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NOMBRE ALUMNO :_____________________________________________
PROFESOR(A) :_____________________________________________
FECHA :_____________________________________________
MATEMÁTICA
Profesora : Lorena Inzunza Sandoval
Colegio Creación Chillán
2
GUÍA TEÓRICA-PRÁCTICA N°10
Recordemos algunas definiciones básicas para nuestro trabajo algebraico.
1.TERMINO ALGEBRAICO
Es un conjunto de números y letras que se relacionan entre sí por medio de la
multiplicación y/o división. El término Algebraico consta de un factor numérico y de
un factor literal (letras). Si el factor numérico no está escrito, entonces es 1.
EJEMPLO:
Factor Numérico Factor Literal
32
bca -1 32
bca
0,1xyz 0,1 xyz
3
mn2 1/3 2
mn
1.1 GRADO DE UN TÉRMINO:
Para encontrar el grado de un término, se debe sumar todos los exponentes del factor
literal del término.
Ejemplo:
1. El grado de la expresión 5x
3
y
4
z es:
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
E) 8.Respuesta: 1. E
2. EXPRESIÓN ALGEBRAICA:
Es la representación en lenguaje matemático de proposiciones verbales, para ello
se puede utilizar: letra, números y operaciones. También podemos decir que una
expresión algebraica es la suma o resta de términos algebraicos.
 Si la expresión algebraica tiene un término, se llama MONOMIO
EJEMPLOS: 7k ; -0,5xy
 Si la expresión algebraica tiene dos términos, se llama BINOMIO
EJEMPLOS: 5x
2
y + 2x
2
y
3
; -4x + 3y
 Si la expresión algebraica tiene tres términos, se llama TRINOMIO
EJEMPLOS: -7x
2
+ 4x – 5xy ; 6x
4
- 5x
3
+ x
2
 Si la expresión algebraica tiene más de tres términos, se llama POLINOMIO
EJEMPLOS: 3x
2
+ 4y – 5xy- 2; 5x
4
+ 2x
3
- 8x
2
+ 4x + 9
3
2.1. EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Evaluar o valorar una expresión algebraica significa asignar un valor a cada variable de
los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su
valor final.
EJEMPLO:
Valoremos la expresión 4x
2
y – 5xy
2
- xy, considerando que x = -1 e y = 2.
4x
2
y – 5xy
2
– xy = 4 • (-1)
2
•( 2 ) - 5 • (-1) • ( 2 )
2
– (-1) • ( 2 )
= 4 • 1 • 2 - 5 • (-1) • 4 – (-1) • 2 = 8 + 20 + 2 = 30
OBS: La valorización de expresiones algebraicas siempre se debe hacer
entre paréntesis.
Ejemplo:
1. ¿Cuál es el valor de 3(a + 2) - (b - 6) si a = 6 y b = 10?
A) 24
B) 16
C) 28
D) 18
E) 20 Respuesta: 1. E
3.TERMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras y los
mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.
EJEMPLOS:
 3xy; -xy;
4
xy
; 0,2xy coeficiente literal igual : xy

3
bca2 3
; bca4 3
 ; bca3
 ;
3
bca3
coeficiente literal igual : bca3
3.1 REDUCCIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES
Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y
mantener su factor literal.
OBS: NO olvides marcar los términos semejantes antes de reducir, así será más fácil
para identificarlos.
4
EJEMPLOS:
Reduzca las siguientes expresiones:
1.x – 2y + 3z – 4 – 2x + 4y – z + 3 =
A) –x + 2y – 2z - 1
B) –x – 2y + 2z –1
C) –x + 2y +2z – 1
D) x + 2y + 2z – 1
E) – x + 2y + 2z + 1
2.  1ab
3
2
ba
4
1
ab
3
1
ba 2222
A) 1ba
3
1
ab
4
3 22

B) 1ba
3
1
ba
4
3 424

C) 1ba
3
1
ab
4
3 22

D) 1ab
3
1
ba
4
3 22

E) 1ba
3
1
ab
4
3 22
 RESPUESTAS: 1.C 2.D
4. USO DE PARÉNTESIS
En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los
paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:
 Si un paréntesis es precedido de un signo +, éste se puede eliminar sin variar
los signos de los términos que están dentro del paréntesis.
a) a + (b + c) = a + b + c
 Si un paréntesis es precedido por un signo - , éste se puede eliminar
cambiando los signos de cada uno de los términos que están al interior del
paréntesis.
b) a – (b + c) = a – b – c
5
 Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos
a su vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se debe resolver las
operaciones que anteceden los paréntesis desde adentro hacia fuera.
Ejemplos:
RESPUESTAS: 1. C2. A 3. B
6
5. OPERATORIA ALGEBRAICA
5.1 ADICION DE POLINOMIOS
Para sumar y/o restar polinomios es necesario aplicar todas las reglas de reducción de
términos semejantes y uso de paréntesis.
a) x + (y + z) – (x – y + z) = x + y + z – x + y – z = 2y
5.2 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
En la multiplicación de polinomios distinguiremos tres casos:
 MONOMIO POR MONOMIO: Se multiplican los coeficientes numéricos y los
factores literales entre sí, haciendo uso del álgebra de potencias.
 MONOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica el monomio por cada término del
polinomio. Dicho de otra forma se distribuye con respecto a cada término del
polinomio
 POLINOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica cada término del primer
polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos
semejantes, si los hay.
EJEMPLOS:
1. Al sumar las expresiones )bccd4,0ab7,0(  y ),abbc3cd1(  se obtiene
A) 1bc4cd4,1ab3,0 
B) 1bc4cd4,1ab3,0 
C) 1bc4cd6,0ab3,0 
D) 1bc2cd6,0ab3,0 
E) 1bc2cd6,0ab7,1 
2. Si 7x3x2A 2
 y ,4x7x5B 2
 entonces  )BA(2
A) 20x20x6 2

B) 6x8x14 2

C) 6x8x14 2

D) 6x20x14 2

E) 20x20x6 2

7
3.  
)yz2)(yx
4
25
)(zxy
5
2
( 322
A) 243
zyx5 

B) 24
zy3x5 

C) 243
zyx5 
D) 243
zyx5 

E) 243
zyx5 
4.  )ab3ba)(ab2( 32
A) 4223
ba6ba2 
B) 4223
ba6ba2 
C) 6223
ba6ba2 
D) 4223
ba6ba2 
E) 6223
ba6ba2 
5.  
)aaa)(1a( 2n1nn
A) 3nn
aa 

