KHAI TRIỂN TAYLOR

Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
20 0
0 0 0
( )
0
0
( )
1! 2!
!
n
n
n
f x
R
f x
f x f x x x x x
f x
x x
n
′ ′′
= + − + −
+ + − +L
( )
( )
( 1)
1
0 ,
( 1)!
n
n
n
f c
x x
n
R
+
+
= −
+
f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x0:
(khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x0)
c nằm giữa x và x0

Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
20 0
0 0
0
0
( )
0
0
( )
1! 2!
(
!
)n
n
n
f x f x
f x f x x x x x
f x
o x xx x
n
′ ′′
= + − + −
+ −+ − +L
f có đạo hàm cấp n tại x0:
Phần dư Peano.
x0 = 0: khai triển Maclaurin.

Ý nghĩa của khai triển Taylor
f(x): biểu thức phức tạp
⇒ cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần bằng
f(x) để thuận tiện trong tính toán.
Hàm đơn giản nhất là đa thức.

f(x) = sinx

( ) ( )f x x o x= +
f(x) = sinx

3
3
( ) ( )
3!
x
f x x o x= − +( ) ( )f x x o x= +
f(x) = sinx

3
3
( ) ( )
3!
x
f x x o x= − +( ) ( )f x x o x= +
4 2 1
7
1
( ) ( 1) ( )
(2 1)!
n
n
n
x
f x o x
n
−
=
= − +
−
∑
f(x) = sinx

Ví dụ 1.
(khai triển f thành đa thức theo lũy thừa của (x – 1)
đến (x – 1)3
)
•Với phần dư Peano, chỉ cần tính đến đh cấp 3.
•Với phần dư Lagrange, phải tính đến đh cấp 4.
Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận
x = 1 cho
1
( )f x
x
=

(1) 1f⇒ =
1
( )f x
x
=
2
1
( )f x
x
′ = − (1) 1f ′⇒ = −
3
2
( )f x
x
′′ = (1) 2f ′′⇒ =
4
6
( )f x
x
′′′ = − (1) 6f ′′′⇒ = −
( )
2
3 3
(1) (1)
( ) (1) ( 1) ( 1)
1! 2!
(1)
( 1) ( 1)
3!
f f
f x f x x
f
x o x
′ ′′
= + − + −
′′′
+ − + −
(4)
5
24
( )f x
x
=

( )
2
3 3
(1) (1)
( ) (1) ( 1) ( 1)
1! 2!
(1)
( 1) ( 1)
3!
f f
f x f x x
f
x o x
′ ′′
= + − + −
′′′
+ − + −
( )2 3 31 2 6
( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1! 2! 3!
f x x x x o x= − − + − − − + −
( )32 3
1 ( 1) ( 1) ( ( 1)1)x ox x x= − − + − − −+−
Phần dư Peano

(4)
5
24
( )f x
x
=
Nếu dùng phần dư Lagrange:
32
3( 1)( ) 1 ( 1) ( 1)f x x x Rx= − − + − +−−
4(
3
)
4( )
( 1)
!4
cf
R x⇒ = −
4
4
5 5
1 24 ( 1)
( 1)
4!
x
x
c c
−
= − =

Ví dụ 2
2
( ) 2tan (1 tan )f x x x′′ = +
2 2 2
( ) 2(1 tan ) 6tan (1 tan )f x x x x′′′ = + + +
( )
2
3 3
(0) (0)
( ) (0) ( 0) ( 0)
1! 2!
(0)
( 0) ( 0)
3!
f f
f x f x x
f
x o x
′ ′′
= + − + −
′′′
+ − + −
3
3
tan ( )
3
x
x x o x= + +
Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho f(x) = tan x
2
( ) 1 tanf x x′ = +

Ví dụ 3
2 3(2) (2) (2)
( ) (2) ( 2) ( 2) ( 2)
1! 2! 3!
f f f
f x f x x x
′ ′′ ′′′
= + − + − + −
Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = −1,
f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1)
Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(4)
(x) = 0
⇒ Khai triển Taylor của f đên cấp 3 không
có phần dư.

