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Manual ithink

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Manual ithink

  1. 1. Modelación DinámicaManual práctico de Stella, software demodelación dinámica.Armando Cervantes SandovalXavier Chiappa CarraraNuno Simoes20071
  2. 2. Modelación DinámicaCapítulo 1STELLA. Aspectos generalesCuéntame y olvidareMuéstrame y puede que recuerdeInvolúcrame y entenderéStella es un programa de simulación por computadora, que proporciona un marco dereferencia y una interfase gráfica de usuario para la observación e interaccióncuantitativa de las variables de un sistema.La interfase se puede utilizar para describir y analizar sistemas biológicos, físicos,químicos o sociales muy complejos. Complejidad que se puede representar muybien, con sólo 4 elementos o bloques de construcción: stock, flujo, conector yconvertidor.Stock FlujoConvertidor 1Convertidor 2ConectorFigura 1. Elementos básicos en StellaStock: Es un símbolo genérico para cualquier cosa que acumula o consumerecursos. Por ejemplo. Agua acumulada en una tina de baño. En cualquier tiempo, lacantidad de agua en la tina refleja la acumulación del agua que fluye desde la llave,menos lo que fluye hacía el drenaje. La cantidad de agua es una medida del stockde agua.Flujo: Un flujo es la tasa de cambio de un stock. En el ejemplo de la tina de baño,los flujos son el agua que entra y el agua que sale.Convertidor: Un convertidor se utiliza para tomar datos de entrada y manipularlospara convertir esa entrada en alguna señal de salida. En el ejemplo de la tina de2
  3. 3. Modelación Dinámicabaño, si se toma el control de la llave que vierte el agua al interior, el convertidortoma como entrada esta acción en la llave y convierte la señal en una salida que serefleja en la salida de agua.Conector: Un conector es una flecha que le permite a la información pasar entre:convertidores; stocks y convertidores; stocks, flujos y convertidores. Un conectorcuya dirección va de un convertidor 1 a un convertidor 2 significa que el convertidor2 es función del convertidor 1. En otras palabras, el convertidor 1 afecta alconvertidor 2.El cuadro 1 proporciona ejemplos de variables que se pueden clasificar como stock’sy flujos (entre muchas otras).Flujos de entrada Stocks Flujos de salidaNacimientos Población MuertesPlantación Abetos TalaAlimentación Alimento en el estomago DigestiónIncremento Autoestima DecrementoContratación Empleados DespidosAprendizaje Conocimiento OlvidoProducción Inventario EnvíosPrestamos Deuda PagosRecobrar Salud DeclinarAcumular Presión DisiparConstruir Construcciones DemoliciónFlujo de entrada Agua en la tina de baño Flujo de salidaCuadro 1. Ejemplos de stock’s, con sus flujos de entrada y salida5.1. STELLA. El entorno de trabajoEsta herramienta de modelación presenta tres grandes capas:1. La de “mapeo”, que permite definir valores iniciales de stock’s, flujos oconectores, donde también se muestra una elegante presentación del modeloya terminado. Se podría considerar la fase de “dibujo” del sistema, donde sedefinen la estructura y el aspecto que presenta cada componente.2. La capa de construcción del modelo, que en conjunto con la capa anteriorconstituyen la verdadera área de trabajo, ya que aquí se definen los valoresiniciales de las variables y de las tasas de cambio.3
  4. 4. Modelación Dinámica3. La capa de ecuaciones matemáticas utilizadas en el modelo, que el usuariopuede evitar si no le interesa mucho la parte matemática del modelo.Bloques deConstrucciónHerramientasObjetosLos bloques de construcciónson los 4 íconos con los que seconstruye los diagramas de unsistema.Las herramientas y objetospermiten posicionar, definir,duplicar y eliminar bloques deconstrucción en el diagrama.Figura 2. Capa de construcción de modelos.Ventana que se presenta al entrar a STELLAPara mostrar como se trabaja en el entorno Stella: “navegar” entre las diferentescapas y el uso de cada una de ellas, se desarrolla un ejemplo de ecología.3.1. Representar la variablepoblación, mediante un bloquede construcción “stock”. Este tipode variables representa cualquiercosa que se acumula o declina yque puede ser física oconceptual (cuadro 1).Figura 3. Modelo con un “stock”Para esto, seleccionar el icono de stock ( ) y hacer un arrastre hacía el centro dela pantalla4
