1. Conductia termica
• Conductia termica reprezinta modul de transmitere a
caldurii din aproape în aproape prin contactul direct
dintre microparticulele corpului; se bazeaza pe
proprietatea diverselor corpuri de a conduce caldura.
• Pentru o anumita substanta, conductivitatea
termica variaza cu starea de agregare, presiunea,
temperatura, axele de cristalizare, umiditatea,
porozitatea etc.
• Unde este valoarea lui la , iar o constanta,
care depinde de material.
t)b(1?? 0 ⋅+= [ ]W/mK
0? ? b

2. Clasificare
• Gaze: valori care cresc cu cresterea
temperaturii.
• Lichide: valori care scad cu cresterea
temperaturii.
• Materiale de constructie si termoizolante:
valori care cresc cu cresterea temperaturii, a
densitatii si umiditatii.
• Materialele cu se numesc termoizolante.
• Metale: valori care scad cu cresterea
temperaturii si scad brusc în prezenta unor
impuritati.
0,6)(0,006? −∈
0,7)(0,09? −∈
3)(0,02? −∈
0,2? <
414)(2? −∈

3. Continuare
• La aliaje coeficientul de conductie are valori mai
mici decât ale metalelor componente.
• Ex: Ag are coeficientul de 414, Cu 395, Al 202
W/mK.
• Distributia de temperaturi t = t (x,y,z,τ) se numeste
câmp de temperaturi.
• Daca variaza în timp, câmpul de temperatura este
nestationar; iar daca nu variaza în timp este
stationar.
• Doua suprafete izoterme de temperaturi diferite NU
se intersecteaza.

4. Suprafete izoterme
• Distanta cea DLP LFa între cele
doua suprafete ∆nHWHGXSa
normala la suprafata t;
• deci cea mai mare variatie de
temperatura pe unitatea de
lungime între celeGRa suprafete
izoterme se produceGSa
directiaQUP DOa .
• Se defineste gradientul de
temperatura drept un vector
normal la suprafata izoterma,
care numeric este egal cu limita
raportului când
deci cu derivata temperaturii
dupa directia QUP DOa .
? t/? n 0? n →

5. Gradient de temperatura
• - vector unitar normal, pozitiv în sensul de
crestere al temperaturii, iar scalarul reprezentând
valoarea gradientului de temperatura.
• Studiind conductia termica, Fourier a ajuns la
concluzia ca se poate calcula caldura transmisa
prin conductie, prin elementul de suprafata de pe
suprafata izoterma, în intervalul de timp cu relatia:
z
t
k
y
t
j
x
t
i
n
t
n
? n
? t
ntgrad 0lim
0? n
0
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=⋅=
→
[ ]K/m
0n
dtdA
n
t
?Qd2 ⋅
∂
∂
−= [ ]J

6. Legea lui Fourier
• Factorul de conductivitate - numit
conductivitate termica este o proprietate fizica a
materialului. Semnul minus apare deoarece caldura
se transmite în sensul negativ al gradientului.
• Caldura transmisa prin unitatea de arie de pe
suprafata izoterma, în unitatea de timp, , este
numita densitatea fluxului de caldura . Se calculeaza
cu relatia :




∂
∂
−= 2W/m
n
t
?q&
[ ]KW/m?
q&

7. Densitatea de flux de caldura
• Este un vector normal la suprafata izoterma
•
• ale carui componenteGSa cele trei axe
sunt :
x
t
?
∂
∂
−=xq&
y
t
?y ∂
∂
−=q&
z
t
?z ∂
∂
−=q&
n
t
?n 0 ∂
∂
−=q&



⋅+⋅+⋅= 2
zyx W/mqkqjqi &&&&q

8. Flux de caldura
• Caldura transmisa prin întreaga suprafata
izoterma A, în unitatea de timp, se numeste
flux de caldura.
[ ]WdA
n
t
?dA
AA
⋅
∂
∂
−=⋅= ∫∫ qQ &&

9. Ecuatia diferentiala a
conductiei termice
• Se pune problema de a stabili o
ecuatie general valabila pentru
conductie termica, într-un corp
în care câmpul de temperaturi
este nestationar si în care se
gasesc si surse interne de
caldura. Sursele interne sunt
caracterizate prin densitatea
volumica de flux ,
care reprezinta fluxul de
caldura degajat în volumul
unitar.
[ ]3
W/mVq&
Ex. de surse interne: efectul Joule-Lenz, reactiile nucleare, reactii chimice, etc.

