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Separata trigonometria 2017

Pre-Matemática secundaria.

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Trigonometría - Pre - 2017
Prof. Luis Cañedo Cortez Página 1
Medida del ángulo trigonométrico  < -; + >
Ángulo Trigonométrico
Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un
rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u
origen desde una posición inicial hasta otra posición
final, debiendo considerar que esta rotación se
efectúa en un mismo plano.
Por lo tanto debemos considerar dos tipos de
rotación:
Sentido Antihorario.
Si el ángulo tiene rotación antihoraria la medida del
ángulo será positivo.
Sentido Horario.
Si el ángulo tiene rotación horaria la medida del
ángulo será negativo.
Observaciones:
1. Ángulo de una vuelta
Es aquel ángulo generado, cuando la posición inicial
y final coinciden por primera vez, luego de cierta
rotación lo denotaremos como: 1v.
a) Ángulo de una vuelta
b) Ángulo recto
c) Ángulo llano
2. Los ángulos trigonométricos son ilimitados a
diferencia de la geometría.
3. Para sumar o restar ángulos trigonométricos que
no se pueden realizar a simple vista debemos
procurar tenerlos en un solo sentido de preferencia
antihorario para ello se recomienda el cambio de
sentido.
4. Ángulos coterminales y/o cofinales. Son dos o más
ángulos positivos o negativos de diferentes medidas
que tienen el mismo origen, el mismo lado inicial y
el mismo lado final.
Actividad.
1. Hallar “x”
a)
2
º90

 b)
2
º90

 c)
2
º180


d)
2
º180

 e)
2
º270


2. Del gráfico, señalar “x” en función de los otros
ángulos trigonométricos mostrados.
b) α + β + 
c) α - β - 
d)  - α - β
e)  - β + α
f) α -  + β
Lado Final
Lado InicialVértice O

OVértice
Lado Final
Lado Inicial

 es positivo
 es negativo

= 360°= 1v
1
90
4
v  
1
180
2
v  
O
x 
-x
 
 (+)
 (-)
 –  = n.360° ; n ϵ Z
 = 360° + 
Trigonometría - Pre - 2017
Prof. Luis Cañedo Cortez Página 2
3. Del gráfico, calcular “x”.
a) 2
b) 4
c) 8
d) 12
e) 10
4. A que es igual  +  +  a partir del gráfico
adjunto:
a) -450°
b) -360°
c) -720°
d) 360°
e) 0°
5. Del gráfico mostrado, calcula los valores de “x”.
a) {– 5; 6} b) {– 3; –6} c) {– 5; –6}
d) {– 1; 6} e) {7; 3}
6. Dos ángulos coterminales son entre sí como 19 es
a 3. Hallar la medida del mayor de ellos, si el
menor ángulo toma su mínimo valor positivo.
a) 427º 30’ b) 547º 30’ c) 657º 30’ d) 855º
e) 927º 30’
7. Sean  = (7x
2
+ 1)° y  = (1 – 3x
2
)° ángulos
coterminales, tal que x ϵ IR
+
. Hallar el mínimo
valor que puede tomar “”.
a) 1009º b) 757º c) 505º d) 253º e) 107º
8. Según el gráfico, reconoce la ecuación con
respecto a ,  y .
a)  –  +  = 180°
b)  +  +  = 180°
c)  –  –  = 120°
d)  +  +  = 180°
e)  +  –  = 360°
Sistema de medidas angulares.
1. SISTEMA SEXAGESIMAL (INGLÉS)
El sistema divide el ángulo de una vuelta en 360
partes iguales y a cada parte denomina grado
sexagesimal, que es la unidad de medida angular.
Cada grado sexagesimal se divide en 60 minutos y
cada minuto en 60 segundos
Notación Equivalencias
Un grado sexagesimal = 1°
Un minuto sexagesimal = 1’
Un segundo sexagesimal = 1’’
1°= 60’
1’ = 60’’
1° = 3600’’
2. SISTEMA CENTESIMAL (FRANCÉS)
Se divide el ángulo de una vuelta en 400 partes
iguales y cada parte se llama grado centesimal.
Cada grado centesimal contiene 100 minutos
centesimales y cada minuto centesimal, 100
segundos centesimales.
Notación Equivalencias
Un grado centesimal = 1g
Un minuto centesimal = 1m
Un segundo centesimal = 1s
1g
= 100m
1m
= 100s
1g
=10 000s
3. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (INTERNACIONAL)
Este sistema tiene por unidad el radián (1 rad),
que es la medida de un ángulo central que
subtiende un arco cuya longitud es igual al radio
de la circunferencia que contiene el arco.
Notación Equivalencias
Un radián = 1 rad.
1 vuelta = 2 rad.
π = 3,14
π = 22/7
3 2  
Observaciones:
1 rad. = 57°17’45’’ = 63g
66m
20s
1 rad. > 1° > 1g
4. RELACIÓN DE LOS TRES SISTEMAS DE MEDIDAS
ANGULARES
Sean S, C y R los números que representan la
medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal,
centesimal y radial respectivamente. Se tiene:
S C R
360° = 400g = 2π rad
180
200
180 200
S k
S C R
k C k
R k


 

    
 
Pero también puede ser:



Trigonometría - Pre - 2017
Prof. Luis Cañedo Cortez Página 3
9
10
9 10
20
S k
S C R
k C k
R k



 

    

 

5. RELACIÓN ENTRE EL SISTEMA SEXAGESIMAL Y
CENTESIMAL.
Sabemos que:
180 200
S C
 , simplificando se
obtiene:
6. CONVERSIONES
De un sistema a otro.
De sexagesimal a centesimal

10
9
g
De centesimal a sexagesimal 9
10g
De sexagesimal a radian 
180
rad
De radian a sexagesimal

