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SEMANA 03: CONJUNTOS
1. Concepto: El término conjunto es aceptado en matemáticas como
un concepto primitivo; es decir, se acepta sin definición. Intuitivamente, un
conjunto es una colección o agrupación de objetos llamados elementos.
2. Notación: Generalmente los conjuntos se denotan con letras
mayúsculas A, B, C, ... etc., y los elementos por letras minúsculas,
mayúsculas u otros símbolos, separados por comas y encerrado entre
llaves.
Ejm.: A = {lunes; miércoles, viernes, domingo}, B = {2; 5; 12; 18}.
3. Relación de pertenencia ():
Si un elementos está en un conjunto o es parte de él, diremos que
“pertenece” a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo “” y en el
caso de no pertenecer por “”.
Ejm.: Dado el conjunto: A = {2; 5; 7; 8}
Entonces: 2  A, 4  A, 7  A
4. Determinación de conjuntos:
Existen 2 formas de determinar un conjunto:
4.1) Por extensión: Cuando se nombran todos los elementos que
conforman el conjunto.
Ejm.: A = {a, e, i, o , u}, B = {6, 8, 10, 12, 14}
4.2) Por comprensión: Cuando se menciona una o mas características
comunes a todos los elementos del conjunto.
Ejm: A = {x/x es una vocal}, B ={x/5 < x z 18  x es par}
5. Conjuntos especiales
5.1) Conjunto vacío o nulo: Es aquel conjunto que carece de elementos.
Se le denota por:  ó { }.
Ejm.: A = { }, B = {x/4 < x < 6  x < 8}
5.2) Conjunto unitario: Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
Ejm.: A = {3}, B = {x/x  N  6 < x < 8}
5.3) Conjunto universal: Es aquel conjunto que se toma como referencia,
para un problema determinado, en el que se encuentran todos los
elementos con que se está trabajando.
Se denota por la letra U.
Ejm.: A = {2; 6; 10; 12}, B = {x + 3/x es impar  0 < x < 10}
6. Relaciones entre conjuntos:
6.1) Igualdad: Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen los
mismos elementos. Se denota por A = B
Ejm.: A = {x/x es una vocal}, B = {a, e, i, o, u}
6.2) Inclusión (): Se dice que un conjunto A esta incluido () en otro
conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen a B; en caso contrario;
se dirá que no está incluido ().
Se denota: A  B
Ejm.: A = {2, 4, 6}, B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, C = {1, 2, 3, 4, 5}
Entonces: A () B, A () C
Propiedades:
i) A  A  A ( A: para todo conjunto A).
ii) A  B y B  C  A  C.
iii)   A,  A importante !!
7. Conjunto potencia: Dado el conjunto A, se denomina conjunto
potencia de A y se denota por P(A ), al conjunto cuyos elementos son todos
los subconjuntos de A.
Ejm.: Si A = {1, 2}; entonces todos los subconjuntos de A son:
: {1}, {2}; {1, 2}
Entonces P(A) = {;{1};{2};{1;2}}
8. SUBCONJUNTO PROPIO: Si a P(A) no se le considera el subconjunto
, subconjuntos restantes conforman el subcojunto propio Entonces
S.P.P(A) = {{1};{2};{1;2}}
RESUMEN
Relación de Pertenencia (elemento  conjunto)
Relación de Inclusión (conjunto conjunto)
El conjunto vacío está incluido en todo conjunto (  A)
M = {x/3  x < 6; x  N} esta en comprensión.
M = {3, 4, 5} en extensión
El número de elementos de M o su cardinal C (M) = 3
Para el conjunto potencia (todos los subconjuntos de M) usamos 2n
Elementos de P (M) = 23
= 8
P (M) = {, {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4, 5}, M = {3, 4, 5}}
Podemos decir que: 3 M, {3} P(M),   M
TEORIA DE CONJUNTOS
1. ¿Cuáles son verdaderos? Si A = {0; {}; 1; {1}}
I)   A II) {}  A III)   A IV) {{0}, {1}}  P(A) V)
{{1}}  A
2. Si L = {Ana; Karen, Brenda, Memo} y dadas las proporciones
I) Brenda  L II) Karen  LIII) Memo  {Ana, Karen,
Brenda, Memo} IV) María  L V) {Ana}  L
¿Cuáles son falsas?.
3. Si se tiene el conjunto: S = {x+2 / x = 4m-2; m  N; 0 < m 
2}
Halla suma de todos los elementos de S
4. Indicar por extensión:
A ={ x/x N, 5 < x< 12} B ={x/x Z, 10 < x < 18}
C ={x/x N, x < 6} D ={x/x  N, x > 10}
5. Hallar la suma de elementos de cada conjunto:
A ={x2 + 3/ x N, 5 < x < 10} B ={x2+ 1/x N, 3 < x < 7}
C ={ x² + 3x + 2/x  N, x < 4}
6. ¿Cuál es vacío?
A ={x/x  N, 5 < x < 6} B ={x/x  Q, 3 < x < 4}
C ={x/x  Z, -6 < x < -4} D ={x/x  N, -6 < x < 4}
7. ¿Cuál es unitario?
