑖 )
𝐸𝑖
𝑋2
= Nilai 𝑋2
𝑂𝑖 = nilai observasi

87
𝐸𝑖 = NIlai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan
tabel normal dikalikan N (total frekuensi) (pi x N)
𝑁 = Banyaknya angka pada data (total frekuensi)
Komponen penyusun rumus tersebut di atas didapatkan
berdasarkan pada hasil
transformasi data distribusi frekuensi yang akan diuji
normalitasnya, sebagai
berikut:
No Batas Interval
Kelas
𝑍 =
𝑋𝑖 − 𝑋̅
𝑆𝐷
𝑝𝑖 𝑂𝑖 𝐸𝑖(𝑝𝑖 𝑥𝑁)
1
2
3
dst
Keterangan :
𝑋𝑖= Batas tidak nyata interval kelas
Z = Transformasi dari angka batas interval kelas ke notasi pada
distribusi normal
𝑝𝑖 = Luas proporsi kurva normal tiap interval kelas berdasar tabel
normal (lampiran)
𝑂𝑖 = Nilai observasi

88
𝐸𝑖 = Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan
tabel normal
dikalikan N (total frekuensi) ( 𝑝𝑖 𝑥𝑁)
Persyaratan Metode Chi Square (Uji Goodness of fit
Distribusi Normal)
a. Data tersusun berkelompok atau dikelompokkan dalam tabel
distribus frekuensi.
b. Cocok untuk data dengan banyaknya angka besar ( n > 30 )
c. Setiap sel harus terisi, yang kurang dari 5 digabungkan.
Signifikansi
Signifikansi uji, nilai 𝑋2
hitung dibandingkan dengan 𝑋2
tabel
(Chi-Square).
Jika nilai 𝑋2
hitung < nilai 𝑋2
tabel, maka Ho diterima ; Ha
ditolak.
Jika nilai 𝑋2
hitung > nilai 𝑋2
tabel, maka maka Ho ditolak ; Ha
diterima.
Contoh Soal :
Diambil tinggi badan mahasiswa di suatu perguruan tinggi tahun 1990.
TINGGI BADAN JUMLAH
140 – 144 7
145 – 149 10

89
150 – 154 16
155 – 159 23
160 – 164 21
165 – 169 17
170 – 174 6
JUMLAH 100
Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas berdistribusi normal?
(Mean = 157.8; Standar deviasi = 8.09)
Penyelesaian :
1. Hipotesis :
Ho : Populasi tinggi badan mahasiswa berdistribusi normal
H1 : Populasi tinggi badan mahasiswa tidak berdistribusi normal
2. Nilai α
Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05
3. Rumus Statistik penguji
𝑋2
= ∑
(𝑂𝑖 −𝐸𝑖 )
𝐸𝑖
Batas Interval Kelas
𝒁 =
𝑿𝒊 − 𝑿̅
𝑺𝑫
𝒑𝒊 𝑶𝒊 𝑬 𝒊(𝒑𝒊 𝒙𝑵)
139.5 - 144.5 -2.26 - -1.64 0.4881 - 0.4495 = 0.0386 7 3,86
144.5 - 149.5 -1.64 - -1.03 0.4495 - 0.3485 = 0.1010 10 10,1

90
149.5 - 154.5 -1.03 - -0.41 0.3485 - 0.1591 = 0.1894 16 18,94
154.5 - 159.5 -0.41 - 0.21 0.1591 - 0.0832 = 0.2423 23 24.23
159.5 - 164.5 0.21 - 0.83 0.0832 - 0.2967 = 0.2135 21 21.35
164.5 - 169.5 0.83 - 1.45 0.2967 - 0.4265 = 0.1298 17 12.98
169.5 - 174.5 1.45 - 2.06 0.4265 - 0.4803 = 0.0538 6 5.38
JUMLAH 100
Luasan pi dihitung dari batasan proporsi hasil tranformasi Z yang
dikonfirmasikan dengan tabel distribusi normal (Lampiran).
𝑋2
= ∑
(𝑂𝑖 −𝐸 𝑖)
𝐸 𝑖
=
(7−3,86)2
3,86
+
(10−10,1)2
10,1
+
(16−18,94)2
18,94
+
(23−24,23)2
24,23
+ ⋯+
(6−5,38)2
5,38
= 0,427
4. Derajat Bebas
Df = ( k – 3 ) = ( 5 – 3 ) = 2
5. Nilai
Nilai tabel 𝑋2
; α = 0,05 ; df = 2 ; = 5,991. Tabel X2 (Chi-Square) pada
lampiran.
6. Daerah penolakan
- Menggunakan gambar

