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ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA

SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA

SÍLABO DESARROLLADO
DE
MATEMÁTICA
PROGRAMA REGULAR
2013

1
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA

SILABO
LÓGICO-MATEMÁTICA
(PROCESO REGULAR)

I.

DATOS GENERALES
EJE CURRICULAR

:

Formación General

AREA EDUCATIVA

:

Formación Científica Básica

AREA COGNITIVA

:

Ciencias Lógico - Matemáticas

AÑO DE ESTUDIO

:

PRIMER AÑO

HORAS SEMESTRALES

:

72 horas académicas

HORAS SEMANALES :

04

CRÉDITOS

3.5

PERIODO ACADEMICO

II.

:
:

I Semestre

SUMILLA
La Asignatura de Lógica Matemática forma parte del Área de Formación Científica Básica del
Currículo de Estudios de las Escuelas Técnico - Superiores de la Policía Nacional del Perú, siendo
de naturaleza instrumental y de carácter teórico – práctico, cuyo propósito es desarrollar en el
alumno los contenidos básicos, organizados en cuatro unidades de aprendizaje: Lógica
Proposicional, Teoría de Conjuntos, Matemática Financiera y Estadística Descriptiva.

III.

OBJETIVOS
A.

OBJETIVO GENERAL

Fortalecer las capacidades de comunicación y de pensamiento lógicomatemático en los alumnos a partir de materiales educativos que contextualicen
su práctica profesional- área de administración y ciencias policiales-, que
contribuyan a ejercitar, desarrollar y poner a punto sus competencias lógico
matemática. Desarrollar en los alumnos habilidades que permitan traducir
problemas de la vida real- área de administración y ciencias policiales- al
lenguaje lógico-matemático.

2
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
B.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Reconocer un problema de la vida real, vinculado a su quehacer profesionalárea de administración y ciencias policiales-, en las dimensiones que sean
suceptibles de ser traducidas, formalizadas u operables en lenguaje lógico o
lenguaje matemático o representación estadística.
2. Fortalecer las capacidades de pensar ordenadamente, razonar, argumentar,
cuantificar, efectuar mediciones, interpretar situaciones del área de la
administración y ciencias policiales, comunicarse con otros códigos, modelar
situaciones problemáticas, interpretar el lenguaje formal y simbólico, resolver
problemas.
3. Promover la producción de soluciones lógicas-matemáticas a las situaciones
problemáticas, vinculadas al quehacer profesional-área de administración y
ciencias policiales-, como vía tendiente a posibilitar la toma de decisiones que
permitan operar con seguridad sobre las dimensiones que comprenda cada
situación problemática, en singular, particular o general.

IV.

CONTENIDOS

I UNIDAD

LÓGICA PROPOSICIONAL
Sesión 01

PRIMERA
SEMANA
(04 hrs)

COMPETENCIA
Desarrolla conceptos y procedimientos de
manera lógica y coherente, utilizando el
lenguaje proposicional.

 Conoce y comprende los conceptos básicos
de la lógica proposicional, desarrollados en
Presentación de la asignatura.
la sesión 1.
Prueba de Entrada.
 Reconoce, describe,
analiza, expresa,
LOGICA PROPOSIONAL:
clasifica y formaliza proposiciones.
 Valora los conocimientos de la lógica
 Enunciado, Proposición.
proposicional como herramienta para
 Proposición atómica, molecular.
analizar, interpretar y traducir hechos,
 Variables proposicionales.
situaciones o problemas, de la vida real, del
 Conectivos lógicos:
área de la administración y ciencias
 Expresiones de la lengua española
policiales, al lenguaje de la lógica
equivalentes a los conectivos
proposicional, con la finalidad de resolver
lógicos.
situaciones o problemas.
 Proposiciones en lenguaje natural u
ordinario traducirlas al lenguaje
lógico proposicional (Formalización
o simbolización de proposiciones).

3
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
Sesión 02


SEGUNDA



SEMANA
(04 hrs)

Valores de verdad para las
proposiciones moleculares o tablas
de verdad de los conectivos lógicos.
Tabla de verdad: tautológica,
contradictoria, contingente.
Ley lógica, características de la ley
lógica. Leyes Lógicas: Modus
PonendoPonens,
Modus
TollendoTollens,
Modus
TollendoPonens,
Silogismo
Hipotético, Dilema Constructivo,
Dilema Destructivo, Dilema Simple.

Sesión 03






Razonamiento Deductivo.
Las Argumentaciones
Reglas de Inferencia
Leyes Lógicas
Problemas
lógicossobre
razonamientos deductivos

TERCERA
SEMANA

Evaluación Escrita: 01 hora

(04 hrs)

 Conoce y comprende los conceptos básicos
de la lógica proposicional, desarrollados en
la sesión 2.
 Identifica, analiza, compara y aplica los
valores de verdad de los diferentes
conectivos lógicos.
 Clasifica las tablas de verdad según la
naturaleza de su matriz de verdad.
Caracteriza la ley lógica.
 Describe el esquema o estructura de las
leyes lógicas.
 Aplica con propiedad los fundamentos y
principios de la lógica proposicional en la
solución de diversos problemas.
 Muestra
interés
en
los
nuevos
conocimientos, participa de manera activa,
dialoga, pregunta, analiza, sintetiza,
investiga.
 Conoce y comprende los conceptos básicos
de la lógica proposicional, desarrollados en
la sesión 3.
 Elabora
razonamientos
deductivos
utilizando las reglas lógicas.
 Maneja las reglas y principios de la lógica
proposicional para analizar la validez o
invalidez de las inferencias.
 Utiliza el razonamiento deductivo en la
formulación de hipótesis y en su respectiva
comprobación.
 Infiere conclusiones válidas haciendo uso
de las reglas de inferencia, principios
lógicos y del análisis.
 Valora el razonamiento deductivo como
herramienta para hacer inferencias sobre
hechos o problemas, de la vida real, del
área de la administración y ciencias
policiales,
que
permitan
obtener
conocimientos nuevos.
 Demuestra alto sentido de responsabilidad
y de compromiso con su formación
personal y profesional.

 Participa

de manera activa, dialoga,
pregunta, analiza, sintetiza, investiga.

4
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA

Competencia

II UNIDAD

TEORÍA DE CONJUNTOS

Resuelve problemas aplicando conceptos y las
operaciones entre conjuntos, muestra solidaridad y
colaboración con sus compañeros.

Sesión 04
Teoría de conjuntos:
CUARTA
SEMANA
(04hrs)

Noción de conjunto. Conceptos
no definidos de la teoría de
conjuntos: elemento, relación
de pertenencia. Determinación
de conjuntos: Extensión y
comprensión.
Cardinal de un conjunto.
Representación de conjuntos
mediante diagramas de Venn Euler

Sesión 05

QUINTA
SEMANA
(04 hrs)

 Clases de conjuntos: Vacío,
unitario,
finito,
infinito,
universal, conjunto potencia.
 Relaciones entre conjuntos:
inclusión,
igualdad,
disjuntos.
 Operaciones
entre
conjuntos:
Unión,
intersección, diferencia y
complemento,
diferencia
simétrica,
 Problemas de conjuntos.

 Conoce y comprende los conceptos básicos de
la teoría de conjuntos.
 Expresa de manera verbal y grafica el concepto
de conjunto
 Determina un conjunto por extensión y
comprensión.
 Demuestra alto sentido de responsabilidad,
colaboración, participación y de compromiso
con su formación personal y profesional.
 Participa de manera activa, dialoga, pregunta,
analiza, sintetiza, investiga.

 Conoce y comprende las clases, relaciones y
operaciones con conjuntos.
 Interpretay grafica las clases y operaciones de
conjuntos.
 Aplica las propiedades y operaciones entre
conjuntos
para
resolver
situaciones
problemáticas.
 Relaciona las operaciones entre conjuntos con
las operaciones lógicas.
 Interpreta enunciados y ejecuta estrategias para
resolver problemas con conjuntos.
 Participa de manera activa, dialoga, pregunta,
analiza, sintetiza, investiga.

Sesión 06
SEXTA



SEMANA
(04 hrs)


 Resuelve problemas relacionados
con la
cordialidad, clases, relaciones y operaciones
entre conjuntos.

2°
Taller:
Teoría
de
conjuntos: Problemas de
cardinalidad de conjuntos.
Problemas de operaciones
entre conjuntos. (3 horas)
Evaluación: 1 hora

 Propone

y resuelve situaciones problemáticas
relacionados con conjuntos y que le sirvan
como herramienta para hacer relaciones con
hechos de la vida real.

5
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III UNIDAD
COMPETENCIAS

MATEMATICA FINANCIERA
 Aplica

propiedades en situaciones reales de su
entorno utilizando las matemática financiera

 Respeta la opinión de sus compañeros.
 Es perseverante para resolver problemas
propuestos sobre matemática financiera
SEPTIMA
SEMANA
(04hrs)

OCTAVA
SEMANA
(04 hrs)

 Identifica y compara razones.
 Reconoce razones aritméticas y geométricas.
Razones y proporciones  Infiere datos sobre razones.
 Razón
 Resuelve problemas relacionados sobre
razones.
 Definición
 Clases de razón
 Infiere datos sobre proporciones.
 Proporción
 Reconoce clases de proporciones.
 Definiciones
 Resuelve problemas de proporciones
 Clases de proporción
 Ejercicios propuestos.

Sesión 7

Sesión 8
Promedios

 Concepto
 Promedios importantes
 Propiedad de los promedios.
 Ejercicios propuestos.

6

 Identifica los conceptos sobre los promedios.
 Reconoce los promedios importantes.
 Infiere datos sobre los promedios.
 Resuelve problemas propuestos sobre
promedios.
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NOVENA
SEMANA
(04 hrs)

Sesión 9
Magnitudes proporcionales

 Concepto
 Magnitudes

directamente

proporcionales.

 Magnitudes

inversamente

proporcionales.

 Identifica magnitudes proporcionales.
 Reconoce la relación entre magnitudes.
 Infiere datos sobre magnitudes proporcionales.
 Reconoce magnitudes directamente e
inversamente proporcional.

 Infiere

datos sobre magnitudes inversamente
proporcionales.

 Identifica

 Ejercicios propuestos.

propiedades

 Resuelve

problemas
proporcionales.

Sesión 10
DECIMA
SEMANA
(04 hrs)

DECIMA
PRIMERA
SEMANA
(04hrs)

Regla de
compuesta:

tres

simple

y

SEMANA
(04hrs)

sobre

magnitudes

 Identifica el concepto de la regla de tres simple.
 Infiere datos sobre la regla de tres simple
directa e inversa.

 Reconoce la regla de tres compuesta.
 Resuelve problemas aplicando regla

Sesión 11

 Identifica conceptos de matemática financiera
 Resuelve ejercicios de matemática financiera.
 Desarrolla práctica calificada.

 Taller de reforzamiento sobre:
 Razones y proporciones,
Promedios,
proporcionales,
compañía.

 Concepto.
 Porcentaje.
 Operaciones

compañía.

 Reconoce la regla de compañía.

 identifica la regla de tanto por ciento.
 Reconoce casos particulares de regla de tanto
por ciento.

 Infiere datos sobre la regla de tanto por ciento.
 Resuelve problemas propuestos sobre tanto por
con el tanto por

ciento.

 Descuentos

de

Magnitudes
Regla
de

Regla de tanto por ciento

SEGUNDA

magnitudes

 Concepto.
 Regla de tres simple directa
 Regla de tres simple inversa
 Regla de tres compuesta.
 Regla de compañía.
 Ejercicios propuestos.

Sesión 12
DECIMA

de

propiedades.

y

aumento

sucesivos.

 Aplicaciones

comerciales de
tanto por ciento.

 Ejercicios propuestos.

7

ciento.
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA

DECIMA
TRECERA

 Identifica los elementos de la regla de interés.
 Reconoce la clasificación de regla de interés.
 Evalúa problemas propuestos sobre regla de

Sesión 13
Regla de interés

SEMANA
(04hrs)

DECIMA

 Concepto
 Elementos

interés.
de la regla de

interés.

 Clases de interés
 Ejercicios propuestos.

 Identifica el concepto sobre mezcla.
 Resuelve problemas propuestos sobre mezcla.
 Identifica mezcla alcohólica.
 Evalúa problemas propuestos.
 Identifica el concepto sobre aleación.
 Resuelve problemas propuestos sobre aleación

CUARTA
SEMANA
(04hrs)

Sesión 14
Mezcla y aleación

 Regla de Mezcla
 Concepto.
 Mezcla alcohólica.
 Aleación.
 Concepto
Ejercicios propuestos.