  5. 5. Modelación DinámicaEl bloque stock tiene el nombre Noname 1, el cual se puede cambiar al dar un clicsobre el nombre y como en cualquier procesador de palabras dar el nombrepoblación. En este momento la población no cambia, ya que no presenta flujos deentrada o salida.3.2. Agregar un bloque de flujo, en este caso de entrada. Seleccionar el icono deflujo ( ) dando un clic sobre él. Posicionar el “mouse” a la izquierda del bloqueque ya se tiene y hacer un arrastre hasta hacer contacto con dicho bloque(asegurarse que el stock se coloree al contacto).Si no se hace contacto los dos bloques quedan desconectados, en cuyo caso serecomienda eliminar el flujo con la herramienta “cartucho de dinamita”. Para esto darun clic sobre esta herramienta (latercera), después ir al centro delbloque a eliminar y dar un clic,presionado el Mouse hasta quedesaparezca.Ponerle el nombre denacimientos a este flujo.Figura 4. Modelos con un “stock” y flujoEl flujo consiste de un tubo hueco con una flecha en un extremo y una nube en elotro. El tubo es para representar el acarreo del flujo de materia o de información,estos son regulados por las pequeñas espitas en la parte superior de cada tubo(simbolizado por una estructura en forma de “T”). El círculo colgado al fondo de laespita es el receptáculo para especificar la lógica que deberá regular la posición dela espita y de ahí el volumen del flujo. De manera conjunta, el círculo y la espitacontrolan la tasa de flujo.Con respecto a las nubes que se presentan, estas se utilizan para indicar que nadaviene o va a parar a las nubes, es una forma de indicarle al modelador que debe5
  6. 6. Modelación Dinámicacuidar los orígenes o destinos del flujo. También sirven para delimitar lasfronteras del sistema.Faltan dos bloques de construcción, el círculo al que se le llama convertidor ya quecomúnmente se utiliza para “convertir” cosas que van a entrar de alguna forma.Dependiendo de la señal generada por el convertidor, una espita se puede abrir ocerrar. Y la otra es el conector, que se platicaran conforme aparezcan en lamodelación.3. Definir las relaciones algebraicas del modelo. Como ya se dijo, en STELLA haydos formas de visualizar un modelo: en el modo de mapeo (dibujo) y en el de datos.Para cambiar de modo basta con dar un clic sobre el “globo” o sobre la χ2como un “switch”. Arriba de estos símbolos se encuentran unas flechas (hacia arribay hacia abajo), que permiten “navegar” entre las diferentes capas o niveles de Stella.Al dar clic sobre el globo aparece la siguiente pantallaSe debe notar el signo ? en el stock y en el flujo. Esto indica que no se han dadovalores iniciales o que no se han definido las correspondientes relacionesmatemáticas. Para esto se debeestablecer el escenario a modelar.Para este ejemplo se propone unapequeña ciudad con 5000 habitantes,donde cada año, por lo menos en losúltimos años, nacen unos 150 niñosal año. La tarea es estimar que lesucede a esta población en lossiguientes años.Figura 5. Interfase de datosDar un doble-clic sobre el flujo nacimientos, con lo que aparece la siguiente cajade diálogo6
  7. 7. Modelación DinámicaEn la esquina superior izquierda se tiene el nombre del flujo, después aparece laopción para hacer el flujo bi-direccional (por default, estos sonunidireccionales). Algunos autoresconsideran buena práctica manejartodos los flujos como bidireccionales, loque garantiza que no se tomen valoresnegativos en el flujo (en este ejemplo,es absurdo pensar en nacimientosnegativos).Figura 6. Valores iniciales o ecuaciones de un flujoEn el lado izquierdo al centro se tiene una lista titulada Required Inputs. Quecontiene una lista de los elementos que se pueden utilizar en la ecuación (en estacaso todavía esta vacía). Al centro se tiene una calculadora que permite ingresarnúmeros u operadores aritméticos para generar ecuaciones, aunque también sepuede hacer con el teclado. A la derecha de la calculadora se tiene una lista defunciones (simples o complejas), Builtins, que se pueden utilizar en la definición deecuaciones.Al fondo se tiene una caja de diálogo para definir la ecuación de este flujo. En esteejemplo se “teclea” el valor de 150.Dar un clic sobre el botón Document, para que aparezca un campo texto donde sepuede documentar el flujo, de manera que otros puedan seguir la lógica demodelación.Después de hacer esto desaparece el signo de interrogación, lo que indica que lavariable o flujo están definidos.Considerar, ahora, la variable población, para esto dar un doble clic sobre ella,para que aparezca la siguiente pantalla.7
  8. 8. Modelación DinámicaEs importante notar la diferencia con relación al diálogo del flujo. En la parte superiorhay una lista de los posibles tipos de stock, los tres últimos son variaciones delprimer tipo. La opción Non-negativeobliga a que la variable tome valorespositivos o cero. Luego se tiene lalista Allowable Inputs que lista lasvariables que se pueden o no utilizaren la definición de los valoresiniciales del stock.Figura 7. Valores iniciales de un stockAl fondo de la pantalla se tiene una caja de diálogo que solicita el valor inicial delstock (no se pide una ecuación como en el flujo). Los stocks solo pueden cambiarpor flujos de entrada o salida. En este caso se tiene un valor inicial de 5000.Entonces hay que dar el valor de 5000, también se puede (o se debe) documentar ladefinición dando un clic sobre el Document.Cuando ya no se tienen signos ? el modelo está listo para “correr”. Sin olvidarse degenerar un bloque donde se “vean” los resultados, en este caso seleccionar el iconode gráficos y “ponerlo” en el área de trabajo. Una vez que se tiene el gráfico dar undoble clic sobre él para editar sus opciones, apareciendo la siguiente pantalla.Figura 8. Características de un gráfico8
  9. 9. Modelación DinámicaEn la caja de la izquierda aparece una lista de todas las variables en el modelo. Lacaja de la derecha contiene todas las variables que se hayan seleccionado paraincluir en el gráfico. Las variables se pueden mover fácilmente de Allowable aSelected, ya sea con un doble clic o seleccionando la variable y dando un clic sobreel botón de las flechas de dirección. También se le puede dar un título al gráfico, enla caja Title.El modelo ahora está listo para “correr”. Para esto, dar un clic sobre el “corredor” dela esquina inferior izquierda de la ventana de trabajo y luego seleccionar el botón“play”.Como resultado aparece la siguiente gráficaSe observa que nacimientos, identificado por eigura 9. Resultados, modelo con un flujo de entradal modelo queda como se muestra en la figura 2.9.igura 10. Modelo con flujo de entrada y salidal número 1 es constante, en un valorde 150, mientras que la poblacióncrece de manera constante,aparentemente sin límite. Entonces,hace falta una variable de salida,para lo cual se le agrega al modeloun flujo que salga del stockpoblación.FEF9
  10. 10. Modelación DinámicaSe debe notar el signo ? en el flujo muertes. Peso se tiene el dato de que 75n las propiedades del flujo definirlo como biflow y en la caja de ecuación teclear ell siguiente paso es dar un doble clic sobre el gráfico para agregarle la variableigura 11. Resultados, modeloEs importante notar que por cuestiones de escala no se diferencian los nacimientosara esto, dar un doble clic sobre la gráfica y después seleccionar las dos variable aigura 12. Diálogo para modificar la escala de lasvariables en un gráfico.personas (principalmente ancianos) mueren cada año.Evalor 75, además de documentar la variable con la opción Document.Emuertes (como se mostró en la figura 8). Entonces se tiene un gráfico con 3variables, cada una identificada por un color diferente y con su propia escala, figura11.Fcon un flujo de entrada y uno desalidade las muertes, por lo que se recomienda cambiar la escala.Pescalar (con clic y con Ctrl o Shift clic). Después dar un clic sobre la doble flechavertical que se presenta a la derecha de alguna de las variables seleccionadas, conlo que se permite definir la escala de lasvariables, en este caso Min = 0 y Max =200.F10