2 3(2) (2) (2)
( ) (2) ( 2) ( 2) ( 2)
1! 2! 3!
f f f
f x f x x x
′ ′′ ′′′
= + − + − + −
Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = −1,
f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1)
2 31 4 12
0 ( 2) ( 2) ( 2)
1! 2! 3!
x x x= − − + − + −
2 3
( 2) 2( 2) 2( 2)x x x= − − + − + −
2
( ) 1 4( 2) 6( 2)f x x x′⇒ = − + − + −
(1) 1, (1) 1f f ′⇒ = =

Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản
( )
( )k x
f x e=
( )
( )
1
(0)
(0) ( 0) ( 0)
!
n k
x k n
k
f
e f x o x
k=
= + − + −∑
1
1
1 ( )
!
n
x k n
k
e x o x
k=
= + +∑
( )
(0) 1k
f⇒ =
(x0 = 0)
(. )1 x
f x e=

1
( ) ( 1) ( 1)!
( )
(1 )
k
k
k
k
f x
x
−
− −
=
+
( )
( )
1
(0)
ln(1 ) (0)
!
n k
k n
k
f
x f x o x
k=
+ = + +∑
1
1
ln(1 ) ( 1) ( )
n k
k n
k
x
x o x
k
−
=
+ = − +∑
( )2. l 1 )n(f x x= +
( ) 1
(0) ( 1) ( 1)!k k
f k−
⇒ = − −

( )
( ) ( 1) ( 1)(1 )k k
f x k x α
α α α −
= − − + +L
( )
( )
1
(0)
(1 ) (0)
!
n k
k n
k
f
x f x o x
k
α
=
+ = + +∑
2( 1)
(1 ) 1
1! 2!
( 1) ( 1)
( )
!
n n
x x x
n
x o x
n
α α α α
α α α
−
+ = + + +
− − +
+ +
L
L
( )3. (1 )f x x α
= +
( )
(0) ( 1) ( 1)k
f kα α α= − − +L

Áp dụng cho α = − 1.
2 31
1 ( 1) ( )
1
n n n
x x x x o x
x
= − + − + + − +
+
L
2( 1)
(1 ) 1
1! 2!
( 1) ( 1)
( )
!
n n
x x x
n
x o x
n
α α α α
α α α
−
+ = + + +
− − +
+ +
L
L

( )
( ) sin
2
k
f x x k
π = + ÷
 
( )
2 1 ( )
2 1
0
(0)
sin (0)
!
n k
k n
k
f
x f x o x
k
−
−
=
= + +∑
( ) si3. nf x x=
( )
(0) sin
2
k
f k
π
⇒ =
(1)
(0) 1,f =
( )
2 1
1 2 1
1
sin ( 1)
(2 1)!
n k
k n
k
x
x o x
k
−
− −
=
= − +
−
∑
( )(2 )
0 0p
f =
(3)
(0) 1,f = − ( ) 1(2 1)
(0) 1
pp
f
−−
= −

( )
2 ( )
2
0
(0)
sin (0)
!
n k
k n
k
f
x f x o x
k=
= + +∑
( )
2 1
1 2
1
sin ( 1)
(2 1)!
n k
nk
k
o x
x
x
k
−
−
=
= − +
−
∑
Lưu ý cho hàm sin x
f(2n)
(0) = 0 ⇒ hệ số của x2n
là 0.

