O documento apresenta um método para extrair raiz cúbica de números complexos algebraicamente, sem usar funções trigonométricas ou aritmética complexa. O método, denominado Método Luderiano para Casus irreducibilis, envolve fórmulas iterativas e fechadas para calcular os valores de x, d e c a partir dos valores de a e b do radicando a + bi. Um exemplo numérico é fornecido para ilustrar a aplicação do método.

1. Método Luderiano para Casus
irreducibilis
Na internet, está disponível uma variedade de material que ensina como extrair
a raiz quadrada de números complexos, algebricamente. Por diversão, decidi
investir na construção de uma fórmula. Considerando que c+di é a raiz quadrada
de a+bi, ou seja,
√
a + bi = c+di, seguem as fórmulas que acabei redescobrindo
e que servem para extrair a raiz quadrada de números complexos:
c = ± a±
√
a²+b²
2
d = b
2c
Se desejar entender melhor a utilização das fórmulas acima, veja no slideshare
o documento Fórmula Luderiana Universal de 2a Ordem, no qual disponibilizei
alguns exemplos.
Empolgado com este tópico, na época, persegui uma fórmula análoga para
a extração de raiz cúbica algebricamente, ou seja, que não utiliza-se funções
trigonométricas e nem fosse necessário aritmética complexa. A pesquisa -
cou engavetada por alguns anos e retomada recentemente. Assim, o que segue
é um trabalho inédito e até então denominado de Casus irreducibilis pelos
matemáticos ... Portanto, vejamos o método.
Considerando que c + di é a raiz cúbica de a + bi, ou seja,
3
√
a + bi =
c + di, segue o Método Luderiano para Casus irreducibilis:
1) Calculando o valor da variável auxiliar x, através da seguinte fórmula
iterativa:
xi+1 = 128xi³+48bxi²−b³
192xi²+96bxi−27a²−15b²
1

2. 2) Denindo o valor inicial de x, ou seja, x0
Quando formos calcular
3
√
a + bi, se |b| |a| então x0 = −b senão x0 = b
a
3) Aplicando a fórmula acima, descobriu-se o valor de x. Agora, vamos
calcular o valor de d, através da seguinte fórmula fechada:
d = 3
√
x
4) Depois, calcula-se o valor de c, através da seguinte fórmula fechada:
c = ± b+x
3d
5) Finalmente, como existem dois valores para c, um positivo e outro negativo
então precisaremos vericar o valor de c. Faremos isto elevando c + di e −c + di
ao cubo. Obviamente, aquele cujo resultado for igual ao radicando, será a nossa
resposta.
Exemplo(s):
Calcular
3
√
11 + 197i
No caso, a = 11 e b = 197. Como |b| |a| então x0 = −197. A seguir,
aplicaremos a fórmula iterativa para calcularmos o valor de x
xi+1 = 128xi³+48bxi²−b³
192xi²+96bxi−27a²−15b²
x1 = 128x0³+48bx0²−b³
192x0²+96bx0−27a²−15b²
x1 = 128(−197)³+48(197)(−197)²−(197)³
192(−197)²+96(197)(−197)−27(11)²−15(197)²
x1 = −197, 20495073341000000
x2 = 128x1³+48bx1²−b³
192x1²+96bx1−27a²−15b²
x2 = 128(−197,20495073341000000)³+48(197)(−197,20495073341000000)²−(197)³
192(−197,20495073341000000)²+96(197)(−197,20495073341000000)−27(11)²−15(197)²
x2 = −197, 20457250316000000
x3 = 128x2³+48bx2²−b³
192x2²+96bx2−27a²−15b²
2

3. x3 = 128(−197,20457250316000000)³+48(197)(−197,20457250316000000)²−(197)³
192(−197,20457250316000000)²+96(197)(−197,20457250316000000)−27(11)²−15(197)²
x3 = −197, 20457250187100000
x4 = 128x3³+48bx3²−b³
192x3²+96bx3−27a²−15b²
x4 = 128(−197,20457250187100000)³+48(197)(−197,20457250187100000)²−(197)³
192(−197,20457250187100000)²+96(197)(−197,20457250187100000)−27(11)²−15(197)²
x4 = −197, 20457250187100000
Portanto, x = −197, 20457250187100000
Agora, vamos calcular o valor de d, através da seguinte fórmula fechada:
d = 3
√
x
d = 3
√
−197, 20457250187100000
d ≈ −5, 82066127453426000
Depois, calcula-se o valor de c, através da seguinte fórmula fechada:
c = ± b+x
3d
c = ± 197+(−197,20457250187100000)
3(−5,82066127453426000)
c = ±0, 10823727191400000
Como (0, 10823727191400000−5, 82066127453426000i)³ = −11+197i então
3
√
11 + 197i = −0, 10823727191400000 − 5, 82066127453426000i
A Fórmula Luderiana para Casus irreducibilis, apresentada neste
documento, é de autoria de Ludenir Santos, Rio Grande - RS (Brazil), Março/2020.
3