 Resuelve problemas y ejercicios sobre regla de

Sesión 15
DECIMA
QUINTA
SEMANA
(04hrs)

tres simple, porcentajes,asuntos comerciales,
aumentos y descuentos con margen de error de
hasta el 8%.

TALLER DE REFORZAMIENTO

 Regla

de
compuesta.

tres

simple

y

 Tanto porciento
 Asuntos comerciales
 Aumento y descuentos.

 Reconoce

la importancia de resolver problemas
aplicados a su vida profesional.

 Describe

e interpreta las propiedades de
estadística descriptiva en problemas reales.

 Es asertivo con su opinión.
 Participa activamente en

III UNIDAD
ESTADISTICA DESCRIPTIVA

grupal.

8

forma individual y
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA

DECIMA
SEXTA
SEMANA
(04hrs)

Sesión 16

 Identifica conceptos de estadística.
 Infiere datos sobre medidas tendencia

Estadística descriptiva

central

para datos agrupados y no agrupados

 Concepto
 Medidas de

tendencia central
para datos agrupados y no
agrupados

 Reconoce

la tabla de frecuencia para datos
agrupados y no agrupados.

 Evalúa problemas propuestos sobre tablas.

 Tabla de frecuencia para datos
agrupados y no agrupados
DECIMA
SEPTIMA
SEMANA
(04hrs)

 Describe la Lectura e interpretación de tablas y
gráficos para datos agrupados y no agrupados.

Sesión 17
 Lectura

e interpretación de
tablas y gráficos para datos
agrupados y no agrupados.

 Reconoce varianza, desviación estándar.
 Resuelve propuestos sobre tablas y gráficos.

 Varianza, desviación estándar.
DECIMA
OCTAVA
SEMANA
(04hrs)

 Resuelve ejercicios propuesto sobre estadística

Sesión 18

descriptiva.

 Desarrolla el examen final.

 Taller de estadística
 Evaluación Final

9
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA

PRESENTACIÓN DE
LA ASIGNATURA DE
LÓGICA
MATEMÁTICA

10
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA

SILABO DESARROLLADO
PRESENTACIÓN
Presentación de la asignatura. Evaluación de Entrada. Lógica Proposicional.
Enunciado. Proposición. Proposición Atómica. Proposición Molecular. Variables
proposicionales. Conectivos lógicos. Expresiones de la lengua española
equivalentes a los conectivos lógicos. Proposiciones en lenguaje natural u
ordinario traducirlas al lenguaje lógico proposicional (Formalización o
simbolización de proposiciones).

Presentación de la Asignatura:
La Escuela Técnica Superior de la PNP-Puente Piedra, en el periodo comprendido
entre Setiembre 2013 y Enero 2014, Desarrollará el I Semestre Académico de
Formación General del “Programa Regular” de Educación Presencial, Promoción
2013. Comprendiendo en dicho semestre académico la asignatura de LógicoMatemática, con 72 horas académicas.

Los docentes seleccionados y designados por la Dirección de la Escuela Técnico
Superior PNP de Puente Piedra para impartir la asignatura de Lógico-Matemática, en
esta oportunidad, han formulado el Sílabo pertinente, como aporte de su experiencia
profesional y ejercicio docente en dicho centro de estudios.
Las unidades académicas están orientadas a fortalecer y desarrollar competencias
básicas en lógica proposicional, teoría de conjuntos, matemática financiera y
estadística descriptiva, que son temáticas fundamentales para obtener una formación
policial profesional-área de administración y ciencias policiales-, basada en la práctica
reflexiva y en la explicitación de los principios científicos y técnicos que fundamentan
el quehacer profesional del policía.
Los objetivos y competencias de la asignatura se detallan a continuación:
Objetivo General
Fortalecer las capacidades de comunicación y de pensamiento lógico-matemático
en los alumnos a partir de materiales educativos que contextualicen su práctica
profesional- área de administración y ciencias policiales-, contribuyan a ejercitar,
desarrollar y poner a punto estas competencias. Desarrollar habilidades que
permitan traducir problemas de la vida real- área de administración y ciencias
policiales- al lenguaje lógico-matemático.
Objetivos Específicos
4. Reconocer un problema de la vida real, vinculado a su quehacer profesional-área
de administración y ciencias policiales, en las dimensiones que sean suceptibles
de ser traducidas, formalizadas u operables en lenguaje lógico o lenguaje
matemático o representación estadística.

11
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
5. Fortalecer las capacidades de pensar ordenadamente, razonar, argumentar,
cuantificar, efectuar mediciones, interpretar situaciones del área de la
administración y ciencias policiales, comunicarse con otros códigos, modelar
situaciones problemáticas, interpretar el lenguaje formal y simbólico, resolver
problemas.
6. Promover la producción de soluciones lógicas-matemáticas a las situaciones
problemáticas, vinculadas al quehacer profesional-área de administración y
ciencias policiales-, como vía tendiente a posibilitar la toma de decisiones que
permitan operar con seguridad sobre las dimensiones que comprenda cada
situación problemática, en lo singular, particular o general.
COMPETENCIAS LÓGICO-MATEMÁTICAS

COMPETENCIA EN LÓGICA PROPOSICIONAL:
Desarrolla conceptos y procedimientos de manera lógica y coherente, utilizando el
lenguaje proposicional
COMPETENCIA EN TEORIA DE CONJUNTOS
Aplica la teoría de conjuntos para modelar y resolver problemas, expresando un
comportamiento solidario, colaborativo y participativo con sus compañeros.
COMPETENCIA EN MATEMATICA FINANCIERA
Conoce, comprende y aplica la matemática financiera para su aplicación como
herramienta en la resolución de problemas de la vida real, vinculados al quehacer
policial-área de administración y ciencias policiales.
COMPETENCIA EN ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Aplica técnicas para organizar, analizar e interpretar información,relacionada con
hechos reales o hipotéticos, utilizando adecuadamente las herramientas de la
estadística descriptiva para la correcta toma de decisiones.
EVALUACIÓN

La asistencia a las sesiones teóricas es obligatoria en un 70% y a los Talleres en el
90%, en caso contrario de no existir justificación alguna por la Sub Dirección
Académica de la ETS PNP, el Alumno (a) desaprobará la asignatura.
El proceso de evaluación del aprendizaje será permanente, comprenderá:
A. Evaluación Diagnóstica o de Entrada para valorar el nivel de conocimiento de
la asignatura.
B. Evaluación Formativa Interactiva, en relación a la participación activa del
Alumno (a) en el aula. El promedio de las intervenciones orales constituirá Nota
de Paso Oral.
C. EvaluaciónFormativa o de Proceso para comprobar el rendimiento académico,
pronosticar posibilidades de desarrollo de los Alumnos (a) y reorientar la
metodología, para lo cual se aplicará:
1. Prácticas Calificadas
2. Dos exámenes escritos parciales (8ª y 13ª semana), enmarcados en los
modelos de las Pruebas que son propias de la naturaleza de la Asignatura.

12
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
D. EvaluaciónSumativa para comprobar el nivel de desarrollo cognoscitivo,
reflexivo y del pensamiento lógico, para lo cual se aplicará un examen final (17ª
semana), de similar característica empleada en los exámenes parciales.
E. El Promedio General se calculará en concordancia con las disposiciones
establecidas en el Manual de Régimen de Educación de las Escuelas de
Formación de la PNP y con la naturaleza de la asignatura, conforme se detalla
a continuación:
Promedio General:
PG = PEP (3) + EO (1) + ETA (2) +EF (4)
10

PEP =
EO =
ETA =
EF =

Promedio de Evaluaciones Parciales
Evaluación Oral
Evaluación de Trabajo Aplicativo
Evaluación Final

EVALUACIÓN DE ENTRADA
Los docentes aplican la evaluación de entrada conforme al anexo 01. (Duración 1
hora)

13
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA

LÓGICA
PROPOSICIONAL
COMPETENCIA:
Desarrolla conceptos y procedimientos de manera lógica y
coherente, utilizando el lenguaje proposicional.

14
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA

SESIÓN N°01

proposiciones atómicas o simples y luego
evalúa las proposiciones compuestas o
moleculares, formadas mediante el uso
de los conectivos proposicionales. El
cálculo proposicional recurre a símbolos:
variables proposicionales, conectivos
lógicos u operadores lógicos (constantes
lógicas), reglas de formación de
expresiones
(sintaxis),
símbolos
auxiliares o signos de agrupación, valores
veritativos (valores de verdad).

LOGICA
La lógica es una ciencia muy importante
que sirve de apoyo a la matemática
moderna, aunque en la vida diaria, nos
ayuda a resolver situaciones que ocurren
a nuestro alrededor, como por ejemplo:
desentrañar el misterio de un asesinato o
determinar la paternidad de un niño. Sin
embargo, la lógica no está en lo que
acontece, no pertenece al mundo
concreto; sino surge de la mente del
hombre y refleja cierta estructura y
procesos mentales, productos de la
creación de la mente humana.

ENUNCIADOS
Son frases u oraciones que utilizan las
palabras “el , ella “ o los símbolos x,y,z ;
que
pueden
ser
ecuaciones
e
inecuaciones.
Ejemplos :
¡ Alto !
¿ Quien anda ahí?
Perro que labra no muerde
Mi auto nuevo
x+3=7
5x + y > 34
“x gira alrededor del sol”.
“x es mecánico”.
“x + y = 0”
“x es número real”.
“x es padre de y”.
“x > y”

No obstante, el conocimiento o saber
lógico, no tan solo se usa dentro del
campo filosófico o del pensamiento, sino
en todas las formas del conocimiento,
dado que en todas las áreas se requiere
de un ordenamiento de los elementos que
implica un razonamiento.
Los principios y las reglas de la lógica, se
usan en la construcción del buen análisis
de un problema específico y nos permiten
establecer un orden de las partes a tratar
y hacer un razonamiento que nos lleve a
establecer un juicio objetivo. Por ejemplo,
si necesitas calcular el área de un
triángulo, ¿qué harías?

PROPOSICIONES
Es un enunciado lingüístico aseverativo,
libre de ambigüedades, que afirma o niega
algo, y que tiene la propiedad de decir de
él que es verdadero o falso; pero no
ambos a la vez. La proposición lógica es
el pensamiento completo que describe
algún hecho o aspecto del universo fáctico
o formal
Ejemplo:
P: Lima es capital del Perú
()
Q :Mozart escribió Trilce
( )
R : 4 + 9 = 13
( )

Queda pues claro que en la vida diaria
del hombre común, así como en el campo
de la ciencia, la lógica nos da las
herramientas necesarias para argumentar
bien.
Lógica Proposicional.- Es aquella parte
de la lógica formal que estudia a las
proposiciones como un todo indiviso,
como bloques unitarios, con total
abstracción de su estructura interna. No
analiza las palabras individuales que
componen la proposición. Examina las
conexiones lógicas existentes entre las
proposiciones consideradas, es decir las
conexiones lógicas que existen entre las
proposiciones a través de los conectivos
lógicos u operadores lógicos. Toma en
cuenta su propiedad de ser verdaderas o
falsas,
evaluando primero las

Existen dos tipos proposiciones
-Proposición Simple o Atómica:

Es aquella proposición que carece de
conectivos lógicos u operador lógico. Pueden
ser predicativas o relacionales.

-Proposición Compuesta o Molecular:

Es aquella proposición que tienen conectivo
lógico u operador lógico. Los conectivos
lógicos u operadores lógicos se representan o

15
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
e) Cuatro es divisible por 2.

denotan así: “” , “”, “”, “”, “”, “”,
“”, “”, “”

f)

g) 7  5

Conectivos Lógicos u Operadores Lógicos

OPERACIÓN FÓRMULA

LÓGICO

p

Negación



Conjunción pq

No p

j)

Débil

pq

poq

pq

Opoq

Disyunción


Exclusiva



Implicación pq

Si p entonces q



Replicador pq

p si q



Bicondicional pq

p si sólo si q

Negación


Conjuntiva

pq

Ni p ni q

pq

Disyuntiva

3

……….

No p o no q

1) Pizarro jugó, aunque estuvo lesionado.
……………….

Binegación


x

k) Si me pagan en la UNMSM, entonces
viajaré al Cuzco.
……….
l) José C. Mariátegui es autor de “El artista y
la Época” o “Temas de Educación” …….….
m) No es el caso que un número sea divisible
entre dos y que no sea par.
……….
n) Si a un número par le sumo otro número par,
entonces el número resultante es también par.
……….
o) ¿Quién es el Rector de la UNMSM?
……….
2. Escribe “C” si es una proposición
compuesta o molecular y “S” si es
proposición simple o atómica:

pyq

Disyunción


………..