Bảng công thức kt Maclaurin cơ bản
2
1 ( )
1! 2! !
x
n
nx x x
e o x
n
= + + + + +L
2 3
1
( 1) ( )
2 3
ln(1 )
n
n nx x x
x o xx
n
−
= − + − + − ++ L
2( 1)
1
1! 2!
( 1) ( 1)
(
(1 )
)
!
n n
x x
n
x o x
x
n
α α α α
α α α
−
= + + +
− − +
+ +
+ L
L

2 3
1 ( 1)
1
1
( )n n n
x x x o x
x
x= − + − + + − +
+
L
( )
3 5 2 1
1 2 1
( 1)
3! 5! (2 1)!
sin
n
n n
x
x x x
x o x
n
−
− −
= − + − + − +
−
L
( )( )2n
hay o x+
( )
2 4 2
2
1 ( 1)
2! 4! (
c
2 )!
os
n
n nx x x
o xx
n
= − + − + − +L
( )( )2 1n
o xhay +
+

Khai triển Maclaurin của arctan và hyperbolic
( )
3 5 2 1
2 1
s
3! 5! (2 1)
i
!
nh
n
nx x x
x o x
n
x
−
−
= + + − + +
−
L
( )
3 5 2 1
1 2 1
( 1)arcta
5 2 1
n
3
n
n nx x x
x o x
n
x
−
− −
= − + − + − +
−
L
( )
2 4 2
2
1
2! 4!
cos
( )!
h
2
n
nx x x
o x
n
x = + + − + +L
Giống sinx, cosx nhưng không đan dấu
Giống sinx, nhưng mẫu số không có giai thừa.

Ví dụ áp dụng
( )2 3 3
1 u u u o u= − + − +
( )2 3 3
( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)f x x x x o x= − − + − − − + −
1. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận
x = 1 cho: 1
( )f x
x
=
x0 = 1 ≠ 0, đặt biến phụ : u = x – x0 = x – 1
1
( )
1
f x
u
=
+
Trả về biến cũ:

2. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận
x = 1 cho:
( ) ln( 2)f x x= +
u = x – 1
( ) ln(3 )f x u= + ln(1 2 )u= + +
( )
2 3
3(2 ) (2 )
2 (2 )
2 3
u u
u o u
+ +
= + − + + +
Sai! (u + 2) ≠ 0 khi u = 0 (hay x = 1).
2 3
1
ln(1 ) ( 1) ( )
2 3
n
n nx x x
x x o x
n
−
+ = − + − + − +L

( ) ln(3 )f x u= +
ln3 1 l
3
n3 ln 1
3
uu   = + = + + ÷  ÷
   
ln3=
3
u
+
2
3
2
u 
 ÷
 −
3
3
3
u 
 ÷
 +
3
3
u
o
  +  ÷ ÷
  
2 3 31 1 1
ln3 ( )
3 18 81
u u u o u= + − + +
Nhớ trả về x
1
0
x
u
=
=

3. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho:
2
2
( )
3 4
x
f x
x x
+
=
− −
2 1 6
( )
( 1)( 4) 5( 1) 5( 4)
x
f x
x x x x
+ −
= = +
+ − + −
1 1 6 1
5 1 201
4
xx
−
= −
+ −
Lưu ý: khi khai triển cho f+g, mỗi hàm phải khai
triển đến bậc được yêu cầu.

1 1 6 1
( )
5 1 201
4
f x
xx
−
= −
+ −
2 31
1 ( 1) ( )
1
n n n
x x x x o x
x
= − + − + + − +
+
L
( )2 3 31
1 ( )
5
x x x o x
−
= − + − +
2 3 31 1 7 25
( ) ( )
2 8 32 128
f x x x x o x
−
= + − + +
2 3 3
6
1
20 4 4 4 4
x x x x
o
         − − − + − − − + −  ÷ ÷  ÷  ÷  ÷
          

4. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3
cho:
( ) .ln(1 )x
f x e x= +
1.Khi tích các khai triển, chỉ giữ lại tất cả các
lũy thừa từ bậc yêu cầu trở xuống và xếp thứ
tự bậc từ thấp đến cao.
2.Tính bậc trong khai triển cấp n cho tích f.g:
Bậc thấp nhất trong khai triển của f là k
⇒g khai triển đến bậc (n – k)(và ngược lại).