B) n3n
aa 
C) n2n
a2a 
D) 3nn
aa 

E) 3nn
aa 

RESPUESTAS: 1.B 2.C3.D 4.D5.A
8
6. PRODUCTOS NOTABLES
En Álgebra se llaman productos notables aquellos resultados de la multiplicación entre
dos polinomios que tienen características especiales, como veremos en los casos
siguientes.
6.1 CUADRADO DE BINOMIO
El cuadrado de un binomio es igual a:
“El primer término al cuadrado, más (o menos) dos veces el primer término por el
segundo, más el segundo término al cuadrado”.
222
222
)()(2)()(
)()(2)()(
bbaaba
bbaaba


6.2 SUMA POR SU DIFERENCIA
El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual a:
“El primer término al cuadrado, menos el segundo término al cuadrado”.
   22
))(( yxyxyx 
6.3 BINOMIOS CON TERMINO COMUN
El producto de dos binomios con un término común es igual a:
“El término común al cuadrado, más la suma de los términos que no son comunes por
el término común, más la multiplicación de los términos que no son comunes”.
))(()())(( 2
baxbaxbxax 
6.4 CUBOS DE BINOMIO:
El cubo de un Binomio es igual a:
“ El primer término al cubo, más(o menos) , tres veces el primer término al cuadro por
el segundo, más tres veces el primer término por el segundo al cuadrado, más(o
menos) el segundo término al cubo”.
32232
32233
)()()(3)()(3)()(
)()()(3)()(3)()(
bbabaaba
bbabaaba


9
EJEMPLOS:
1.  2
)x1(
A) 2
xx21 
B) 2
xx21 
C) 2
xx21 
D) 2
xx21 
E) 2
xx21 
2.  )21)(21(
A) -1
B) 1
C) 22
D) 221 
E) 221 
3.  )2x)(5x(
A) 10x3x2

B) 10x3x2

C) 10x3x2

D) 10x2

E) x3x2
 RESPUESTAS: 1.C2.A 3.C
7. FACTORIZACIÓN
Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos o más
factores (o divisores).
Ejemplo : Factoriza 20 en dos de sus divisores : 4 · 5, es decir 20 = 4  5
7.1. FACTOR COMUN MONOMIO:
Factor común monomio: es el factor que está presente en cada término del
polinomio:
Ejemplo N 1: ¿Cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z ?
Entre los coeficientes es el 6, que es el M.C.D de los coeficientes numéricos, o
sea, 6·2x + 6·3y - 6· 4z = 6(2x + 3y - 4z)
10
Ejemplo N 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a2
- 15ab - 10ac
El factor común entre los coeficientes es “5” y entre los factores literales es “a”,
además es la menor potencia de los coeficientes literales iguales, por lo tanto
5a2
- 15ab - 10ac = 5a·a - 5a·3b - 5a· 2c = 5a(a - 3b - 2c )
Ejemplo N 3 : ¿Cuál es el factor común en 6x2
y - 30xy2
+ 12x2
y2
El factor común es “ 6xy “ porque
6x2
y - 30xy2
+ 12x2
y2
= 6xy(x - 5y + 2xy )
EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios:
1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y =
3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x2
=
5. 8a3
- 6a2
= 6. m3
n2
p4
+ m4
n3
p5
- m6
n4
p4
+ m2
n4
p3
=
7.  ba
25
16
ba
15
8
ab
5
12
ba
35
4 3322
7.2. FACTOR COMUN POLINOMIO:
Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión:
EJEMPLO N 1.
Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) =
Existe un factor común que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b ) =
= ( a + b )( x + y )
EJEMPLO N 2.
Factoriza 2a(m - 2n) - b(m - 2n ) =
= 2a(m - 2n) - b (m - 2n )
= (m - 2n )( 2a - b )
EJERCICIOS.
1. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 2. x2
( p + q ) + y2
( p + q ) =
3. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 4. ( a2
+ 1 ) - b (a2
+ 1 ) =
5. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) = 6. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =
11
7.3. FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO.
Se trata de extraer un doble factor común.
EJEMPLO N1.
Factoriza ap + bp + aq + bq
Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos
p(a + b ) + q( a + b )
Se saca factor común polinomio
( a + b ) ( p + q )
EJERCICIOS :
8. a2
+ ab + ax + bx = 9. ab + 3a + 2b + 6 =
10. ab - 2a - 5b + 10 = 11. 2ab + 2a - b - 1 =
12. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
13.  zxyzxyxzx 75
3
14
3
10
4
21
4
15 2
Factorización de BINOMIOS:
7.4. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS:
EJEMPLO:
Factorizar BINOMIO 9x2
- 16y2
=
Recordemos:
22
)()())(( bababa  (suma por su diferencia)
Factorizando ))(()()( 22
bababa 
Luego se tiene:
22
22
)4()3(
)43)(43(169
yx
yxyxyx


EJERCICIOS:
14. 9a2
- 25b2
= 15. 16x2
- 100 =
16.  22
b
36
49
a
25
9 17.  44
y
16
9
x
25
1
Casos especiales:
18. 3x2
- 12 = 19. 3x2
- 75y2
=
12
Factorización de TRINOMIOS:
7.5. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
Ejemplo:
Factorizar 9x2
- 30x + 25 =
Recordemos:
222
)()(2)()( bbaaba  (cuadrado de binomio)
Factorizando
222
)()()(2)( babbaa 
Luego se tiene:
22
22
)5()53(2)3(
)53(25309


xx
xxx
EJERCICIOS:
20. b2
- 12b + 36 = 21. 25x2
+ 70xy + 49y2
=
22. m2
- 2m + 1 = 23. 25m2
- 70 mn + 49n2
=
24. 16m2
- 40mn + 25n2
= 25. 16x6
y8
- 8 x3
y4
z7
+ z14
=
7.6. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x
2
+ bx + c
El trinomio de la forma x2
+ bx + c se puede factorizar en dos factores binomiales
mediante el siguiente proceso:
EJEMPLO N 1.
Factorizar x2
+ 6x + 5 =
Recordemos: ))(()()())(( 2
cbacbacaba  (binomio con término
común)
Factorizando ))(())(()()( 2
cabacbacba 
Luego buscamos: 5))(( cb y 6)( cb
“dos números multiplicados nos den 5 y sumados nos den 6 “, se tienen
5)1)(5(  y 6)15(  , por lo tanto, los números son “5” y “1”.
)1)(5()15()(
)1)(5(56
2
2