  11. 11. Modelación DinámicaAl correr el modelo nuevamente se aprecia el cambio de escala, figura 13.Figura 13. Resultados, con cambio de escalan esta última gráfica se puede apreciar que el valor de nacimientos es mayor que elEde muertes, de ahí la tendencia de la población a crecer.11
  12. 12. Modelación DinámicaCapítulo 2Modelos más comunes, con este capítulo, a manera de ejercicio se muestran algunos de los modelos.1. Exponencialón(t) = Población(t - dt)IT Población = 10= Población*Tasa_de_nacimientoscimientos = 0.03ste es un modelo con tendencia a crecer de manera no lineal, ya que la entrada sea modificación de estecontinuación.Figura 2. Curva de crecimiento exponencialn STELLAEecológicos más comunes. Los cuales se revisan con más detalle en el siguientecapítulo.6Figura 1. Modelo exponencial en Stella.PoblaciIN+ (nacimientos) * dtINFLOWS:nacimientosTasa_de_naEconstruye con el productode la población y de la tasade nacimientos.Lprimer modelo conduce auna versión del modelologístico, como se muestra a12
  13. 13. Modelación Dinámica6.2. Modelo logísticoFigura 3. Modelo logísticoEn este modelo hay un autoco por efecto del mismo tamañooblacional, cuyo comportamiento se aprecia en el siguiente gráfico.(Ver en el a 100)Población(t) = Población(t - dt)INIT Poblacióión*Tasa_de_nacimientosasa_de_nacimientos = GRAPH(Población), (21.8, 0.0573), (41.6, 0.0549), (61.4, 0.0534), (81.2, 0.0507), (101, 0.0468), (121,), (200, 0.00)igura 5. Valores de Tasa de nacimiento. Haye seleccionar la variable Población y despuésr un clic en el botón To Graphical Function.ntrol del crecimiento,pFigura 4. Gráfico de crecimiento logísticosiguiente ejemplo como ampliar el valor del tiempo de 12+ (nacimientos) * dtn = 10INFLOWS:nacimientos = PoblacT(2.00, 0.06)0.0423), (141, 0.036), (160, 0.0273), (180, 0.0198Fquda13
  14. 14. Modelación DinámicaCuando aparece el diálogo del gráfico sedefinen los límites de población de 2 a 200 y lao se obtiene a partir de su definicióntasa de 0 a 0.06. Se puede hacer un “arrastre”de la esquina superior izquierda a la esquinainferior derecha, o teclear los valoresdirectamente. Es importante considerar elvalor de Data Points.Figura 6. Definición de valores en Graph6.3. Otra versión del modelo logísticΔN = R*N*(1 -K)N(t) = N(t - dt) + (DN) * dtIT N = 10igura 8. Gráfico de la ecuacióngísticaFigura 7. Logístico 2a. versiónNININFLOWS:-N/K)DN = R*N*(1K = 100R = 0.1Flo14
  15. 15. Modelación DinámicaNotar la escala del eje X, que va de 0 a 120. Esto se logra con RUN.igura 9. Seleccionar especificaciones de “corrida”.despliega una caja de diálogo que permite modificar los 12eses que por omisión se eje utan.igura 10. Opciones de “corrida”. Notars valores de From, To y DT.res From: 0, To: 120 y DT =1.en el modelo. Enste caso diferentes valores de R (0, 0.5, 1.0, 1.5 y 2.0)igura 11. Resultado de 4orrida” a la vez.FLa opción Run Specsm cFloPara este modelo se tienen los valoSe pueden comparar diferentes valores de las variables incluidaseF“c15
  16. 16. Modelación DinámicaEsto se logra con la opción Sensi Specs de RUN. Desplegándose la siguiente cajae diálogoigura 12. Diálogo de especificacionese sensibilidad.# de “corridas”, el tipoe variación, definir el valor inicial (Start) y el final (End), y asegurarse de dar un clicn la modelación dinámicarocesos de áreas taniferentes como la ingeniería, biología e incluso en ciencias sociales. De ahí laa proporciona un estímulo para el cambio en eltock. En el ejemplo, la variable de estado Población tiene un flujo de entradamedidael número de personas por período de tiempo. Las unidades del factor dedFdEs importante seleccionar las variables a trabajar, definir elden el botón Set. Para “ver” los resultados es importante mandarlos a una gráfica(Graph) o a un cuadro (Table).6.4. Cuatro modelos básicos, eEstos modelos se repiten constantemente en diversos pdimportancia de revisarlos a detalle.6.4.1. Modelo estímulo-respuestaEn este caso, un flujo de entradsInmigración neta que no depende de ninguna de ninguna variable de estadoLa población se mide en número de individuos. La inmigración neta es unadinmigración aquí son iguales a los de inmigración neta.16
