O documento compara e define a média, mediana e moda. A média é a soma dos elementos dividida pelo número total. A mediana é o valor central de uma lista ordenada. A moda é o elemento que ocorre com maior frequência. Estas medidas podem ser interpretadas de diferentes formas e uma média distorcida não representa adequadamente todo o conjunto de dados.

1. Textos: conceitos básicos para a interpretação de informação, v. 1 – Fev 2014
Luis Borges Gouveia (lmbg@ufp.edu.pt)
COMPARAR A MÉDIA, A MEDIANA E A MODA
O que são estas três medidas?
Média, moda e mediana são medidas alternativas de tendência central e propõe, cada uma
delas, um valor para descrever um conjunto de dados, identificando a posição central desse
conjunto de dados. Desta forma, as medidas de tendência central são por vezes designadas de
medidas de localização central. São também chamadas de estatísticas sumárias e fazem parte
da estatística descritiva, por ajudarem a descreverem um conjunto de dados. A média é a
medida de tendência central mais comum. A média, a mediana e a moda são todas medidas de
validade de tendência central e podem ser mais adequadas em função dos casos e dos
conjuntos de dados específicos que se pretendam analisar. Por vezes, umas são mais
apropriadas que outras ou conseguem ajudar na análise de dados por complementarem a
informação que proporcionam.
Como se define cada uma delas?
A média é igual ao total (soma dos elementos) dividido pelo número de elementos
Exemplo:
Considere a idade de três elementos: 26, 47, 32 anos, respetivamente.
A sua média é resultado do cálculo 105 / 3, logo 35 anos
A mediana é o valor central que ocorre e que corresponde ao ponto que representa 50% das
ocorrências. Para estabelecer o ponto central, os elementos são listados em ordem crescente
Exemplo:
Considere a idade dos mesmos três elementos: 26, 47, 32
A sua mediana é o valor central da lista ordenada 26, 32, 47 logo a mediana é 32 anos
A moda é o elemento que ocorre com maior frequência (é repetido mais vezes)
Exemplo: considere desta vez a idade de quatro elementos: 26, 47, 32 e 26
A moda corresponde ao elemento (neste caso, idade) que ocorre duas vezes
A moda é 26

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Como podem ser interpretadas?
A média funciona como um parâmetro de comparação de cada elemento em relação ao todo
É conhecida a expressão daquele que não come bife nenhum e se um outro comer
dois, cada um come um: permite pois avaliar o que come cada elemento comparando
com o todo
Exemplo
Considere que o resultado médio de uma prova ser 85%, significa que poderemos
compara um resultado de 75% (bom) com a média e verificar que, se calhar, não é tão
bom assim, pois este fica aquém da média de resultados
A mediana é o ponto central da amostra e significa que metade dos elementos da amostra
alcança o valor indicado
Uma mediana de 1 bife, indica que, pelo menos metade da amostra observada, comia
efetivamente um bife
Exemplo
Considere os resultados do exame de Programação em que 62 alunos tiveram
resultados entre 4 e 18 valores e a mediana foi de 10 valores.
Tal indica que pelo menos 50% tiveram resultados, considerando como positivo o
resultado de 10 valores e assumindo uma escala de 0 a 20 valores
A moda revela qual o resultado mais comum dos elementos da amostra
Uma moda de 1 bife, indica que a maioria dos elementos da amostra come pelo
menos um bife
Exemplo:
Considere os resultados do exame de Programação em que 62 alunos tiveram
resultados entre 4 e 18 valores e foram observadas duas modas, de 6 e 13 valores
respetivamente.
Tal indica que os resultados mais comuns e em igual valor foram obtidos pelos alunos
que obtiveram uma nota baixa (4 valores) e uma nota média (13), o que revela um
comportamento de extremos e muito dividido, bastante observado neste tipo de
matérias práticas que muitas vezes separam os talentos (com trabalho, estas
diferenças seriam atenuadas, claro…)