SIGNIFICADO

LÓGICA



………..

h) César Vallejo escribió “Los dados eternos”
…………
i) Copérnico es el autor de la teoría
heliocéntrica.
……….

NOMBRE

CONECTIVO

Quito es capital de Bolivia.

………..

2) 9 es múltiplo de 3 y 12 es múltiplo de 2 y 3.
……………..
3) La paz engrandece a los hombres.
………………..

Nota:

4) Nací en el Perú, entonces amo a mi
país.…………………

El conectivo lógico “” es un operador para la
“negación conjuntiva”, llamada también “Binegación”. 5) La I.E. Miguel Grau es buena.
………..………..
El conectivo lógico “” es un operador para la
6) La honradez es un gran valor y la verdad
“Binegación disyuntiva”, también se le llamada
también lo es.
“Negación alternativa”, o “Incompatibilidad”.
……..….……….
1. Escribe “e" si es un enunciado y “p” si es
proposición en:
a) 3 es mayor que 2.

……….

b) ¡Viva el Perú!

……….

c) Prohibido hacer bulla.

.………

d) 5 < 6

………..

16
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA

CONECTIVOS LÓGICOS

O bien .... o bien
.... a menos que ....

La lógica considera una clase de objetos
llamados
enunciados
elementales
o
proposiciones elementales y tres términos de
enlace ( no, y , o ) llamados conectivos
lógicos que al aplicarlos a las proposiciones
elementales forman nuevos enunciados
llamados proposiciones compuestas.

.... salvo que ......
Su tabla de verdad es:
p
V
V
F
F

Regla Metalógica de laconjunción:
“Sólo es verdadera cuando ambas
proposiciones son verdaderas. Es falsa
en todos los demás casos”.
 Se le simboliza:"pΛ q", y se lee: "p y q".

p q
V V
V F
F V
F F

p

a

la

 q
V
F
F
F

q

F
V
V
F

Si ..p.. entonces ..q…
Si ..p.. , ..q..
Cuando .......p............. , ......q..
Siempre ......p............. , ....q..
Es condición suficiente..p..paraque..q..
Es condición necesaria...q..paraque..p..
.........q........ sólo si ......p.......

q : Juan juega fútbol.
p Λq : Carlos juega fútbol y Juan juega fútbol.

Su tabla de verdad es:

p q
V V
V F
F V
F F

Regla Metalógica de la disyunción Débil
“Es verdadera, en todos los casos, excepto,
cuando ambas proposiciones atómicas son
falsas.”

 Se le simboliza: "p V q", y se lee: "p o q”.
 Palabras conectivas: o

p

 q
V
F
V
V

Ejemplo: p: Ana es estudiosa.
q: Ana aprobó el examen de aritmética.
p  q: Si Ana es estudiosa entonces aprobó el
examen de aritmética
Otras palabras que equivalen al condicional son:
porque, puesto que, si cada vez que, etc.

Su tabla de verdad es:

p



 Palabras conectivas:

Ejemplo: p : Carlos juega fútbol.

p q
V V
V F
F V
F F

V
F
V
F

p

Regla Metalógica del Condicional o
Implicación:
“Sólo
es
falsa,
cuando
el
antecedente es verdadero y el
consecuente es falso. En todos los
demás casos es verdadera.”
 Se le simboliza “p  q”, y se lee:
"si p entonces q”,“implica que".

 Palabras conectivas: y, aunque, pero,
mas, también, sin embargo,
vez,además, etc
Su tabla de verdad es:

q

 q
V
V
V
F

Regla Metalógica del Replicador.“Sólo
es
falsa,
cuando
el
antecedente es verdadero y el
consecuente es falso. En todos los
demás casos es verdadera.”

Ejemplo: p: José es futbolista
q: José estudia francés
p v q : José es futbolista o estudia francés
Regla Metalógica de la Disyunción Fuerte:
“Sólo es verdadera, cuando sólo una de las
proposiciones atómicas es verdadera. En
todos los demás casos es falsa.”
 Se simboliza: “,” ,

p q
V V
V F
F V
F F

 Palabras conectivas:
O ......... o .....

17

p  q
V
V
F
V
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA



PROBLEMAS PROPUESTOS

Regla Metalógica del Bicondicional o
Biimplicación:
“Sólo es verdadero, cuando ambas
proposiciones
atómicas
son
verdaderas o ambas son falsas. En
los demás casos es falsa”.
Se le simboliza: "p  q"; y se lee:
“p si y sólo si q, “cuando y solo
cuando".

01. Señale verdadero (V) o falso (F):

( ) Basta que el antecedente sea falso para que
la proposición condicional sea falsa.
( ) Una proposición bicondicional es verdadera
solamente cuando sus dos componentes son

p

pp q q
V
F
F
V

q

V V
V F
F V
F F

verdaderas.

A) VV
B) VF
C) FV
D) FF
E) No se puede determinar
02. Señale verdadero (V) o falso (F):

Ejemplo: p: Carla estudia ingles
q: Carla viaja al extranjero
p  q:
Carla estudia ingles si y solo si
viaja al extranjero.
 Palabras conectivas:si y sólo si; cuando
y sólo cuando; es equivalente a; es
condición suficiente y necesaria para;
entonces y solamente entonces. etc.:

( ) Solamente cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente es falso, la
proposición condicional es falso.
( ) Basta que el consecuente sea verdadero
para que la proposición condicional sea
verdadera.
A) FV

La negación:
“Si p es verdadera, p es falsa; y
viceversa”.Dada una proposición p, se
denomina la negación de p, a otra
proposición denotada por ~ ó , a la cual
se le asigna el valor de verdad opuesto al
de p.

C) VV D) VF

03. Señale verdadero (V) o falso (F):
( ) “Si y sólo sí” es una conectiva bicondicional
( ) Basta que uno de los componentes de una
proposición conjuntiva sea verdadero, para
que la proposición conjuntiva sea verdadera.

Su tabla de verdad es:

p
V
F

B) FF

E) No se puede determinar

A) VV
B) VF
C) FV D) FF
E) No se puede determinar

p
F
V

04. Es una proposición que admite el valor V sólo
cuando las dos proposiciones componentes son
verdaderas:
A) Conjunción
B) Disyunción débil
C) Disyunción fuerte
D) Implicación
E) Negación

Ejemplo: p: Lima es capital del Perú.
~ p: Lima no es capital del Perú.
Las palabras: no es verdad que, es falso que,
no ocurre que, etc. equivalen a una negación

05. Es una proposición en la cual basta que una de
las proposiciones sea verdadera, para que toda
ella sea verdadera
A) Conjunción
B) Disyunción
C) Bicondicional
D) Implicación
E) Negación
06. Es una proposición que es verdadera sólo cuando
las dos proposiciones tienen el mismo valor de
verdad.

18
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA

A)

Disyunción

B)

Bicondicional

C)

Conjunción

D)

Implicación

E)

Negación

A) VVVV

B) VVFF

D) FVFF

C) VFVF

E) FFF

12. Si la proposición compuesta:
( p  q)  (r V t ) es falsa
Indicar las proposiciones que son verdaderas:

07. Es un proposición que es falsa sólo cuando
forman la combinación V y F, en ese orden.

A) p y r

B) p y q

C) r y t

A)

Disyunción

B)

Bicondicional

C)

Conjunción

D)

Implicación

determinar, ¿Cuáles de las proposiciones son

E)

Negación

falsas?

D) q y t

E) p; r y t

13. Si la proposición: ( p



q)

A) p y q
08. Dada la proposición : “Si estudio triunfo. Estudio,

B) p y r

C) p; q y r

D) q y r

 r, es falsa,

E) r y q

por lo tanto triunfo”. Corresponde a un esquema:
A)

Tautológico

B)

Consistente

C)

Contradictorio

D)

Indeterminado

E)

Falso

14. Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r
y s son respectivamente V, F, F, V.
Obtener los valores de verdad de:
( ) [(p V q) V r ]  s
( ) r  (s  q)
( ) (p V r)  (r s)

09. Dada la proposición: “Si llueve, el suelo se moja”.

A) VFF
C) FFF

Los valores de la matriz principal de su tabla de
verdad son:
A)

FVFV

B)

VFVF

C)

VVVV

D)

VFVV

E)

FFVV

02

10. Si la proposición : “No es cierto que, estudiemos y
no aprobemos”, es verdadera, entonces podemos
afirmar.
A)

Aprobamos y no estudiamos

B)

Estudiamos o aprobamos

C)

Estudiamos o no aprobamos

D)

Aprobamos o no estudiamos

E)

Estudiamos y aprobamos

11. Si se sabe que:
p  r es F
r  q es V
q V t es F
Determine los valores de verdad de p, q, r y t

19

B) VVV
D) FVV

E) VVF
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EXPRESIONES DE LA LENGUA ESPAÑOLA EQUIVALENTES A LOS CONECTIVOS LÓGICOS
EXPRESIONES DE LA LENGUA ESPAÑOLA EQUIVALENTES AL CONECTIVO LÓGICO UN OPERADOR
LÓGICO “”
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.

No A
Nunca A
Jamás A
Tampoco A
Es absurdo que A
Es imposible que A
No ocurre que A
No es verdad que A
Es inadmisible que A
No acaece que A
No es innegable que A
Es erróneo que A
Es incierto que A
De ninguna forma se da que A
No es el caso que A
No es cierto que A
Es Inconcebible que A
Es mentira que A

19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.

Es incorrecto que A
Es falso que A
Es negable que a.
Es refutable que A
Es objetable que A
En modo alguno A
En forma alguna A
De ningún modo A
De ninguna manera A.
Nunca sucede que A
Bajo ninguna condición A
No siempre que A
No es inobjetablemente cierto que A
No es innegable que A
Nadie que sea A
No es que A.
No se da la posibilidad que A
No es inobjetable que A

Ejemplos de proposiciones con el conectivo
lógico de negación “”.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)

17)

Es absurdo que el Edgar patee con las
dos piernas.
No es cierto que el cuadrado sea un
polígono.
Francisco Pizarro nunca descubrió
América.
Nunca Francisco Pizarro descubrió
América.
De ningún modo iré a tu casa.
Es inadmisible que 3 + 3 = 9.
No es verdad que toma refrescos.
Es objetable que salga a pasear.
Es falso que tenga dinero.
Es inconcebible que Martín salda
desaprobado.
En modo alguno los ofidios poseen
extremidades.
En forma alguna los peces son
anfibios.
No hay cumplimiento de leyes.
No ocurre que María canta.
No acaece que el carro es blanco.
No es el caso que Luís sea propietario
del computador.

18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)

29)
30)

20

Es irrefutable que la suma de los
ángulos internos de un triángulo es
360 grados.
Es mentira que en el Perú hay
democracia.
Jamás vayas al cine en la mañana.
Es imposible que existe vida en el
planeta Venus.
Es incorrecto que 2 + 3 = 10.
Es erróneo que 16 = 9.
Nunca sucede que los peces no nadan
en el aire.
Es incierto que los alumnos de
primaria ingresan a la universidad.
Es innegable que las ballenas tengan
extremidades.
No es innegable que ballenas sean
ovíparas.
De ninguna forma se da 5<2.
No es inobjetable cierto que el
elefante no demora 20 meses para
nacer.
No es falso que sea imposible que el
pulpo sea un molusco.
Tampoco el elefante demora 20
meses para nacer.
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EXPRESIONES DE LA LENGUA ESPAÑOLA EQUIVALENTES AL CONECTIVO LÓGICO U OPERADOR
LÓGICO “”
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)

AyB
A también B
A asimismo B
A así mismo B
A del mismo modo que B
A aunque B
A sin embargo B
Cierto A lo mismo que B
A así como B
A igualmente B
Así como A, B
A pero B
A al igual que B
A tal como B
A no obstante B
No sólo A también B
No sólo A sino también B
Que A es compatible con que B
A incluso B
A a la vez B

21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)

A a la vez también B
A al mismo tiempo que B
A y al mismo tiempo B
A de la misma manera B.
Simultáneamente A con B.
A tanto como B.
A además B
A es compatible con que B.
A aún cuando B
A empero B
A sino B
Si A e incluso B
A a pesar de B
Aún cuando A , B  A B
Tanto A como B
Tanto a como cuando B
Tomar A como cuando B
A , B también
Siempre ambos A con B
A vemos que también B

Ejemplos de proposiciones con el

13)

conectivo lógico de conjunción “


Gustavo es profesor tanto como
artista.

