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Matriz jacobiana

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Matriz Jacobiana
Lisbett Daniela Montaño
Jacobiano
En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante
jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz
jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre
en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.
En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace
referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad
algebraica asociada a la curva, donde la curva puede ser
embebida.
Matriz Jacobiana
La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer
orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la
posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el
jacobiano representa la derivada de una función multivariable.
Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana, de diferencial
jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la
base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación
lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aún tratándose del mismo objeto
matemático.
Matriz Jacobiana
La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación
cualquiera 𝐹: ℝ 𝑛 → ℝ 𝑚 continua, es decir 𝐹 ∈ 𝐶 𝑘 (ℝ 𝑛, ℝ 𝑚) se dirá que es
diferenciable si existe una aplicación lineal 𝜆 ∈ ℒ(ℝ 𝑛
, ℝ 𝑚
) tal que:
lim
𝑥−𝑦 →0
(𝐹(𝑥)−𝐹 𝑦 ) − 𝜆(𝑥 − 𝑦)
𝑥 − 𝑦
= 0
Función escalar
Empecemos con el caso más sencillo de una función escalar 𝐹: ℝ 𝑛 → ℝ 𝑚. En
este caso la matriz jacobiana será una matriz formada por un vector fila que coincide
con el gradiente. Si la función admite derivadas parciales para cada variable puede
verse que basta definir la matriz jacobiana como:
𝜆(𝑥) ≔ 𝛻𝐹 𝑥 =
𝜕𝐹(𝑥)
𝜕𝑥1
⋯
𝜕𝐹(𝑥)
𝜕𝑥 𝑛
Ya que entonces se cumplirá la relación, anteriormente expuesta,
automáticamente, por lo que en este caso la matriz jacobiana es precisamente el
gradiente.
Funciones Paramétricas
En algunos casos la ecuación de una función o de una relación no está dada en
la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) o 𝑓(𝑥,𝑦) = 0, como en las igualdades 𝑦 = 5𝑥2
+ 3𝑥 o 𝑥2
+ 𝑦2
= 4
sino que está determinada por un par de ecuaciones en términos de una misma
variable.
Por ejemplo, consideremos las ecuaciones 𝑥 = 𝑡2
− 2𝑡, 𝑦 = 𝑡 + 1 con 𝑡 ∈ ℝ Se
tiene que a cada valor de t le corresponde un punto (x,y) del plano, el conjunto de
los cuales determina una relación ℜ.