M ={x/x  N, x < 1} P ={x/x  Z, x < 1}
Q ={x/x  N, -2 < x < 0} R ={x/x  Q, 5 < x < 7}
8. Si U= universo. Hallar el cardinal de A, B y C.
U ={x/x N, 1 < x < 10} A ={x²/x  N, x < 5}
B ={x+5/x  N, 3 < x < 7} C ={x² + 1/x  N, x < 4}
9. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de A? Si A ={0, {1}, 1}
10. Sean los conjuntos iguales A ={a² + 1, 7}, B ={a +b , 10} Y el conjunto
unitario: C ={a² - 1, 8} Si A es primo Hallar A × B
11. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene A? Si: A ={x/x  N, -5 < 3x - 2 < 10}
12. Dados: A ={ x - 2 /x es impar, 3 < x < 11}, B ={x + 1/x Z, -4 < x < 3},
Calcular n(A) - n(B)
13. Si el conjunto A ={m + 3, 8, n + m} es unitario, halle m - n:
14. Dados los conjuntos: A ={1, 2, 3, 4, 5, ..., 10}, B ={5, 6, 8, 10}
C ={2, 3, 4, 5, 6}, D ={1, 2, 5, 8}. Halla : (A  B‘) U (B U C)‘
15. Sí: A ={x/x  N, 5 < x < 10}, B ={x/x  n, 2 < x < 9}Hallar A  B
16. Sí: M ={x/x Z, -6 < x < -1}, N ={-x/x  Z, 2 < x < 8}, Q ={x/x  Z, x <
10}, Hallar (M  Q) – (N  Q)
PROPUESTOS
01. Dado el conjunto A={2, 6, 7} determinar V ó F según convenga.
I) 2  A ii) 7  A iii) {6}  P(A) iv) {2, 7}  A
02. Dado el conjunto B={m, t, a, r} Determinar la veracidad o falsedad de las
proposiciones.
I) {m}  P(B) ii) r  B iii) [t}  B iv) {m, a, r}  B
03. Dado el conjunto siguiente: A={4, {3}, [2}, 5}. Indicar verdadero o falso según
corresponda.
I) {3}  A II) {4}  A III) {4, {2}}  A IV) {{2}}  P(A) v) n (A) = 4
04. Hallar la suma de elementos de cada conjunto:
A ={x2
+ 3/ x N, 5 < x < 10} B ={x2
+ 1/x N, 3 < x < 7}
C ={ x² + 3x + 2/x  N, x < 4} D ={(x4
+ 2) / x  Z, 2 < x < 5}
E ={ 4x² - 3/x  Z, -5 < x < -1}
05. Dado A={1, {1,2}, 3} Indicar Verdad (V) o falso (F) según corresponda.
i) {1, 2}  A ii) 1  Aiii) 2  Aiv) {2}  P(A)
06. Dado A ={5,{5}, 7, {5, 1}} Indicar (V) o (F) según corresponda.
i) {5}  A ii) {5, 7}  P(A) iii) {5, 1}  A iv) {7}  P(A)
07. Dados los conjuntos: A ={x/x es una vocal de ‘mátala’} B ={x/x es una vocal de
‘beber’], C = {x/x es una vocal de ‘elementos’} D = {e, o}
Indicar verdadero (V) o falso(F):
i) A es un conjunto unitario ii) B es un conjunto vacío
iii) B es un subconjunto de C iv) C y D son conjuntos iguales
08. Dados los conjuntos: U ={x/x N, 1 < x < 10}, A ={x²/x  N, x < 5}, B ={x+5/x
 N, 3 < x < 7} ,C ={x² + 1/x  N, x < 4}, Además U: universo. Hallar el
cardinal de A, B y C.
09. ¿Cuántos elementos tiene P(A)? Si A ={0, {1}, 1}
10. Sean los conjuntos iguales A ={a² + 1, 7}, B ={a +b , 10}
Y el conjunto unitario: C ={a² - 1, 8}. Si A es primo Hallar A × B
11. Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario: A ={a + b, a + 2b - 3, 12} calcular a²
+ b²
12. ¿Cuántos subconjuntos propios tienen el conjunto A? Si: A ={x/x  N, -5 < 3x
- 2 < 10}
13. Dados los conjuntos: A ={ x -2 /x esimpar, 3 < x < 11}, B ={x + 1/x Z, -4 < x < 3},
calcular n(A) - n(B)
14. Si : A ={b + 1, 12} y B ={b + 3, a}. Son iguales, Halle: a + b
15. Sea el conjunto A: A ={1, 2, 1, 2, ............, {3}, 1}. Hallar el número de
subconjuntos propios de A:
16. Si el conjunto A ={m + 3, 8, n + m} es unitario, halle m - n:
a) Ninguno b) Solo III c) Solo II d) II y III e) N.A.
17. Dado M = {x/3  x < 6; x  N}. el producto de los elementos de M es:
a) 65 b) 60 c) 12 d) 20 e) 80
OPERACIONES Y PROBLEMAS DE CONJUNTOS:
UNIÓN O REUNIÓN (U): Dados 2 conjuntos A y B, se llama unión al conjunto
formado por los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos.
Notación: A U B ={x/x  A v x  B} .