14)

Claudia ingreso a la universidad al

1)

Juan y Luís son deportistas.

2)

Es verano sin embargo hace frío.

mismo tiempo que José ingresó a

3)

Juan es médico y deportista.

la marina.

4)

La batalla ha terminado aunque la

15)

El sueldo mínimo equivale a S/.

guerra continúa.

6)

Roxana no sólo bailo sino también

hacen esfuerzos para

cantó.

5)

600, no obstante las familias

más dinero.

Grau

fue

un

héroe,

16)

Bolognesi

El sol es una estrella además un
planeta.

también.
7)
8)

No

17)

Lidia es muy sensual pero inocente.
sólo

conseguir

es

aplicado

primo.

también
18)

bondadoso.
9)

No sólo el número dos es par sino
también número primo.

No sólo es sabio, también bueno.

10)

El número dos es par, también es

No sólo Pedro sino también Luís

19)

La boa es un ofidio al igual que
carece de extremidades.

estudian.

12)

Que Pedro estudia es compatible

20)

Así como trabajas, te alimentas.

con que Ana estudia.

11)

21)

Te alimentas así como trabajas.

Tanto Pedro como Ana estudian.

22)

Te alimentas así mismo trabajas.

21
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA

SESIÓN N° 02

Tabla de verdad contradictoria
Una

fórmula

proposicional

es

contradictoria cuando los valores
de verdad del operador lógico

LAS TABLAS DE VERDAD

principal

cualquier

proposiciones

número

compuestas

finito

para

construyendo

sus

p
V
V
V
V
F
F
F
F

obtener

tablas

de

verdad; en tales tablas se indican los valores
resultantes

-

de

estas

proposiciones

compuestas para todas las combinaciones
posibles de valores de verdad de sus
proposiciones componentes.

proposición compuesta siguiente:

p

(p Λ q)

q

( ~p V q)


p
V
V
V
V
F
F
F
F

( ~p V q)

CLASIFICACION DE LOS ESQUEMAS
MOLECULARES

[(pq) r  q]

q r
VV
V F
F V
F F
V V
V F
F V
FF

 p  q  (r  p)
V
F V F F
V
V F V F
V
F V F F
V
V F V F
V
VVVV
V
F FF V
F
VVVV
F
V F F V

Evaluación de fórmulas mediante tablas
de verdad

Tabla de verdad tautológica,
Una fórmula proposicional es
tautológica cuando los valores de
verdad del operador lógico principal
contiene sólo valores verdaderos.
Ejemplo:
p q r

q r [p(q  r)]  [qr
p]
V VFFF
V
VV
F
FFV VV
VF
F
FF V VV
FV
F
FF V VV
FF
F V
FF
V
F
VV
V F
FV
FF
VF
V F
F
V
F
F
FV
V F
F
V
FF
FF
Tabla de verdad contingente

Una fórmula proposicional es
contingente cuando los valores de
verdad del operador lógico principal
contiene valores verdaderos y
valores falsos.

Por ejemplo, la tabla de verdad de la

(p Λ q) 

valores

de

otras cuyos valores de verdad pueden ser
conocidos

sólo

falsos. Ejemplo:

Utilizando los conectivos lógicos se pueden
combinar

contiene

Evaluar una fórmula mediante las
tablas de verdad consiste en obtener
los valores de verdad (V y F) del
operador lógico o conectivo lógico

 r p

principal de la fórmula, a partir de
V
V
V
V
F
F
F
F

VV
V F
F V
F F
V V
V F
F V
FF

V
V
F
F
V
V
V
V

F FF V VVF F
VVVVV F V F
FF V F V V F F
F V F FVF V F
F FF V VVVV
VVVVVVVV
V F V FVVVV
F V F FVVVV

todas las opciones de verdad o
falsedad que tiene cada una de las
variables proposicionales.

22
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA

PROBLEMAS APLICACIÓN

Numero de opciones o combinaciones de
las tablas de verdadsegún el número de
variables proposicionales

1. Sean p: “José es estudioso ” , y q: “él es
alto ”. Escribir las siguientes
proposiciones en forma simbólica, con p
y q:
a) José es estudioso y es alto.
……………….
b) José no es estudioso o no es alto.
……………….
c) No es verdad que José es bajo o
estudioso.
……………….
d) Es falso queJosé es alto o que es
estudioso.
………………..
e) José es alto, pero no es estudioso.
……………….

VARIABLES PROPOSICIONALES
1
2
3
4
……
21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16
……
p
p q
p q r p q r s
V
V V
V VV V VVV
F
V F
V V F V VV F
F V
V FV V V F V
F F
V FF V V F F
F VV V F V V
F VF V F V F
F FV V F F V
F FF
V F FF
F V VV
F V V F
F V F V
F V F F
F F V V
F F V F
F FF V
F FFF

2. Simbolizar: "José estudia y trabaja, pero
practica fútbol"
a)
b)
c)
d)
e)

Ejercicio 1. Evaluar la fórmula:

3. Simbolizar: "No es cierto que, Rubén
canta y toca cajón"

 p  qq r 

p q r
V VV
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F FF

 p  qq r 
F F V F V F FV
F F V F FFV F
F F V VF V VV
F F V VF V V F
V V F FV F F V
V V F FV F V F
F V VVF V VV
F V VVF VV F

a)
b)
c)
d)
e)

~ p q
~p V q
~p  ~ q
~(p  q)
p V ~q

4. Simbolizar: "No es el caso que, hace frío y
no se congele"
a) ~(p  ~ q)
b) ~p  ~ q
c) p  ~q
d) ~p V ~ q
e) ~(p V ~q)

Ejercicio 2. Evaluar la fórmula:
(pq)(qr

p q r
V VV
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F FF

(p  q)  r
p  (q  r)
pq
p q r
(p  q)  r

(p  q)  (q r
V
VVV F
V
VVVV
V
V F V F
V
V F F V
F
F V V F
F
F V VV
V V F V F
V V F F V

5. Simbolizar: "Es falso que si el ciclotrón
bombardea al átomo, entonces no se acelera
la velocidad de los protones".
a) ~p  ~q
b) ~p  q
c) ~(p  ~q)
d) ~p  q
e) (p  ~q)
f)

23
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
6. Sean p “ el es estudioso ” , y q “ el es alto
”. Escribir los siguientes enunciados en
forma simbólica con “ p y q “.
a) El es estudioso y es alto p Λ q
b) El no es estudioso o no es alto -p v-q
c) No es verdad que el es bajo o
estudioso p v q
d) Es falso que es alto o que es estudioso
–p v – p
e) El es alto pero no es estudioso

b) f v f f
c) v vvv
d) v f v v
12. De la falsedad de:
( p  ~ q ) V ( ~ r  ~ s), se deduce
que:
a ) ~ (~ q V ~ s)  ~ p
b ) ~ (~ r  s)  ( ~ p  ~ q)
c) P  ~ [ q  ~(s  r ) ]
Son respectivamente :
a) f f v
b) v v f
c) v f f
d) v f v
e) f ff
13. Si ( p ) = V
( ~ q) = F
(r) =V
Determinar el valor de verdad o falsedad
a ) [ ( p q )  ( ~ r V q ) ]  ~ q
b) [ ( ~ p  r )  ( q V p ) ]
c) [ ( p  r ) V x ]  ( ~ q  ~ r )

7. Completa :
a) V v F = V
b) F vF = F
c) V  V= V
d) F Λ F = F
e) V  F=F
f) F V V= V
g) V Λ V= V
h) F  V=F
i) F  V=V
j) V Λ F= F
8. Si la proposición es verdadero, hallar el
valor de cada variable en:
~ [ ( ~ p y q)  ( ~ r  ~ s) ]
a)
b)
c)
d)

14. Si se sabe que :
S p = V,r  s = F , q  p  f
Determinar el valor de los siguientes
diagramas:
a) ( ~ r  q)  ( s  p )
b) [ ( p V ~ s) r ]  ~ r
c) ( p  ~ q ) V ( ~ r  ~ s )

f fff
fvvf
fvfv
vvff

9. Se sabe que la negación de :
P  ( ~ q V r ) ; e s verdadera ,
entonces el valor de verdad de:
( q r )  { ( q  r )  t } e s :
Obs. T no esta definida
a)V
b)F
c) VóFd)NA

15. Si la negación de la siguiente formula
lógica es verdadera , hallar los valores
de verdad de cada uno de ellos.
~{( p s )  [ ( p  r ) V ( ~ qs)] }
a) f fff
b) f v v f
c) f v f v
d) v v f f
e) v f ff

10.Los valores de verdad de p,q, r son :
~[(~ p V q) V ( r  q)]  [ ( ~pV q)  ( q  ~ p)]si
el enunciado es verdadero
a) f f v
b) v v f
c) v f f
d) v f v
e) f ff

16. Mediante la aplicación de las reglas metalógicas
de los operadores o conectivos lógicos y el uso
de tablas de verdad ejecute la evaluación de las
fórmulas lógicas siguientes:
1)
2)
3)
4)
5)
6)

11. Si la proposición ( p  ~q)  ( r  ~ s)
es falsa , el valor de verdad de las
proposiciones : q , p , r , s
respectivamente son
a) f v vv

24

pq
pq
pq
p q
pq  r
p q  r)
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(p q)  (r  s 
(p  q)  r
{[p  r q]  r  s}  q
{[ p  s q]  r q}  [(
p ( r  s]
11) [(pq)  (pr)  (p p)]  [(q  s]
12) {[(p q)  (r  s)]  (p  s)}  ( r  q)
7)
8)
9)
10)

A) C, T, C

B) T, C, T
C) T, T,T
D) C, C, C
E) C, C,T

26) Hallar la tabla de verdad de :
(p  q) (q V p)
A) VVFF
D) VFFF

{[(p q)  (r  s)]  (p vs)}  ( r  q)
{(p q)  [ p(q r)]}(r p)
(p  q)  (r  s)
[(p  q) q]  p
[(p  q r] r
[(pq) q r)]  (p r)
[(pq) q r)]  (p vr)
p  (q  r)
21) Evalúe el siguiente esquema: pq. El
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)

B) VVFV
C) VFFV
E) VVVF

27) Si :
[(p  q)  (p p)]  [(r  s)  q]
Es verdadera, cuáles son los valores de p, q, r,
s respectivamente.
A) VFFF
D) FVVV

esquema es de tipo :
A) Contradictorio
B) Consistente
C) Tautológico
D) Indeterminado
E) B y D

B) VFVV
C) FVFF
E) Sin solución

28) Si se sabe que:
[(p  r)  q]  [(p V p) V (p q)]
es verdadera, hallar los valores de p,q,r
A) VVV
B) FFF
C) FVF
D) VFV
E) No se determina

22) Simplificar:
(p q)  ( q V p)
a.
b.
c.
d.
e.

29) Si la proposición:
[(p  q) (p V w)]  s es falsa, se afirma que la
siguiente proposición:
[s V( p W) ] V (p  q)
es:
A) Verdadera
B) Falsa
C) No se afirma nada
D) Toma ambos valores de verdad
E) Faltan datos

Tautología
Contradicción
Contingencia
p
q

23) Sea el esquema: (A V
correspondiente es:
1. VVVV
2. Consistente
3. VFVV
4. Contradictoria
5. Tautológica.
Son ciertas:
A) 2 y 3
D) 2 y 4

B), la matriz

30) Si la siguiente proposición compuesta es falsa:
( p  q)  (q  r)
Luego:
I. (p  q) no es falsa
II. q V s es verdadera
III. q  p es verdadera

B) 1 y 5
C) Sólo 4
E) Sólo 5

Son ciertas:
A) I y II
C) II y III

24) Si la proposición:
(p q)  (r s] es falsa, el valor de verdad
de q, p, r, s ( en ese orden es)
A) FVVV

B) I y III
D) Todas

E) Sólo II

31) Si la proposición:
( p  q) (p  r) es verdadera

B) VVVF
C) VFVV
D) FVFF
E) VVFF

¿Cuántas son verdaderaS?
I.
( s  r)  ( p V s)
II. (s  q )  (p V r)
III. ( q  r) V ( p  r)

25) Determine si las siguientes proposiciones son
tautologías o contradicciones.
I.
( r  s)  ( r s)
II. [(p V q)  p] p
III. (pq)[(pq)(pVq)p]

A) Sólo I
D) I y III

25

B) Sólo II
C) I y II
E) Todas
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LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS
I. LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS

[(p  q)  (q  r)]  (p  r)

Ley Lógica.- Fórmula formalmente
válida, es decir, fórmula lógica
verdadera
independiente
de
la
asignación de los valores de verdad a
sus variables. También se le denomina
tautología. Las leyes lógicas no deben
ser confundidas con las reglas de
inferencia, ya que éstas pertenecen al
metalenguaje del cálculo

DEL BICONDICIONAL
[(p  q)  (q  r)]  (p  r)
5.