xx
xxxx
13
EJEMPLO Nº 2 :
Factorizar x2
+ 4xy - 12y2
Recordemos
1º Hallar dos factores del primer término, o sea x2
: x · x
2º Hallar los factores de 12y2
, éstos pueden ser : 6y · -2y ó -6y · 2y
ó 4y · -3y ó -4y · 3y
ó 12y · -y ó -12y · y
pero la suma debe ser +4y , luego servirán 6y y -2y, es decir
x2
+ 4xy - 12y2
= ( x + 6y )( x - 2y )
EJERCICIOS :
Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios:
26. x2
+ 4x + 3 = 27. a2
+ 7a + 10 =
28. b2
+ 8b + 15 = 29. x2
- x - 2 =
30. r2
– 12r + 27 = 31. x2
+ 14xy + 24y2
=
7.7. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA AX
2
+ BX + C
EJEMPLO Factoriza 2x2
- 11x + 5
1º multiplicamos (2)(5) = 10.
2º Se buscan “dos números que multiplicados nos den 10 y sumados -11”
Luego se tiene: (-10)(-1)= 10 y ( -10 -1 )= -11 , esto sólo para escribir -
11x como -11x = -10x – x.
Ahora tenemos 2x2
- 11x + 5 = 2x2
-10x – x + 5
Factor común por agrupamiento = 2x( x – 5 ) – ( x – 5 )
Factor común polinomio = ( x – 5 )( 2x – 1 )
EJERCICIOS:
32. 5x2
+ 11x + 2 = 33. 4h2
+ 5h + 1 =
34. 4x2
+ 7x + 3 = 35. 3a2
+ 10ab + 7b2
=
36. 5 + 7b + 2b2
= 37. 7x2
- 15x + 2 =
14
7. 8. FACTORIZACIÓN SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.
1. SUMA DE CUBOS: (a)3
+ (b)3
= (a + b)(a2
– ab + b2
)
Ejemplo: 27a3
+ 1 = (3a + 1)(9a2
– 3a + 1)
(3a)3
+ (1)3
2. DIFERENCIA DE CUBOS : (a)3
– (b)3
= (a – b)(a2
+ ab + b2
)
Ejemplo : 8 – x3
= (2 – x)(4 + 2x + x2
)
(2)3
-(x)3
38. 64 – x3
= 39 8a3
b3
+ 27 =
40 27m3
+ 8n6
= 41 x6
– y6
=
42
27
8
8
1 3
x = 43
64
13
x =
8. FRACCIONES ALGEBRAICAS:
Se llama fracción algebraica a toda expresión de la forma
)(
)(
xQ
xP
, donde P(x) y
Q(x) son polinomios. Las variable x puede tomar cualquier valor real, siempre que
0)( xQ .
8.1 SIMPLIFICACIÓN DE UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA.
Para ello se debe considerar lo siguiente:
- Si el numerador y el denominador son monomios, se cancelan los factores comunes.
- Si el numerador y/o denominador no son monomios, se factoriza el numerador y/o
denominador y se cancelan los factores comunes.
15
Ejemplos:
RESPUESTAS: 1. A2. D3. C
16
8.2 m.c.m DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para encontrar el m.c.m debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los
polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de TODOS los
distintosfactores, eligiendo el de mayor exponente.
EJEMPLO: Calcular el m.c.m. entre )bab2a( 22
 y )ba( 22

Sabemos que 222
)ba()bab2a(  y que )ba)(ba()ba( 22

Luego el m.c.m. entre estos dos polinomios es )ba()ba( 2

Determina el mínimo común múltiplo para cada conjunto de expresiones algebraicas.
a)
yx
xy
yx
5
4
2
12
6
9
b)
2
23
96
65
2
2
2




x
xx
xx
xx
c)
ba
ba
ab
ba
55
33
22




d)
32
34
1
2
2
2



aa
aa
a
8.3 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.
En la adición o sustracción de fracciones algebraicas, tal como en las fracciones
numéricas, pueden ocurrir dos casos:
Fracciones de igual denominador:
Si
B
C
y
B
A
son fracciones algebraicas, donde 0B , entonces
B
CA
B
C
B
A 

Fracciones de distinto denominador:
Si
D
C
y
B
A
son fracciones algebraicas, donde 0B y 0D , entonces
DB
CBDA
D
C
B
A



17
Ejemplos:
18
RESPUESTAS: 1. D 2. B
8.4 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Si
D
C
y
B
A
son fracciones algebraicas, donde 0B y 0D , entonces:
LA MULTIPLICACIÓN
DB
CA
D
C
B
A



LA DIVISIÓN )0(: 


 C
CB
DA
C
D
B
A
D
C
B
A
RESPUESTAS: 1. C 2. B
19
EJERCICIOS:
1. 


d7)a2()cd3(
)d5(c7)ab3(
43
265
?
A)
2
35
16
225
d
cab
B) 2
35
d16
cab9
C)
15
6
5 3
2
ab c
d
D)
16
dcab3 2352
E) NA
2. Los lados (2m - n) y (n - m) de un terreno rectangular aumentan en (m + n) unidades
cada uno, entonces su área aumenta:
A) 3mn - 8m2 - n
2
unidades.
B) -3mn + 8m
2
+ n
2
unidades.
C) 3mn + 2m
2
+ n
2
unidades.
D) 3mn - 2m
2
- n
2
unidades.
E) -3mn - 2m
2
- n
2
unidades.
3. ¿Cuál es el valor de x?
A) (b+a) : (b-a)
B) (b-a) : 3ab
C) (2a+b) : (a-b)
D) (b-a) : 3a
E) (2b-a) : 3a
ax b
ax b
ab
a x b
ax
ax b





2 2 2
20
4. Si las edades de 3 personas, se representan de la siguiente forma:
4
n
,
6
n n
2
,
1
n 1
,
 
entonces la suma de las edades equivale a:
A)
5 (n 2)
n

B)
5 (2 n)
n (n 1)


C)
10
n
D)
5 (n 2)
n (n 1)


E) N.A
5. La expresión 6(x + 1) − x ÷ 2 está mejor representada por:
A) El séxtuplo del sucesor de un número cualquiera menos el doble del mismo número.
B) El séxtuplo del antecesor de un número cualquiera menos la mitad del mismo
número.
C) El séxtuplo del sucesor de un número cualquiera menos la mitad del mismo número.
D) La diferencia entre el séxtuplo de un número cualquiera y su mitad.
E) El exceso de la mitad de un número cualquiera sobre seis veces el mismo número.
6. El producto entre un binomio y un monomio da por resultado:
A) Un monomio.
B) Un binomio.
C) Un trinomio.
D) Un término algebraico.
E) Una expresión de 3 términos algebraicos.
21
7. Determine el valor de x en : a
2
(2x + 3)=a(a + 4)+8x
A)
2a
2a