Ejemplo: Sean los conjuntos:
A ={1, 2, 3, 6} B ={2, 4, 6, 7, 8} C ={4, 7, 8}
 A U B ={1, 2, 3, 4, 6, 7,. 8}
B U C ={2, 4, 6, 7, 8,}
A U C ={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}
Gráficamente:
Propiedades: Los más importantes son:
1) A U B = B U A (conmutativa) 2) A U A = A (Idempotencia)
3) A U Ø = A 4) A U U = U; U : universo
INTERSECCIÓN (): Dados lo conjuntos A y B, se llama intersección al conjunto
formado por los elementos que pertenecen a A y B a la vez; es decir es el conjunto
formado por los elementos comunes a A y B.
Notación: A  B ={x/x  A  x  B} .
Ejemplo: Sean los conjuntos:
A ={ 1, 2, 3, 6} B ={2, 4, 6, 7, 8} C ={4, 7, 8}
 A  B ={2, 6}
A  C = {}
B  C ={4, 7, 8}
Gráficamente
Propiedades:
i) A  B = B  A ii) A  A = A
iii) A  Ø = Ø iv) A  U = A; U: universo
DIFERENCIA (-): Dados 2 conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al
conjunto formado por todos los elementos de A y que no pertenecen a B; es decir,
es el conjunto formado por los elementos que pertenecen exclusivamente a A.
Notación: A - B ={x/x  A  x  B}
Sean los conjuntos: A ={1, 2, 3, 6} B ={2, 4, 6, 7, 8} C ={4, 7, 8}
 A - B = {1, 3}
B - C ={2, 6}
A - C ={1, 2, 3, 6}
Gráficamente:
Propiedades:
i) A - A = Ø ii) A - Ø = A iii) Ø - A = Ø
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO (A‘): Dado un
conjunto A que está incluido en el universo U, se
denomina complemento del conjunto A, a todos los
elementos que estén fuera de A, pero dentro del
universo.
Notación: A‘ ={x/x  U  x  A} .
Sean: U = {1, 2, 3, .............., 7, 8}, A = {1, 3, 4, 7,
8}. A‘ = {2, 5, 6} Gráficamente:
Propiedades:
i) (A‘)‘ = A ii) Ø‘ = U iii) U‘ = Ø iv) A U A‘ = U v) A g A‘ = Ø
Nota: “Leyes de Morgan”
(A U B)‘ = A‘ B‘ .
(A  B)‘ = A‘ U B‘
B
A B
A
U
B
B C
U
C
A
A C
U
C
B
A B
A
-
B
B C
-
C
A
A C
-
C
A B
A U B
A
A C
C
U
B
C
B U C
A
A
U
OPERACIONES Y PROBLEMAS ENTRE CONJUNTOS:
PROBLEMA 01 Ubica en un diagrama de Venn los elementos de los conjuntos
U = {x/x 𝜖 N ∧ x ≤ 16};
A = {x/x 𝜖 U ∧ x es divisor de 8};
B = {x/x 𝜖 U ∧ x2 < 16} y
D = {x/x 𝜖 U ∧ x + 1 ≤ 16}
PROBLEMA 02 Indica la(s) letras griegas
que corresponden a cada una de los
siguientes enunciados:
a. En la zona están todas las x tal que x
𝜖 {x/x 𝜖 A ∧ x 𝜖 B ∧ x 𝜖 C}
b. En la zona están todas las x tal que x
𝜖 {x/x 𝜖 A ∧ x ∉ B ∧ x 𝜖 C}
c. En la zona están todas las x tal que x
𝜖 {x/x 𝜖 A ∧ x ∉ B ∧ x ∉ C}
d. En la zona están todas las x tal que x 𝜖 {x/x 𝜖 A ∨ x 𝜖 B}
e. En la zona están todas las x tal que x 𝜖 {x/x 𝜖 A ∧ x 𝜖 C}
f. En la zona están todas las x tal que x 𝜖 {x/x 𝜖 A ∧ x ∉ B}
g. En la zona están todas las x tal que x 𝜖 {x/x ∉ A ∧ x ∉ B ∧ x ∉ C}
Rep: a(𝜆), b(𝛾), c(𝛼), d(𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝜆, 𝛿, Ω), e(𝛾, 𝜆), f(𝛼, 𝛽, 𝛾), g(𝜀)
Problema 03
El diagrama representa un grupo de
estudiantes que fueron encuestados y a los
cuales se les pidió su opinión respecto de los
temas A, B y C. Al respecto se desea saber:
a) ¿Número de estudiantes de la
muestra?
b) ¿Número de estudiantes que opinaron
del tema B o C?
c) ¿Cuántos no opinaron?
d) ¿Cuántos estudiantes que habían opinado sobre el tema B opinaron sobre
los temas A o C?
e) ¿Número de estudiantes que opinaron de los temas A y B?
f) ¿Cuántos dieron su opinión sólo referente al tema A?
g) ¿Cuántos manifestaron su opinión sobre los tres temas?
¿Cuántos opinaron sobre el tema C pero no sobre el tema B?
Rep. 64, 51, 0, 12, 7, 13, 3, 12.
PROPUESTOS: OPERACIONES DE CONJUNTOS
1. Representar cada zona Sombreada
2. ¿Qué operación representa cada zona sombreada?