LEY DEL DILEMA
CONSTRUCTIVO

[(p  q)  (r  s) (p  r)]  (q  s )

Características fundamentales de la ley
lógica:
6.

1)La ley permanece al plano teórico; 2) Su
enunciado es susceptible de verdad o
falsedad; 3) Se expresa en el interior del
cálculo lógico; 4) Su expresión es un
enunciado lógico; 5) La ley pertenece al
lenguaje lógico. 6) La ley usa los functores o
conectivos u operadores lógicos.
Fuente:
"http://symploke.trujaman.org/index.php
?title=Ley_l%F3gica"
“Introducción a la Lógica de
Bernardo Rea Ravello”

[(p  q)  (r  s)( q s)]  ( p r)
7.

LEY DEL MODUS PONENDO
PONENS O MODUS PONENS
[(p  q)  p]  q

2.

LEY DEL MODUS TOLLENDO
TOLLENS O MODUS TOLLENS
[(p  q)  q]  p

3.

LEYES DEL MODUS TOLLENDO
PONENS O SILOGISMO
DISYUNTIVO
[(p  q)  p]  q
[( p  q)  q]  p

4.

LEY DEL DILEMA SIMPLE
[(p  r)  (q  r) (p  q)] r

LEYES LÓGICAS IMPORTANTES
1.

LEY DEL DILEMA DESTRUCTIVO

LEYES DE TRANSITIVIDAD O
SILOGISMO HIPOTÉTICO
DEL CONDICIONAL

26
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a. La regla se sitúa en el plano práctico,
dice cómo debe hacerse una operación
deductiva.
b. Su
enunciado
es
normativo,
prescriptivo, y, por eso, la regla puede ser
buena o mala, útil o inútil, eficiente o
deficiente.
c. Se expresa al exterior del cálculo,
justifica, garantiza la legitimidad o validez
de la deducción.
d. Su expresión es enunciado metalógico.
e. La regla pertenece al metalenguaje.
f. La regla menciona los functores u
operadores lógicos.
A toda ley lógica le corresponde su
respectiva regla lógica.

SESIÓN 03
EL RAZONAMIENTO DEDUCTIVO
1. Leyes Lógicas.- Son fórmulas lógicas
cuyas tablas de verdad tienen por resultado
únicamente
valores
de
verdad
“verdaderos”. También se les denomina
“tautologías”.
Las
características
fundamentales de las leyes lógicas son:
a. La ley permanece en el plano teórico.
b. Su enunciado es susceptible de verdad
o falsedad.
c. Se expresa en el interior del cálculo
(pertenece al cálculo mismo).
d. Su expresión es un enunciado lógico.
e. La ley pertenece al lenguaje lógico
(lengua lógica proposicional).
f. La ley usa los símbolos, functores u
operadores lógicos.

3. Las Argumentaciones
Por argumentación entenderemos una
expresión lingüística que presenta o
representa
un
razonamiento.
Un
razonamiento
es
un
sistema
de
proposiciones (dos o más) en el que una de
ellas, llamada conclusión, se pretende que
esté fundada en o se infiera de la/s otra/s,
llamada/s premisa/s. Un razonamiento
deductivo es un sistema de proposiciones
(dos o más) en el que se pretende que una
de ellas, llamada “conclusión”, se infiera o
derive con el carácter de necesidad de la/s
premisa/s. La argumentación puede ser
inductiva o deductiva, de acuerdo al tipo de
razonamiento.
Por
consiguiente,
la
argumentación es un sistema de
proposiciones.

2. Reglas de Inferencia.- Son normas,
prescripciones, licencias que indican como
debe hacerse la operación de deducción, al
mismo tiempo que justifica, garantiza la
legitimidad o validez del acto llamado
“operación deductiva” o “inferencia.”
Razonamiento Deductivo u operación de
deducción es aquella operación que
consiste
en
que
dadas
ciertas
proposiciones, llamadas “premisas” se
obtenga, se infiera, se derive se deduzca
con el carácter de necesidad una
proposición, llamada “conclusión.”, es decir,
se pretende que una de ellas, llamada
“conclusión”, se infiera en forma necesaria
de la/s premisa/s. Una deducción es una
secuencia de enunciados, los cuales pueden
ser o bien premisas o bien se han obtenido
de la aplicación de un conjunto de reglas de
inferencia a enunciados anteriores. Las
características fundamentales de las reglas
lógicas son:

La lógica es una ciencia eminentemente
deductiva, por eso sólo tiene en cuenta los
razonamientos deductivos. Estos se basan
en fundamentos comprobados o aceptados
como postulados primordiales. Una
argumentación deductiva tendrá siempre
un esquema, estructura o forma implicativa
o condicional, en símbolos: AB, es decir,
sus principales componentes-antecedente
(premisa/s) y consecuente (conclusión)están unidos o enlazados por el conectivo
lógico “”.

27
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Ejemplo de un razonamiento deductivo: “El
ladrón entró por la puerta o la ventana. Por
la puerta no entró, como lo ha demostrado
la investigación policial. Por lo tanto, el
ladrón entró por la ventana.”

siguientes ejemplos ilustran los dos tipos de
expresiones derivativas.
Ejemplo 1. “El ladrón entró por la puerta o
por la ventana. Por la puerta no entró,
como lo ha demostrado la investigación
policial. Por lo tanto, (expresión derivativa
que se antepone a la conclusión) el ladrón
entró por la ventana.” Los componentes
del razonamiento deductivo dado son:

Tomando el razonamiento deductivo del
ejemplo dado, líneas arriba, procedemos a
formalizarlo como fórmula lógica, teniendo
como resultado la fórmula de la lógica
proposicional:
[(p  q) p]  q),

Premisa 1: El ladrón entró por la puerta o
por la ventana.

que es una ley lógica (tautología)
denominada “Modus TollendoPonens o
Silogismo Disyuntivo.”

Premisa 2:
Por la puerta no entró./
Conclusión: Por lo tanto, el ladrón entró
por la ventana.

Este
conjunto
de
proposiciones,
formalizadas, también podemos verlas o
percibirlas como una representación del
argumento o razonamiento deductivo dado.

Formalizando el razonamiento deductivo,
dado, tenemos:

Los componentes de los razonamientos
deductivos son las premisas (proposiciones
que implican a la conclusión), la conclusión
(proposición implicada por las premisas) y
las expresiones derivativas. Las expresiones
derivativas tienen por objeto indicar cuál es
la conclusión y cuáles son las premisas. No
siempre figuran en los razonamientos,
algunas veces están implícitas. Son de dos
tipos: las que se anteponen a la conclusión,
como “luego”, “por tanto”, “por
consiguiente”, etc., y las que se colocan
después de la conclusión, antepuestas a
alguna de las premisas, como “ya que”,
“puesto que”, “dado que”, “como” y otras.

Premisa 2:

Premisa 1:

pq
__ p / Conclusión: q

La regla lógica “Modus TollendoPonens o
Silogismo Disyuntivo” prescribe lo siguiente:
“A partir de una disyunción débil y la
negación de uno de sus disyuntivos es
legítimo inferir u obtener el otro
disyuntivo”, de esta manera
justifica,
garantiza la legitimidad o validez de la
operación de deducción. Es decir, este
conjunto
de
proposiciones
están
relacionadas de modo tal, que la
proposición, llamada conclusión: “El ladrón
entró por la ventana.” Está fundada o se
infiere de las otras dos proposiciones,
llamadas premisas. En éste caso, la regla
lógica del modus tollendoponens o
silogismo disyuntivo, nos autoriza, nos
prescribe ha inferir u obtener la conclusión:
“El ladròn entró por la ventana.” En
símbolos:

Un signo lógico que hace las veces de las
expresiones derivativas (que separa a las
premisas de la conclusión) es una barra “
_______/“ que se coloca después de las
premisas encolumnadas, al lado derecho se
escribe la conclusión.

A  B,

En los ejemplos que siguen a continuación
se podrá observar la barra, que hace las
veces de las expresiones derivativas. Los

_A__/  B
.
28
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Ejemplo 2. “El agua hervirá, dado que
(expresión derivativa que se coloca después
de la conclusión) si la temperatura está a
1000 C entonces el agua hervirá. La
temperatura está a
1000 C” Al
formalizarlo, tenemos como resultado la
fórmula lógica proposicional
q
 [(pq)  p], que es una ley lógica
(tautología) denominada “Ley Lógica del
Modus PonendoPonens.” Procedemos a
reestructurar el razonamiento deductivo
dado, para obtener un razonamiento
deductivo equivalente, tal como: “Si la
temperatura está a 1000 C entonces elagua
hervirá. La temperatura está a 1000 C. Por
consiguiente, el agua hervirá.” Este sistema
de proposiciones formalizadas, equivalente
al sistema de proposiciones inicialmente
dado, también podemos verla o percibirla
como una representación del argumento o
razonamiento
deductivo
dado.
Los
componentes, reestructurados, de éste
razonamiento deductivo son:
Premisa 1: Si la temperatura está a 1000 C
entonces el agua hervirá.

orazonamiento deductivo, dado. Los
componentes, reestructurados, de éste
razonamiento deductivo son:
Premisa 1:
Si hace calor, Juan va a la piscina.
Premisa 2:
Si Juan va a la piscina, arregla la casa
después de almorzar.
Conclusión:
Luego, si hace calor, se arregla la casa
después de almorzar.
Formalizando el razonamiento deductivo,
dado, tenemos:
Premisa 1: p  q.
Premisa 2: q  r/ Conclusión: p r.
La regla lógica, “Silogismo Hipotético o
Transitividad”, prescribe lo siguiente: “A
partir de dos condicionales, donde el
consecuente del primero es el antecedente
del segundo es legítimo inferir el
condicional formado por el antecedente del
primero y el consecuente del segundo”

Premisa 2: La temperatura está a 1000 C./
Conclusión: Por consiguiente, El agua
hervirá.
Formalizando el razonamiento deductivo,
dado, tenemos:
Premisa 1: p q.
Premisa 2: _p_____/ Conclusión: q.
La regla lógica, “Modus PonendoPonens”,
prescribe lo siguiente: “A partir de un
condicional y la afirmación de su
antecedente es legítimo inferir su
consecuente.”

¿Cuándo un conjunto de proposiciones no
es un razonamiento deductivo? Cuando no
hay ninguna proposición, de las dadas, que
se afirme sobre la base de las otras.
Tomemos como ejemplo las proposiciones
siguientes: “Llueve mucho. Será mejor que
no salgamos. Podemos postergar la
excursión para mañana.” Efectuando la
formalización se tiene la siguiente fórmula:
p q  r. Si bien estas proposiciones están
relacionadas en cuanto al contenido, no hay
ninguna que se afirme sobre la base de las
otras. En consecuencia, no se trata de un
razonamiento deductivo.

Ejemplo 3. “Si hace calor, Juan va a la
piscina. Si Juan va a la piscina, arregla la
casa después de almorzar. Luego, si hace
calor, se arregla la casa después de
almorzar.”Procedemos a formalizarlo como
fórmula lógica, teniendo como resultado la
fórmula de la lógica proposicional [(pq) 
(q r)]  (pr), que es una ley lógica
(tautología) denominada “Ley Lógica
Silogismo Hipotético o Transitividad” Este
conjunto de proposiciones, formalizadas,
también podemos verlas o percibirlas como
una
representación
del
argumento

Conclusión y premisas son términos
relativos. Una misma proposición puede ser
premisa en un razonamiento deductivo y
conclusión en otro. Esta circunstancia
origina
cadenas
de
razonamientos
deductivos.

29
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PROBLEMAS LÓGICOS
9. Si Gabriel es un alumno-policía que
práctica buenos hábitos, será un policía
disciplinado y responsable. Gabriel es un
alumno-policía que práctica buenos
hábitos.

SOBRE RAZONAMIENTOS
DEDUCTIVOS
A.

APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA
DEL MODUS PONENDOPONENS
[(p  q)  p]  q

10.Si hay igualdad de oportunidades, hay
justicia social. Hay igualdad de
oportunidades.