180
rad
De centesimal a radian 
200
rad
g
De radian a centesimal

200g
rad
En un mismo sistema.
Sistema
sexagesimal
Sistema
centesimal
Grados a
minutos
60'
1
100
61
m
g
Minutos a
segundos
60''
1'
100
1
s
m
Grados a
segundos
3600''
1
10000
1
s
g
Segundos a
grados
1
3600''
 1
10000
g
s
Segundos a
minutos
1'
60''
1
100
m
s
Minutos a
grados
1
60'
 1
100
g
m
Actividad.
1. Expresar 110g
al sistema sexagesimal.
a) 99° b) 100° c) 110° d) 120° e) 130°
2. Efectuar la siguiente suma:
K = 12°36'18" + 27°49'53"
a) 40°25'11" b) 41º26'11" c) 40º16'11"
d) 40º26'11" e) 42º16'21"
3. Efectuar la siguiente suma:
K = 32g
76m
98s
+ 37g
99m
63s
a) 72
g
76
m
61
s
b) 79
g
86
m
71
s
c) 69
g
76
m
61
s
d) 71
g
76
m
51
s
e) 70
g
76
m
61
s
4. Siendo: 23°41'17'' + 17°32'56'' = a°b'c''
Calcular:
a b
M
c 4



a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
5. Del gráfico
mostrado:
Halle:
10
9
a
a) 10/3 b) 10 c) 90 d) 9 e) 20/3
6. Al resolver
45 30
9
g
rad


, se obtiene
a) 1,2 b) 2,4 c) 3,6 d) 4,8 e) 5,4
7. Calcular:
7 12' 3 3'
J
6' 3'
 
 
a) 122 b) 133 c) 124 d) 125 e) 136
8. Al reducir la expresión se obtiene
  2 2 2
2400
C S C S
P
R
  
 , se obtiene:
a) 319 b) 309 c) 303 d) 296 e) 285
9. Expresar el ángulo en centesimal si se cumple:
C...........SSS 
a) (1, 2)
g
b) (1, 9)
g
c) (1, 8)
g
d) 1,7
g
e) 2
g
Trigonometría - Pre - 2017
Prof. Luis Cañedo Cortez Página 4
10. Del gráfico,
calcular "x".
A. 3 C. 7
B. 5 D. 9
11. Señale la medida circular de un ángulo, sabiendo
que la suma de los cuadrados de sus números de
grados sexagesimales y centesimales, es al
producto de dichos números como 362 veces el
número de radianes es a 45.
a) /4 rad b) /2 rad c) /3 rad
d) /6 rad e) /12 rad
12. Simplifique:
1 1 2 2 3 3' 1 1'40''
3' 1'40''1 2
g m g m
M
m m
 
   
a) 100 b) 200 c) 300 d) 250 e) 263
13. Calcular:
s m
3
40 1
K
1' 10"
 
A. 1,24 C. 2,16 B. 2,24 D. 2,4
14. Al simplificar
 
2 2
2
C S
E
S C S

 

, se obtiene:
a) 1 b) 1/3 c) ½ d) 0 e) 4
15. Si S, C y R representan el número de grados
sexagesimales, centesimales y radianes para un
mismo ángulo (no nulo) respectivamente;
entonces le valor de R en
2
102 2
10 2
R
S C S C

 
      
 
, es
a) /3 rad b) /13 rad c) /10 rad
d) /15 rad e) /2 rad
16. Si los ángulos de un triángulo se encuentran en
progresión aritmética de razón 12°; entonces la
medida del menor de dichos ángulos expresado
en radianes, es:
a) 2/15 rad b) 4/15 rad c) /15 rad
d) /4 rad e) /5 rad
17. Del gráfico, calcular
"x".
A. 1 B. 5
C. 3 D. 6
18. Se mide un ángulo en los 3 sistemas conocidos
si se cumple:
R1800R
1
C
1
S
1
2


Hallar la medida radial.
a) rad
10

b)
11

c)

10
d)
100

e)

100
19. Calcular la medida de un ángulo en radianes,
sabiendo que su medida en el sistema
sexagesimal es: S = 9x y en el sistema centesimal
es: C = 5(x + 5).
a) /4 rad b) /5 rad c) /6 rad
d) /8 rad e) /10 rad
20. Sabiendo que R, C y S son los números que
indican la medida de un ángulo positivo en los
sistemas radial, centesimal y sexagesimal
respectivamente.
Calcular la medida de dicho ángulo si  y  son
ángulos complementarios.
2
4
RC R


  y
22
4
R RS


 
a) /4 rad b) /3 rad c) /5 rad
d) /2 rad e) /6 rad
21. La medida de un ángulo en el sistema
sexagesimal es a°a’ y la medida de otro ángulo
en el sistema centesimal es a
g
a
m
, si la suma de
las medidas de dichos ángulos en el sistema
sexagesimal es igual a 57°46’12’’. Calcular su
diferencia en el sistema inglés.
a) 3°12’45’’ b) 3°13’48’’ c) 4°15’40’’
d) 4°15’45’’ e) 5°13’38’’
Trigonometría - Pre - 2017
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2x+1
3
2x
Razones trigonométricas de ángulos
agudos.
Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B.
Teorema de Pitágoras.
En todo triángulo rectángulo se cumple:
“La suma de los cuadrados de los catetos es igual
al cuadrado de la hipotenusa”
a2
+ c2
= b2
Ejemplo. De la figura mostrada
determine el valor de x.
Solución:
Aplicamos el teorema de
Pitágoras.
3
2
+ (2x)
2
= (2x + 1)
2
Desarrollamos los elementos y simplificamos
9 + 4x
2
= 4x
2
+ 4x + 1
8 = 4x
 x = 2
Las razones trigonométricas para un ángulo
agudo
Definimos con respecto a :
Seno de  
b
a
H
CO
sen 
Coseno de  
b
c
H
CA
cos 
Tangente de   tan
CO a
CA c
  