91
terima : 0.1628 tolak : 5.991
- Menggunakan rumus
|0,427 | < |5,991| ; berarti Ho diterima, Ha ditolak
7. Kesimpulan
Populasi tinggi badan mahasiswa berdistribusi normal α = 0,05.
b. Metode Lillifors (N Kecil dan N Besar)
Uji kenormalan dilakukan secara parametrik dengan menggunakan
penaksir rata-rata dan simpangan baku, maka dalam bagian ini akan
diperlihatkan uji kenormalan secara nonparametrik. Uji yang
digunakan dikenal dengan nama uji Lilliefors.
Misalkan kita mempunyai sampel acak dengan hasil pengamatan x1
, x2 , ..... , xn. Berdasarkan sampel ini akan diuji hipotesis nol bahwa
sampel tersebut berasal dari populasi berdistribusi normal melawan
hipotesis tandingan bahwa distribusi tidak normal. Untuk pengujian
hipotesis nol tersebut kita tempuh prosedur tersebut :
a) Pengamatan x1 , x2 , ....., xn dijadikan bilangan bilangan baku
z1 , z2 , ..... , zn dengan menggunakan rumus 𝑧𝑖 =
𝑥 𝑖−𝑥̅
𝑠
(𝑥̅ dan

92
s masing-masing merupakan rata-rata dan simpangan baku
sampel).
b) Untuk tiap bilangan baku ini dan menggunakan daftar
distribusi normal baku, kemudian dihitung peluang F(zi) =
P(z ≤ zi).
c) Selanjutnya dihitung proporsi z1, z2, ..... , zn yang lebih kecil
atau sama dengan zi. Jika proporsi ini dinyatakan oleh S(zi),
maka S(zi) =
banyaknya z1,z2,.....,zn yang ≤ zi
𝑛
d) Hitung selisih F(zi) – S(zi) kemudian tentukan harga
mutlaknya.
e) Ambilah harga yang paling besar di antara harga-harga
mutlak selisih tersebut. Sebutlah harga terbesar ini L0
Untuk menerima atau menolak hipotesis nol, kita bandingkan L0
ini dengan
nilai kritis L yang diambil dari Daftar XIX(11) untuk taraf nyata
 yang dipilih. Kriterianya adalah: tolak hipotesis nol bahwa
populasi berdistribusi normal jika L0 yang diperoleh dari data
pengamatan melebihi L dari daftar. Dalam hal lainnya hipotesis
nol diterima.
Daftar XIX
Nilai Kritis L untuk Uji Lilliefors
Ukuran
Sampel
Taraf Nyata ()
0,01 0,05 0,10 0,15 0,20

93
n = 4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
25
30
0,417
0,405
0,364
0,348
0,331
0,311
0,294
0,284
0,275
0,268
0,261
0,257
0,250
0,245
0,239
0,235
0,231
0,200
0,187
1,031
√𝑛
0,381
0,337
0,319
0,300
0,285
0,271
0,258
0,249
0,242
0,234
0,227
0,220
0,213
0,206
0,200
0,195
0,190
0,173
0,161
0,886
√𝑛
0,352
0,315
0,294
0,276
0,261
0,249
0,239
0,230
0,223
0,214
0,207
0,201
0,195
0,289
0,184
0,179
0,174
0,158
0,144
0,805
√𝑛
0,319
0,299
0,277
0,258
0,244
0,233
0,224
0,217
0,212
0,202
0,194
0,187
0,182
0,177
0,173
0,169
0,166
0,147
0,136
0,768
√𝑛
0,300
0,285
0,265
0,247
0,233
0,223
0,215
0,206
0,199
0,190
0,183
0,177
0,173
0,169
0,166
0,163
0,160
0,142
0,131
0,736
√𝑛

94
n > 30
Sumber : Conover, W.J., Practical Nonparametric Statistics, John Wiley & Sons,
Inc. 1973.
Contoh Soal :
Misalkan sampel dengan data:
23, 27, 33, 40, 48, 48, 57, 59, 62, 68, 69, 70 telah diambil dari sebuah
populasi. Akan diuji hipotesis nol bahwa sampel ini berasal dari populasi
dengan distribusi normal. Dari data di atas didapat 𝑥̅ = 50,3 dan s = 16,55.
Agar supaya mudah dimengerti setelah mengikuti prosedur disebutkan di
atas, sebaiknya hasilnya disusun seperti dalam daftar berikut
.
Xi zi F(zi) S(zi) | 𝑭(𝒛𝒊) − 𝑺(𝒛𝒊)|
23
27
33
40
48
48
57
59
62
- 1,65
- 1,41
- 1,05
- 0,62
- 0,14
- 0,14
0,40
0,53
0,71
1,07
1,13
1,19
0,0495
0,0793
0,1469
0,2676
0,4443
0,4443
0,6554
0,7019
0,7612
0,0833
0,1667
0,2500
0,3333
0,5000
0,5000
0,5833
0,6667
0,7500
0,0338
0,0874
0,1031
0,0657
0,0557
0,0557
0,0721
0,0352
0,0112