10. Ecuatia diferentiala a conductiei
termice
• Sa consideram un element de volum cu volumul
• în care la momentul initial, câmpul de temperaturi
are o anumita configuratie (figura de mai sus).
• Admitem urmatoarele ipoteze :
• a) corpul este omogen si izotropic ;
• b) proprietatile fizice sunt constante ;
• c) deformatia volumului cauzata de variatia temperaturii este
neglijabila (proces izocor)
• d) sursele interne de caldura sunt uniform distribuite.
dzdydxdV ⋅⋅=

11. Ecuatia diferentiala a conductiei
termice
• Caldurile elementate
• si care intra în elementul de volum dupa
axele Ox, Oy, Oz sunt:
xdQ ydQ zdQ
( ) dtdzdy
x
t
?dtdAqQd xxx
2
⋅⋅
∂
∂
−=⋅⋅=
•
( ) dtdzdx
y
t
?dtdAqQd yyy
2
⋅⋅
∂
∂
−=⋅⋅=
•
( ) dtdydx
z
t
?dtdAqQd zzz
2
⋅⋅
∂
∂
−=⋅⋅=
•

12. • FunctiaWHFRQWLQXa pe intervalul dx. Prin dezvoltare în serie
Taylor, se obtine :
Retinând numai primii doi termeni, se obtine :
si similarGSa celelalte axe:
dxxq +
•
....
z
dx
x
q
dx
x
q
qq
2
2
x
2
x
xdxx +⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+=
••
•
+
•
dx
x
q
qq x
xdxx ⋅
∂
∂
+=
•
•
+
•
( ) dtdzdydx
x
q
qQd x
xdxx
2
⋅⋅⋅








⋅
∂
∂
+=
•
•
+
( ) dtdzdxdy
y
q
qQd
y
ydyy
2
⋅⋅⋅










⋅
∂
∂
+=
•
•
+
( ) dtdydxdz
z
q
qQd z
zdzz
2
⋅⋅⋅








⋅
∂
∂
+=
•
•
+

13. • Caldura acumulata în elementul de volum
• În acelasi interval de timp , în elementul
de volum dV, sursele interne de caldura cu
densitatea degaja caldura
τd
dtdV
z
q
y
q
x
q
Qd zyx
1
2
⋅⋅










∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
•••
dtdVqQd v2
2
⋅⋅=
•

14. • Adunând relatiile se obtine caldura totala
acumulata în elementul de volum :
• Daca substanta din elementul de volum are
capacitatea termica masica c si densitatea ?:
dtdVq
z
q
y
q
x
q
QdQdQd v
zyx
2
2
1
22
⋅⋅










+










∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=+=
•
•••
dVdt
t
t
c?Q2d ⋅⋅
∂
∂
⋅⋅=

15. Ecuatia diferentiala a conductiei
termice
• Egaland
• Sau:
c?
q
z
q
y
q
x
q
c?
1
t
t vzyx
⋅
+










∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⋅
⋅
−=
∂
∂
••••
c?
q
qdiv
c?
1
t
t v
⋅
+⋅
⋅
−=
∂
∂
•
•
−−−
c
q
z
t
zy
t
yx
t
xc
t v
⋅
+











∂
∂
⋅
∂
∂
+





∂
∂
⋅
∂
∂
+





∂
∂
⋅
∂
∂
⋅
⋅
=
∂
∂
•
ρ
λλλ
ρτ
1

16. Daca ?, c, ? sunt constante
c?
q
)
z
t
y
t
x
t
(
c?
?
t
t v
2
2
2
2
2
2
⋅
+





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⋅
⋅
=
∂
∂
•
[ ]/sm
c?
?
a 2
⋅
= Difuzivitatea termica
Operatorul Laplace
)
?
q
tV(a
c?
q
tVa
t
t v2v2
••
+⋅=
⋅
+⋅=
∂
∂
2
V

17. Ecuatia lui Fourier
tVa
t
t 2
⋅=
∂
∂
Daca 0=
•
vq
• Din ecuatie se vede ca viteza de
variatie a temperaturii într-un
punct este direct proportionala cu
curbura câmpului de temperaturi
în punctul respectiv, coeficientul
de proportionalitate fiind a.
• Cu cât a este mai mare,
uniformizarea câmpului de
temperaturi se face mai repede.
• Valori mari ale lui a apar la
metale.