Cotangente de   cot
CA c
CO a
  
Secante de  
c
b
CA
H
sec 
Cosecante de  
a
b
CO
H
csc 
Por ejemplo:
3
1
sen   csc = 3
Ejercicios de aplicación.
1. En un triángulo ABC recto en C simplificar:
E = a . cotA – c . senB
a) 0 b) 1/3 c) a d) b e) 1/2
2. En un triángulo rectángulo ABC recto en B
reducir:
E = (secA - senC)cotA - cosC
a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) -1
3. Del gráfico hallar: 3
2
ctg
)tgtg(E


a) 2
b) 3
c) 5
d) 32
e) 15
4. De la figura mostrada.
AC = 2CD y CM = MB.
Determine tan  . tan 
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
5. Del gráfico calcular tg.
a) 1
b) 2
c) 3
d)
2
2
e)
3
3
6. Si:
8
5
tg  ; determine tg
a) 0,4
b) 0,5
c) 0,6
d) 0,8
e) 1
7. En un triángulo rectángulo, BC = 2AB = 2.
Determine el valor de sen  + cos .
A)
2
5
B)
1
5
C)
3
5
D)
4
5
E) 5

C
BA
b
a
c

Elementos:
- a: cateto opuesto al
ángulo 
- c: cateto adyacente
al ángulo .
- b: hipotenusa

C
BA
b
a
c

I
N
V
E
R
S
A
S
inversas

m
2m



Trigonometría - Pre - 2017
Prof. Luis Cañedo Cortez Página 6
8. En el triángulo mostrado, BH = 2; AC = 3,
determine el valor de tan  + tan .
a) 1
b) ½
c) 2
d) 3/2
e) 3
9. En el grafico mostrado AM = BM = 1 entonces el
valor de tan .
A) 3 3 B)
2
2
C) 2 2 D) 2 3
E)
3
2
10. En un triángulo ABC recto
en C se cumple 3senA = 2senB.
Calcular: tgB6senA13E 
a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15
11. Si
2
3
sen  y
7
cos
5
  ( y  ángulos
agudos). Calcular:
cos sec
csc csc
tg ctg
R
ctg ctg
   
   
  

  
a) 3,5 b) 3,6 c) 3,7 d) 3,8 e) 3,9
12. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se
cumple que
1
8
senA senC  . Calcular tg A + tgC
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
13. Si A y B son los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo. Simplificar:
cos
csc csc
csc sec
senA A
R B A
B B
 
    
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, los
lados están en progresión aritmética de razón 2.
Hallar tgA. (A > C)
a) 4/5 b) 5/6 c) 4/3 d) 5/3 e) 2/5
Propiedades de las razones trigonométricas.
 Reciprocas.
 Complementario.
sen = cos
tg = ctg
sec = csc
Ejercicios de aplicación.
1. Si : tan 3x . cot(x + 40°) = 1. Calcular : Cos 3x
a) 1 b) ½ c) 3 d) 3 /2 e) 3/5
2. Hallar “x” si : cos(2x – 10°) sec(x + 30°) = 1
a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°
3. Si: sen 7x sec 2x = 1.
Calcular:
E = tg2
6x + tg(x + 42º - y) . tg(3x + y + 8°)
a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
4. Determine “x” :
sec(2x - 8) = sen 40° csc 40° +
º75ctg
º15tg
a) 17° b) 20° c) 28° d) 30° e) 34°
5. Calcular:
º50csc
º40sec3
º70ctg
º20tg2
º80cos
º10sen
E 
a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2
Razones trigonométricas de ángulos notables.
Estas razones se obtienen a partir de triángulos
rectángulos notables donde la proporción entre sus
lados y la medida de sus ángulos interiores es
conocida.
Triángulos notables.
Triángulos aproximados.
sen . csc = 1
cos . sec = 1
tg . ctg = 1
Siempre y cuando:
 = 
Siempre y cuando:
 +  = 90°
(Complementarios
)
a
a
45
45
a
2a
60º
30º
a
5a 3a
37º
53º
4a
25a 7a
16º
74º
24a
a
8º
82º
7a