95
68
69
70
0,8577
0,8708
0,8830
0,8333
0,9167
1,0000
0,0244
0,0459
0,1170
Dari kolom terakhir dalam daftar di atas didapat L0 = 0,1170. Dengan n = 12
dan taraf nyata  = 0,05, dari Daftar XIX didapat L = 0,242 yang lebih besar
dari L0 = 0,1170 sehingga hipotesis nol diterima. Kesimpulannya adalah
bahwa populasi berdistribusi normal.
Metode Lilliefors menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel
distribusi frekuensi. Data ditransformasikan dalam nilai Z untuk dapat
dihitung luasan kurva normal sebagai probabilitas komulatif normal.
Probabilitas tersebut dicari bedanya dengan probabilitas komultaif empiris.
Beda terbesar dibanding dengan tabel Lilliefors pada Tabel Harga Quantil
Statistik Lilliefors Distribusi Normal.
No 𝑋𝑖
𝑍 =
𝑋𝑖 − 𝑋̅
𝑆𝐷
𝐹(𝑋) 𝑆(𝑋) | 𝐹( 𝑋) − 𝑆(𝑋)|
1
2
3
dst
Keterangan :
𝑋𝑖 = Angka pada data

96
𝑍 = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal
𝐹( 𝑋) = Probabilitas komulatif normal
𝑆( 𝑋) = Probabilitas komulatif empiris
Persyaratan
a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)
b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi
c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.
Signifikasi
Signifikansi uji, nilai | F (x) - S (x) | terbesar dibandingkan dengan nilai
tabel Lilliefors.
Jika nilai | F (x) - S (x) | terbesar < nilai tabel Lilliefors, maka Ho diterima
; Ha ditolak.
Jika nilai | F(x) - S(x) | terbesar > dari nilai tabel Lilliefors, maka Ho
ditolak ; Ha diterima.
c. Metode Kolmogorov-Smirnov
Metode Kolmogorov-Smirnov tidak jauh beda dengan metode
Lilliefors. Langkah-langkah penyelesaian dan penggunaan rumus
sama, namun pada signifikansi yang berbeda. Signifikansi metode
Kolmogorov-Smirnov menggunakan tabel pembanding
Kolmogorov-Smirnov, sedangkan metode Lilliefors menggunakan
tabel pembanding metode Lilliefors.
No 𝑋𝑖
𝑍 =
𝑋𝑖 − 𝑋̅
𝑆𝐷
𝐹𝑇 𝐹𝑆 | 𝐹𝑇 − 𝐹𝑆 |

97
1
2
3
dst
Keterangan :
𝑋𝑖 = Angka pada data
𝑍 = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal
𝐹𝑇 = Probabilitas komulatif normal
𝐹𝑆 = Probabilitas komulatif empiris
Persyaratan
a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)
b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi
frekuensi
c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.
Signifikasi
Signifikansi uji, nilai |FT – FS| terbesar dibandingkan dengan nilai
tabel Kolmogorov Smirnov.
Jika nilai |FT – FS| terbesar <nilai tabel Kolmogorov Smirnov,
maka Ho diterima; Ha ditolak.
Jika nilai |FT – FS| terbesar > nilai tabel Kolmogorov Smirnov,
maka Ho ditolak; Ha diterima.

98
Tabel Kolmogorov Smirnov pada lampiran 5, Harga Quantil
Statistik Kolmogorov Distribusi Normal.
d. Metode Shapiro Wilk
Metode Shapiro Wilk menggunakan data dasar yang belum diolah
dalam tabel distribusi frekuensi. Data diurut, kemudian dibagi
dalam dua kelompok untuk dikonversi dalam Shapiro Wilk. Dapat
juga dilanjutkan transformasi dalam nilai Z untuk dapat dihitung
luasan kurva normal.
𝑇3 =
1
𝐷
[∑ 𝑎𝑖(𝑋 𝑛−𝑖+1 − 𝑋𝑖)
𝑘
𝑖=1
]
2
Keterangan :
D = Berdasarkan rumus di bawah
𝑎𝑖 = Koefisient test Shapiro Wilk (lampiran 8)
𝑋 𝑛−𝑖+1 = Angka ke n – i + 1 pada data
𝑋𝑖 = Angka ke i pada data
𝐷 = ∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2
𝑛
𝑖=1
Keterangan :
Xi = Angka ke i pada data yang
X = Rata-rata data
𝐺 = 𝑏 𝑛 + 𝑐 𝑛 + ln(
𝑇3 − 𝑑 𝑛
1 − 𝑇3
)
Keterangan :

STATISTIK DASAR

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (20)

Similar a STATISTIK DASAR

Similar a STATISTIK DASAR (20)

Más de linda_rosalina

Más de linda_rosalina (20)

Último

Último (20)

STATISTIK DASAR