2 3 4
2 3 4
x x x
x
 
− + − + ÷
 
L
2 3
2! 6
1
!
x x
x
 
+ + + + ÷
 
L
x
e ln(1 )x+
Bậc thấp nhất trong khai triển của ex
là x0
.
⇒ ln(1 + x) khai triển đến x3
Bậc thấp nhất trong khai triển của ln(1+x) là x1
⇒ ex
khai triển đến x2

( ) ln(1 )x
f x e x= +
2 3
( )f x =
2 3
3
( )
2 3
x x
x o x
 
− + + ÷
 
2
2
1 ( )
2!
x
x o x
 
+ + + ÷
 
2 3
3
( )
2 3
x x
x o x= + + +
(0) (1)
khai triển cấp 3

5. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3, cấp 4
cho:
( ) sin .ln(1 )f x x x= +
( ) sin .ln(1 )f x x x= +
(1) (1)
1.Khai triển cấp 4:
3 3
( )f x =
2 3
3
( )
2 3
x x
x o x
 
− + + ÷
 
3
3
( )
3!
x
x o x
 
− + ÷
 
3 4
2 3
( )
2 6
x x
x o x= − + +

( ) sin .ln(1 )f x x x= +
(1) (1)
2.Khai triển cấp 3:
2 2
( )f x =
2
2
( )
2
x
x o x
 
− + ÷
 
( )2
( )x o x+
3
2 3
( )
2
x
x o x= − +

7. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3
cho: 2
( ) x x
f x e −
=
Đặt u(x) = x – x2
thì u(0) = 0
⇒ khai triển Maclaurin của f theo u.
Khi khai triển u theo x, giữ lại tất cả những lũy
thừa từ x3
trở xuống.

( )
2
2
( ) 1x x
f x e x x−
= = + −
( )
22
2!
x x−
+
( )
32
3!
x x−
+ ( )( )32
o x x+ −
2
1 x x= + − 21
2
x+ 3
x− 31
6
x+ ( )3
o x+
( )2 3 31 5
1
2 6
x x x o x= + − − +
Để tìm bậc khai triển của f theo u phải xác
định bậc VCB của u theo x.
2 1
x x x− :

8. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 4 cho:
( ) ln(cos )f x x=
ln(cos ) ln(1 cos 1)x x= + −
21
cos 1
2
u x x= − −:
Cần khai triển đến x4
⇒khai triển f đến u2
( )
( )( )
2
2cos 1
ln(1 cos 1) cos 1 cos 1
2
x
x x o x
−
+ − = − − + −

( )
( )( )
2
2cos 1
ln(1 cos 1) cos 1 cos 1
2
x
x x o x
−
+ − = − − + −
( )
2 4
4
1 1
2! 4!
x x
o x= − + + −
( ) ( )
22 4
4 41
1 1
2 2! 4!
x x
o x o x
 
− − + + − + ÷
 
( )
2 4
4
2 12
x x
o x= − − + x4
trong số hạng bình
phương không sử dụng
( )
22
21
2
1 1
2!
x
o x
 
− + −− ÷
 
cos x chỉ cần khai
triển đến x2

9. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3
cho:
2
2
( )
3 4
x
f x
x x
+
=
− +
(Mẫu số vô nghiệm)
( ) 2
1 1
( ) 2
4 3
1
4
f x x
x x
= +
− +
+
( )
( )
2 32 2 2
3
1
2
4
3 3 3
1
4 4 4
x
x x x x x x
o x
= +
    − + − + − + ÷× − + − + ÷  ÷ ÷  ÷ ÷    

( )
( )
2 32 2 2
3
1
2
4
3 3 3
1
4 4 4
x
x x x x x x
o x
= +
    − + − + − + ÷× − + − + ÷  ÷ ÷  ÷ ÷    
( ) ( )2 3 31 3 5 3
2 1
4 4 16 64
x
x x x o x
 