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Separata trigonometria 2017

  • 1. Trigonometría - Pre - 2017 Prof. Luis Cañedo Cortez Página 1 Medida del ángulo trigonométrico  < -; + > Ángulo Trigonométrico Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen desde una posición inicial hasta otra posición final, debiendo considerar que esta rotación se efectúa en un mismo plano. Por lo tanto debemos considerar dos tipos de rotación: Sentido Antihorario. Si el ángulo tiene rotación antihoraria la medida del ángulo será positivo. Sentido Horario. Si el ángulo tiene rotación horaria la medida del ángulo será negativo. Observaciones: 1. Ángulo de una vuelta Es aquel ángulo generado, cuando la posición inicial y final coinciden por primera vez, luego de cierta rotación lo denotaremos como: 1v. a) Ángulo de una vuelta b) Ángulo recto c) Ángulo llano 2. Los ángulos trigonométricos son ilimitados a diferencia de la geometría. 3. Para sumar o restar ángulos trigonométricos que no se pueden realizar a simple vista debemos procurar tenerlos en un solo sentido de preferencia antihorario para ello se recomienda el cambio de sentido. 4. Ángulos coterminales y/o cofinales. Son dos o más ángulos positivos o negativos de diferentes medidas que tienen el mismo origen, el mismo lado inicial y el mismo lado final. Actividad. 1. Hallar “x” a) 2 º90   b) 2 º90   c) 2 º180   d) 2 º180   e) 2 º270   2. Del gráfico, señalar “x” en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados. b) α + β +  c) α - β -  d)  - α - β e)  - β + α f) α -  + β Lado Final Lado InicialVértice O  OVértice Lado Final Lado Inicial   es positivo  es negativo  = 360°= 1v 1 90 4 v   1 180 2 v   O x  -x    (+)  (-)  –  = n.360° ; n ϵ Z  = 360° + 
  • 2. Trigonometría - Pre - 2017 Prof. Luis Cañedo Cortez Página 2 3. Del gráfico, calcular “x”. a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 10 4. A que es igual  +  +  a partir del gráfico adjunto: a) -450° b) -360° c) -720° d) 360° e) 0° 5. Del gráfico mostrado, calcula los valores de “x”. a) {– 5; 6} b) {– 3; –6} c) {– 5; –6} d) {– 1; 6} e) {7; 3} 6. Dos ángulos coterminales son entre sí como 19 es a 3. Hallar la medida del mayor de ellos, si el menor ángulo toma su mínimo valor positivo. a) 427º 30’ b) 547º 30’ c) 657º 30’ d) 855º e) 927º 30’ 7. Sean  = (7x 2 + 1)° y  = (1 – 3x 2 )° ángulos coterminales, tal que x ϵ IR + . Hallar el mínimo valor que puede tomar “”. a) 1009º b) 757º c) 505º d) 253º e) 107º 8. Según el gráfico, reconoce la ecuación con respecto a ,  y . a)  –  +  = 180° b)  +  +  = 180° c)  –  –  = 120° d)  +  +  = 180° e)  +  –  = 360° Sistema de medidas angulares. 1. SISTEMA SEXAGESIMAL (INGLÉS) El sistema divide el ángulo de una vuelta en 360 partes iguales y a cada parte denomina grado sexagesimal, que es la unidad de medida angular. Cada grado sexagesimal se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos Notación Equivalencias Un grado sexagesimal = 1° Un minuto sexagesimal = 1’ Un segundo sexagesimal = 1’’ 1°= 60’ 1’ = 60’’ 1° = 3600’’ 2. SISTEMA CENTESIMAL (FRANCÉS) Se divide el ángulo de una vuelta en 400 partes iguales y cada parte se llama grado centesimal. Cada grado centesimal contiene 100 minutos centesimales y cada minuto centesimal, 100 segundos centesimales. Notación Equivalencias Un grado centesimal = 1g Un minuto centesimal = 1m Un segundo centesimal = 1s 1g = 100m 1m = 100s 1g =10 000s 3. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (INTERNACIONAL) Este sistema tiene por unidad el radián (1 rad), que es la medida de un ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia que contiene el arco. Notación Equivalencias Un radián = 1 rad. 1 vuelta = 2 rad. π = 3,14 π = 22/7 3 2   Observaciones: 1 rad. = 57°17’45’’ = 63g 66m 20s 1 rad. > 1° > 1g 4. RELACIÓN DE LOS TRES SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente. Se tiene: S C R 360° = 400g = 2π rad 180 200 180 200 S k S C R k C k R k             Pero también puede ser:   
  • 3. Trigonometría - Pre - 2017 Prof. Luis Cañedo Cortez Página 3 9 10 9 10 20 S k S C R k C k R k                5. RELACIÓN ENTRE EL SISTEMA SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL. Sabemos que: 180 200 S C  , simplificando se obtiene: 6. CONVERSIONES De un sistema a otro. De sexagesimal a centesimal  10 9 g De centesimal a sexagesimal 9 10g De sexagesimal a radian  180 rad De radian a sexagesimal  180 rad De centesimal a radian  200 rad g De radian a centesimal  200g rad En un mismo sistema. Sistema sexagesimal Sistema centesimal Grados a minutos 60' 1 100 61 m g Minutos a segundos 60'' 1' 100 1 s m Grados a segundos 3600'' 1 10000 1 s g Segundos a grados 1 3600''  1 10000 g s Segundos a minutos 1' 60'' 1 100 m s Minutos a grados 1 60'  1 100 g m Actividad. 1. Expresar 110g al sistema sexagesimal. a) 99° b) 100° c) 110° d) 120° e) 130° 2. Efectuar la siguiente suma: K = 12°36'18" + 27°49'53" a) 40°25'11" b) 41º26'11" c) 40º16'11" d) 40º26'11" e) 42º16'21" 3. Efectuar la siguiente suma: K = 32g 76m 98s + 37g 99m 63s a) 72 g 76 m 61 s b) 79 g 86 m 71 s c) 69 g 76 m 61 s d) 71 g 76 m 51 s e) 70 g 76 m 61 s 4. Siendo: 23°41'17'' + 17°32'56'' = a°b'c'' Calcular: a b M c 4    a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. Del gráfico mostrado: Halle: 10 9 a a) 10/3 b) 10 c) 90 d) 9 e) 20/3 6. Al resolver 45 30 9 g rad   , se obtiene a) 1,2 b) 2,4 c) 3,6 d) 4,8 e) 5,4 7. Calcular: 7 12' 3 3' J 6' 3'     a) 122 b) 133 c) 124 d) 125 e) 136 8. Al reducir la expresión se obtiene   2 2 2 2400 C S C S P R     , se obtiene: a) 319 b) 309 c) 303 d) 296 e) 285 9. Expresar el ángulo en centesimal si se cumple: C...........SSS  a) (1, 2) g b) (1, 9) g c) (1, 8) g d) 1,7 g e) 2 g
