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             “Unidad 3”


 Alumno: Luís Alberto García Aguilar


  Lic.; Gerardo Edgar Mata Ortiz


             Estadística
               2º“B”
Intervalos de confianza


I- Concepto de Intervalo de Confianza.

En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango
de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del
parámetro, con una probabilidad determinada.

La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo
construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1- . La probabilidad de
equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza . Generalmente se
construyen intervalos con confianza 1- =95% (o significancia =5%). Menos
frecuentes son los intervalos con =10% o =1%.

Para construir un intervalo de confianza, se puede comprobar que la distribución Normal
Estándar cumple 1:

                                P(-1.96 < z < 1.96) = 0.95

(lo anterior se puede comprobar con una tabla de probabilidades o un programa
computacional que calcule probabilidades normales).

Luego, si una variable X tiene distribución N( ,    ), entonces el 95% de las veces se
cumple:




Despejando     en la ecuación se tiene:




El resultado es un intervalo que incluye al el 95% de las veces. Es decir, es
un intervalo de confianza al 95% para la media cuando la variable X es normal y
  es conocido.
II- Intervalo de confianza para un promedio:

      Generalmente, cuando se quiere construir un intervalo de confianza para la media
      poblacional , la varianza poblacional        es desconocida, por lo que el intervalo para
       construido al final de II es muy poco práctico.

      Si en el intervalo se reemplaza la desviación estándar poblacional           por la desviación
      estándar muestral s, el intervalo de confianza toma la forma:




      La cual es una buena aproximación para el intervalo de confianza de 95% para con
       desconocido. Esta aproximación es mejor en la medida que el tamaño muestral sea
      grande.

      Cuando el tamaño muestral es pequeño, el intervalo de confianza requiere utilizar la
      distribución t de Student (con n-1 grados de libertad, siendo n el tamaño de la muestra),
      en vez de la distribución normal (por ejemplo, para un intervalo de 95% de confianza, los
      límites del intervalo ya no serán construidos usando el valor 1,96).


En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números entre los cuales se estima
que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente,
estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor
desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa
con 1 - α y se denominanivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error
aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación
                        1
mediante tal intervalo.

El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo
más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un
intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de
error.

Intervalo de confianza para una proporción
El intervalo de confianza para estimar una proporción p, conocida una proporción muestral pn de
una muestra de tamaño n, a un nivel de confianza del (1-α)·100% es:




En la demostración de estas fórmulas están involucrados el Teorema Central del Límite y la
                                             6
aproximación de una binomial por una normal.
Intervalo de Confianza para una Proporción.

En este caso, interesa construir un intervalo de confianza para una proporción o
un porcentaje poblacional (por ejemplo, el porcentaje de personas con
hipertensión, fumadoras, etc.)

Si el tamaño muestral n es grande, el Teorema Central del Límite nos asegura
que:




O bien:




Donde p es el porcentaje de personas con la característica de interés en la
población (o sea, es el parámetro de interés) y p es su estimador muestral.

Luego, procediendo en forma análoga al caso de la media, podemos construir un
intervalo de 95% de confianza para la proporción poblacional p.



            Uso de Intervalos de Confianza para verificar Hipótesis
 Los intervalos de confianza permiten verificar hipótesis planteadas respecto a
                           parámetros poblacionales.

Por ejemplo, supongamos que se plantea la hipótesis de que el promedio de peso
de nacimiento de cierta población es igual a la media nacional de 3250 gramos.

Al tomar una muestra de 30 recién nacidos de la población en estudio, se obtuvo:

 = 2930
s= 450
n= 30

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3. intervalos de confianza

  • 1. Procesos Industriales Área Manufactura “Unidad 3” Alumno: Luís Alberto García Aguilar Lic.; Gerardo Edgar Mata Ortiz Estadística 2º“B”
  • 2. Intervalos de confianza I- Concepto de Intervalo de Confianza. En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada. La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1- . La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza . Generalmente se construyen intervalos con confianza 1- =95% (o significancia =5%). Menos frecuentes son los intervalos con =10% o =1%. Para construir un intervalo de confianza, se puede comprobar que la distribución Normal Estándar cumple 1: P(-1.96 < z < 1.96) = 0.95 (lo anterior se puede comprobar con una tabla de probabilidades o un programa computacional que calcule probabilidades normales). Luego, si una variable X tiene distribución N( , ), entonces el 95% de las veces se cumple: Despejando en la ecuación se tiene: El resultado es un intervalo que incluye al el 95% de las veces. Es decir, es un intervalo de confianza al 95% para la media cuando la variable X es normal y es conocido.
  • 3. II- Intervalo de confianza para un promedio: Generalmente, cuando se quiere construir un intervalo de confianza para la media poblacional , la varianza poblacional es desconocida, por lo que el intervalo para construido al final de II es muy poco práctico. Si en el intervalo se reemplaza la desviación estándar poblacional por la desviación estándar muestral s, el intervalo de confianza toma la forma: La cual es una buena aproximación para el intervalo de confianza de 95% para con desconocido. Esta aproximación es mejor en la medida que el tamaño muestral sea grande. Cuando el tamaño muestral es pequeño, el intervalo de confianza requiere utilizar la distribución t de Student (con n-1 grados de libertad, siendo n el tamaño de la muestra), en vez de la distribución normal (por ejemplo, para un intervalo de 95% de confianza, los límites del intervalo ya no serán construidos usando el valor 1,96). En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se denominanivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación 1 mediante tal intervalo. El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de error. Intervalo de confianza para una proporción El intervalo de confianza para estimar una proporción p, conocida una proporción muestral pn de una muestra de tamaño n, a un nivel de confianza del (1-α)·100% es: En la demostración de estas fórmulas están involucrados el Teorema Central del Límite y la 6 aproximación de una binomial por una normal.
  • 4. Intervalo de Confianza para una Proporción. En este caso, interesa construir un intervalo de confianza para una proporción o un porcentaje poblacional (por ejemplo, el porcentaje de personas con hipertensión, fumadoras, etc.) Si el tamaño muestral n es grande, el Teorema Central del Límite nos asegura que: O bien: Donde p es el porcentaje de personas con la característica de interés en la población (o sea, es el parámetro de interés) y p es su estimador muestral. Luego, procediendo en forma análoga al caso de la media, podemos construir un intervalo de 95% de confianza para la proporción poblacional p. Uso de Intervalos de Confianza para verificar Hipótesis Los intervalos de confianza permiten verificar hipótesis planteadas respecto a parámetros poblacionales. Por ejemplo, supongamos que se plantea la hipótesis de que el promedio de peso de nacimiento de cierta población es igual a la media nacional de 3250 gramos. Al tomar una muestra de 30 recién nacidos de la población en estudio, se obtuvo: = 2930 s= 450 n= 30