= + + + + + ÷
 
( )2 3 31 5 11 13
2 8 32 128
x x x o x= + + + +

Cách 2: chia đa thức (xếp bậc từ thấp đến cao)
2
4 3x x− +2 x+
1
2
25 1
2 2
x x−
5
8
x+
2 311 5
8 8
x x−
211
32
x+
313
32
x+
313
128
x+
2
2
( )
3 4
x
f x
x x
+
=
− +

sin 1
tan sin
cos 1 cos 1
x
x x
x x
= = ×
+ −
10. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 5 cho:
( ) tanf x x=
(0)(1)
5 4
( )2 2
sin 1 (cos 1) (cos 1) (cos 1)x x x o x = × − − + − + −
 
22 4 2
4 2 4
sin 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( )
2 24 2
x x x
x o x o x o x
    
 = − − + + − + − + − + ÷  ÷
     

22 4 2
4 2 4
sin 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( )
2 24 2
x x x
x o x o x o x
    
 = − − + + − + − + − + ÷  ÷
     
3 5
5
( )
6 120
x x
x o x
 
= − + + ÷
 
2 4 41 5
1 ( )
2 24
x x o x + + + ÷
 
3 5 51 2
( )
3 15
x x x o x= + + +

Cách 2:
3 5
5
2 4
5
( )
sin 6 120tan
cos
1 ( )
2 24
x x
x o x
x
x
x x x
o x
− + +
= =
− + +
2 4
1
2 24
x x
− +
3 5
6 120
x x
x − +
x
3 51 1
3 30
x x− 31
3
x+ 52
15
x+
52
15
x+
3 5 51 2
tan ( )
3 15
x x x x o x= + + +

Bổ sung: tìm khai triển của f(x) = arctan x
( ) arctanf x x= 2
1
( ) ( )
1
f x g x
x
′ = =
+
Khai triển Maclaurin cho g(x) đến x2n
.
2 4 6 2 2
( ) 1 ( 1) ( )n n n
g x x x x x o x= − + − + + − +L
(0) 0f =
(0) (0) 1f g′ = =
(0) (0) 0f g′′ ′= =
(0) (0) 1 2!f g′′′ ′′= = − ×
(2 ) (2 1)
(0) (0) 0k k
f g −
= =
(2 1) (2 )
(0) (0) ( 1) (2 )!k k k
f g k+
= = −

( )
2 3
(2 ) (2 )
2 2 1 2 1
(0) (0) (0)
( ) (0)
1! 2! 3!
(0) (0)
(2 )! (2 )!
n n
n n n
f f f
f x f x x x
f f
x x o x
n n
+
+ +
′ ′′ ′′′
= + + + +
+ + + +
+
L
( )
3 5 2 1
1 2 1
arctan ( 1)
3 5 2 1
n
n nx x x
x x o x
n
−
− −
= − + − + − +
−
L
Cách viết khai triển cho arctan là cách viết
khai triển cho hàm ngược nói chung.

Các lưu ý khi viết khai triển Taylor tai x0
1. Luôn luôn chuyển về khai triển Maclaurin
2. Áp dụng các công thức cơ bản trên biểu thức u(x) với
điều kiện u(x0) = 0.
3. Khai triển cho tổng hiệu: từng hàm phải khai triển đến
bậc được yêu cầu.
4. Khai triển cho tích: lấy bậc yêu cầu trừ ra bậc thấp
nhất trong kt mỗi hàm để biết được bậc kt của hàm
còn lại.
5. Khai triển cho hàm hợp: tính bậc VCB cho u(x).

Áp dụng trong tính đạo hàm.
B1: Viết khai triển taylor theo (x – x0) đến cấp n.
B2: Xác định hệ số của (x – x0)n
trong khai triển.
B3: Giả sử hệ số trong B2 là a.
f(n)
(x0) = a.n!
Bài toán: tìm đạo hàm cấp n của f tại x0.