3. Dados los conjuntos:
A ={1, 2, 3, 4, 5, ..., 10},
B ={5, 6, 8, 10},
C ={2, 3, 4, 5, 6},
D ={1, 2, 5, 8}
Hallar: (A  B‘) U (B U C)‘
4. Sí: A ={x/x  N, 5 < x < 10}, B ={x/x  n, 2 < x < 9}
Hallar A  B
5. Sí: M ={x/x Z, -6 < x < -1}, N ={-x/x  Z, 2 < x < 8},
Q ={x/x  Z, x < 10}, Hallar (M  Q) – (N  Q)
6. Sea P = {x/x  N; 0 < x2 < 35} y sea M = {x/x  N, 5 < x + 4 < 14}. Hallar
la suma de los elementos de P  M.
7. Dados los conjuntos:
A = {x  N / 0 < 0 x  4  x es Nº par},
B = { x  Z / 0 < 3  x > 7},
C = {x  N / x  2  0 < x  8}.
Determina M = [(A  C)  B]
B
C
B
A
A
B
BA
C
B
U
C A
PROBLEMAS PROPUESTOS DE CONJUNTOS
Interpretación de cada zona grafica
A o B = A U B = a + b + c
Ni A, ni B = (AUB)’ = d
Solo A = A – B = a
Solo B = B – A = c
A y B = A  B = b
Por lo menos una = A ∆ B = a+c
1. Ricardo comió huevos o frutas en el desayuno todas las mañanas en el mes de
diciembre. Si 17 mañanas comió huevos y 27 mañanas comió fruta.
¿Cuántas mañanas comió ambas cosas?
2. De 100 personas que leen por lo menos 2 ó 3 diarios, notamos que 55 leen
el comercio y expreso, 35 leen expreso y extra y 60 leen el comercio y extra.
¿Cuántas personas leen los 3 diarios?
3. De 120 amigos que tengo 92 juegan ajedrez y 32 juegan nintendo. ¿Cuántos
juegan ambas cosas a la vez?. Si cada uno de éstos juega por lo menos alguno de
éstos.
4. En EL aula 201 hay 23 alumnos, de los cuales 10 gustan del curso de MATES y
16 gustan del curso de COMUNICACION, si todos gustan de al menos uno.
¿Cuántos gustan a la vez de los 2?
5. En una industria de 80 personas: 47 tienen refrigeradora, 56 tienen
computadora y 5 no tienen ninguno de los 2 artefactos. ¿Cuántas personas tienen
solo computadora?
6. En un salón de 40 alumnos se tomaron 2 exámenes: X, F, se sabe que 14
alumnos aprobaron solo X y 8 aprobaron solo F y 6 no aprobaron ningún curso.
¿Cuántos aprobaron ambos cursos?
7. De 50 alumnos que llenan los cursos de aritmética y álgebra, se sabe que
30 llevan aritmética y 13 llevan aritmética y álgebra. ¿Cuántos llevan solo álgebra?
8. En una encuesta realizada a 120 personas, sobre los diarios que leen se
encontró que: 47 personas leen Expreso, 72 leen El Comercio y 27 leen otros
diarios. ¿Cuántas personas leen El Comercio y el Expreso?. Si todos leen al menos
2 periódicos.
9. En un mercado fueron encuestados 80 señores sobre el consumo de pollo,
pescado y carne de res; con el siguiente resultado; 40 consumen pollo; 26
consumen pescado y 45 consumen carne de res; además 8 señores afirman que
consumen los 3 tipos de carne. ¿Cuántos señores consumen solo 2 tipos de
carne?.
10. En un colegio, 100 alumnos han rendido 3 exámenes. De ellos 40
aprobaron el primer examen, 39 aprobaron el segundo examen y 48 el tercer
examen. Aprobaron los 3 exámenes 10 alumnos; 21 no aprobaron examen alguno;
9 no aprobaron los dos últimos pero si el primero; 19 no aprobaron los 2 primeros;
pero sí el tercero. Entonces, el # de alumnos que aprobaron solo uno de los
exámenes es:
11. En una academia deportiva obtuvo la siguiente información sobre los 108
alumnos matriculados en el ciclo de verano:
45 se matricularon en fútbol
36 se matricularon en basket
38 se matricularon en natación
19 se matricularon en basket y fútbol
15 se matricularon en fútbol y natación
14 se matricularon en basket y natación
9 se matricularon en los 3 cursos
¿Cuántos alumnos se les vio matriculados en otros cursos?
Rep.: 1. (13) 2. (25) 3. (4) 4.(3) 5.(28)
6. (12) 7. ( 20) 8. (13) 9.(15) 10.(55)
11.(28)
12. En una aula de 50 alumnos aprueban matemáticas 30 de ellos; física – 30;
castellano 35; matemática y física 18; física y castellano 19; matemática y
castellano 20; y 10 alumnos aprueban los 3 cursos; se deduce que:
a) 2 alumnos no aprueban ninguno de los 3 cursos.
b) 8 aprueban matemática y castellano pero no física.
c) 2 aprueban matemática pero no aprueban física ni castellano.
d) 6 aprueban matemática y física pero no aprueban castellano.
e) Ninguna de las anteriores.
13. En una clase de 27 alumnos cada uno de estos está inscrito en uno por lo
menos, de los 2 clubes siguientes: “Club de natación”, “Cine club”, el número de
alumnos inscritos en los 2 clubes es 7 y el “Cine club” tiene registrados los 2/3 del
total de alumnos. ¿Cuántos miembros tiene el “Club de natación?.
a) 20 b) 16 c) 11 d) 9 e) N.A.