  17. 17. Modelación Dinámicaigura 13. Modelo estímulo-respuesta.gura 14. Gráfico del Modelotímulo-respuesta.ón(t) = Población(t - dt) + (Inmigración_neta) * dtIT Población = 10migración_neta = Factor_de_inmigraciónmigración = GRAPH(time)0, 0.496), (33.3, 0.672), (41.7, 0.84), (50.0, 0.976), (58.3,47), (91.7, 1.53), (100.0, 1.59)OTA: La variable tiempo es una variable del sistema que se puede teclearn aspecto interesante es revisar la consistencia de las unidades en el modelo. Deúmero de individuos = número de individuos + numero de individuos por periodo dedividuos + individuos =individuosFFiesPoblaciININFLOWS:InFactor_de_in(0.00, 0.00), (8.33, 0.16), (16.7, 0.328), (25.1.12), (66.7, 1.27), (75.0, 1.38), (83.3, 1.Ndirectamente, al definir el conjunto de valores de lavariable Inmigración_neta.Ula ecuación: Población(t) = Población(t - dt) + (Inmigración_neta) * dt ,y considerandoque las unidades de inmigración neta son iguales a las del factor de inmigración setiene entonces.Ntiempo * periodo de tiempoIndividuos = individuos + individuos/tiempo * tiempo = in17
  18. 18. Modelación Dinámica6.4.2. Modelo auto-referenciaEn este modelo el stock influye en su propio flujo de entradaigura 15. Modelo de auto-referencia.igura 16. Gráfico del modeloauto-referencia.iento = GRAPH(Población)(8.33, 0.053), (16.7, 0.045), (25.0, 0.04), (33.3, 0.037), (41.7, 0.032), (50.0, 0.027), (58.3,003), (100.0, 0.00)ino es el objetivo y la diferencia entre la poblaciónctual y la destino conduce la población hacia el destino. Aquí explícitamente seFFdePoblación(t) = Población(t - dt) + (Tasa_nacimiento) * dtINIT Población = 10INFLOWS:oblación*Tasa_neta_de_nacimientoTasa_nacimiento = Pasa_neta_de_nacimT(0.00, 0.06),0.021), (66.7, 0.018), (75.0, 0.012), (83.3, 0.008), (91.7, 0.6.4.3. Modelo buscando objetivoEn este caso una población destabusca llegar a un valor predefinido. Por ejemplo, el decaimiento de una sustanciaradioactiva (el destino es radiación cero), el enfriamiento de un tabique caliente (eldestino es la temperatura ambiente) o la difusión de un gas concentrado (el destino18
  19. 19. Modelación Dinámicaes la concentración de un cuarto, para controlar el escape del gas de sucontenedor).igura 17. Modelo buscando objetivo.igura 18. Gráfico del modelouscando objetivo.asa_nacimiento = Tasa_neta_de_nacimiento*(Población_destino-Población)ende no sólo del stock sino también de la poblaciónOTA: Es importante cuidad la congruencia de unidades.FFbPINoblación(t) = Población(t - dt) + (Tasa_nacimiento) * dtIT Población = 10INFLOWS:TPoblación_destino = 100Tasa_neta_de_nacimiento = 0.03Aquí el flujo de entrada depdestino definida exógenamente. En este modelo, conforme la población crece, ladiferencia entre la población y la destino se aproxima a cero.N19
  20. 20. Modelación Dinámica6.4.4. Modelo Goal-Settingste es el más sofisticado de los cuatro modelos básicos. Aquí la variable de estadoensidad poblacional = Población/Área variableal-Setting.igura 20. Gráfico del modeloINIT Población = 10ento = Tasa_neta_de_nacimiento*(Población_destino_variale-Población)oblacional = Población/Area_variable.5), (25.0, 44.4), (33.3, 45.5), (41.7, 46.7), (50.0, 48.1), (58.3, 49.9),55.5), (91.7, 58.0), (100.0, 60.0).5), (4.17, 82.0), (5.00, 77.5), (5.83,, 0.00)EPoblación se involucra en la definición de la densidad poblacional, junto con otrasfuerzas externas. Donde la densidad poblacional se calcula simplemente como elcociente de número de individuos por área.DFigura 19. GoFGoal-Setting.Población(t) = Población(t - dt) + (Tasa_nacimiento) * dtINFLOWS:Tasa_nacimiDensidad_PTasa_neta_de_nacimiento = 0.03Area_variable = GRAPH(time)(0.00, 42.9), (8.33, 43.1), (16.7, 43(66.7, 51.7), (75.0, 53.3), (83.3,Población_destino_variale = GRAPH(Densidad_Poblacional)(0.00, 99.5), (0.833, 96.5), (1.67, 93.5), (2.50, 90.0), (3.33, 8668.5), (6.67, 59.0), (7.50, 50.0), (8.33, 37.0), (9.17, 21.0), (10.020