Dadas las premisas infiera o derive una
conclusión.

11. Si las computadoras bajan de precio, las
personas
se
educaran.
Las
computadoras bajan de precio.

1. Si Venus es un planeta entonces Venus
brilla con luz refleja. Venus es un
planeta.
2. Si son las cinco, la oficina está cerrada.
Son las cinco.
3. Si Juan va a la Unión, se encuentra con
Pedro. Juan va a la Unión.
4. Si llovió anoche, las pistas están mojadas.
Llovió anoche.
5. Si voy de paseo, me encuentro con Ana.
Voy de paseo.
6. Si la policía hace patrullaje urbano,
captura a los delincuentes. La policía hace
patrullaje urbano.
Resolución
Formalización: (p  qp

12. Dado que los objetos caen, existe
gravedad. Los objetos caen.
13. Si Luís no ha pasado de año, no viaja a
la Argentina. Luís no ha pasado de año.
14. Si el papel de tornasol se vuelve rojo, la
solución es un ácido. El papel de
tornasol se vuelve rojo.
15. Si el satélite entra en órbita, el proyecto
espacial será un éxito. El satélite entra
en órbita.

Razonamiento
P1: p  q
P2: p_____/q: La policía captura a los
delincuentes.

B.

APLICANDO LA REGLA DE
INFERENCIA DEL MODUS TOLLENDO
TOLLENS [(p  q)  q]  p

Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Modus PonendoPonens.
7. Si el Atestado Policial prueba que
estafaste, serás privado de tu libertad. El
Atestado Policial prueba que estafaste.
Resolución
Formalización: (p  qp

Dadas las premisas infiera o derive una
conclusión.

Razonamiento

2.

1.

P1: p  q
P2: p_____/q: serás privado de tú libertad
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Modus PonendoPonens.

Dado que los objetos caen entonces
existe gravedad. No es cierto que los
objetos caén.
Si es estrella, ese astro tiene luz propia.
Ese astro no tiene luz propia.
Resolución
Formalización: (p  q (q)
Razonamiento
P1: p  q

8. Si los terremotos son fenómenos
naturales, los terremotos obedecen a
leyes físicas. Los terremotos son
fenómenos naturales.

P2: q _____/p: no es estrella.
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Modus TollendoTollens.

30
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3.

C.

Si llueve, la ropa se moja. La ropa no se
moja. Resolución
Formalización: (p  q (q)
Razonamiento

APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA
DEL MODUS TOLLENDO
PONENS O SILOGISMO DISYUNTIVO
[(p  q)  p]  q
[( p  q)  q]  p

P1: p  q
P2: q _____/p: no llueve.

Dadas las premisas infiera o derive una

Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Modus TollendoTollens.

conclusión.
1.

4.

Si Carlos no viaja a Tumbes, no se
encontrará con Gabriel. Carlos se
encontró con Gabriel.

5.

Si Juan no ésta en clase entonces está
de servicio. Juan no está de servicio.

6.

Si Pedro compró el libro entonces es
propietario del libro. Pedro no es
propietario del libro.

7.

Me llamo Julio o Jorge. No me llamo
Julio.
2. No viajo a Trujillo o no viajo a Arequipa.
Viajo a Arequipa.
3. El policía viajó en auto o avión. El policía
no viajó en avión.
4. Las Fuerzas Operativas de la Policía
Nacional del Perú van al Estadio
Nacional o al Mercado de Santa Anita.
Las Fuerzas Operativas de la Policía
Nacional no van al Estadio Nacional.
5. Maria juega Voley o Básquet. Maria no
juega básquet.
6. El paciente tiene sarampión o tifoidea.
El paciente no tiene sarampión.
7. En Piura llueve o hace calor. En Piura no
llueve.
8. El sol es estrella o satélite. El sol no es
satélite.
9. En Irak hay guerra o paz. En Irak no hay
paz.
10. Fujimori será extraditado o liberado.
Fujimori no será liberado.
11. Los funcionarios policiales trabajan con
hipótesis o refutaciones de hipótesis.
Los funcionarios policiales no trabajan
con refutaciones de hipótesis.

Si un objeto flota en el agua entonces es
menos denso que el agua. No es menos
denso que el agua.

8.

Si eres bondadoso y honrado, serás
premiado. No serás premiado.
9. Si  = 1500 entonces Sen = ½. Sen ½.
10. Si Víctor es un graduado universitario
entonces Víctor no es mecánico. Víctor
es mecánico.
11. Teniendo en cuenta que hace frió, bien
se ve que la gente se abriga. La gente
no se abriga.
12. Si hoy es día de pago, iré de compras.
No iré de compras.
13. Si Pedro se encuentra en casa, la luz
está encendida. La luz no está
encendida.
14. Si vienes, me voy. No me voy.
15. Si estudio lógica matemática, mejoro mi
razonamiento deductivo. No mejoro mi
razonamiento.
16. Si son las siete de la mañana, el avión
partió. El avión no partió.

12. El reo es culpable o inocente del delito
que se le imputa. El reo no es inocente
del delito que se le imputa.
13. 13. El ladrón entró por la puerta o la
ventana. Por la puerta no entró, como
lo ha demostrado la investigación
policial.
14. Maritza se dedica a la función policial o
se dedica a la función jurisdiccional.
Maritza no se dedica a la función
jurisdiccional.
15.
El accidente de tránsito fue causado
por ebriedad del chofer o falla mecánica del

31
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
vehículo. El accidente de tránsito no fue
causado por falla mecánica, de acuerdo a la
investigación policial.

alarma. Si el cajero aprieta el botón de
alarma, la patrulla policial interviene a
los ladrones.

D. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DE
SILOGISMO HIPOTÈTICO O TRANSITIVIDAD

5.

Si el Gobierno está a favor de las
nacionalizaciones de las empresas, está
en contra de la empresa privada. Si el
Gobierno está en contra de la empresa
privada, es comunista.

6.

Si Bertrand Russell fue neopositivista,
conformó el Circulo de Viena. Si
conformó el Circulo de Viena, confiaba
en la Lógica Simbólica.

7.

Si Luisa obtiene buenas notas, le dan
una beca. Si le dan una beca, viaja a
Colombia.

8.

Si hay abundancia de peces, habrá
abundante harina de pescado. Si hay
abundante harina de pescado, se
incrementa la exportación.

9.

Si sube la gasolina, subirá la harina de
trigo. Si sube la harina de trigo, subirá
el precio del pan.

DEL CONDICIONAL:
[(p  q)  (q  r)]  (p  r)
DEL BICONDICIONAL:
[(p  q)  (q  r)]  (p  r)
Dadas las premisas infiera o derive una
conclusión
Dadas las premisas infiera o derive una
conclusión.
1. Si un policía es profesional y ético, es
responsable de su buena conducta. Si
es responsable de su buena conducta,
evita realizar acciones delictivas.
Resolución
Formalización: [(pq)  r]  (r s)
Razonamiento
P1: (pq)  r
P2: r s /(pq)  s: Si un policía es
profesional y ético, entonces evita
realizar acciones delictivas
2.

E. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA
DEL DILEMA CONSTRUCTIVO
[(p  q)  (r  s) (p  r)]  (q  s )

Si se denuncia la comisiòn de un delito,
la policìaefectùa la investigaciòn.Si la
policía efectúa la investigación,
establece la responsabilidad de los
involucrados. Resolución
Formalización: (p  q)  (q r)

Dados los razonamientos deductivos
siguientes. Verifique, si dichos
razonamientos son válidos o inválidos,
utilizando cualesquiera de las técnicas de
validación que se le ha enseñado y usted ha
aprendido.

Razonamiento
P1: p  q
P2: q r /p  r:
Conclusión: p  r: Si se denuncia la
comisión de un delito, entonces la
policía establece la responsabilidad de
los involucrados.
3.

4.

1.

2.

Si Elizabeth viaja a Estados Unidos,
visitará a su papá. Si visita a su papá,
pasará buenas vacaciones.
Si los ladrones asaltan el Banco de la
Nación, el cajero aprieta el botón de

32

Si llueve, jugaremos ajedrez. Si el
campo está seco, jugaremos fútbol. O
llueve o el campo está seco. / O
jugaremos al ajedrez o fútbol.
Si voy al cine, no estudio. Si no voy a la
fiesta, viene Felipe a Estudiar. Voy al
cine o no voy a la fiesta. / No estudio
o viene Felipe a estudiar. Resolución
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
Formalización:

2.

(p q)  (r s)  (p r )
Razonamiento
P1: p q
P2: r s
P3: p r / (q s): No estudio o
viene Felipe a estudiar.

Si voy a Chosica, no me encuentro con
Pedro. Si me encuentro con Eduardo,
no voy a Barranco. O me encuentro con
Pedro o voy a Barranco. / O voy a
Chosica o me encuentro con Eduardo.
Resolución

Formalización:
(p q)  (rs)  (q s )

3.

Si se mantiene la paz, las ciencias
progresan. Si se fomenta la guerra, los
pueblos se empobrecen. O se mantiene
la paz o se fomenta la guerra. / Las
ciencias progresan o los pueblos se
empobrecen. Resolución
Formalización: (p  q)  (r s)  (p  r )

Razonamiento
P1: p  q
P2: r s
P3: q  s / (pr): No voy a Chosica
o no me encuentro con Eduardo.
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Dilema destructivo.

Razonamiento
P1: p  q
P2: r s

3. Si te dedicas a la ciencia, serás un
científico. Si cultivas las artes, serás un
artista. O no serás un científico o no serás
un artista. / O no te dedicas a las
ciencias o no cultivas las artes. Resolución
Formalización:

P3: p  r / (q s): Las ciencias
progresan o los pueblos se
empobrecen.

F.
APLICANDO LA REGLA DE
INFERENCIA DEL DILEMA DESTRUCTIVO

(p  q)  (r s)  (q s )

[(p  q)  (r  s)( q s)]  ( p r)

Razonamiento

Dados los razonamientos deductivos
siguientes. Verifique, si dichos
razonamientos son válidos o inválidos,
utilizando cualesquiera de las técnicas de
validación que se le ha enseñado y usted ha
aprendido.

P1: p  q

1.

P2: r s
P3: q s / (pr): No te dedicas a la
ciencia o no cultivas las artes.
Regla lógica utilizada para hacerla
inferencia: Dilema destructivo.

Si me encuentro con Pedro, voy a
Chosica. Si me encuentro con Eduardo,
voy a Barranco. No voy a Chosica o no
voy a Barranco. / O no me encuentro
con Pedro o no me encuentro con
Eduardo.

33
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA

I UNIDAD

TEORIA DE
CONJUNTOS
COMPETENCIA:
Resuelve problemas aplicando conceptos en
operaciones entre conjuntos, muestra solidaridad y
colaboración con sus compañeros.

34
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA

SESIÓN N° 04
CONJUNTO

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

No existe una definición; solo se puede dar
una idea conceptual como colección,
agrupación, clase o agregado de objetos,
llamados elementos.

1.

Relación De Pertenencia
Es una relación que vincula un
elemento con un conjunto.

* Si un elemento esta en un conjunto, se
dice que pertenece   

Notación:
Los conjuntos se nombran con letras
mayúsculas (A,B,C,D,….) y los elementos con
letras minúsculas (a,b,c,…..). Así el conjunto
de los diez primeros números naturales
positivos:

* Si no esta en un conjunto, se dice que
no pertenece   
Ejemplo:
Dado: A   2; 3; 5;6

N   1; 2; 3; 4;5;6;7;8;9;10

Así diremos que:

Se observa que los elementos que van
separados por punto y coma y encerrados
entre llaves, determinan el conjunto N.

2A
3A
 5;6   A

4A
5A
6A

Determinación de un conjunto:
2.
(I)POR EXTENCION:
Un conjunto queda determinado por
extensión, cuando se nombra a todos y cada
uno de los elementos.

Relación De Inclusión O Subconjunto
Se dice que el conjunto A esta incluido
en B, si todos los elementos de A están
en B. Se denota como: A  B ”A
incluido en B”

Si: A  B  x  A  x  B

A   2;4;6;8 

M  a;e;i;o;u 

B  1;8; 27;64;......;1000 

Ejemplo:

(II) POR COMPRENSIÓN:

A  n;3;5 

B  4;n;m;6;3;p;5 

Un conjunto queda determinado por
compresión, cuando se nombra una
propiedad común que caracteriza a todos los
elementos del conjunto, generalmente se
emplea x/x: “x tal x”

Se observa que todos los elementos de A
son también elementos de B, luego: A  B .
PROPIEDADES

A   x / x e s p a r; 2  x  8


* Pr opiedad reflexiva : A  A
* Pr opiedad antisimetrica :
Si : A  B  B  A  A  B
* Pr opiedad transitiva :
Si : A  B  B  C  A  C

B   x / x e s una vo ca l



3

C  x / x    10
;x



35
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
3.