B)
2a
a


C)
a1
2

D) 2
a2
a2

E)
2a
a


8. ¿Cuánto vale x en
a4x
a3x2
2
a16x
a11
22




?
A) a+1
B) 2a+1
C) 3a+1
D) 4a+1
E) 4a-1
9. ?
2
2b
2
a
4
1
 





A)
2
b4a
4
a
1
16

B)
1
a4 a2b 4b2
16
 
C)
1
a2 2a2b
1
9
b2
16
 
D)
1
8
a4 2a2b 36b4 
E) 16 a2 12ab 9b4 
22
10. ¿Cuál es el valor de la expresión
)(
)()(
22
12
ba
baba

 
?
A) 1
B)
ba
ba


C) 2
)ba(
ba


D) 0
E) N.A
11. Dada la siguiente expresión (x - 3)
2
= (x + 8)
2
, ¿qué características debe tener x
que satisfacen esta igualdad?
I) x es entero II) x > 0 III) x < 0 IV) x es racional
A) Sólo I y II
B) Sólo II y IV
C) Sólo I y III
D) Sólo III y IV
E) Otras características
12. Si (x + 3) (x + 5) = 25, entonces ?
15x8x
50
2


A) 1
B) 2
C) 4
D) 16
E) 48
13. Si n =
x
y
a
y m =
a
x2
, entonces n · m = ?
A)
2 2
x
y
B)
y2
1
C)
y
2
D)
y
1
E)
2
2
x
y
23
14. Si el denominador de una fracción es el doble del numerador, más 2 unidades.
¿Cuál será la fracción si el denominador menos el numerador es igual a 5 unidades?
A) 1/5
B) 6/11
C) 4/9
D) 1/3
E) 3/8
15. Si
x 4
x x 2
2
2

 
= p entonces x = ?
A) -(p - 2) / (1 - p)
B)
(2 p)
p 1


C) (p + 2) / (p - 1)
D)
2 p
p 1


E) N.A
16. ?


 ab
1
ba
1
con ba 
A) 0
B) 2/ (a - b)
C) 2/ (b - a)
D) b - a
E) a - b
17. La suma de 3 pares consecutivos es igual al doble del par intermedio sumado con
10, entonces el doble del menor es:
A) 16
B) 24
C) 20
D) 8
E) 12
24
18. El área del polígono mide
A) ab + cd
B) a(b + c) + dc
C) (d - a) · c + ab
D) (a + b)(c + d)
E) N.A
19. Si (6x - 8) k = 36x
2
- 64, el valor de k es:
A) 6x + 8
B) 30x
2
+ 56
C)
8x6
1

D)
8x6
1

E) N.A
20. ¿Qué número hay que restar a 3a − 2b para obtener a + b?
A) 2a − 3b
B) 2a − b
C) 4a + 3b
D) 4a − b
E) 4a − 3b
21. Cuando n = 4, ¿Cuánto vale la siguiente expresión?
)1n(2
1)3n(2n5


?
A)
7
10
B)
5
10
C)
4
10
D) 
4
10
E) N.A
a
d
c
b
25
22.
(a b)2 (a b)
a2 b2
  

?
A) a
2
- 2ab + b
2
B) (a + b) / (a - b)
C) (a + b - 1) / (a - b)
D) a - 1
E)
b 1
b

23. ?


7aa
aa7
2
2
A)1
B) a
C) a
2
D) 0
E) -1
24. Si
x 1
1 x


= 2 , x = ? ; x  1
A) 1
B) -1
C) 1/3
D) -1/3
E) No se puede calcular
25. a
2
− 4b
2
=
A) a + 2b
B) a − 2b
C) (a − 2b)(a + 2b)
D) (2b − a)(2b + a)
E) N.A
26
26. ¿Cuál debe ser el valor de “y” en la ecuación: -5x - 2y = 7x + 4y para que “x”
tenga valor -2?
A) 0
B)
1
4
C)
1
4
D) –4
E) 4
27. El valor de x en la ecuación 3(x - 1) - 2(x - 2) =5 es:
A) 4
B) 12
C) 8
D) 2
E) 5
28. El valor de x en la ecuación (x + 1)
2
- (x – 2)
2
= 0 es
A) -1,5
B) 0,5
C) 2
D) 2,5
E) Indefinido
29. ¿Cuál es la cuarta parte de (p - q) si 2y +
q
6
= 6 +
p
6
?
A) 3y - 36
B) y - 3
C) 12y - 9
D) 3 (y - 3)
E) N.A
30. Si
x2 3x 4
x 4
x2
x 1
 



entonces x =
A) 2
B) 1
C) –1
D) -1/2
E) -1/4
27
31. Si
x
a
x
b
x
c
1
abc
,   el valor de x es:
A) abc
B) bc + ab
C)
abc
a b c 
D)
abc
bc ac ab 
E)
abacbc
1

32. ¿Cuál(es) de los siguientes términos se puede(n) agregar a la expresión 4x
2
+ 1
para completarel desarrollo del cuadrado de binomio?
I. −4x
2
II. 4xIII. 4x
2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y III
E) II y III
33. Si a =
b
b1
,¿cuánto vale b, como una función de a?
A) a
a

1
B)
a
a1
C)
a
a1
D) a
a

1
E) N.A
34. Si x + 3 = 4 m, entonces 

2m
96x2x
A) 16 m
2
B) 16 m
C) 16/m
D) 16
E) 16 m
4
28
35. Al simplificar la expresión
a2 2ab b2 (a b)2
a2 2ab b2
   
 
, resulta
A) (a - b) / (a + b)
B) 2(a - b)
2
/ (a + b)
C) 2 (a - b) / (a + b)
2
D) a
2
- b
2
E) 2
a b
a b
2








36.
A) a - 3
B) a - 2
C) -1
D) 0
E) N.A
37. Si a  b, entonces
3a
b a
2a
a b
?




A)
5a
b a
B)
a2 5ab
(b a)(a b)

 
C)
 

3a 2b
a b
D)
a
2b 2a
E) N.A
38. Factorice la siguiente expresión 3abx
2
- 3abx - 18ab
A) 3abx (x + 3) (x - 2)
B) 3ab ( x - 3) (x + 2)
C) 3ab (x
2
- 6)
D) -3ab (6 - x)
E) N.A


 a2
3a
65aa2
29
39. Al simplificar
2y
1
2x
1
2y2x


se obtiene:
A)
x2 y2
x2 y2

B)
x y
xy

C) 
1
x2y2
D) x
2
y
2
E) - x
2
y
2
40. El reducir la expresión:
n 1 n3 n2
n3 n 2n2 2
  
  
queda equivalente a:
A)
1 n
2

B) (1 + n) / 2 - n
C) (1 + n) / (n - 2)
D) -(1 + n) / (n - 2)
E) N.A
41. En la expresión algebraica (y − 5)(5y − 8)(y − 3) el término libre (sin factor literal),
es:
A) −120
B) 0
C) 16
D) 80
E) 120
30
42.
43.
44.
31
45.
46.
32
47.
48.
33
49.
50.
RESPUESTAS: GPT10 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
01. A 02. C 03. D 04. D 05. C 06. B 07. E 08. E 09. B 10. C
11. D 12. B 13. B 14. E 15. D 16. A 17. A 18. A 19. A 20. A
21. A 22. C 23. E 24. E 25. C 26. E 27. A 28. B 29. D 30. D
31. E 32. B 33. B 34. D 35. E 36. D 37. A 38. B 39. E 40. D
41. A 42. D 43. D 44. B 45. A 46. E 47. B 48. B 49. C 50. C