  • 4. Trigonometría - Pre - 2017 Prof. Luis Cañedo Cortez Página 4 10. Del gráfico, calcular "x". A. 3 C. 7 B. 5 D. 9 11. Señale la medida circular de un ángulo, sabiendo que la suma de los cuadrados de sus números de grados sexagesimales y centesimales, es al producto de dichos números como 362 veces el número de radianes es a 45. a) /4 rad b) /2 rad c) /3 rad d) /6 rad e) /12 rad 12. Simplifique: 1 1 2 2 3 3' 1 1'40'' 3' 1'40''1 2 g m g m M m m       a) 100 b) 200 c) 300 d) 250 e) 263 13. Calcular: s m 3 40 1 K 1' 10"   A. 1,24 C. 2,16 B. 2,24 D. 2,4 14. Al simplificar   2 2 2 C S E S C S     , se obtiene: a) 1 b) 1/3 c) ½ d) 0 e) 4 15. Si S, C y R representan el número de grados sexagesimales, centesimales y radianes para un mismo ángulo (no nulo) respectivamente; entonces le valor de R en 2 102 2 10 2 R S C S C             , es a) /3 rad b) /13 rad c) /10 rad d) /15 rad e) /2 rad 16. Si los ángulos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética de razón 12°; entonces la medida del menor de dichos ángulos expresado en radianes, es: a) 2/15 rad b) 4/15 rad c) /15 rad d) /4 rad e) /5 rad 17. Del gráfico, calcular "x". A. 1 B. 5 C. 3 D. 6 18. Se mide un ángulo en los 3 sistemas conocidos si se cumple: R1800R 1 C 1 S 1 2   Hallar la medida radial. a) rad 10  b) 11  c)  10 d) 100  e)  100 19. Calcular la medida de un ángulo en radianes, sabiendo que su medida en el sistema sexagesimal es: S = 9x y en el sistema centesimal es: C = 5(x + 5). a) /4 rad b) /5 rad c) /6 rad d) /8 rad e) /10 rad 20. Sabiendo que R, C y S son los números que indican la medida de un ángulo positivo en los sistemas radial, centesimal y sexagesimal respectivamente. Calcular la medida de dicho ángulo si  y  son ángulos complementarios. 2 4 RC R     y 22 4 R RS     a) /4 rad b) /3 rad c) /5 rad d) /2 rad e) /6 rad 21. La medida de un ángulo en el sistema sexagesimal es a°a’ y la medida de otro ángulo en el sistema centesimal es a g a m , si la suma de las medidas de dichos ángulos en el sistema sexagesimal es igual a 57°46’12’’. Calcular su diferencia en el sistema inglés. a) 3°12’45’’ b) 3°13’48’’ c) 4°15’40’’ d) 4°15’45’’ e) 5°13’38’’
  • 5. Trigonometría - Pre - 2017 Prof. Luis Cañedo Cortez Página 5 2x+1 3 2x Razones trigonométricas de ángulos agudos. Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B. Teorema de Pitágoras. En todo triángulo rectángulo se cumple: “La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa” a2 + c2 = b2 Ejemplo. De la figura mostrada determine el valor de x. Solución: Aplicamos el teorema de Pitágoras. 3 2 + (2x) 2 = (2x + 1) 2 Desarrollamos los elementos y simplificamos 9 + 4x 2 = 4x 2 + 4x + 1 8 = 4x  x = 2 Las razones trigonométricas para un ángulo agudo Definimos con respecto a : Seno de   b a H CO sen  Coseno de   b c H CA cos  Tangente de   tan CO a CA c    Cotangente de   cot CA c CO a    Secante de   c b CA H sec  Cosecante de   a b CO H csc  Por ejemplo: 3 1 sen   csc = 3 Ejercicios de aplicación. 1. En un triángulo ABC recto en C simplificar: E = a . cotA – c . senB a) 0 b) 1/3 c) a d) b e) 1/2 2. En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir: E = (secA - senC)cotA - cosC a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) -1 3. Del gráfico hallar: 3 2 ctg )tgtg(E   a) 2 b) 3 c) 5 d) 32 e) 15 4. De la figura mostrada. AC = 2CD y CM = MB. Determine tan  . tan  a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. Del gráfico calcular tg. a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 2 e) 3 3 6. Si: 8 5 tg  ; determine tg a) 0,4 b) 0,5 c) 0,6 d) 0,8 e) 1 7. En un triángulo rectángulo, BC = 2AB = 2. Determine el valor de sen  + cos . A) 2 5 B) 1 5 C) 3 5 D) 4 5 E) 5  C BA b a c  Elementos: - a: cateto opuesto al ángulo  - c: cateto adyacente al ángulo . - b: hipotenusa  C BA b a c  I N V E R S A S inversas  m 2m   
  • 6. Trigonometría - Pre - 2017 Prof. Luis Cañedo Cortez Página 6 8. En el triángulo mostrado, BH = 2; AC = 3, determine el valor de tan  + tan . a) 1 b) ½ c) 2 d) 3/2 e) 3 9. En el grafico mostrado AM = BM = 1 entonces el valor de tan . A) 3 3 B) 2 2 C) 2 2 D) 2 3 E) 3 2 10. En un triángulo ABC recto en C se cumple 3senA = 2senB. Calcular: tgB6senA13E  a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15 11. Si 2 3 sen  y 7 cos 5   ( y  ángulos agudos). Calcular: cos sec csc csc tg ctg R ctg ctg                a) 3,5 b) 3,6 c) 3,7 d) 3,8 e) 3,9 12. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se cumple que 1 8 senA senC  . Calcular tg A + tgC a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 13. Si A y B son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Simplificar: cos csc csc csc sec senA A R B A B B          a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, los lados están en progresión aritmética de razón 2. Hallar tgA. (A > C) a) 4/5 b) 5/6 c) 4/3 d) 5/3 e) 2/5 Propiedades de las razones trigonométricas.  Reciprocas.  