14. El conjunto A tiene 3 elementos menos que el conjunto B; que por cierto
posee 7168 subconjuntos más que A. El máximo número de elementos de (A  B)
será:
a) 30 b) 11 c) 13 d) 23 e) 16
b

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CONJUNTOS

  • 1. SEMANA 03: CONJUNTOS 1. Concepto: El término conjunto es aceptado en matemáticas como un concepto primitivo; es decir, se acepta sin definición. Intuitivamente, un conjunto es una colección o agrupación de objetos llamados elementos. 2. Notación: Generalmente los conjuntos se denotan con letras mayúsculas A, B, C, ... etc., y los elementos por letras minúsculas, mayúsculas u otros símbolos, separados por comas y encerrado entre llaves. Ejm.: A = {lunes; miércoles, viernes, domingo}, B = {2; 5; 12; 18}. 3. Relación de pertenencia (): Si un elementos está en un conjunto o es parte de él, diremos que “pertenece” a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo “” y en el caso de no pertenecer por “”. Ejm.: Dado el conjunto: A = {2; 5; 7; 8} Entonces: 2  A, 4  A, 7  A 4. Determinación de conjuntos: Existen 2 formas de determinar un conjunto: 4.1) Por extensión: Cuando se nombran todos los elementos que conforman el conjunto. Ejm.: A = {a, e, i, o , u}, B = {6, 8, 10, 12, 14} 4.2) Por comprensión: Cuando se menciona una o mas características comunes a todos los elementos del conjunto. Ejm: A = {x/x es una vocal}, B ={x/5 < x z 18  x es par} 5. Conjuntos especiales 5.1) Conjunto vacío o nulo: Es aquel conjunto que carece de elementos. Se le denota por:  ó { }. Ejm.: A = { }, B = {x/4 < x < 6  x < 8} 5.2) Conjunto unitario: Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Ejm.: A = {3}, B = {x/x  N  6 < x < 8} 5.3) Conjunto universal: Es aquel conjunto que se toma como referencia, para un problema determinado, en el que se encuentran todos los elementos con que se está trabajando. Se denota por la letra U. Ejm.: A = {2; 6; 10; 12}, B = {x + 3/x es impar  0 < x < 10} 6. Relaciones entre conjuntos: 6.1) Igualdad: Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Se denota por A = B Ejm.: A = {x/x es una vocal}, B = {a, e, i, o, u} 6.2) Inclusión (): Se dice que un conjunto A esta incluido () en otro conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen a B; en caso contrario; se dirá que no está incluido (). Se denota: A  B Ejm.: A = {2, 4, 6}, B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, C = {1, 2, 3, 4, 5} Entonces: A () B, A () C Propiedades: i) A  A  A ( A: para todo conjunto A). ii) A  B y B  C  A  C. iii)   A,  A importante !! 7. Conjunto potencia: Dado el conjunto A, se denomina conjunto potencia de A y se denota por P(A ), al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Ejm.: Si A = {1, 2}; entonces todos los subconjuntos de A son: : {1}, {2}; {1, 2} Entonces P(A) = {;{1};{2};{1;2}} 8. SUBCONJUNTO PROPIO: Si a P(A) no se le considera el subconjunto , subconjuntos restantes conforman el subcojunto propio Entonces S.P.P(A) = {{1};{2};{1;2}} RESUMEN Relación de Pertenencia (elemento  conjunto) Relación de Inclusión (conjunto conjunto) El conjunto vacío está incluido en todo conjunto (  A) M = {x/3  x < 6; x  N} esta en comprensión. M = {3, 4, 5} en extensión El número de elementos de M o su cardinal C (M) = 3 Para el conjunto potencia (todos los subconjuntos de M) usamos 2n Elementos de P (M) = 23 = 8 P (M) = {, {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4, 5}, M = {3, 4, 5}} Podemos decir que: 3 M, {3} P(M),   M