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Factorización y productos notables 2° a b-c

  • 1. NOMBRE ALUMNO :_____________________________________________ PROFESOR(A) :_____________________________________________ FECHA :_____________________________________________ MATEMÁTICA Profesora : Lorena Inzunza Sandoval Colegio Creación Chillán
  • 2. 2 GUÍA TEÓRICA-PRÁCTICA N°10 Recordemos algunas definiciones básicas para nuestro trabajo algebraico. 1.TERMINO ALGEBRAICO Es un conjunto de números y letras que se relacionan entre sí por medio de la multiplicación y/o división. El término Algebraico consta de un factor numérico y de un factor literal (letras). Si el factor numérico no está escrito, entonces es 1. EJEMPLO: Factor Numérico Factor Literal 32 bca -1 32 bca 0,1xyz 0,1 xyz 3 mn2 1/3 2 mn 1.1 GRADO DE UN TÉRMINO: Para encontrar el grado de un término, se debe sumar todos los exponentes del factor literal del término. Ejemplo: 1. El grado de la expresión 5x 3 y 4 z es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8.Respuesta: 1. E 2. EXPRESIÓN ALGEBRAICA: Es la representación en lenguaje matemático de proposiciones verbales, para ello se puede utilizar: letra, números y operaciones. También podemos decir que una expresión algebraica es la suma o resta de términos algebraicos.  Si la expresión algebraica tiene un término, se llama MONOMIO EJEMPLOS: 7k ; -0,5xy  Si la expresión algebraica tiene dos términos, se llama BINOMIO EJEMPLOS: 5x 2 y + 2x 2 y 3 ; -4x + 3y  Si la expresión algebraica tiene tres términos, se llama TRINOMIO EJEMPLOS: -7x 2 + 4x – 5xy ; 6x 4 - 5x 3 + x 2  Si la expresión algebraica tiene más de tres términos, se llama POLINOMIO EJEMPLOS: 3x 2 + 4y – 5xy- 2; 5x 4 + 2x 3 - 8x 2 + 4x + 9
  • 3. 3 2.1. EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar o valorar una expresión algebraica significa asignar un valor a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final. EJEMPLO: Valoremos la expresión 4x 2 y – 5xy 2 - xy, considerando que x = -1 e y = 2. 4x 2 y – 5xy 2 – xy = 4 • (-1) 2 •( 2 ) - 5 • (-1) • ( 2 ) 2 – (-1) • ( 2 ) = 4 • 1 • 2 - 5 • (-1) • 4 – (-1) • 2 = 8 + 20 + 2 = 30 OBS: La valorización de expresiones algebraicas siempre se debe hacer entre paréntesis. Ejemplo: 1. ¿Cuál es el valor de 3(a + 2) - (b - 6) si a = 6 y b = 10? A) 24 B) 16 C) 28 D) 18 E) 20 Respuesta: 1. E 3.TERMINOS SEMEJANTES Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras y los mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico. EJEMPLOS:  3xy; -xy; 4 xy ; 0,2xy coeficiente literal igual : xy  3 bca2 3 ; bca4 3  ; bca3  ; 3 bca3 coeficiente literal igual : bca3 3.1 REDUCCIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener su factor literal. OBS: NO olvides marcar los términos semejantes antes de reducir, así será más fácil para identificarlos.
  • 4. 4 EJEMPLOS: Reduzca las siguientes expresiones: 1.x – 2y + 3z – 4 – 2x + 4y – z + 3 = A) –x + 2y – 2z - 1 B) –x – 2y + 2z –1 C) –x + 2y +2z – 1 D) x + 2y + 2z – 1 E) – x + 2y + 2z + 1 2.  1ab 3 2 ba 4 1 ab 3 1 ba 2222 A) 1ba 3 1 ab 4 3 22  B) 1ba 3 1 ba 4 3 424  C) 1ba 3 1 ab 4 3 22  D) 1ab 3 1 ba 4 3 22  E) 1ba 3 1 ab 4 3 22  RESPUESTAS: 1.C 2.D 4. USO DE PARÉNTESIS En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:  Si un paréntesis es precedido de un signo +, éste se puede eliminar sin variar los signos de los términos que están dentro del paréntesis. a) a + (b + c) = a + b + c  Si un paréntesis es precedido por un signo - , éste se puede eliminar cambiando los signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis. b) a – (b + c) = a – b – c
  • 5. 5  Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se debe resolver las operaciones que anteceden los paréntesis desde adentro hacia fuera. Ejemplos: RESPUESTAS: 1. C2. A 3. B
  • 6. 6 5. OPERATORIA ALGEBRAICA 5.1 ADICION DE POLINOMIOS Para sumar y/o restar polinomios es necesario aplicar todas las reglas de reducción de términos semejantes y uso de paréntesis. a) x + (y + z) – (x – y + z) = x + y + z – x + y – z = 2y 5.2 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS En la multiplicación de polinomios distinguiremos tres casos:  MONOMIO POR MONOMIO: Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí, haciendo uso del álgebra de potencias.  MONOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Dicho de otra forma se distribuye con respecto a cada término del polinomio  POLINOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay. EJEMPLOS: 1. Al sumar las expresiones )bccd4,0ab7,0(  y ),abbc3cd1(  se obtiene A) 1bc4cd4,1ab3,0  B) 1bc4cd4,1ab3,0  C) 1bc4cd6,0ab3,0  D) 1bc2cd6,0ab3,0  E) 1bc2cd6,0ab7,1  2. Si 7x3x2A 2  y ,4x7x5B 2  entonces  )BA(2 A) 20x20x6 2  B) 6x8x14 2  C) 6x8x14 2  D) 6x20x14 2  E) 20x20x6 2 