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Como usar estas 3 medidas?
Normalmente, os seus valores, para a mesma lista de elementos, são diferentes e indicam
diferentes aspetos associados com as características dessa lista de elementos
Exemplo:
Considere um sistema de controle de qualidade que para as duas instalações fabris,
com linhas de produção idênticas de 19 células, contou os defeitos associados com
cada uma delas, para as duas situações:
A: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 14
B: 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4
Se forem efetuados os cálculos para a médio, mediana e moda, percebemos que as
duas situações apresentam valores diferentes (o que é normal, visto terem séries de
defeitos diferentes)
A
B
Média
1,6
1,5
Mediana
1
1
Moda
0
1
Em qualquer das linhas de produção, a média de defeitos é maior que o número de
defeitos da maioria das células observadas (em A, existem 8 com zero defeitos e 5 com
apenas um defeito, logo 13 das 19 células observadas; em B, existem 2 com zero
defeitos e 10 com apenas um defeito, logo, 12 das 19 células observas). A médio maior
observada em A, resulta do valor de 14 defeitos apresentado por uma das células, que
distorceu os resultados aparentemente melhores de A)
A mediana é 1 para ambas situações A e B. Considerando as listas de defeitos
devidamente ordenadas de forma crescente e sendo constituídas por 19 elementos,
tomados o seu elemento central (neste caso, o 10º elemento, que possui 9 elementos
antes e nove elementos depois). Como seria esperado, o controle de qualidade é
normalizado e os resultados tendem a ser semelhantes (tratando de linhas de
montagem com as mesmas funções, é bom e esperado sinal).
A moda é diferente para as duas linhas de montagem. Assim, no caso de A, verificação
que existem 8 células com zero defeitos, pelo que a moda é 0 (cuja ocorrência é maior
que a dos restantes valores). No caso de B, contabilizam-se 10 ocorrências de células
com 1 defeito.
Qual a medida de maior utilidade neste caso particular? É possível afirmar que se trata
da moda, pois indica que no caso de A, existem mais células sem defeitos, o que
acontece apenas para duas das 19 células, no caso de B. De facto, a média de A está
distorcida, pelo valor anormal da célula que apresentou mais defeitos, 14.

4. Textos: conceitos básicos para a interpretação de informação, v. 1 – Fev 2014
Luis Borges Gouveia (lmbg@ufp.edu.pt)
E o que se pretende dizer por uma média distorcida?
Nem sempre os resultados obtidos são representativos de todo o conjunto de dados. Podem
existir situações em que alguns dos dados promovem uma influência ou distorção sobre as
medidas de localização central (não apenas da média) por apresentarem valores muito
diferentes dos restantes. A estes, designamos por discrepâncias (em Inglês, outliers)
Exemplo:
Considere uma empresa que os seus funcionários com a seguinte folha de pagamentos
(valores anuais):
Perfil
1
2
3
4
5
Função
Secretária
Programador
Programador
Comercial
Diretor
Valor anual (euros)
12000
16000
14000
14000
150000
A média de vencimentos é 41200 euros, um valor claramente superior ao vencimento
de quatro dos cinco funcionários. Como resultado, dizemos que a média é distorcida,
pois devido há existência de um valor anormalmente elevado, a média não
corresponde à maioria dos valores reportados: neste caso, tanto o valor da mediana
como o da moda é 14000 euros
Para refletir…
A interpretação de qualquer valor estatístico deve utilizar de bom senso e da máxima cautela
para entender de forma aprofundada o que é mesmo pretendido e como pode ser utilizada a
medida, tendo em consideração o tipo e o conjunto de dados observado
Exemplo:
Considere o preço médio da habitação (metro quadrado). É necessário tomar o seu
valor com cautela, porque pode estar distorcido pela existência de casos em que as
vendas foram de valor muito superior (casos de casas de luxo ou muito bem
localizadas e com extras) ou menores (casas a necessitar de muitas obras ou em locais
com problemas). Assim, os preços individuais podem ser menores ou maiores
(normalmente é mais comum…) que o preço médio poderia sugerir.
O preço médio das casas é o conceito comunicado, mas trata-se da média de preços de
vendas de casas (metro quadrado), o que não é bem a mesma coisa…

5. Textos: conceitos básicos para a interpretação de informação, v. 1 – Fev 2014
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Podem as medidas serem valores não observados?
O cálculo do elemento médio da mediana, para listas de elementos com número par
de ocorrências tem de ter em linha de conta, um aspeto adicional
No caso da mediana, se a lista de elementos não for impar, é necessário obter o elemento
médio.
Exemplo:
Considere-se uma lista par de elementos que constituem as observações das notas de
6 alunos: 12, 15, 16, 13, 14, 12. O primeiro passo é ordenar os valores: 12, 12, 13, 14,
15, 16 e tomar as posições do centro: se fossem 5 elementos, seria a 3ª posição, sendo
seis elementos, temos de tomar o 3º e o 4º elemento: neste caso 13 e 14 e tomar a
sua média como ponto central: 13,5, a que corresponde a mediana da lista de notas
apresentadas. Neste caso a moda é 12 e a média 13,67.
Podemos assim dizer que para metade dos alunos, o resultado obtido foi de, pelo
menos, 13,5 valores; que a média das notas foi 13,67; e que o resultado mais comum
foi 12 valores.