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Matriz jacobiana

  • 2. Jacobiano En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi. En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curva puede ser embebida.
  • 3. Matriz Jacobiana La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable. Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana, de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aún tratándose del mismo objeto matemático.
  • 4. Matriz Jacobiana La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera 𝐹: ℝ 𝑛 → ℝ 𝑚 continua, es decir 𝐹 ∈ 𝐶 𝑘 (ℝ 𝑛, ℝ 𝑚) se dirá que es diferenciable si existe una aplicación lineal 𝜆 ∈ ℒ(ℝ 𝑛 , ℝ 𝑚 ) tal que: lim 𝑥−𝑦 →0 (𝐹(𝑥)−𝐹 𝑦 ) − 𝜆(𝑥 − 𝑦) 𝑥 − 𝑦 = 0
  • 5. Función escalar Empecemos con el caso más sencillo de una función escalar 𝐹: ℝ 𝑛 → ℝ 𝑚. En este caso la matriz jacobiana será una matriz formada por un vector fila que coincide con el gradiente. Si la función admite derivadas parciales para cada variable puede verse que basta definir la matriz jacobiana como: 𝜆(𝑥) ≔ 𝛻𝐹 𝑥 = 𝜕𝐹(𝑥) 𝜕𝑥1 ⋯ 𝜕𝐹(𝑥) 𝜕𝑥 𝑛 Ya que entonces se cumplirá la relación, anteriormente expuesta, automáticamente, por lo que en este caso la matriz jacobiana es precisamente el gradiente.
  • 6. Funciones Paramétricas En algunos casos la ecuación de una función o de una relación no está dada en la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) o 𝑓(𝑥,𝑦) = 0, como en las igualdades 𝑦 = 5𝑥2 + 3𝑥 o 𝑥2 + 𝑦2 = 4 sino que está determinada por un par de ecuaciones en términos de una misma variable. Por ejemplo, consideremos las ecuaciones 𝑥 = 𝑡2 − 2𝑡, 𝑦 = 𝑡 + 1 con 𝑡 ∈ ℝ Se tiene que a cada valor de t le corresponde un punto (x,y) del plano, el conjunto de los cuales determina una relación ℜ.
  • 7. Funciones Paramétricas La siguiente tabla de valores: t -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x 24 15 8 3 0 -1 0 3 8 15 y -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
  • 8. Funciones Paramétricas Nos permite hacer la representación gráfica de la relación de la siguiente manera:
  • 9. Funciones Paramétricas En general, las ecuaciones 𝑥 = 𝑔(𝑡), 𝑦 = ℎ(𝑡) con h y g, funciones continuas en un intervalo 𝐼, 𝐼 ⊆ ℝ reciben el nombre de ecuaciones paramétricas o representación paramétrica de una curva en el plano XY. La gráfica de las ecuaciones paramétricas está dada por el conjunto de puntos del plano XY, que se obtiene cuando t, que recibe el nombre de parámetro, toma todos sus valores posibles en el dominio 𝐼.
  • 10. Función vectorial Supongamos F: Rn → Rm es una función que va del espacio euclidiano n- dimensional a otro espacio euclidiano m-dimensional. Esta función está determinada por m funciones reales: y1(x1,..., xn),..., ym(x1,..., xn). Las derivadas parciales de estas (si existen) pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz Jacobiana de F: 𝜕𝑦1 𝜕𝑥1 ⋯ 𝜕𝑦1 𝜕𝑥 𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝜕𝑦 𝑚 𝜕𝑥1 ⋯ 𝜕𝑦 𝑚 𝜕𝑥 𝑛
  • 11. Función vectorial Esta matriz esta notada de diversas maneras: 𝐽 𝐹 𝑥1, … , 𝑥 𝑛 𝜕 𝑦1, … , 𝑦 𝑚 𝜕 𝑥1, … , 𝑥 𝑛 𝐷𝐹(𝑥1, … , 𝑥 𝑛) 𝛻𝐹(𝑥1, … , 𝑥 𝑛)
  • 12. Ejemplo 1 La matriz jacobiana de la función 𝐹: ℝ3 → ℝ3 definida como: 𝐹 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝑥1, 5𝑥3, 4𝑥2 2 − 2𝑥3 es: 𝐽 𝐹 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 1 0 0 0 0 5 0 8𝑥2 −2 No siempre la matriz jacobiana es cuadrada. Véase el siguiente ejemplo.
  • 13. Ejemplo 2 Supóngase la función 𝐹: ℝ3 → ℝ4 cuyas componentes son: 𝑦1 = 1 𝑥1 𝑦2 = 5𝑥3 𝑦3 = 4𝑥2 2 − 2𝑥3 𝑦4 = 𝑥3 sin(𝑥1)
  • 14. Ejemplo 2 Aplicando la definición de matriz jacobiana: 𝐽 𝐹 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 𝜕𝑦1 𝜕𝑥1 𝜕𝑦1 𝜕𝑥2 𝜕𝑦1 𝜕𝑥3 𝜕𝑦2 𝜕𝑥1 𝜕𝑦2 𝜕𝑥2 𝜕𝑦2 𝜕𝑥3 𝜕𝑦3 𝜕𝑥1 𝜕𝑦4 𝜕𝑥1 𝜕𝑦3 𝜕𝑥2 𝜕𝑦4 𝜕𝑥2 𝜕𝑦3 𝜕𝑥3 𝜕𝑦4 𝜕𝑥3 = − 1 𝑥1 2 0 0 0 0 5 0 𝑥3 cos(𝑥1) 8𝑥2 0 −2 sin(𝑥1)
  • 15. Determinante jacobiano Si m = n, entonces F es una función que va de un espacio n-dimensional a otro. En este caso la matriz jacobiana es cuadrada y podemos calcular su determinante, conocido como el determinante jacobiano o simplemente jacobiano. El determinante jacobiano en un punto dado nos da información importante sobre el comportamiento de F cerca de ese punto. Para empezar, una función F es invertible cerca de p si el determinante jacobiano en p es no nulo. Más aún, el valor absoluto del determinante en p nos da el factor con el cual F expande o contrae su volumen cerca de p.
  • 16. Ejemplo 1 El determinante jacobiano de la función 𝐹: ℝ3 → ℝ3 definida como: 𝐹 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 5𝑥2, 4𝑥1 2 − 2 sin 𝑥2 𝑥3 , 𝑥2 𝑥3 es: 𝐽 𝐹 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 0 5 0 8𝑥1 −2𝑥3 cos(𝑥2 𝑥3) −2𝑥2 cos(𝑥2 𝑥3) 0 𝑥3 𝑥2 = −5 × 8𝑥1 −2𝑥2 cos 𝑥2 𝑥3 0 𝑥2 = −40𝑥1 𝑥2
  • 17. Ejemplo 1 El teorema de la función inversa garantiza que la función es localmente invertible en todo el dominio excepto quizá donde 𝑥1 = 0 o 𝑥2 = 0 (es decir, los valores para los que el determinante se hace cero). Si imaginamos un objeto pequeño centrado en el punto (1,1,1) y le aplicamos F, tendremos un objeto aproximadamente 40 veces más voluminoso que el original.
  • 18. Ejemplo 2 Cambiando un poco la función anterior por ésta: 𝐹 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = (5𝑥2, 4𝑥1 2 −
  • 19. Ejemplo 2 En este caso existen más valores que anulan al determinante. Por un lado 𝑥2 = 0, y por otro: cos 𝑥2 𝑥3 = 0 ⇔ 𝑥2 𝑥3 = 2𝑘 + 1 𝜋 2 con 𝑘 = 0,1,2, …
  • 20. Invertibilidad y jacobiano Una propiedad interesante del jacobiano es que cuando éste es diferente de cero en el entorno de un punto dado, entonces el teorema de la función inversa garantiza que la función admite una función inversa alrededor de dicho punto. El teorema anterior expresa una condición suficiente aunque no necesaria, ya que por ejemplo la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 tiene por jacobiano 𝐽 = 3𝑥2 que se anula en el punto 𝑥 = 0, aunque alrededor de ese punto la función sigue teniendo inversa 𝑔(𝑥) = 𝑓−1 𝑥 = 𝑥 1 3 aún cuando el jacobiano es nulo en el origen.