integrales dobles matematica 3, tipos de integrales, ejercicios

1. Pág. 1
MATEMÁTICA III
Docente: Dr.Halyn Alvarez Vásquez
INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES CON SUS
RESPECTIVAS APLICACIONES
INTEGRALES DOBLES
1. Ejemplo:
2
2
1−

D
x dxdy
y
, donde : 0 1, 0 1
   
D x y
Solución
( ) ( )
1
1
1 1 1 1
2 2 3
2 2 2 2
0
0 0 0 0
0
1
3 12
1 1 3 1 3 1
 

  
 

= = = = =
  
 
− − − − 

 
  
 
    
D
x dxdy x x dy
dx dy dy arctg y
y y y y


2. Pág. 2
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2. Ejemplo: 2

D
xdxdy , donde " "
D es la región limitada por 2
4 =
y x , 2 4 0
− + =
x y
Solución
Calculando los puntos de intersección
2
4
2, 4
2 4 0
 =
→ = − =

− + =

y x
x x
x y
( )
2
4
4 4 3
2
2 2
4
2 2 4 18
2
+
− −
 
   
= = + − =
   
 
 
 
   
x
D x
x
xdxdy xdy dx x x dx
f(x)=x^2/4
f(x)=(x+4)/2
Relleno 1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y

3. Pág. 3
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3. Ejemplo: 
D
dxdy , donde " "
D es la región limitada por
3
2
=
y x ,
2
1
2
=
y x y las rectas
1
2
=
x ;
2
=
x
Solución
Graficando
2
3
2 2 2 2
2
2
2
1
1/2 1/2 1/2 1/2
2
3 3 1 3
2 2 2 2 2
−
 
 
 
= = − = − =
 
 
 
 
 
     
x
D x
x x
dxdy dy dx dx xdx x dx

4. Pág. 4
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3. Ejemplo: 
D
xdA , donde ( )
 
2 2
, / 0 2 0 4
=       −
D x y y x y
Solución
Calculando el área
( ) ( )
2
2
2 2
4
2 2 2 3
2
0 0 0 0 0
4 1 8
0 4 4
2 2 3 3
−
 
−
  
   
 
= = − = − = − =

 
 
   
 
 
 
    
y
D
y y
xdA xdx dy dy y dy y
4. Ejemplo:
2
2

D
x
dxdy
y
, donde " "
D es un dominio acotado por las rectas 2
=
x , =
y x y la
hipérbola 1
=
xy
Solución
Graficando la región de " "
D es un dominio acotado por las rectas 2
=
x , =
y x y 1
=
xy
( )
2
2 2 2
2 2 2 4 2
3
2 2
1 1/ 1 1
1/ 1
9
4 2 4

     
= = − = − = − =
  
 
 
   
  
    
x
x
D x x
x x x x x
dxdy dy dx dx x x dx
y
y y

5. Pág. 5
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5. Ejemplo: Calcular la integral ( )
1/2 2
−

D
x y dxdy , donde " "
D es un dominio acotado por las
rectas 4
=
x y , 2
=
y x .
Solución
Graficando la región de " "
D y calculando los puntos de intersección
2
2 8
4
0, 1
 =

→ = → = =

=


x y
x x x x
x y
( ) ( ) 4
4
1|
1 1 6
1/2 2 1/2 2 3/2 2 3/4 5/2
0 0 0
2 2 1
3 3 3 7
   
 
 
− = − = − = − + =
 
 
     
 
    
y y
y
D y
y
x y dxdy x y dx dy x y x dy y y dy
Ejercicios para el aula:
Calcular el integral doble de los siguientes ejercicios
1.- ( )
2
+

D
x y dxdy donde : 0 2, 0 1
   
D x y .
2.- ( )
−

D
x y dxdy donde : 1 2, 1 4
   
D x y .
3.-
2
2
1
+

D
x dxdy
y
donde : 0 1, 0 1
   
D x y .
5.- ( )
+

x sen y
D
e dxdy donde : 0 , 0 /2
   
D x y
  .
9.- 
D
dxdy , donde " "
D es la región limitada por =
y x , 2
=
y x y la recta 9
=
x