  • 7. 7 3.   )yz2)(yx 4 25 )(zxy 5 2 ( 322 A) 243 zyx5   B) 24 zy3x5   C) 243 zyx5  D) 243 zyx5   E) 243 zyx5  4.  )ab3ba)(ab2( 32 A) 4223 ba6ba2  B) 4223 ba6ba2  C) 6223 ba6ba2  D) 4223 ba6ba2  E) 6223 ba6ba2  5.   )aaa)(1a( 2n1nn A) 3nn aa   B) n3n aa  C) n2n a2a  D) 3nn aa   E) 3nn aa   RESPUESTAS: 1.B 2.C3.D 4.D5.A
  • 8. 8 6. PRODUCTOS NOTABLES En Álgebra se llaman productos notables aquellos resultados de la multiplicación entre dos polinomios que tienen características especiales, como veremos en los casos siguientes. 6.1 CUADRADO DE BINOMIO El cuadrado de un binomio es igual a: “El primer término al cuadrado, más (o menos) dos veces el primer término por el segundo, más el segundo término al cuadrado”. 222 222 )()(2)()( )()(2)()( bbaaba bbaaba   6.2 SUMA POR SU DIFERENCIA El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual a: “El primer término al cuadrado, menos el segundo término al cuadrado”.    22 ))(( yxyxyx  6.3 BINOMIOS CON TERMINO COMUN El producto de dos binomios con un término común es igual a: “El término común al cuadrado, más la suma de los términos que no son comunes por el término común, más la multiplicación de los términos que no son comunes”. ))(()())(( 2 baxbaxbxax  6.4 CUBOS DE BINOMIO: El cubo de un Binomio es igual a: “ El primer término al cubo, más(o menos) , tres veces el primer término al cuadro por el segundo, más tres veces el primer término por el segundo al cuadrado, más(o menos) el segundo término al cubo”. 32232 32233 )()()(3)()(3)()( )()()(3)()(3)()( bbabaaba bbabaaba  
  • 9. 9 EJEMPLOS: 1.  2 )x1( A) 2 xx21  B) 2 xx21  C) 2 xx21  D) 2 xx21  E) 2 xx21  2.  )21)(21( A) -1 B) 1 C) 22 D) 221  E) 221  3.  )2x)(5x( A) 10x3x2  B) 10x3x2  C) 10x3x2  D) 10x2  E) x3x2  RESPUESTAS: 1.C2.A 3.C 7. FACTORIZACIÓN Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos o más factores (o divisores). Ejemplo : Factoriza 20 en dos de sus divisores : 4 · 5, es decir 20 = 4  5 7.1. FACTOR COMUN MONOMIO: Factor común monomio: es el factor que está presente en cada término del polinomio: Ejemplo N 1: ¿Cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z ? Entre los coeficientes es el 6, que es el M.C.D de los coeficientes numéricos, o sea, 6·2x + 6·3y - 6· 4z = 6(2x + 3y - 4z)
  • 10. 10 Ejemplo N 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a2 - 15ab - 10ac El factor común entre los coeficientes es “5” y entre los factores literales es “a”, además es la menor potencia de los coeficientes literales iguales, por lo tanto 5a2 - 15ab - 10ac = 5a·a - 5a·3b - 5a· 2c = 5a(a - 3b - 2c ) Ejemplo N 3 : ¿Cuál es el factor común en 6x2 y - 30xy2 + 12x2 y2 El factor común es “ 6xy “ porque 6x2 y - 30xy2 + 12x2 y2 = 6xy(x - 5y + 2xy ) EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios: 1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y = 3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x2 = 5. 8a3 - 6a2 = 6. m3 n2 p4 + m4 n3 p5 - m6 n4 p4 + m2 n4 p3 = 7.  ba 25 16 ba 15 8 ab 5 12 ba 35 4 3322 7.2. FACTOR COMUN POLINOMIO: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión: EJEMPLO N 1. Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) = Existe un factor común que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b ) = = ( a + b )( x + y ) EJEMPLO N 2. Factoriza 2a(m - 2n) - b(m - 2n ) = = 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = (m - 2n )( 2a - b ) EJERCICIOS. 1. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 2. x2 ( p + q ) + y2 ( p + q ) = 3. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 4. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) = 5. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) = 6. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =
  • 11. 11 7.3. FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO. Se trata de extraer un doble factor común. EJEMPLO N1. Factoriza ap + bp + aq + bq Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos p(a + b ) + q( a + b ) Se saca factor común polinomio ( a + b ) ( p + q ) EJERCICIOS : 8. a2 + ab + ax + bx = 9. ab + 3a + 2b + 6 = 10. ab - 2a - 5b + 10 = 11. 2ab + 2a - b - 1 = 12. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z = 13.  zxyzxyxzx 75 3 14 3 10 4 21 4 15 2 Factorización de BINOMIOS: 7.4. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS: EJEMPLO: Factorizar BINOMIO 9x2 - 16y2 = Recordemos: 22 )()())(( bababa  (suma por su diferencia) Factorizando ))(()()( 22 bababa  Luego se tiene: 22 22 )4()3( )43)(43(169 yx yxyxyx   EJERCICIOS: 14. 9a2 - 25b2 = 15. 16x2 - 100 = 16.  22 b 36 49 a 25 9 17.  44 y 16 9 x 25 1 Casos especiales: 18. 3x2 - 12 = 19. 3x2 - 75y2 =