  • 2. TEORIA DE CONJUNTOS 1. ¿Cuáles son verdaderos? Si A = {0; {}; 1; {1}} I)   A II) {}  A III)   A IV) {{0}, {1}}  P(A) V) {{1}}  A 2. Si L = {Ana; Karen, Brenda, Memo} y dadas las proporciones I) Brenda  L II) Karen  LIII) Memo  {Ana, Karen, Brenda, Memo} IV) María  L V) {Ana}  L ¿Cuáles son falsas?. 3. Si se tiene el conjunto: S = {x+2 / x = 4m-2; m  N; 0 < m  2} Halla suma de todos los elementos de S 4. Indicar por extensión: A ={ x/x N, 5 < x< 12} B ={x/x Z, 10 < x < 18} C ={x/x N, x < 6} D ={x/x  N, x > 10} 5. Hallar la suma de elementos de cada conjunto: A ={x2 + 3/ x N, 5 < x < 10} B ={x2+ 1/x N, 3 < x < 7} C ={ x² + 3x + 2/x  N, x < 4} 6. ¿Cuál es vacío? A ={x/x  N, 5 < x < 6} B ={x/x  Q, 3 < x < 4} C ={x/x  Z, -6 < x < -4} D ={x/x  N, -6 < x < 4} 7. ¿Cuál es unitario? M ={x/x  N, x < 1} P ={x/x  Z, x < 1} Q ={x/x  N, -2 < x < 0} R ={x/x  Q, 5 < x < 7} 8. Si U= universo. Hallar el cardinal de A, B y C. U ={x/x N, 1 < x < 10} A ={x²/x  N, x < 5} B ={x+5/x  N, 3 < x < 7} C ={x² + 1/x  N, x < 4} 9. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de A? Si A ={0, {1}, 1} 10. Sean los conjuntos iguales A ={a² + 1, 7}, B ={a +b , 10} Y el conjunto unitario: C ={a² - 1, 8} Si A es primo Hallar A × B 11. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene A? Si: A ={x/x  N, -5 < 3x - 2 < 10} 12. Dados: A ={ x - 2 /x es impar, 3 < x < 11}, B ={x + 1/x Z, -4 < x < 3}, Calcular n(A) - n(B) 13. Si el conjunto A ={m + 3, 8, n + m} es unitario, halle m - n: 14. Dados los conjuntos: A ={1, 2, 3, 4, 5, ..., 10}, B ={5, 6, 8, 10} C ={2, 3, 4, 5, 6}, D ={1, 2, 5, 8}. Halla : (A  B‘) U (B U C)‘ 15. Sí: A ={x/x  N, 5 < x < 10}, B ={x/x  n, 2 < x < 9}Hallar A  B 16. Sí: M ={x/x Z, -6 < x < -1}, N ={-x/x  Z, 2 < x < 8}, Q ={x/x  Z, x < 10}, Hallar (M  Q) – (N  Q) PROPUESTOS 01. Dado el conjunto A={2, 6, 7} determinar V ó F según convenga. I) 2  A ii) 7  A iii) {6}  P(A) iv) {2, 7}  A 02. Dado el conjunto B={m, t, a, r} Determinar la veracidad o falsedad de las proposiciones. I) {m}  P(B) ii) r  B iii) [t}  B iv) {m, a, r}  B 03. Dado el conjunto siguiente: A={4, {3}, [2}, 5}. Indicar verdadero o falso según corresponda. I) {3}  A II) {4}  A III) {4, {2}}  A IV) {{2}}  P(A) v) n (A) = 4 04. Hallar la suma de elementos de cada conjunto: A ={x2 + 3/ x N, 5 < x < 10} B ={x2 + 1/x N, 3 < x < 7} C ={ x² + 3x + 2/x  N, x < 4} D ={(x4 + 2) / x  Z, 2 < x < 5} E ={ 4x² - 3/x  Z, -5 < x < -1} 05. Dado A={1, {1,2}, 3} Indicar Verdad (V) o falso (F) según corresponda. i) {1, 2}  A ii) 1  Aiii) 2  Aiv) {2}  P(A) 06. Dado A ={5,{5}, 7, {5, 1}} Indicar (V) o (F) según corresponda. i) {5}  A ii) {5, 7}  P(A) iii) {5, 1}  A iv) {7}  P(A) 07. Dados los conjuntos: A ={x/x es una vocal de ‘mátala’} B ={x/x es una vocal de ‘beber’], C = {x/x es una vocal de ‘elementos’} D = {e, o} Indicar verdadero (V) o falso(F): i) A es un conjunto unitario ii) B es un conjunto vacío iii) B es un subconjunto de C iv) C y D son conjuntos iguales 08. Dados los conjuntos: U ={x/x N, 1 < x < 10}, A ={x²/x  N, x < 5}, B ={x+5/x  N, 3 < x < 7} ,C ={x² + 1/x  N, x < 4}, Además U: universo. Hallar el cardinal de A, B y C. 09. ¿Cuántos elementos tiene P(A)? Si A ={0, {1}, 1} 10. Sean los conjuntos iguales A ={a² + 1, 7}, B ={a +b , 10} Y el conjunto unitario: C ={a² - 1, 8}. Si A es primo Hallar A × B 11. Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario: A ={a + b, a + 2b - 3, 12} calcular a² + b² 12. ¿Cuántos subconjuntos propios tienen el conjunto A? Si: A ={x/x  N, -5 < 3x - 2 < 10} 13. Dados los conjuntos: A ={ x -2 /x esimpar, 3 < x < 11}, B ={x + 1/x Z, -4 < x < 3}, calcular n(A) - n(B) 14. Si : A ={b + 1, 12} y B ={b + 3, a}. Son iguales, Halle: a + b 15. Sea el conjunto A: A ={1, 2, 1, 2, ............, {3}, 1}. Hallar el número de subconjuntos propios de A: 16. Si el conjunto A ={m + 3, 8, n + m} es unitario, halle m - n: a) Ninguno b) Solo III c) Solo II d) II y III e) N.A. 17. Dado M = {x/3  x < 6; x  N}. el producto de los elementos de M es: a) 65 b) 60 c) 12 d) 20 e) 80