18. Ecuatia lui Poisson
• pt câmpuri stationare cu surse
0
?
q
z
t
y
t
x
t v
2
2
2
2
2
2
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
•

19. Ecuatia lui Laplace
• Pentru câmpurile stationare fara surse
• Caz simplu (câmpuri unidimensionale):
0
z
t
y
t
x
t
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
0
x
t
2
2
=
∂
∂

20. Conductia termica în regim stationar
unidimensional fara surse interne
Peretele plan
• Se considera un perete plan
omogen cu grosimea d de
extindere infinitaGSa directiile
y si z, cu conductivitatea ? .
Fluxul de caldura transmis prin
perete este unidimensional daca
peretele este de extindere
infinita si daca temperaturile t1
si t2 sunt sunt constante pe
laturile ce limiteaza întreaga
suprafata.

21. Perete plan
0
dx
td
2
2
=
C
dx
td
2
2
= BCxt +=
dx
dt
?
x
t
?q(x) −=
∂
∂
−=
•
C
?
q
dx
dt
=−=
•
0=x Btt == 1
În acest caz, relatia devine :
Prin integrare se obtine :
si
sau
Pentru
x
?
q
tt 1 ⋅−=
•
x
tt
?q 1 −
⋅=
•
rezulta

22. Perete plan
δ=x
( )21 tt
d
?
q −=
•
( )
c
21
21
R
tt
Att
d
?
AAqQ
−
⋅=−⋅=⋅=
••
[ ]K/Wm
?
d
R 2
=
d
tt
x
tt 211 −
=
− x
d
tt
tt 21
1 ⋅
−
−=
=λ
Pentru se obtine:
este rezistenta la conductie termica.
În orice punct, densitatea fluxului de caldura e aceeasi la orice x.
sau
care este ecuatia curbei de temperatura în placa.
Într-un perete plan omogen, pentru
constant, temperatura variaza liniar.

23. Pentru un perete plan neomogen
• În regim stationar constant
în fiecare strat
)t(t
d
?
)t(t
d
?
)t(t
d
?
q 43
3
3
32
2
2
21
1
1
−⋅=−⋅=−⋅=
•
1
1
21
?
d
qtt ⋅=−
•
2
2
32
?
d
qtt ⋅=−
•
3
3
43
?
d
qtt ⋅=−
•
=
•
q

24. Perete plan neomogen
)
?
d
?
d
?
d
(qtt
3
3
2
2
1
1
41 ++⋅=−
•
3
3
2
2
1
1
41
?
d
?
d
?
d
tt
q
++
−
=
•
ech
1n1
n
1i i
i
1n1
R
tt
?
d
tt
q +
=
+
• −
=
−
=
∑
∑∑
=
=
=
=
==
ni
1i
ci
ni
1i i
i
ech R
?
d
R
Din adunarile celor trei relatii rezulta:
sau
Pentru un perete cu n straturi:
unde:
reprezinta rezistenta termica echivalenta a peretelui neomogen.

25. Concluzii pentru peretele plan
neomogen
1
1
12
?
d
qtt ⋅−=
•
2
2
23
?
d
qtt ⋅−=
•
ech?
echech
ni
1i
i
ech
R
d
R
d
? ==
∑
=
=
Temperaturile intermediare sunt :
si
În cazul peretelui neomogen se defineste conductivitatea echivalenta
din relatia :

26. Perete cilindric
• Transmiterea caldurii prin conductie, prin pereti cilindrici
omogeni sau neomogeni este un caz foarte frecvent întâlnit
în legatura cu transportul fluidelor calde sau reci prin
conducte. Se considera un perete cilindric omogen de
lungime l >>d, r1= raza interioara, r2= raza exterioara, t1=
temperatura interioara, t2= temperatura exterioara.
Temperatura variaza doar radial, prin urmare câmpul de
temperatura, în coordonate cilindrice, este unidimensional.
dr
dt
?q ⋅−=
•
dr
dt
A?Q ⋅−=
•
lr2pA ⋅⋅=
dr
dt
lr2p?Q ⋅⋅⋅⋅−=
•