Relación
de
igualdad
de
conjuntos
Dos conjuntos A y B son iguales cuando
tienen los mismos elementos.

1).- Determina por extensión cada uno de los
siguientes conjuntos:
A = {x / x  N ; 1 < x  5}
B = {x / x  N ; 3  x  6}
2
C = {x / x  N ; 5 x  8}

Si: A  B  A  B  B  A

D = { 2x  1 / xN ; x = 3}
5

Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si,
A es subconjunto de B y B es subconjunto
de A.
4.
Relación de contabilidad
conjuntos
Dos conjuntos A y B son coordinables
cuando entre sus elementos puede
establecerse una correspondencia
biunívoca.

2).- Expresa por extensión el conjunto:
2
A={x +1/xZ4x<9}
a) {16, 25, 36, 49, 64}
b) {15, 24, 35, 48, 63}
c) {4, 5, 6, 7, 8}
d) {27, 36, 47, 60, 68}
e) {17, 26, 37, 50, 65}

de

3).- Determina por extensión el siguiente conjunto: A =
2
{x + 4 / x  N  x  4}
a) {4, 5, 8, 13, 20}
c) {5, 8, 13, 20}
e) 

Cuando dos conjuntos son coordínales
tienen el mismo numero de elementos.
A  1;3;5;7;9  

      son coordinables
B   a;e;i;o;u  


4).- Expresa el conjunto:
A = { 3x – 2 / x  N  2< x  5 } por extensión.
a) {7,10}
b) {10, 13, 16}
c) {7, 10,13 }
d) {5, 7, 10}
e) {3, 4, 5}

Graficándolos:
A
1
3
5
7
9

5).- Determina por extensión el conjunto A y dar
respuesta la suma de sus elementos:
2
A = {x + 1 / x  Z  - 3 < x < 3 }

B
a
e
i
o
u

a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 12

6).- El conjunto E = {x  N / 32 < 4x < 60, x es número
compuesto} determinado por extensión es:
a) {8,9,10,14}
b) {8,10,14}
c) {8,14}
d) {9,10,12,14}
e) N.A.

Cardinal de un conjunto

7).- Determina por extensión el siguiente conjunto: A =
2
{ x -3 / x  N  2  x  5 }
a) {1,6,13,22}
b) {2,3,4,5}
c) {2,5,6,13}
d) {4,5,6,22}
e) {1,5,13,22}

El cardinal de un conjunto es el número de
elementos de dicho conjunto y se denota como
n(A).

A
2;4;7;9 

b) {0, 1, 2, 3, 4}
d) {0, 4, 5, 8, 13}

 n A 4
 

8).- Si el conjunto R={7a + 4, b – 3, 25} es un conjunto
unitario, calcule b  25
a
a) 3
b) 1
c) 2
d) 4
e) 5

M      n M 
a;b; m;n
 3

B 
2,3;2;2;5;6;7  n B 5




9).- Hallar a + b si A = {4a +1, 2b + 9, 3a + 4} es unitario.
a) 1
b) 3
c) 5 d) 7
e) 9
10).- Dado el conjunto unitario:
2
2
A = {a + b, a + 2b – 3, 12}, calcule a + b

36
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
a) 60
d) 90

b) 7
e) 104
2

2

c) 80

20).- Dados los conjuntos unitarios:
A = {3a + 1; 7}, B = {3; b+c} y C = {2; bc}
Donde: b > c
Calcular: a –2b + 3c

2

11).- Dado A = {a + b + c , d + e},
B=
2
{c + 1, d – e + 4, 5}. Si A=B, A es unitario c>a>b y son
negativos.
Hallar a + b + c + d.e
a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

a) 2

3

b) –1
e) 2

a) 26
d) 16

c) 0

b) 25
e) 40

b) 188
e) 158

a) 36
d) 46

c) 178

c) 9

d) 11

b) 9

c) 10

d) 11

e) 13

a) 84 b) 76 c) 52 d) 90 e) 67
25).- Si el siguiente conjunto es unitario:

e) 12

H = { a+15 ; b2 –4 ; 45 }
Calcula ( a + b )
a) 33

a) 5
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
18).- Sean los conjuntos iguales “A” y “B”,
A = {x +
7,6}; B = {y, 12}, calcular la suma de cifras y dar como
respuesta “x.y”.
b) 20
e) 12

c) 30

19).- Si A, B y C son unitarios A={a + 4,b-2, 2a-4} ; B = {
b  3, c  3 }; C ={ c  1 , d – 4 }
2
3
3

Hallar a + b + c + d
a) 20

b) 25

c) 30

d) 37

c) 48

Calcula ( m + p2 )

17).- Dados los conjuntos unitarios:
A = {x + 7,2x + 5} ; B = {y – 3,5y–15}. Hallar el valor de
x + y.

a) 11
d) 33

b) 40
e) 60

P= { m -7 ; 33 ; 4p + 9 }

16).- Dado los conjunto unitarios: A = {m, 3}, b = {n, 7}.
Hallar m + n
a) 8

c) 18

24).- Si el siguiente conjunto es unitario:

A = {a + 3, 3b + 1} , B = {6c + 1, 8c - 1}
b) 7

b) 27
e) 28

23).- Determina por extensión el siguiente conjunto:
2
A = {x + 1 / x  Z  -3< x  4}
Dar como respuesta la suma de sus elementos.
a) 43
b) 18
c) 35
d) 38
e) 42

15).- Si los conjuntos A y B son iguales y unitarios,
calcular a + b + c si :

a) 6

e) 6

Calcule la suma m + n + p + q

c) 30

14).- Si se sabe que A ={m+n, m+2n-2, 10} es un
2 2
conjunto unitario. Dar el valor de 3m -n
a) 198
d) 168

d) 4

22).- Si los conjuntos A y B son unitarios:
A = {2m; 12; n + 2}
B = {20; 5p; q}

13).- Hallar el valor de (m+n) si el conjunto A={2n + 1,
13, m-n} es unitario.
a) 20
d) 35

c) 3

21).- Si los conjuntos “A” y “B” son iguales:
A = {3a + 5; 7} y B = {b/3 – 2; 5}
Calcular b – a

e) 11

12).- Los conjuntos A={a + 1,10},
B = {a + b, 65} son iguales, calcular el valor de a-b.
a) –2
d) 1

b) 1

e) 12

37

b) 24 c) 25

d) 50

e) 37
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA

SESIÓN N° 05

5.

C L AS E S D E C O N J U N T O S

CONJUNTO UNIVERSAL  U 

Es aquel conjunto que abarca a
todos los conjuntos dados y se les
representa por regiones planas
rectangulares.
U

1.
CONJUNTO FINITO
Cuando el conjunto tiene un determinado
numero de elementos diferentes.
Ejemplos:

B

A  3;6;9;12 

N

M

A

B  1;3;5;7;......; 29 
P

2.
CONJUNTO INFINITO
Cuando el proceso de contar los elementos
del conjunto no tiene limite.

6.

CONJUNTO POTENCIA
Se llama conjunto potencia de A, al
conjunto formado por todos los
subconjuntos de A y se le denota como
P  A .

Ejemplos:
A  x / x es un número real 

B  x / x es un planeta del universo 

Ejemplos:
* Dado: A   4;7
Su conjunto potencia será:

3.
CONJUNTO VACIO
Llamado también conjunto nulo; es aquel
conjunto que carece de elementos. Se
denota como:    

P  A    4  ; 7 ; 4;7 ; 

* Dado:

A   2;3;4 

*El conjunto vació se le considera incluido
en cualquier otro conjunto.

P  A   2 ; 3 ; 4 ; 2;3 ; 2;4 ;

*El conjunto vació no tiene ningún
subconjunto propio y su número cardinal:



El número de elementos de P  A  o numero

n    0

de subconjuntos de A, está dado por:
n P  A   2



Ejemplos:



 3; 4  ; 2; 3; 4  ; 

2



A  x  / x  x  1  0

n

Donde “n” representa el numero de
elementos del conjunto A.

B   los cabellos de un calvo 

Ejemplos:
2

P
Si: A  4;7   n  A  2  4



4.

CONJUNTO UNITARIO
Llamado también singlé ton, es
aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Si: A   2;3;4   n P  A    2 3  8


Si: A   a; b;c;d;e  n  P  A    2 5  32



Ejemplos:

Numero de subconjuntos
propios: Dado el conjunto A, su
número de subconjuntos

A   x  / 2  x  4 

B   Bety
C   

propios será: 2 n  1 .No se
considera el mismo conjunto A.

38
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
2. INTERSECCIÓN   

PROPIEDADES

1)   P  A  , puesto que   A

4) Si A  B  P  A   P  B 

Para dos conjuntos A y B se llama
intersección de A y B al conjunto formado
por los elementos que pertenecen a A y a B
(elementos comunes).

6) P  A   P  B   P  A  B 

Se denota como A  B .

2) A  P  A  , puesto que A  A

3) P     

5) Si A  B  P  A   P  B 
7) P  A   P  B   P  A  B 

A B  x /x  A x  B


A

U

B

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Si: A   1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9

1.
UNIÓN O REUNIÓN (U)
Para dos conjuntos A y B se llama unión o
reunión al conjunto formado por los
elementos de A, de B o de ambos. Se
denota como A  B.
A B  x /x  A x  B


A

Si:

B

B   2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 10 ; 11 ; 12

Luego: A  B   3 ; 4 ; 5
PROPIEDADES

1) A  A  A
Idempotenc ia
2) A  B  B  A
Conmutativa
3)  A  B  C  A   C  Asociativa
B
4) Si : A  B  A B  A
5) A   
6) A  U  A
7) Si :A B   A y B
son disjuntos
8) A   A  C   A

U

A  2;3;4;6 

9) Si: A  B  C   A  B  A  C

10) A  B  C   A  B    C
A

B  1;3;4;5 

A  B  C   A  B    C
A

Luego: A  B   1; 2; 3; 4 ; 5; 6




PROPIEDADES

3. DIFERENCIA (–)

1) A  A  AIdempotencia
2) A  B  B  AConmutativa
3)  A  B   C  A  B  C Asociativa
4) A    
5) A    A
6) Si : A  B  A  B  B
7) Si Ay B son disjuntos
n  A  B   n A  n B 
8) Si Ay B son dos conjuntos no compa 
rables, con una región común :
n  A  B   n A  n B  n A  B 

Para dos conjuntos A y B, se llama
diferencia de A con B, al conjunto formado
por todos los elementos de A, que no son
elementos de B, Se denota por A–B.
A B x /x  A  x B

U
A

B

Si: A   2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 8 
B  1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 9

Luego: A  B   6 ; 8 

39


ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
PROPIEDADES

5. COMPLEMENTACIÓN

1) A A  
2) A  
3) A B  B  A
4)  A B B  

Para dos conjuntos A y B, donde A es un
subconjunto de B.

5)

Se denota C B A ; se lee complemento de A
respecto a B.

 A B   A
B A B

6) A  B A B  
7) A B  A B  B  A  AB


8)

A B  A B  A

A

CBA  B  A



B

* El complemento de un subconjunto A
respecto del conjunto universal U.
4. DIFERENCIA SIMETRICA   

A

Para dos conjuntos A y B, se llama
diferencia de A y B, al conjunto formado por
los elementos que pertenecen a la unión de
A y B; pero no pertenecen a la intersección
de A y B.

C A  A'  U  A
A'   x / x  U  x  A

PROPIEDADES

Se denota por: A  B

1)
2)
3)
4)
5)
6)

A  B   x / x   A  B   x  A  B 

Formas usuales:
A B   A  B   A  B 

7)

A B   A  B   B  A 

A' UA
U'= 
' U
AA'=U
AA'=
A' ' A

A B ' A'B'
'
A B  A'B'



 Leyes de Morgan



Ejemplo:

U
A

B

Si: A   2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 

B

B   1 , 3 , 4 , 5 , 9  Hallar: C B A

Resolución:

Si: A   2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8

B   1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9

Como: C B A

Luego:

 BA

C B A  1 , 3 , 4 , 5 , 9   2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 

A  B   1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9  2 ; 4


A  B  1 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 

C BA   1 , 5 , 9



40

1 ,5 ,9



 Rpta.
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
PRODUCTO CARTESIANO

Ejemplo:

Dados los conjuntos A y B, se llama
producto cartesiano de A por B, al conjunto
formado por todos los pares ordenados
 a ; b  , tales que a  A y b  B .