  • 3. OPERACIONES Y PROBLEMAS DE CONJUNTOS: UNIÓN O REUNIÓN (U): Dados 2 conjuntos A y B, se llama unión al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Notación: A U B ={x/x  A v x  B} . Ejemplo: Sean los conjuntos: A ={1, 2, 3, 6} B ={2, 4, 6, 7, 8} C ={4, 7, 8}  A U B ={1, 2, 3, 4, 6, 7,. 8} B U C ={2, 4, 6, 7, 8,} A U C ={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} Gráficamente: Propiedades: Los más importantes son: 1) A U B = B U A (conmutativa) 2) A U A = A (Idempotencia) 3) A U Ø = A 4) A U U = U; U : universo INTERSECCIÓN (): Dados lo conjuntos A y B, se llama intersección al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B a la vez; es decir es el conjunto formado por los elementos comunes a A y B. Notación: A  B ={x/x  A  x  B} . Ejemplo: Sean los conjuntos: A ={ 1, 2, 3, 6} B ={2, 4, 6, 7, 8} C ={4, 7, 8}  A  B ={2, 6} A  C = {} B  C ={4, 7, 8} Gráficamente Propiedades: i) A  B = B  A ii) A  A = A iii) A  Ø = Ø iv) A  U = A; U: universo DIFERENCIA (-): Dados 2 conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al conjunto formado por todos los elementos de A y que no pertenecen a B; es decir, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen exclusivamente a A. Notación: A - B ={x/x  A  x  B} Sean los conjuntos: A ={1, 2, 3, 6} B ={2, 4, 6, 7, 8} C ={4, 7, 8}  A - B = {1, 3} B - C ={2, 6} A - C ={1, 2, 3, 6} Gráficamente: Propiedades: i) A - A = Ø ii) A - Ø = A iii) Ø - A = Ø COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO (A‘): Dado un conjunto A que está incluido en el universo U, se denomina complemento del conjunto A, a todos los elementos que estén fuera de A, pero dentro del universo. Notación: A‘ ={x/x  U  x  A} . Sean: U = {1, 2, 3, .............., 7, 8}, A = {1, 3, 4, 7, 8}. A‘ = {2, 5, 6} Gráficamente: Propiedades: i) (A‘)‘ = A ii) Ø‘ = U iii) U‘ = Ø iv) A U A‘ = U v) A g A‘ = Ø Nota: “Leyes de Morgan” (A U B)‘ = A‘ B‘ . (A  B)‘ = A‘ U B‘ B A B A U B B C U C A A C U C B A B A - B B C - C A A C - C A B A U B A A C C U B C B U C A A U
  • 4. OPERACIONES Y PROBLEMAS ENTRE CONJUNTOS: PROBLEMA 01 Ubica en un diagrama de Venn los elementos de los conjuntos U = {x/x 𝜖 N ∧ x ≤ 16}; A = {x/x 𝜖 U ∧ x es divisor de 8}; B = {x/x 𝜖 U ∧ x2 < 16} y D = {x/x 𝜖 U ∧ x + 1 ≤ 16} PROBLEMA 02 Indica la(s) letras griegas que corresponden a cada una de los siguientes enunciados: a. En la zona están todas las x tal que x 𝜖 {x/x 𝜖 A ∧ x 𝜖 B ∧ x 𝜖 C} b. En la zona están todas las x tal que x 𝜖 {x/x 𝜖 A ∧ x ∉ B ∧ x 𝜖 C} c. En la zona están todas las x tal que x 𝜖 {x/x 𝜖 A ∧ x ∉ B ∧ x ∉ C} d. En la zona están todas las x tal que x 𝜖 {x/x 𝜖 A ∨ x 𝜖 B} e. En la zona están todas las x tal que x 𝜖 {x/x 𝜖 A ∧ x 𝜖 C} f. En la zona están todas las x tal que x 𝜖 {x/x 𝜖 A ∧ x ∉ B} g. En la zona están todas las x tal que x 𝜖 {x/x ∉ A ∧ x ∉ B ∧ x ∉ C} Rep: a(𝜆), b(𝛾), c(𝛼), d(𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝜆, 𝛿, Ω), e(𝛾, 𝜆), f(𝛼, 𝛽, 𝛾), g(𝜀) Problema 03 El diagrama representa un grupo de estudiantes que fueron encuestados y a los cuales se les pidió su opinión respecto de los temas A, B y C. Al respecto se desea saber: a) ¿Número de estudiantes de la muestra? b) ¿Número de estudiantes que opinaron del tema B o C? c) ¿Cuántos no opinaron? d) ¿Cuántos estudiantes que habían opinado sobre el tema B opinaron sobre los temas A o C? e) ¿Número de estudiantes que opinaron de los temas A y B? f) ¿Cuántos dieron su opinión sólo referente al tema A? g) ¿Cuántos manifestaron su opinión sobre los tres temas? ¿Cuántos opinaron sobre el tema C pero no sobre el tema B? Rep. 64, 51, 0, 12, 7, 13, 3, 12. PROPUESTOS: OPERACIONES DE CONJUNTOS 1. Representar cada zona Sombreada 2. ¿Qué operación representa cada zona sombreada? 3. Dados los conjuntos: A ={1, 2, 3, 4, 5, ..., 10}, B ={5, 6, 8, 10}, C ={2, 3, 4, 5, 6}, D ={1, 2, 5, 8} Hallar: (A  B‘) U (B U C)‘ 4. Sí: A ={x/x  N, 5 < x < 10}, B ={x/x  n, 2 < x < 9} Hallar A  B 5. Sí: M ={x/x Z, -6 < x < -1}, N ={-x/x  Z, 2 < x < 8}, Q ={x/x  Z, x < 10}, Hallar (M  Q) – (N  Q) 6. Sea P = {x/x  N; 0 < x2 < 35} y sea M = {x/x  N, 5 < x + 4 < 14}. Hallar la suma de los elementos de P  M. 7. Dados los conjuntos: A = {x  N / 0 < 0 x  4  x es Nº par}, B = { x  Z / 0 < 3  x > 7}, C = {x  N / x  2  0 < x  8}. Determina M = [(A  C)  B] B C B A A B BA C B U C A