  • 12. 12 Factorización de TRINOMIOS: 7.5. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Ejemplo: Factorizar 9x2 - 30x + 25 = Recordemos: 222 )()(2)()( bbaaba  (cuadrado de binomio) Factorizando 222 )()()(2)( babbaa  Luego se tiene: 22 22 )5()53(2)3( )53(25309   xx xxx EJERCICIOS: 20. b2 - 12b + 36 = 21. 25x2 + 70xy + 49y2 = 22. m2 - 2m + 1 = 23. 25m2 - 70 mn + 49n2 = 24. 16m2 - 40mn + 25n2 = 25. 16x6 y8 - 8 x3 y4 z7 + z14 = 7.6. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + bx + c El trinomio de la forma x2 + bx + c se puede factorizar en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso: EJEMPLO N 1. Factorizar x2 + 6x + 5 = Recordemos: ))(()()())(( 2 cbacbacaba  (binomio con término común) Factorizando ))(())(()()( 2 cabacbacba  Luego buscamos: 5))(( cb y 6)( cb “dos números multiplicados nos den 5 y sumados nos den 6 “, se tienen 5)1)(5(  y 6)15(  , por lo tanto, los números son “5” y “1”. )1)(5()15()( )1)(5(56 2 2   xx xxxx
  • 13. 13 EJEMPLO Nº 2 : Factorizar x2 + 4xy - 12y2 Recordemos 1º Hallar dos factores del primer término, o sea x2 : x · x 2º Hallar los factores de 12y2 , éstos pueden ser : 6y · -2y ó -6y · 2y ó 4y · -3y ó -4y · 3y ó 12y · -y ó -12y · y pero la suma debe ser +4y , luego servirán 6y y -2y, es decir x2 + 4xy - 12y2 = ( x + 6y )( x - 2y ) EJERCICIOS : Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios: 26. x2 + 4x + 3 = 27. a2 + 7a + 10 = 28. b2 + 8b + 15 = 29. x2 - x - 2 = 30. r2 – 12r + 27 = 31. x2 + 14xy + 24y2 = 7.7. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA AX 2 + BX + C EJEMPLO Factoriza 2x2 - 11x + 5 1º multiplicamos (2)(5) = 10. 2º Se buscan “dos números que multiplicados nos den 10 y sumados -11” Luego se tiene: (-10)(-1)= 10 y ( -10 -1 )= -11 , esto sólo para escribir - 11x como -11x = -10x – x. Ahora tenemos 2x2 - 11x + 5 = 2x2 -10x – x + 5 Factor común por agrupamiento = 2x( x – 5 ) – ( x – 5 ) Factor común polinomio = ( x – 5 )( 2x – 1 ) EJERCICIOS: 32. 5x2 + 11x + 2 = 33. 4h2 + 5h + 1 = 34. 4x2 + 7x + 3 = 35. 3a2 + 10ab + 7b2 = 36. 5 + 7b + 2b2 = 37. 7x2 - 15x + 2 =
  • 14. 14 7. 8. FACTORIZACIÓN SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS. 1. SUMA DE CUBOS: (a)3 + (b)3 = (a + b)(a2 – ab + b2 ) Ejemplo: 27a3 + 1 = (3a + 1)(9a2 – 3a + 1) (3a)3 + (1)3 2. DIFERENCIA DE CUBOS : (a)3 – (b)3 = (a – b)(a2 + ab + b2 ) Ejemplo : 8 – x3 = (2 – x)(4 + 2x + x2 ) (2)3 -(x)3 38. 64 – x3 = 39 8a3 b3 + 27 = 40 27m3 + 8n6 = 41 x6 – y6 = 42 27 8 8 1 3 x = 43 64 13 x = 8. FRACCIONES ALGEBRAICAS: Se llama fracción algebraica a toda expresión de la forma )( )( xQ xP , donde P(x) y Q(x) son polinomios. Las variable x puede tomar cualquier valor real, siempre que 0)( xQ . 8.1 SIMPLIFICACIÓN DE UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA. Para ello se debe considerar lo siguiente: - Si el numerador y el denominador son monomios, se cancelan los factores comunes. - Si el numerador y/o denominador no son monomios, se factoriza el numerador y/o denominador y se cancelan los factores comunes.
  • 16. 16 8.2 m.c.m DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para encontrar el m.c.m debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de TODOS los distintosfactores, eligiendo el de mayor exponente. EJEMPLO: Calcular el m.c.m. entre )bab2a( 22  y )ba( 22  Sabemos que 222 )ba()bab2a(  y que )ba)(ba()ba( 22  Luego el m.c.m. entre estos dos polinomios es )ba()ba( 2  Determina el mínimo común múltiplo para cada conjunto de expresiones algebraicas. a) yx xy yx 5 4 2 12 6 9 b) 2 23 96 65 2 2 2     x xx xx xx c) ba ba ab ba 55 33 22     d) 32 34 1 2 2 2    aa aa a 8.3 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. En la adición o sustracción de fracciones algebraicas, tal como en las fracciones numéricas, pueden ocurrir dos casos: Fracciones de igual denominador: Si B C y B A son fracciones algebraicas, donde 0B , entonces B CA B C B A   Fracciones de distinto denominador: Si D C y B A son fracciones algebraicas, donde 0B y 0D , entonces DB CBDA D C B A   
  • 18. 18 RESPUESTAS: 1. D 2. B 8.4 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Si D C y B A son fracciones algebraicas, donde 0B y 0D , entonces: LA MULTIPLICACIÓN DB CA D C B A    LA DIVISIÓN )0(:     C CB DA C D B A D C B A RESPUESTAS: 1. C 2. B
  • 19. 19 EJERCICIOS: 1.    d7)a2()cd3( )d5(c7)ab3( 43 265 ? A) 2 35 16 225 d cab B) 2 35 d16 cab9 C) 15 6 5 3 2 ab c d D) 16 dcab3 2352 E) NA 2. Los lados (2m - n) y (n - m) de un terreno rectangular aumentan en (m + n) unidades cada uno, entonces su área aumenta: A) 3mn - 8m2 - n 2 unidades. B) -3mn + 8m 2 + n 2 unidades. C) 3mn + 2m 2 + n 2 unidades. D) 3mn - 2m 2 - n 2 unidades. E) -3mn - 2m 2 - n 2 unidades. 3. ¿Cuál es el valor de x? A) (b+a) : (b-a) B) (b-a) : 3ab C) (2a+b) : (a-b) D) (b-a) : 3a E) (2b-a) : 3a ax b ax b ab a x b ax ax b      2 2 2
  • 20. 20 4. Si las edades de 3 personas, se representan de la siguiente forma: 4 n , 6 n n 2 , 1 n 1 ,   entonces la suma de las edades equivale a: A) 5 (n 2) n  B) 5 (2 n) n (n 1)   C) 10 n D) 5 (n 2) n (n 1)   E) N.A 5. La expresión 6(x + 1) − x ÷ 2 está mejor representada por: A) El séxtuplo del sucesor de un número cualquiera menos el doble del mismo número. B) El séxtuplo del antecesor de un número cualquiera menos la mitad del mismo número. C) El séxtuplo del sucesor de un número cualquiera menos la mitad del mismo número. D) La diferencia entre el séxtuplo de un número cualquiera y su mitad. E) El exceso de la mitad de un número cualquiera sobre seis veces el mismo número. 6. El producto entre un binomio y un monomio da por resultado: A) Un monomio. B) Un binomio. C) Un trinomio. D) Un término algebraico. E) Una expresión de 3 términos algebraicos.