Complementario. sen = cos tg = ctg sec = csc Ejercicios de aplicación. 1. Si : tan 3x . cot(x + 40°) = 1. Calcular : Cos 3x a) 1 b) ½ c) 3 d) 3 /2 e) 3/5 2. Hallar “x” si : cos(2x – 10°) sec(x + 30°) = 1 a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50° 3. Si: sen 7x sec 2x = 1. Calcular: E = tg2 6x + tg(x + 42º - y) . tg(3x + y + 8°) a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 4. Determine “x” : sec(2x - 8) = sen 40° csc 40° + º75ctg º15tg a) 17° b) 20° c) 28° d) 30° e) 34° 5. Calcular: º50csc º40sec3 º70ctg º20tg2 º80cos º10sen E  a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2 Razones trigonométricas de ángulos notables. Estas razones se obtienen a partir de triángulos rectángulos notables donde la proporción entre sus lados y la medida de sus ángulos interiores es conocida. Triángulos notables. Triángulos aproximados. sen . csc = 1 cos . sec = 1 tg . ctg = 1 Siempre y cuando:  =  Siempre y cuando:  +  = 90° (Complementarios ) a a 45 45 a 2a 60º 30º a 5a 3a 37º 53º 4a 25a 7a 16º 74º 24a a 8º 82º 7a
  • 7. Trigonometría - Pre - 2017 Prof. Luis Cañedo Cortez Página 7 Ejercicios de aplicación. 1. Calcular: E = (sen30º + cos60º)tg37º a) 1 b) 2 c) ¼ d) 3/4 e) 4/3 2. Determine el valor de “m” para que “x” sea 30º. 1m 1m x2cos    a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 3. Del gráfico hallar: ctg a) 1,6 b) 1,7 c) 0,4 d) 0,6 e) 1,4 4. Calcular: E = (sec245º + tg45º) ctg37º - 2cos60º a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 5. Calcular: “x” 3xsec53º - tg45º = sec60º(sec45º + sen45º)csc30º a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. Calcular: E = (tg60º + sec30º - sen60º)sec60º a) 25/12 b) 25/24 c) 49/12 d) 49/24 e) 7/18 7. Calcular: º45sen º30cosº37senº60secº30tg E 2   a) 5 3 b) 5 311 c) 5 33 d) 3 35 e) 5 32 8. Determine tg en el gráfico. a) 3 b) 3 3 c) 2 3 d) 6 3 e) 2 33 9. En el gráfico: tana = 6, calcula tan. A) 1/6 B) 1/12 C) 1/5 D) ¼ E) 1/10 10. Según el gráfico, calcula cot. A) 3 B) 2,5 C) 4 D) 1,4 E) 2 11. Calcular el valor de: 2sec 30 45 cos60 37 csc45 csc30 tg ctg P        Rpta.: 2 2 12. Si: sen (3x + 17°) = cos (x + 23°), calcular el valor de:       2 12 4 5 4 3 sen x ctg x E tg x         Rpta.: 6/5 13. Del gráfico (cuadrado ABCD), calcular el valor de “tg ϴ” Rpta.: 4 14. Si cos(4x – 17°) . sec(x + 16°) = 1 , calcular el valor de: (4 1) (3 4) cos(6 6) ctg x sen x K x        Rpta.: 4/5 15. Calcular los valores que puede tomar “x” en la igualdad: x2 csc30° + 3x sec53° – tg260° = 0 Rpta.: {-3; ½} x + 3 2x + 1 5x - 3 45º  30º  CB A D E 45° ϴ
  • 8. Trigonometría - Pre - 2017 Prof. Luis Cañedo Cortez Página 8 x y    x y 90°180° -90° Ángulo en posición normal. Es todo ángulo trigonométrico cuyo lado inicial está sobre el semieje positivo X, su vértice coincide con el origen de coordenadas y su lado final se encuentra en cualquier parte del plano. En la figura ,    son las medidas de los ángulos en posición normal Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. Sea P un punto de coordenadas (x; y) pertenece al lado final de un ángulo  en posición normal, donde. r: radio vector x: abscisa y: ordenada Siendo: 2 2r x y  ……. Teorema de Pitágoras Del gráfico definiremos las Razones Trigonométricas para un ángulo en posición normal los cuales son independientes del sentido de giro o el número de vueltas que pudiera realizar. . . Ordenada y sen R V r    . . csc R V r Ordenada y    cos . . Abscisa x R V r    . . sec R V r Abscisa x    Ordenada y tg Abscisa x    cot Abscisa x Ordenada y    Regla de los signos. C R.T. IC IIC IIIC IVC sen + + – – cos + – – + tg + – + – cot + – + – sec + – – + csc + + – – Ángulos cuadrantales. Entenderemos por ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincida con cualquier semieje del plano cartesiano. La medida de este ángulo siempre tendrá la forma “ 2 π n ”; n  Z ó “n. 90º”. Ejemplo: Para diferentes valores enteros de “n” tendríamos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; …. n . 90 = -270°; -180°; -90°; 0; 90°; 180°; 270°; 360°; El siguiente gráfico muestra algunos Ángulos Cuadrantales y su medida. Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales. m∢ R.T. 0º, 360º 90º 180º 270º 0; 2 /2  3/2 sen 0 1 0 -1 cos 1 0 -1 0 tg 0 N 0 N cot N 0 N 0 sec 1 N -1 N csc N 1 N -1 0 = Cero 1 = Uno N = No definido Razones trigonométricas de ángulos coterminales. x y Segundo Primero Tercero Cuarto S P T C en csc ositivas Todas g cot os sec + + +
  • 9. Trigonometría - Pre - 2017 Prof. Luis Cañedo Cortez Página 9 Ejercicios: 1. Del gráfico calcular:  tg26cos11E a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2. Del gráfico calcular:  cot4sec5E a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. Del gráfico calcular “tg” Si: ABCD es un cuadrado a) -0,1 b) -0,2 c) -0,3 d) -0,4 e) -0,5 4. Si 1 tan 1 2   , además IIIC  . Hallar sec  a) 23 b) 29 c) 41 d) 65 e) 73 5. De la figura; calcular R = 2csc α + sec β a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. Si: 8tg = 4 además IIIC, calcular: R= sen . cos . a) 2/13 b) 3/13 c) 6/13 d) -6/13 e) -3/13 7. Sabiendo que: 2 1 1 4 32 tg tg           ; siendo sen  < 0. Calcular: U = 13 sen  + 5ctg  a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11 8. Si: 1 2 1 4 1 4 5 2 tg      Calcular: 5 csc , sabiendo que   IIIC a) -2 b) -3 c) -6 d) - 3 e) 6 9. Del gráfico, calcular “tg ”; si: ABCD es un cuadrado. a) –1,1 b) –1,2 c) –1,3 d) –1,4 e) –1,5 10. Hallar tag , si: C(–4; 6) si ABCD es un cuadrado. a) –0,2 b) –0,4 c) –0,6 d) –0,8 e) –1,0 11. Si: 1 1 1 5 13cos     ; 270°<<360°. Hallar el valor de: R= sec  – tg . a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 12. Si: 2 2 2 2 ....tg       , además  IIIC; según esto calcular: 5 cscQ tg   . a) –1/2 b) –2 c) –1 d) –3/2 e) –5/2 13. Si se cumple que: 25 Sen2  + 5 Sen  – 12 = 0 Además  II C, halla M= Sen  – Cos  + Tg  a) 0,72 b) 0,65 c) 0,6 d) 0,56 e) 0,5 14. Sabiendo que:  II C y  III C. Halla el signo de la expresión: cos cot sen tg E        a) (+) b) (–) c) (+) ó (–) d) (+) ó (–) e) Nulo 15. Simplificar: º90cscab2 º270sen)ba(º0sec)ba( E 22   a) a b) b c) 1 d) 2 e) 4 16. Del gráfico calcular: E = tg  + cot  x y  (1; -2) x y )2;3(  x y  C(2; 2)B(-1; 2) A D
  • 10. Trigonometría - Pre - 2017 Prof. Luis Cañedo Cortez Página 10 a) 1 b) 2 c) 3 d) 2/3 e) 3/2 17. Calcular: 2 2( ) sec360 ( ) cos180 2 csc270 a b a b E ab        a) 1 b) 2 c) 3 d) -3 e) -2 18. Indicar el signo de la expresión: 160 cos230 tan350 cot80 sec200 csc300 sen B        a) + b) – c) + o – d) + y – e) nulo 19. Del gráfico mostrado, calcular E = sen  + cos  a) 41 41 b) 41 40 c) 41 31 d) 41 47 e) 41 37 20. De la figura, hallar csc  a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 4 2 e) 5 2 21. Si se cumple que: 1 2 8 ctg     ;  IIIC Calcular “csc ” a) 13 b) 26 c) 39 d) 42 e) 61 Ejercicios de reforzamiento. 1. SI:  28 tg sen sen    . Hallar : D = 1 + sec 2  a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 2. Los lados de un triángulo rectángulo miden: (3x + 5); (2x + 4) y (3x – 3). Calcular el seno del mayor ángulo. a) 3/5 b) 29/24 c) 5/3 d) 6/7 e) 21/29 3. Sean A y B los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Simplificar: cos csc csc csc sec senA A T B A B B        a) 4ab b) 3bc c) 2 d) a e) b 4. Del gráfico calcular “tg ” 5. Resolver: 2 2csc30 cos60 sec 45 45 sec(2 8) 20,2sec53 cos60 60 sen x tg          a) 24° b) 34° c)37° d) 53° e) 60° 6. Hallar “n” 2 1437 csc 45 243 n tg        a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 81 7. Resolver: tg(x – 30°).cot(70° - x) = 1 a) 40° b) 50° c) 60° d) 70° e) 24° 8. Si:    60 . 10 1 0tg x y tg x y        Hallar: cos(x – 55°) a) 2 /2 b) 2 c) ½ d) 1/3 e) 3 /2 9. Sean  y  ángulos agudos complementarios, donde: 2 3 csc 3 x    y 2 cos 4 1x    Hallar: 4 cos 5 E sen    a) 12/5 b) 1 c) 3 d) 2 e) 11/5 10. Si: 13,8462 1 0´4 ´´a b c   Calcular: a N c b   a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5  (a-b; b) (a; a-b) A(4; 5)   x y O (2a –1; a+4)  x y
  • 11. Trigonometría - Pre - 2017 Prof. Luis Cañedo Cortez Página 11 Aplicación de los triángulos rectángulos Ángulos verticales. Son aquellos ángulos que se determinan en un plano vertical, formados por la línea de mira visual y la línea horizontal que parten del ojo del observador. Los ángulos verticales se clasifican en: Ángulo de elevación. Es el ángulo que se origina por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal. Ángulo de depresión Es el ángulo que se origina por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal. Ángulos horizontales. Son aquellos ángulos, cuya medición se realiza en un plano horizontal. El instrumento de medición para estos ángulos se llama brújula. Su estudio también está basado en la resolución de triángulos rectángulos y por ende la aplicación de razones trigonométricas. La Rosa Naútica es el plano, en el cual están contenidas las 32 direcciones notables de la brújula. El Rumbo o dirección, es la desviación angular que sufre la Rosa náutica con respecto a las direcciones principales (norte, sur, este y oeste), al ubicar un punto. Ejemplos: N30°E. Se lee “Del norte se desvía 30° al este” S48°O. Se lee “Del sur se desvía 48° al oeste” N15°E. Se lee “Del norte se desvía 48° al este” NE. Es la bisectriz de la dirección Norte y Este. SE. Es la bisectriz de la dirección Sur y Este. NO. Es la bisectriz de la dirección Norte y Oeste. SO. Es la bisectriz de la dirección Sur y Oeste Problemas de aplicación. 1. Una persona observa la parte más alta de un edificio con un ángulo de elevación de 45°, acercándose 48m el nuevo ángulo es 53°. Hallar la altura del edificio. a) 168m b) 192m c) 176m d) 196m e) 200m 2. Un niño de 1,30m de estatura está situado a 5,40m de la base de un poste y observa la parte más alta de dicho poste con un ángulo de elevación de 53°. Hallar la altura del poste. a) 8,50m b) 8,20m c) 8,76m d) 7,96m e) 8,00m 3. Una persona situada en la parte superior de una torre de 15 3 m de altura observa a 2 personas con ángulos de depresión de 30° y 60° respectivamente. Hallar la distancia que separa a las personas. a) 16m b) 19m c) 76m d) 30m e) 20m 4. La elevación de la cumbre de una montaña, vista desde un punto A es 45°, caminando desde A una distancia de 50m, en un plano horizontal en dirección a la cumbre, y luego otros 260m, sobre un plano ascendente cuya inclinación tiene como cotangente 2,4 respecto a la horizontal, se encuentra que la elevación de la cumbre, vista desde éste último punto es 53°. Hallar la altura de la cumbre respecto al nivel del punto A. a) 800m b) 840m c) 860m d) 820m e) 900m 5. Desde un acantilado una persona observa un barco con un ángulo de depresión de 45°, luego