27. Perete cilindric
• Separând variabilele se obtine:
• Prin integrare se obtine
• Cum suprafetele interioare si exterioare sunt diferite,
densitatea fluxului de caldura va fi diferita la cele
doua raze. Evident:
r
dr
?l2p
Q
dt ⋅
⋅⋅
−=
•
( ) ( )21
1
2
21
1
2
tt
d
d
ln
l?2p
tt
r
r
ln
l?2p
Q −⋅
⋅⋅
=−⋅
⋅⋅
=
•
1
21
21
1
1
r
r
ln
?
r
tt
lr2p
Q
q
⋅
−
=
⋅⋅
=
•
•
1
22
21
2
2
r
r
ln
?
r
tt
lr2p
Q
q
⋅
−
=
⋅⋅
=
•
•
••
> 21 qq

28. Densitate liniara de flux
[ ]W/mql
•
( ) ( )
1
2
21
21
1
2
l
d
d
ln
?2
1
ttp
tt
d
d
ln
?2p
l
Q
q
⋅
⋅
−
=−⋅
⋅
==
•
•

29. Variatie logaritmica a temperaturii
pe sectiune
• perete cilindric
omogen
( )
1
2
1
211
d
d
ln
d
d
ln
tttt ⋅−−=
( )tt
d
d
ln
l?2p
Q 1
1
−⋅
⋅⋅
=
•

30. Variatie logaritmica a temperaturii
pe sectiune
• perete cilindric neomogen
( ) ( )
2
3
2
32
1
2
1
21
l
d
d
ln
?2
1
ttp
d
d
ln
?2
1
ttp
q
⋅
⋅
−⋅
=
⋅
⋅
−⋅
=
•
1
2
1
l
21
d
d
ln
?
1
2p
q
tt ⋅⋅=−
•
2
3
2
l
32
d
d
ln
?
1
2p
q
tt ⋅⋅=−
•
( )
∑=
+
+
•
⋅
⋅
−⋅
= n
1i i
1i
i
1n1
l
d
d
ln
?2
1
ttp
q
temperatura intermediara
1
2
1
l
12
d
d
ln
?
1
2p
q
tt ⋅⋅−=
•

31. Perete sferic
• perete sferic omogen
2
4 rAsf ⋅= π
dr
dt
r4p?Q 2
⋅⋅−=
•
12 dd2d −=
( ) ( )
( )
d
dd
tt?p
d
1
d
1
tt?2p
r
1
r
1
tt?4p
Q 21
21
21
21
21
21 ⋅
⋅−⋅⋅=
−
−⋅⋅
=
−
−⋅⋅
=
•
( )
r
1
r
1
tt?4p
Q
1
1
−
−⋅⋅
=
•
( )
21
1
211
r
1
r
1
r
1
r
1
tttt
−
−
⋅−−= deci o variatie hiperbolica a temperaturii

32. Perete sferic neomogen
( ) ( )
32
322
21
211
d
1
d
1
tt?2p
d
1
d
1
tt?2p
Q
−
−⋅⋅
=
−
−⋅⋅
=
•






−⋅
⋅
=−
•
211
21
d
1
d
1
?2p
Q
tt






−⋅
⋅
=−
•
322
32
d
1
d
1
?2p
Q
tt






⋅
⋅+
⋅
⋅⋅=





⋅
−
⋅+
⋅
−
⋅⋅=−
••
322
2
211
1
32
23
221
12
1
31
dd
1
?
d
dd
1
?
d
p
Q
dd
dd
?
1
dd
dd
?
1
2p
Q
tt
( )
322
2
211
1
31
dd
1
?
d
dd
1
?
d
ttp
Q
⋅
⋅+
⋅
⋅
−⋅
=
•
( )
∑= +
+
•
⋅
⋅
−⋅
= n
1i 1iii
i
1n1
dd
1
?
d
ttp
Q