  21. 21. Modelación DinámicaCapítulo 3Más modelos y aspectos generales de la modelación dinámica.1. El Bio-Bombada especie por si misma es un potencial bio-bomb, ya que si se le da suficientes.1.1. Formulacióna mayoría de los modelos poblacionales son simplemente materia de vida ye manera más general, se puede asumir que la tasa de nacimientos constante es b7Crecursos la población puede simplemente crecer hasta cubrir la tierra.7Lmuerte. Esto es, la tasa de crecimiento del número de miembros de la especiedepende solamente del balance de las tasas de nacimiento y de muerte. En elprimer problema estas tasas se consideran constantes. Por ejemplo, considere unapoblación de conejos, si del 25% de la población nace un solo descendiente al año,entonces la tasa de crecimiento debido a nacimientos será del 0.25*N por año,donde N es el número de conejos. De hecho, la muerte también es importante y latasa de muerte puede depender de otra constante. Por ejemplo, si el 5% de losconejos muere por año la tasa será -0.25*N.Dy la tasa constante de muertes es d, por lo tanto el cambio total por año en lapoblación es.dNbNdtdN−= . . . . . . (1).1.2. Análisis del modeloas constantes b y d son parámetros de control del sistema. En la ecuación (1) se ve7Lque lo único que afecta el crecimiento poblacional es la diferencia entre las tasas denatalidad y mortalidad, (b-d)*N. De aquí que el modelo se puede escribir como.rNdtdN= . . . . . . (2)21
  22. 22. Modelación Dinámicadonde r = b – d. De tal forma que ah lo parámetro, la tasa neta decrecimiento, r. En modelación siempre es útil reducir el número de parámetrostiene la pregunta crucial: ¿cuál es elistema entero para diferentes valores de r y de la poblaciónun gráfico que indique los que significaecuación 2.variable, una representación útil está dada por el conjuntoEl mensaje importante de la ecuación 2 es que si se conoce lade conjuntos dirección da una visión inmediata de cómo el sistemavoluciona.oblema en Stellalver sistemas de ecuaciones diferenciales sinpropia. En Stella, el modelo (1) quedaora se tiene un soverdaderos a su número más pequeño, para no malgastar esfuerzo en solucionesaparentemente diferentes.Una vez que se simplifica el modelo secomportamiento del sinicial No?Para contestar esta pregunta se requiere dela7.1.3. Conjunto direcciónPara sistemas de una soladirección.población en cualquier tiempo entonces se conoce como cambia localmenteen el tiempo.La inspeccióne7.1.4. Solución del prStella es un software que permite resover las ecuaciones y cuenta con una sintaxiscomoFigura 1. Modelo con b y d22
  23. 23. Modelación DinámicaPara resolver se necesita un valor inicial de población, así como las tasasconstantes de natalidad y mortar (b-d), por lo que su representación esás sencilla, como se muestra a continuación.Población(t) = Población(t - dt) + (TaIT Población = 10asa_crecimiento = Población*Tasa_crecimiento_constanteiento_constante = 0.2l conjunto dirección con r = 0.2 y No = 0, 8, 16, 24, 32 y0.lidad (b y d).El modelo (2) requiere solamente de la tasamFigura 2. Modelo con rsa_crecimiento) * dtININFLOWS:TTasa_crecimEn este modelo se resuelve e4Figura 3 Corridas múltiples con r = 0.2.23