que el barco se aleja 80m en el mismo plano vertical. Desde ésta última posición del barco se observa al primer observador con un ángulo de elevación de 37°. Hallar la altura del acantilado. a) 100m b) 120m c) 180m d) 240m e) 260m 6. Un avión vuela a 150km con rumbo N60°O, luego cambia su dirección volando con rumbo N60°E hasta un punto situado al norte de su punto de partida. Hallar la distancia entre su punto de partida y llegada. a) 150km b) 120km c) 100km d) 80km e) 60km 7. Desde lo alto de un muro de 2 m de alto, se ve lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 53°. Si el muro está a 36 m del edificio, ¿cuál es la altura del edificio? a) 50 m b) 48 c) 56 d) 64 e) 72 8. Desde el borde de un acantilado de 500 m de altura sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de dos boyas situadas en un mismo plano vertical con el observador miden 45° y 30°. Calcule la distancia entre las boyas. (Considere 3 1,73 ) a) 365 m b) 360 m c) 300 m d) 340 m e) 250 m
  • 12. Trigonometría - Pre - 2017 Prof. Luis Cañedo Cortez Página 12 Permanece igual Depende del cuadrante cambia Depende del cuadrante 9. Desde la parte superior de una torre se observa en el suelo un objeto con un ángulo de depresión  y desde el punto medio de la torre de depresión angular con que se observa el mismo objeto es el complemento de . Calcular tg . a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 4 2 e) 5 2 10. Desde un acantilado una persona observa un barco con un ángulo de depresión de 45°, luego que el barco se aleja 80m en el mismo plano vertical. Desde ésta última posición del barco se observa al primer observador con un ángulo de elevación de 37°. Hallar la altura del acantilado. a) 100m b) 120m c) 180m d) 240m e) 260m 11. Una persona de 1,7 m de estatura divisa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 37°. Si la persona está a 24 m del edificio, ¿cuál es la altura del edificio? a) 33,7 m b) 19,7 c) 27,7 d) 28,7 e) 37,7 12. Una antena de radio está colocada en la azotea de un edificio. A 12 m de distancia del edificio sobre el suelo, los ángulos de elevación de la punta de la antena y de la parte superior del edificio son 53° y 37° respectivamente. Halle la longitud de la antena. a) 7 m b) 6 m c) 5 m d) 8 m e) 6,5 m Reducción al primer cuadrante REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DE ARCOS POSITIVOS MENORES DE UNA VUELTA. Consiste en comparar el valor de las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud con respecto al valor de la razón trigonométrica de un ángulo del primer cuadrante (agudo). Para poder entender mejor daremos las siguientes observaciones: I. Razones trigonométricas de ángulos negativos Sen (–) = –Sen  Cos (–) = Cos  Tg (–) = –Tg  II. Cofunción ó Co -razón Sen Cos ; Tg Ctg ; Sec Csc III. R.T.         º360 º180 =  R.T. () Ejemplo : Tg 300° (300°  IV) Tg 300° = Tg (360° – 60°) = –Tg 60° = – 3 (en el IVC la Tg es –)  Tg 300° = – 3 R.T.         º270 º90 =  Co. R.T. () Ejemplo : Sen 120° (120°  IIC) Sen 120° = Sen (90° + 30°) = +Cos 30° = 2 3 (en el IIC el Sen es +)  Sen 120° = 2 3 Ejercicio de aplicación. 1. Reducir: )xcos( )xº360cos( )x(sen )xº180(sen E       a) 0 b) 2 c) -2 d) 2cosx e) -cosx 2. Calcular: E = sen150° + tg225° + cos300° a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2 3. Si:     2cos)x 2 (sen)x 2 (sen Calcular: “secx” a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 3/2 4. Reducir: º130cot º140tg º310sen º230sen E  a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2 5. Halle el valor de la expresión:       cos 150 240 tan 300 sen E      a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. Hallar el valor de:    2 100 3 280 cos(10 ) sen sen F      a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 7. Simplificar: (230 ) (50 ) (40 ) tg x tg x E ctg x      a) –tg x b) –cotg x c) tg x d) -2 e) 2 8. Sumar: Sen2 20° + sen2 73° + sen2 110° + sen2 163° a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) 3 Ctg (–) = –Ctg  Sec (–) = Sec  Csc (–) = –Csc  Cambia por su co - razón
  • 13. Trigonometría - Pre - 2017 Prof. Luis Cañedo Cortez Página 13 PARA ÁNGULOS MAYORES DE UNA VUELTA Para este caso la medida angular que es mayor a una vuelta () será dividida entre 360º; tomando el resto () de dicha operación como medida angular resultante; manteniéndose la R.T. original, esto es:  360°   = 360º . n +   R.T. = R.T.   n Ejemplo. Reducir al primer cuadrante: 1. Sen 1985° 1985° 360° 1800° 5 Residuo 185° Luego : Sen 1985° = Sen 185° = Sen (180° + 5°) …… (*) = -Sen 5º  Sen 1985° = -Sen 5° 2. Tg 5535° 5535° 360° 5400° 15 Residuo 135° Luego : Tg 5535° = Tg 135° = Tg (90° + 45°) …… (*) = -Ctg 45°  Tg 5535° = -1 Ejercicios de aplicación. 1. Calcular : º990Sen º3780Cosº1170Sen 2  a) -1 b) 2 c) -2 d) 1 e) 0 2. Simplificar : E = 2 Tg (1485°) + 6 Cos 2200° - 2 Sen 750° a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. Simplificar : )x9(Ctg)x7(Csc)x5(Cos x 2 9 Secx 2 7 Senx 2 5 Tg                          a) Ctg x b) -1 c) 1 d) -2 e) 2 4. Simplificar : E = )x(Sen )x4(Sen   + )x5(Cos )x(Cos   + Tg 6 a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 0 5. Reducir : E = )x14(Cos)x26(Cos )x8(Sen)x12(Sen   a) Tg x b) Ctg x c) Sen x d) 1 e) 0 6. Calcular : E = º3870Sen º540Cosº900Sen 4 2  a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 0