  • 5. PROBLEMAS PROPUESTOS DE CONJUNTOS Interpretación de cada zona grafica A o B = A U B = a + b + c Ni A, ni B = (AUB)’ = d Solo A = A – B = a Solo B = B – A = c A y B = A  B = b Por lo menos una = A ∆ B = a+c 1. Ricardo comió huevos o frutas en el desayuno todas las mañanas en el mes de diciembre. Si 17 mañanas comió huevos y 27 mañanas comió fruta. ¿Cuántas mañanas comió ambas cosas? 2. De 100 personas que leen por lo menos 2 ó 3 diarios, notamos que 55 leen el comercio y expreso, 35 leen expreso y extra y 60 leen el comercio y extra. ¿Cuántas personas leen los 3 diarios? 3. De 120 amigos que tengo 92 juegan ajedrez y 32 juegan nintendo. ¿Cuántos juegan ambas cosas a la vez?. Si cada uno de éstos juega por lo menos alguno de éstos. 4. En EL aula 201 hay 23 alumnos, de los cuales 10 gustan del curso de MATES y 16 gustan del curso de COMUNICACION, si todos gustan de al menos uno. ¿Cuántos gustan a la vez de los 2? 5. En una industria de 80 personas: 47 tienen refrigeradora, 56 tienen computadora y 5 no tienen ninguno de los 2 artefactos. ¿Cuántas personas tienen solo computadora? 6. En un salón de 40 alumnos se tomaron 2 exámenes: X, F, se sabe que 14 alumnos aprobaron solo X y 8 aprobaron solo F y 6 no aprobaron ningún curso. ¿Cuántos aprobaron ambos cursos? 7. De 50 alumnos que llenan los cursos de aritmética y álgebra, se sabe que 30 llevan aritmética y 13 llevan aritmética y álgebra. ¿Cuántos llevan solo álgebra? 8. En una encuesta realizada a 120 personas, sobre los diarios que leen se encontró que: 47 personas leen Expreso, 72 leen El Comercio y 27 leen otros diarios. ¿Cuántas personas leen El Comercio y el Expreso?. Si todos leen al menos 2 periódicos. 9. En un mercado fueron encuestados 80 señores sobre el consumo de pollo, pescado y carne de res; con el siguiente resultado; 40 consumen pollo; 26 consumen pescado y 45 consumen carne de res; además 8 señores afirman que consumen los 3 tipos de carne. ¿Cuántos señores consumen solo 2 tipos de carne?. 10. En un colegio, 100 alumnos han rendido 3 exámenes. De ellos 40 aprobaron el primer examen, 39 aprobaron el segundo examen y 48 el tercer examen. Aprobaron los 3 exámenes 10 alumnos; 21 no aprobaron examen alguno; 9 no aprobaron los dos últimos pero si el primero; 19 no aprobaron los 2 primeros; pero sí el tercero. Entonces, el # de alumnos que aprobaron solo uno de los exámenes es: 11. En una academia deportiva obtuvo la siguiente información sobre los 108 alumnos matriculados en el ciclo de verano: 45 se matricularon en fútbol 36 se matricularon en basket 38 se matricularon en natación 19 se matricularon en basket y fútbol 15 se matricularon en fútbol y natación 14 se matricularon en basket y natación 9 se matricularon en los 3 cursos ¿Cuántos alumnos se les vio matriculados en otros cursos? Rep.: 1. (13) 2. (25) 3. (4) 4.(3) 5.(28) 6. (12) 7. ( 20) 8. (13) 9.(15) 10.(55) 11.(28) 12. En una aula de 50 alumnos aprueban matemáticas 30 de ellos; física – 30; castellano 35; matemática y física 18; física y castellano 19; matemática y castellano 20; y 10 alumnos aprueban los 3 cursos; se deduce que: a) 2 alumnos no aprueban ninguno de los 3 cursos. b) 8 aprueban matemática y castellano pero no física. c) 2 aprueban matemática pero no aprueban física ni castellano. d) 6 aprueban matemática y física pero no aprueban castellano. e) Ninguna de las anteriores. 13. En una clase de 27 alumnos cada uno de estos está inscrito en uno por lo menos, de los 2 clubes siguientes: “Club de natación”, “Cine club”, el número de alumnos inscritos en los 2 clubes es 7 y el “Cine club” tiene registrados los 2/3 del total de alumnos. ¿Cuántos miembros tiene el “Club de natación?. a) 20 b) 16 c) 11 d) 9 e) N.A. 14. El conjunto A tiene 3 elementos menos que el conjunto B; que por cierto posee 7168 subconjuntos más que A. El máximo número de elementos de (A  B) será: a) 30 b) 11 c) 13 d) 23 e) 16 b