  24. 24. Modelación Dinámica7.1.5. Otra forma de vis avés de puntos fijos ystabilidad. Un punto interesante es No = 0, ya que no se genera nada (en otrasorma de investigar estos sistemas consiste en primero encontrar todoss puntos fijos en el problema (esto es, los valores de N donde todas las ecuacionespunto fijo inestable cuandotasa, r, es positiva, pero estable si la tasa de crecimiento es negativa. Para elo se muestra el modelo con r = -0.2 y No = 0, 8, 16, 24, 32 y 40.7.2. Límites al crecim.2.1. Formulación del modeloblación se incremente hasta unonde la tasa de crecimiento se hace más lenta y latasa de mortalidad se empareja a la tasa de nacimientos, cómo sucede esto no esualizar este problema es a trepalabras, no se puede sacar algo de la nada). El punto interesante es, hasta dóndeel punto fijo es estable o no, la estabilidad se aprecia cambiando un poco lascondiciones iniciales: 1) se regresa al punto fijo (estable) o 2) se aleja del punto fijo(inestable).Así que la flose igualan a cero) y entonces se investiga su estabilidad.Para el problema del Bio-bomb es claro que No = 0 es unlaproblema de decaimiento todas las soluciones terminan en N = 0 sin importar dondeinicien.Para estFigura 3 Corridas múltiples con r = 0.2. y r = -0.2.iento: la ecuación logística7En una población real se puede esperar que la povalor de capacidad de carga, d24
  25. 25. Modelación Dinámicamuy claro pero sucede. Una forma simple de modelar esto es modificar la tasa decrecimiento, quedando como:)1()( 0KNrNr −=Donde:r0 = tasa que se puede esperar para poblaciones pequeñasK = capacidad de cargaComplicando un poco más el modelo se tieneNNKrdN)1(0 −=Donde se nota que la tasa de crecimiento depende tanto de la población como delcuadrado de la población. Este es ya un problema no-lineal y más difícil de resolvernalíticamente.ura 4. Límites al crecimiento.Figura 5. Gráfico de límites al crecimiento.dtaLa solución es Stella se presenta a continuaciónFig25
  26. 26. Modelación DinámicaN(t) = N(t - dt) + (Cambio) * dtIT N = 10= 0.1delo tiene algunas interrogantes interesantes, como:b. Visualizar el conjunto dirección para este modelo con r = 0.2 y K = 100,mendación: realizar unigura 6. Gráfico con K diferente.igura 6. Gráfico con N y K diferente.ININFLOWS:Cambio = r *(1-N/K)*N0K = 100r0Este moa. ¿Son N = 0 y N = K dos puntos fijos?discutiendo la estabilidad de los dos puntos fijos. Recográfico con t de 0 a 40 y N de 0 a 150c. ¿Cómo se esperan las variaciones del modelo si se cambia la tasa decrecimiento, r, y la capacidad de carga K?FF26
  27. 27. Modelación Dinámica7.3. Vida en la fase planal extender los problemas a sistemas donde interactúan dos variables, por ejemplo:dor, competencia de dos especies, modelospidemiológicos, osciladores no-lineales, láser’s y encuentros amorosos; se puedense querráacer gráficos contra el tiempo, sino que al estar en 2-D el truco es hacer gráficos den un sistema 2-D se consideran sistemas dinámicos que se observan como:Aproblemas presa-depredaeagregar uno o más grados de libertad generando más comportamientos.Por otro lado, las herramientas desarrolladas para entender sistemas 1-D ayudan aentender los sistemas 2-D, por la belleza de la fase plana nunca máshlas variables entre ellas.7.3.1. Introducción a los sistemas 2-D, conceptos básicosE),(),(21yxfdtdydtyxfdx==donde x e y son las dos variables de interés. Los ejemplos pueden incluir: conejos-hierba; huéspedes-parásitos o pueden ser Romeo y Julieta. Los conceptos másportantes a entender, con respecto a los sistemas 2-D (y los sistemas dinámicosre la fase plana- “Retratos” de faseLa gráfico donde los ejes son justo las variables x e y, de maneraque en vez de hacer gráficos de conejos o hierbas contra el tiempo, es másportante ver el comportamiento de conejos vs hierba.imen general), son:- La fase plana- Flujo(s) sob- Puntos fijos- Estabilidadfase plana es unim27