  • 21. 21 7. Determine el valor de x en : a 2 (2x + 3)=a(a + 4)+8x A) 2a 2a   B) 2a a   C) a1 2  D) 2 a2 a2  E) 2a a   8. ¿Cuánto vale x en a4x a3x2 2 a16x a11 22     ? A) a+1 B) 2a+1 C) 3a+1 D) 4a+1 E) 4a-1 9. ? 2 2b 2 a 4 1        A) 2 b4a 4 a 1 16  B) 1 a4 a2b 4b2 16   C) 1 a2 2a2b 1 9 b2 16   D) 1 8 a4 2a2b 36b4  E) 16 a2 12ab 9b4 
  • 22. 22 10. ¿Cuál es el valor de la expresión )( )()( 22 12 ba baba    ? A) 1 B) ba ba   C) 2 )ba( ba   D) 0 E) N.A 11. Dada la siguiente expresión (x - 3) 2 = (x + 8) 2 , ¿qué características debe tener x que satisfacen esta igualdad? I) x es entero II) x > 0 III) x < 0 IV) x es racional A) Sólo I y II B) Sólo II y IV C) Sólo I y III D) Sólo III y IV E) Otras características 12. Si (x + 3) (x + 5) = 25, entonces ? 15x8x 50 2   A) 1 B) 2 C) 4 D) 16 E) 48 13. Si n = x y a y m = a x2 , entonces n · m = ? A) 2 2 x y B) y2 1 C) y 2 D) y 1 E) 2 2 x y
  • 23. 23 14. Si el denominador de una fracción es el doble del numerador, más 2 unidades. ¿Cuál será la fracción si el denominador menos el numerador es igual a 5 unidades? A) 1/5 B) 6/11 C) 4/9 D) 1/3 E) 3/8 15. Si x 4 x x 2 2 2    = p entonces x = ? A) -(p - 2) / (1 - p) B) (2 p) p 1   C) (p + 2) / (p - 1) D) 2 p p 1   E) N.A 16. ?    ab 1 ba 1 con ba  A) 0 B) 2/ (a - b) C) 2/ (b - a) D) b - a E) a - b 17. La suma de 3 pares consecutivos es igual al doble del par intermedio sumado con 10, entonces el doble del menor es: A) 16 B) 24 C) 20 D) 8 E) 12
  • 24. 24 18. El área del polígono mide A) ab + cd B) a(b + c) + dc C) (d - a) · c + ab D) (a + b)(c + d) E) N.A 19. Si (6x - 8) k = 36x 2 - 64, el valor de k es: A) 6x + 8 B) 30x 2 + 56 C) 8x6 1  D) 8x6 1  E) N.A 20. ¿Qué número hay que restar a 3a − 2b para obtener a + b? A) 2a − 3b B) 2a − b C) 4a + 3b D) 4a − b E) 4a − 3b 21. Cuando n = 4, ¿Cuánto vale la siguiente expresión? )1n(2 1)3n(2n5   ? A) 7 10 B) 5 10 C) 4 10 D)  4 10 E) N.A a d c b
  • 25. 25 22. (a b)2 (a b) a2 b2     ? A) a 2 - 2ab + b 2 B) (a + b) / (a - b) C) (a + b - 1) / (a - b) D) a - 1 E) b 1 b  23. ?   7aa aa7 2 2 A)1 B) a C) a 2 D) 0 E) -1 24. Si x 1 1 x   = 2 , x = ? ; x  1 A) 1 B) -1 C) 1/3 D) -1/3 E) No se puede calcular 25. a 2 − 4b 2 = A) a + 2b B) a − 2b C) (a − 2b)(a + 2b) D) (2b − a)(2b + a) E) N.A
  • 26. 26 26. ¿Cuál debe ser el valor de “y” en la ecuación: -5x - 2y = 7x + 4y para que “x” tenga valor -2? A) 0 B) 1 4 C) 1 4 D) –4 E) 4 27. El valor de x en la ecuación 3(x - 1) - 2(x - 2) =5 es: A) 4 B) 12 C) 8 D) 2 E) 5 28. El valor de x en la ecuación (x + 1) 2 - (x – 2) 2 = 0 es A) -1,5 B) 0,5 C) 2 D) 2,5 E) Indefinido 29. ¿Cuál es la cuarta parte de (p - q) si 2y + q 6 = 6 + p 6 ? A) 3y - 36 B) y - 3 C) 12y - 9 D) 3 (y - 3) E) N.A 30. Si x2 3x 4 x 4 x2 x 1      entonces x = A) 2 B) 1 C) –1 D) -1/2 E) -1/4
  • 27. 27 31. Si x a x b x c 1 abc ,   el valor de x es: A) abc B) bc + ab C) abc a b c  D) abc bc ac ab  E) abacbc 1  32. ¿Cuál(es) de los siguientes términos se puede(n) agregar a la expresión 4x 2 + 1 para completarel desarrollo del cuadrado de binomio? I. −4x 2 II. 4xIII. 4x 2 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y III E) II y III 33. Si a = b b1 ,¿cuánto vale b, como una función de a? A) a a  1 B) a a1 C) a a1 D) a a  1 E) N.A 34. Si x + 3 = 4 m, entonces   2m 96x2x A) 16 m 2 B) 16 m C) 16/m D) 16 E) 16 m 4
  • 28. 28 35. Al simplificar la expresión a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2       , resulta A) (a - b) / (a + b) B) 2(a - b) 2 / (a + b) C) 2 (a - b) / (a + b) 2 D) a 2 - b 2 E) 2 a b a b 2         36. A) a - 3 B) a - 2 C) -1 D) 0 E) N.A 37. Si a  b, entonces 3a b a 2a a b ?     A) 5a b a B) a2 5ab (b a)(a b)    C)    3a 2b a b D) a 2b 2a E) N.A 38. Factorice la siguiente expresión 3abx 2 - 3abx - 18ab A) 3abx (x + 3) (x - 2) B) 3ab ( x - 3) (x + 2) C) 3ab (x 2 - 6) D) -3ab (6 - x) E) N.A    a2 3a 65aa2
  • 29. 29 39. Al simplificar 2y 1 2x 1 2y2x   se obtiene: A) x2 y2 x2 y2  B) x y xy  C)  1 x2y2 D) x 2 y 2 E) - x 2 y 2 40. El reducir la expresión: n 1 n3 n2 n3 n 2n2 2       queda equivalente a: A) 1 n 2  B) (1 + n) / 2 - n C) (1 + n) / (n - 2) D) -(1 + n) / (n - 2) E) N.A 41. En la expresión algebraica (y − 5)(5y − 8)(y − 3) el término libre (sin factor literal), es: A) −120 B) 0 C) 16 D) 80 E) 120
  • 33. 33 49. 50. RESPUESTAS: GPT10 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN 01. A 02. C 03. D 04. D 05. C 06. B 07. E 08. E 09. B 10. C 11. D 12. B 13. B 14. E 15. D 16. A 17. A 18. A 19. A 20. A 21. A 22. C 23. E 24. E 25. C 26. E 27. A 28. B 29. D 30. D 31. E 32. B 33. B 34. D 35. E 36. D 37. A 38. B 39. E 40. D 41. A 42. D 43. D 44. B 45. A 46. E 47. B 48. B 49. C 50. C