Ví dụ
3 3
3! 2!
x x
− +
1 1 1
3! 2! 3
− + =
1. Tìm đh cấp 3 tại x = 0, với f(x) = ex
.sinx
Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của f là
2 3
2 3
( ) 1 ( ) ( )
2! 3!
x x
f x x o x x o x
  
= + + + − + ÷ ÷
  
Các số hạng chứa x3
là:
⇒ Hệ số của x3
là:
1
(0) 3! 2
3
f ′′′⇒ = × =

2. Tìm đh cấp 3 tại x = 0, 2
( ) ln(1 )f x x x= + +
Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của f là
2 2 2 3
2 3( ) ( )
( ) ( )
2 3
x x x x
f x x x o x
+ +
= + − + +
Các số hạng chứa x3
là: 31
2
2
x− × 31
3
x+ ×
⇒ Hệ số của x3
là:
2
3
−
2
(0) 3! 4
3
f ′′′⇒ = − × = −

3. Tìm đh cấp 12, 13 tại x =
0,
3
1
( )
2
f x
x
=
+
Khai triển Maclaurin đến cấp 13 của f là
3
1 1
( )
2
1
2
f x
x
= ×
+
2 33 3 3
1
1
2 2 2 2
x x x
      
= × − + − ÷  ÷  ÷
      
( )
12
131
1 0
2 16
x
o x
 
= × − + + + 
 
L
( )
4 53 3
2 2
x x
o
   
+ − + ÷  ÷
    

(12) (13)1
(0) 12! , (0) 0 13!
32
f f⇒ = × = ×
1
32
Hệ số của x13
là: 0
⇒ Hệ số của x12
là:
( )
12
131
( ) 1 0
2 16
x
f x o x
 
= × − + + + 
 
L

Áp dụng khai triển Taylor trong tính giới hạn
1.Thông thường chỉ áp dụng kt Tayor để tính gh
nếu các pp khác (gh cơ bản, VCB, L’Hospital)
tính quá dài hoặc không tính được.
2.Đa số các bài dùng Taylor rơi vào trường hợp
thay VCB hoặc VCL qua tổng, hiệu gặp triệt
tiêu. Do đó các biểu thức được khai triển đến
khi hết triệt tiêu ở phần đa thức thì dừng,
phần VCB bậc cao bỏ đi khi tính lim.

Ví dụ
3
3
( )
3!
x
x x o x
 
= − − + ÷
 
3
3
( )
3!
x
o x= +
3
3!
x
:
1
, 3
6
a p⇒ = =
1.Tìm các hằng số a,p để VCB α(x) ∼ axp
khi x → 0.
/ ( ) sina x x xα = −

/ ( ) 2 x x
b x x e eα −
= − +
2 2sinhx x= −
3 3
3
2 2 ( ) 2
3! 6
x x
x x o x
 
= − + + − ÷
 
:

/ ( ) sin cosc x x x xα = −
3 2
3 2
( ) 1 ( )
6 2
x x
x o x x o x
 
= − + − − + ÷
 
3
3
( )
3
x
o x= +
3
3
x
:

2.Tính giới hạn:
2
50
/ lim
1 5 1x
x
a
x x→ + − −
( )
2
0 2 2
lim
1 1 1 1
1 .5 1 5 ( ) 1
5 2!5 5
x
x
x x o x x
→
=
 
+ + − + − − ÷
 
2
20 2
lim
( )
2
x
x
x
o x
→
=
−
+
2
20
1
lim
2
2
x
x
x→
= = −
−

tan
3 40
/ lim
3
x x
x
e e
b
x x→
−
+
tan
tan
30
1
lim
x x
x
x
e
e
x
−
→
−
=
30
tan
lim1
x
x x
x→
−
=
3
3
30
( )
3lim
x
x
x x o x
x→
− − +
=
1
3
= −