Números Reales
Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen expansióndecimal
periódica o tienen expansión decimal no periódica. Por ejemplo,a)
3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
b)
½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
c) 1/3 es un número real y
a que 1/3 = 0,3333333333333….
d) 2es un número real ya que 2=
1,4142135623730950488016887242097….
e)
0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real.
f)
1,01001000100001000001000000100000001….
g)
π
también es real.Como puede verse algunos tienen expansión decimal periódica a, b y c y
otrostienen expansión decimal no periódica d, e, f y g. Los números que tienen expansióndecimal
periódica se llaman números Racionales (denotados por Q) y los números quetienen expansión
decimal no periódica se llaman Irracionales (denotados por I). Enconsecuencia a, b y c son
números racionales y d, e, f y g son números irracionales.Claramente, la propiedad de tener
expansión decimal periódica para los racionalesy la propiedad de tener expansión decimal no
periódica para los irracionales define dostipo de números muy distintos. Lo que significa que un
número real es racional oirracional, nunca ambos.
Conjunto de los números Reales
De acuerdo a lo anteriormente expuesto, el conjunto de los números reales sedefine como la
unión de dos tipos de números, a saber; los números racionales, losnúmeros irracionales.A su vez,
los números racionales se clasifican en:a)
Números Naturales (N)
, los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9, 10, 11, …
b)
Números Enteros (Z)
, son los números naturales, sus negativos y el cero. Porejemplo: -3, -2, -
1, 0, 1, 2, 3,…
c)
Números Fraccionarios
, son aquellos números que se pueden expresar comocociente de dos números enteros, es decir,
son números de la forma
a/b
con
a
, benteros y b
≠
0.
d)
Números Algebraicos
, son aquellos que provienen de la solución de algunaecuación algebraica y se representan por un
número finito de radicales libres oanidados. Por ejemplo,
En general, todas
las raíces no exactas de cualquier orden son irracionalesalgebraicos
. Hay números racionales que parecen irracionales, como por ejemplo
.A simple vista parecen irracionales pero al observarlos con más detenimientonotamos que las
raíces son exactas y al calcularlas llegamos a números racionales. Enefecto,
e)
Números Trascendentales

, no pueden representarse mediante un número finitode raíces libres o anidadas; provienen de las
llamadas funciones trascendentes:trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. El número
π
y e son irracionalestrascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales. Los
irracionalestrascendentes también surgen al escribir números decimales no periódicos al azar ocon
un patrón que no lleva periodo definido.Para terminar es recomendable observar con atención el
siguiente mapaconceptual, para reafirmar todo lo anteriormente expuesto a cerca de los
númerosreales.A partir de ahora, cuando se diga número sin adjetivo calificativo,
estaremoshablando de número real. Puedes estar seguro de eso.
La recta real
Llamamos recta real a la recta donde cada punto que la conforma es un númeroreal. Como cada
punto de ella está identificado con un número racional o irracional
esta recta es una recta compacta donde no queda ningún “espacio libre” entre dos
puntos de ella. Para tener una idea de esta propiedad imagine que dados dos númerosracionales
siempre es posible encontrar uno entre ellos. Esto es simple considerandoque la semisuma de dos
números cualquiera siempre está entre ellos dos. En la rectareal representamos todos los números
(recuerde que todo punto de la recta estaetiquetado con un número real) y en ella podemos
visualizar el orden en que seubican.Apuntes de las clases de Cálculo 10 Prof. Derwis Rivas
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Propiedad: ConmutativaOperación: Suma y RestaDefinición: a+b = b+aQue dice:El orden al sumar
o multiplicar reales no afecta el resultado.Ejemplo:2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5Propiedad:
AsociativaOperación: Suma y MultiplicaciónDefinición: a+(b+c)=(a+b)+c------ a(bc) = (ab)cQue
dice:Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta
elresultado.Ejemplo:7+(6+1)=(7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7Propiedad:
IdentidadOperación: Suma y MultiplicaciónDefinición: a + 0 = a------ a x 1= aQue dice:Todo real
sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo realmultiplicado por 1 se queda igual;
el 1 es la identidad multiplicativa.Ejemplo:-11 + 0 = -11 17 x 1 = 17Propiedad: Inversos
Operación: Suma y MultiplicaciónDefinición: a + (-a) = 0------(a)1/a=1Que dice:La suma de
opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1.Ejemplos:15+ (-15) = 0 1/4(4)=1Propiedad:
DistributivaOperación:Suma respecto a MultiplicaciónDefinición: a (b + c) = ab + a cQue dice:El
factor se distribuye a cada sumando.Ejemplos:2(x+8) = 2(x) + 2(8)Propiedades de las
igualdadesPropiedad ReflexivaEstablece que toda cantidad o expresión es igual a sí