  28. 28. Modelación DinámicaSi se tienen 3 variables, el volumen a obtener se conoce como un espacio fase. Elflujo sobre la fase plana es exactamente la misma idea de la construcción deconjuntos dirección. Las soluciones individuales simplemente trazan trayectorias enrias trayectorias, aspecto más interesante que el comportamientolrededor de los puntos fijos donde las cosas no cambian. En un punto fijo elas trayectorias crucialesCu “pintura” que dice exactamente como elsis njeturar quéucedía aún sin resolver las ecuaciones.n general hay cuatro comportamientos cualitativos diferentes (más uno que no es- Nodos estables y espiralesel espacio fase.En general, donde las funciones de cambio no son cero el sistema evoluciona en eltiempo sobre vaaaspecto más interesante es ver que sucede si al empezar cerca de un punto fijo si sepueden tener atractores estables o repeledores inestables, en problemas 2-D sepuede analizar aspectos como los que se presentan en las siguientes reglas básicas1. Formular un problema 2-D interesante2. Encontrar los puntos fijos y categorizar su estabilidad3. Esquematizar una imagen de fase4. Usar Stella para resolver para unas pocando se hace esto, se cuenta con untema entero evoluciona en el tiempo. Muchas veces se puede cos7.4. Una miscelánea de puntos fijoEun punto fijo), estos son:- Nodos inestables y espirales- Centros neutrales- Puntos sillaNodos estables o espirales estables(Atractores)Centro neutral28
  29. 29. Modelación DinámicaNodo inestables(“Repeledores”).s una herramienta de modelación, por computadora, que capacitan virtualmente aarrollar sistemas complejos, para efectivamenteomunicar diferentes supuestos entre todos los participantes.s en el proceso deprendizaje. Este proceso es dinámico también en el intercambio de datos epueden ser aparentes alodelador. Por ejemplo muchos modelos exitosos de la dispersión de enfermedadess o espirales Punto silla7.5. Comentarios sobre StellaEcualquier persona para descAdemás, ayuda a transladar modelos mentales en rigurosos modeloscomputacionales, que “enganchen” al modelador y a otroainformación entre el grupo de modelación y los usuarios.Con el incremento en la experiencia del modelador, para una amplia de problemas,la semejanzas entre estructuras de diferentes sistemasmse han desarrollado utilizado analogías con la química. Entonces, el uso deanalogías puede reducir el esfuerzo para desarrollar modelos. Para esto se identificala estructura de un problema y se compara con la estructura de otros sistemas,notando sus diferencias y semejanzas.29
  30. 30. Modelación DinámicaCapítulo 4Comentarios finales sobre la modelación dinámicaEl objetivo es proporcionar las herramientas básicas para modelar ysistemas dinámicos liiento del sistema entero con pocos trucos- Resolver instancias específicas utilizando Stellasu estabilidadDe l tiempo y en el espacio, aunque en estecas s mpo. Por ejemplo, se habla del número denimales en una población, pero no de cómo estos se distribuyen en el espacio.biaon el tiempo.entender losneales simples y algunos no tan simples.Es una guía para adquirir práctica y guiarse en los trucos básicos, de tal forma quese adquiera capacidad para:- Reconocer un sistema dinámico al verlo- Visualizar el comportam- Entender los puntos fijos de un sistema y- Sentirse a gusto en el espacio fase- Darle una “probadita” al caos realhecho muchos sistemas cambian con eo ólo se considera el cambio en el tieaEn concreto, cuando se habla de sistemas dinámicos se hace referencia a sistemasde ecuaciones que describen como cada variable (digamos cada especie) camct),x,...,x,( n2111xfdtdx=t),x,...,x,( n2122xfdtdx=...t),x,...,x,( n21xfdtdxnn=30
  31. 31. Modelación DinámicaSupóngase que las especies están dadas por las x1, x2, . . ., xn y las f1, f2, . . ., fnindican qué tan rápido cambian las variables con el tiempo.de forma no-lineal estoace las cosas realmente más interesantes.y evoluciona un sistema.3. Resolver el modelo (ecuaciones, valores iniciales, etc.)os casos rechazar) el modeloEn general, las tasas de cambio dependen de los valores de otras variables y estoes lo hace interesante este tema. Y si la dependencia eshUn aspecto importante es que plantear las ecuaciones, aún sin contar con susolución siempre dice algo de cómo funcionaPor último, es importante recordar los pasos básicos requeridos para crear yentender modelos cuantitativos.1. Formular el modelo2. Analizar el modelo4. Entender el modelo5. Aceptar (o en algun31

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