33. TRECEREA CALDURII
• Un perete omogen sau
neomogen, de orice forma, separa
de obicei doua fluide cu
temperaturi diferite tf1 si tf2.
• Caldura se transmite de la un
fluid la altul prin intremediul
peretelui. În perete caldura se
transmite prin conductivitate, iar
de la primul fluid la perete si de
la perete la al doilea fluid prin
convectie si eventual si prin
radiatie, pentru temperaturi mari.
• Acest fenomen complex de
transmitere a caldurii se numeste
trecerea caldurii.
( ) ( ) ( ) ( )f23232
2
2
21
1
1
1f11 ttatt
d
?
tt
d
?
ttaq −⋅=−⋅=−⋅=−⋅=
•

34. Continuare
2
f23
2
2
32
1
1
21
1
1f1
a
1
qtt
?
d
qtt
?
d
qtt
a
1
qtt
⋅=−
⋅=−
⋅=−
⋅=−
•
•
•
•
22
2
1
1
1
f2f1
a
1
?
d
?
d
a
1
tt
q
+++
−
=
•
2i
i
1
2f1f
a
1
?
d
a
1
tt
q
++
−
=
∑
•
Prin adunarea acestor diferente rezulta:
Ecuatia generala:

35. Coeficient de transfer termic total K
[W/m2K],
( )2f1f ttKq −⋅=
•
22
2
1
1
1 a
1
?
d
?
d
a
1
1
K
+++
=
Densitatea fluxului se poate scrie sub forma:
Din compararea celor doua relatii rezulta:

36. Trecerea caldurii prin pereti cilindrici
( ) ( ) ( )
( )f2323
2
3
2
32
1
2
1
21
1f111l ttadp
d
d
ln
?2
1
ttp
d
d
ln
?2
1
ttp
ttadpq −⋅⋅⋅=
⋅
⋅
−⋅
=
⋅
⋅
−⋅
=−⋅⋅⋅=
•
11
l
1f1
dap
q
tt
⋅⋅
=−
•
1
2
1
l
21
d
d
ln
?p2
q
tt ⋅
⋅⋅
=−
•
2
3
2
l
32
d
d
ln
?p2
q
tt ⋅
⋅⋅
=−
•
32
l
f23
dap
q
tt
⋅⋅
=−
•






⋅
+⋅
⋅
+⋅
⋅
+
⋅
⋅⋅=−
•
322
3
21
2
111
lf2f1
da
1
d
d
ln
?2
1
d
d
ln
?2
1
da
1
p
1
qtt
( )
∑= +
+
•
⋅
+⋅
⋅
+
⋅
−⋅
= n
1i 1n2i
1i
i11
f2f1
l
da
1
d
d
ln
?2
1
da
1
ttp
q
[ ]W/mK
da
1
d
d
ln
?2
1
da
1
1
K n
1i 1n2i
1i
i11
l
∑= +
+
⋅
+⋅
⋅
+
⋅
=
( )f2f1ll ttpKq −⋅⋅=
•

37. Trecerea caldurii prin pereti sferici
( )
( ) ( )
( )f232
2
3
322
2
32
211
1
21
1f11
2
1 ttadp
dd
1
?
d
ttp
dd
1
?
d
ttp
ttadpQ −⋅⋅⋅=
⋅
⋅
−⋅
=
⋅
⋅
−⋅
=−⋅⋅⋅=
•
1
2
1
1f1
adp
Q
tt
⋅⋅
=−
•
211
1
21
dd
1
?
d
p
Q
tt
⋅
⋅⋅
=−
•
322
2
32
dd
1
?
d
p
Q
tt
⋅
⋅⋅
=−
•
2
2
3
f23
adp
Q
tt
⋅⋅
=−
•
( )
∑
= ++
•
⋅
+
⋅
⋅+
⋅
−⋅
= n
1i
2
1n21iii
i
2
11
f2f1
da
1
dd
1
?
d
da
1
ttp
Q
Prin adunarea acestor diferente se obtine:[ ]W/K
da
1
dd
1
?
d
da
1
1
K n
1i
2
1n21iii
i
2
11
sf
∑= ++ ⋅
+
⋅
⋅+
⋅
=
( )f2f1sf ttpKQ −⋅⋅=
•