misma.Ejemplo:2a = 2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = xPropiedad SimétricaConsiste en poder cambiar el orden
de los miembros sin que la igualdad se altere.Ejemplo:Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11Si a -
b = c, entonces c = a - bSi x = y, entonces y = xPropiedad Transitiva
Enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común los otros dos miembrostambién son
iguales.Ejemplo:Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5Si x + y = z y a + b = z, entonces
x + y = a + bSi m = n y n = p, entonces m = pPropiedad UniformeEstablece que si se aumenta o
disminuye la misma cantidad en ambos miembros, laigualdad se conserva.Ejemplo:Si 2 + 5 = 7,
entonces (2 + 5) (3) = (7) (3)Si a = b, entonces a + x = b + xPropiedad CancelativaDice que en una
igualdad se pueden suprimir dos elementos iguales en ambosmiembros y la igualdad no se
altera.Ejemplos:Si (2 x 6) - 4 = 12 - 4, entonces 2 x 6 = 12Si a + b = c + b, entonces a = c
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Inecuaciones y desigualdades
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros serelacionan por uno
de estos signos:< Menor que
2x − 1 < 7≤
Menor o igual que
2x − 1 ≤ 7
> Mayor que
2x − 1 > 7
≥
Mayor o igual que
2x − 1 ≥ 7
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de lavariable que la verifica.La solución de
la inecuación se expresa mediante:1. Una representación gráfica.2. Un intervalo.
2x − 1 < 7
2x < 8 x < 4(-
∞, 4)2x − 1 ≤ 72x ≤ 8 x ≤ 4
(-

∞, 4]2x − 1 > 7
2x > 8 x > 4
(4, ∞)2x − 1 ≥ 7
2x ≥ 8 x ≥ 4[4, ∞)
Inecuaciones equivalentes
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta unmismo número, la inecuación
resultante es equivalente a la dada.
3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x <
1Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide porun mismo número positivo,
la inecuación resultante es equivalente ala dada.2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3Si a los dos miembros de
una inecuación se les multiplica o divide porun mismo número negativo, la inecuación resultante
cambia de sentidoy es equivalente a la dada.

−x
<
5 (−x) · (−
1) > 5 · (
−
1) x >
−5
Inecuaciones de primer grado
Inecuaciones de primer grado con una incógnita1º Quitar corchetes y paréntesis.2º Quitar
denominadores.3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y lostérminos
independientes en el otro.4º Efectuar las operaciones5º
Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo
que cambiará el sentido de la desigualdad.6º Despejamos la incógnita.7º Expresar la solución de
forma gráfica y con un intervalo.

[3, +∞)
Inecuaciones de segundo grado
Consideremos la inecuación:x
2
− 6x + 8 > 0

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a
cero y obtenemos lasraíces de la ecuación de segundo grado.x
2
− 6x + 8 = 0
2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un puntode cada intervalo y evaluamos
el signo en cada intervalo:P(0) = 0
2
− 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 3
2
− 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 5
2
− 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) quetengan el mismo signo que el
polinomio.S = (-
∞, 2) (4, ∞)
x
2
+ 2x +1 ≥ 0

x
2
+ 2x +1 = 0(x + 1)
2
≥ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la soluciónesSoluciónx
2
+ 2x +1 ≥ 0
(x + 1)
2
≥ 0
x
2
+ 2x +1 > 0 (x + 1)
2
> 0x
2
+ 2x +1 ≤ 0
(x + 1)
2
≤ 0
x =
− 1
x

2
+ 2x +1 < 0 (x + 1)
2
< 0x
2
+ x +1 > 0x
2
+ x +1 = 0Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier
valorsi:El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es .El signo obtenido no
coincide con el de la desigualdad, no tienesolución.

Soluciónx

2
+ x +1 ≥ 0
x
2
+ x +1 > 0x
2
+ x +1 ≤ 0
x
2
+ x +1 < 0
Inecuaciones racionales
Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las desegundo grado, pero hay que
tener presente que el denominador nopuede ser cero.1º Hallamos las raíces del numerador y del
denominador.
x − 2 = 0 x = 2x − 4 = 0 x = 4
2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuentaque las raíces del
denominador, independientemente del signo de ladesigualdad, tienen que ser
abiertas.3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cadaintervalo:

4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) quetengan el mismo signo que
la fracción polinómica.S = (-
∞, 2] (4, ∞)
Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.Hallamos las raíces del
numerador y del denominador.
−x + 7 = 0 x = 7x − 2 = 0 x = 2
Evaluamos el signo:S = (-
∞, 2) (7, ∞)

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