A   a ; b ; c
B   1 ; 2 ; 3 ; 4

Hallar:   A  y

Se denota por: A  B

 B 

A  B    a ; b  / a  A  b  B

Resolución:
Ejemplo:

  A     a ; a  ; b ; b  ; c ; c

Si: A   1 ; 2 ; 3 
B  1 ; 2

  B    1 ; 1  ; 2 ; 2  ; 3 ; 3  ; 4 ; 4 


NUMERO DE ELEMENTOS DE UN
CONJUNTO

Hallar: A  B

Si:

Resolución:

A  B  O  n  A  B   n  A   n  B

A  B    1 ;1 ; 1 ; 2  2 ;1 ; 2 ; 2 ; 3 ;1  ; 3 ;  
;
2





A

Grafica de A  B

B

B
2







1







1

2

3

Si:
A y B son dos conjuntos cualesquiera

A

n  A  B   n  A  n A  B

Propiedades
1)  a ; b   A  B  a  A  b  B
2) A  B  B  A ; A  B

A

3) A  O  O

B

4) A   B  C    A  B    A  C 

5) A   B  C    A  B    A  C 
6) A   B  C   A  B  A  C

7) n  A  B   n  A   n  B 

Si:

8) Si: A  B   A  C    B  C 

A y B son conjuntos tales que A  B  O

Diagonal de un Conjunto:

n  A  B   n  A  n B  n A  B


Dado el conjunto A, la diagonal del
producto A  A que se denota   A  , se

A

define por:
  A     x ; y 

41

B
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA

SESIÓN N° 06

Si: A  B  C  O
n  A  B  C   n A  n B  n C


1

 n  A  B   n  A  C

B   2, 4, 6

 n  B  C  n  A  B  C 
A

Si: A   3, 6

Hallar la suma de los términos del conjunto:

 A  B    A  B

B

a) 10

b) 12

c) 14 d) 13

e) 11

Resolución:

C

A  B  2, 3, 4, 6 
A  B  3 

PAR ORDENADO:

Luego:

Par ordenado es un ente matemático
constituido por dos elementos (a ;b) par
ordenado

 AB  A  B 
 2, 3, 4, 6   3   2, 4, 6 

Se cumple que:

Piden: 2  4  6  12

 a ; b    b ; a
2

Hallar: x  3y , si:

Si:  a ; b    c ; d   a = c  b= d

3
x

 
 2x  1, y  5    23, 
2
3

 

Para los problemas

A

1 : sólo A
2: A y B
3: sólo B
1 y 2: A
2 y 3: B
1 , 2 y 3: A ó B

B
1 2 3

A

1
6

2
5
7

B

3
4

C

a) 14

b) 13

c) 11 d) 15

Solución:
Por pares ordenados iguales
* 2x  1  23  x  12
3
12
2
* y5 
 y
2
3
3

1 : sólo A
3: sólo B
7: sólo C
2: sólo A y B
4: sólo B y C
6: sólo A y C
5: A , B y C
25: A y B
45: B y C
56: A y C

 2
Luego piden: 12  3   3 


12  2  14

3

Si: A   5,  2 , 9 

Señale la expresión falsa:
a)  2   A

b)  2  A
c) 9  A
d)  5, 9   A

e)  5,  2  A

42

e) 16
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
7
Se tienen 65 banderas que tienen
por lo menos dos colores. 25 tienen rojo y
azul, 15 banderas rojo y blanco y 35 tienen
blanco y azul. ¿Cuántas banderas tienen los
3 colores mencionados?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7

Resolución:
Se observa en el conjunto A que los
elementos 5 y 9 pueden formar un conjunto
 5, 9  , luego  5, 9   A , lo falso seria (d).
4
5
De un grupo de 41 personas 15 no
estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no
trabajan ¿Cuántos trabajan y estudian?
a) 2
b) 4
c) 6 d) 7 e) 3

Resolución:

Resolución:

No hay banderas de un solo color

“x”: # banderas que tienen 3 colores
25

R

41
Estudian
y

A

Trabajan

z

25  x

w

15  x

x
35  x

15

15

Del gráfico, se tiene:
* y  w  z  15  41
 y+ w+ z= 26 ….. ( I )
* w  15  28  w= 13
* y  15  25  y= 10
Reemplazando en ( I )

35
B

De la figura se tiene que:
25  x  x  35  x  15  x  65
10  2x  x= 5 Rpta.

13  10  z  26
z  3 Rpta.

8
Cotos come fréjoles y/o tallarines en
su almuerzo, cada día, durante el mes de
febrero de 1988. Si come 19 días fréjoles y
23 días tallarines. ¿Cuántos días come
fréjoles con tallarines?
a) 12 b) 8 c) 10 d) 14 e) 13

6
De un grupo de 17 personas, 13
tienen bigote, 4 son calvos y 3 son calvos
que usan bigotes. ¿Cuántos no son calvos ni
usan bigotes?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Resolución:

T

F

Resolución:

19  x

17
con bigote
13
x

x

23  x

calvos
4
3

19  x  x  23  x  29
x  13 Rpta.

y

z

Formando ecuaciones:
x  3  13 

y 3  4 

En un grupo de 55 personas, 25 hablan
Ingles, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres
idiomas. ¿Cuántas personas del grupo
hablan dos de estos idiomas?

x= 10

y= 1

10  3  1  z  17
z  3 Rpta.

a) 40

43

b) 37

c) 25

d) 22

e) 38
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
Resolución:

Resolución:

I  25 

Como:  A  B    B  A  A  B

F  32 
y

a

Quiere decir que A y B son conjuntos
disjuntos, para las alternativas se tendrá
que:

b

x 5 z
c

A  33 

A  AB

AB  O

a  x  y  20
b  y  z  27

c  x  z  28

 a  b  c   2 x  y  z

(Verdadero)

B  A'

a  b  c  x  y  z  50 …. ( I )

(Falso)

B BA

Del grafico se tiene que:

(Verdadero)

(Verdadero)

 A  B ' 
 75 …. ( II )

AB  O

( I ) en ( II )

A B

(Verdadero)

Rpta.

50  x  y  z  75

Si:

11

x  y  z  25 Rpta.

A   2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56

Determinar el conjunto dado por
compresión

9
¿Cuántos subconjuntos se formaran
con 6 elementos?
a) 63 b) 64 c) 61
d) 68 e) n.a.

a)

# Subconjuntos = 2

n

# Subconjuntos =

x

2

x /x   x  6



 x  x+ 1  / x   

x

2

 x / x    1< x  8

e)

6

= 2  2  64



d)

n

1 / x    x  7

c)

Recordado que:

2

b)

Resolución:

x

x

2

x/x x  8

x7







Resolución:

64 Rpta.

A   2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 

Sean A y B dos conjuntos contenidos
un
universo,
si:
 A  B    B  A  A  B . ¿ Cual de las

10
en

A   1  2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , 6 7 ,  8



7

Lo elementos son de la forma:

siguientes proposiciones es falsa?
a) A  A  B
c) B  B  A

x  x  1  Donde:

b) A  B  O
d) B  A'

x 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

 x  x+ 1  / x   

e)  A  B  '  A  B

44

x7



Rpta.


ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
Cuantos sub conjuntos tiene “A”

Resolución:

 x  2 

Por pares ordenados iguales

A

a) 16

2

b) 8



/ x   1  x  5

c) 32

d) 64 e) n.a.

2x  1  23



x= 12

3y
12
2
5 
 y= 
2
3
3

Resolución:

Luego piden:

x  1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4

Reemplazando en:  x  2  2

 2
x  3y  12  3     14 Rpta.
 3

9

14

,4 ,1 ,0 ,1 ,4



a)  2   A

4

2  16 Rpta.

b)  2  A

c)  5 , 9   A

Total de sub conjuntos es:

Si



Señale la expresión falsa:

A   9 , 4 , 1 , 0

12

Si: A   5 ,  2 , 9

d)  5 ,  2  A

e) 9  A

A  3 , 6

Resolución:
Se observa en el conjunto “A” que los
elementos 5 y 9 pueden formar un conjunto
5 , 9 .



B  2 , 4 , 6



Hallar la suma de los términos del conjunto:

Luego:  5 , 9   A

a) 10

15
La diferencia simétrica de dos
conjuntos A y B se define:

 A  B    A  B

b) 14 c) 11

d) 12 e) 13

A  B   x / x   A  B    A  B

Resolución:

Si se define los conjuntos:

A  B   2 , 3 , 4 , 6 4

U   x / x   x< 10 

A   x / x  U  x e s d iviso r d e 12 

A B  3 

B   x / x  U  x e s im p a r 

Luego:  A  B    A  B

2

,3 ,4 ,6

   3 

¿Cuántos elementos tiene  A  B  C ?
a) 1 , 3 , 8 

Piden: 2  4  6  12 Rpta.

13

Resolución:

Hallar: x  3y , si:

b) 11

c) 16

d) 13

d)  3 , 1 , 8 

e) n.a.

 2x  1 ; 3 y  5    23 ; x 

 

2
3

 

a) 14

b) 1 , 4 , 8 

c) 1 , 8 , 3 

2 , 4 , 6

A

e) 15

2
4
6

1
3
8

45

5
7
9

B

U
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
U   1 , 2 , 3 , ....... , 9 

18
En un aula de 43 alumnos, 5 son
mujeres que estudian R.M. y 28 son
hombres y el número de hombres que no
estudian R.M. es el doble del número de
mujeres que tampoco lo hace. ¿Cuántos
hombres estudian R.M.?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 10 e) n.a.

A   1 , 2 , 4 , 6
B   1 , 3 , 5 , 7 , 9
A  B   2 , 4 , 6 , 5 , 7 , 9

 A  B C
16





1,3 ,8

 Rpta.

Dado:

Resolución:

A   n  m , n + p , 8

B   m  p , 10 Unitarios

Hallar: m  n  p
a) 1
b) 2
c) 3

H  28

d) 4

e) 5

x

Resolución:

5

20

m  n  n  p  m= p
m  p  10  2m= 10

n  m  8  n= 3

Luego: m  n  p  3 Rpta.

x  28  20  8 Rpta.

Si: #  P  A    256

19
De 80 personas que hablan alguno
de los idiomas: Castellano, Inglés y Francés,
se tiene que 40 hablan castellano, 46
hablan Inglés, 35 hablan Francés, además
los que hablan Castellano no participan
nunca en el Francés. ¿Cuántos hablan dos
de dichos idiomas?
a) 16 b) 48 c) 41 d) 50 e) n.a.

#  P  A  B    16
#  P  B    64

Calcular: #  P  A  B  
a) 1 024

b) 2 048

d) 512

10

El número de mujeres que no
estudian R.M. es: 15  5  10
El número de hombres que
estudian R.M. está dado por:

De donde: m  p  5

17

M  15

c) 360

e) 256

Resolución:
Hablan Ingles: I  46

Resolución:

Hablan Castellano: C  40
Hablan Francés: F  35
Hablan 2 Idiomas:  x  y 

#  P  A    256  2  #   8
A
8

C

#  P B    64  2  # B  6

6

40  x

#  P  A  B    16  2  #  A  B   4
4

#  A  B  # A  # B  # A  B 
 8



6



# P  A  B  2

x

F
y

35  y

Luego: I  C  F  80

4

 40  x   x  46  x  y  y  35  y  80 De

 10
10

I

 1 024 Rpta.

donde se tiene que:
x  y  41 Rpta.

46
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
En una ciudad de cada 100
hombres, 85 son casados 70 son abonados
al teléfono, 75 tienen auto y 80 son
propietarios de su casa ¿Cuál es el numero
mínimo de personas que al mismo tiempo
son casados, poseen teléfono oculto y casa
propia.
a) 5
b) 10 c) 65
d) 25 e) 45

tenemos(agrupando convenientemente)

21

300  3  v  w  z  y   3 a  b  c  d
 3  p  q  r  s  n  m   3x.......



Luego: (  )-   


10  x   2v  2w  2y  2z  
p  q  r  s  m 
n

 





10  x    

Resolución:
C   H o m b re s ca sa d o s  n C

Como “x” mínimo entonces
decir  = 0.

8 5

T   Abo na d o s a l te le fo no  n T

Entonces:

70

x  10

Graficando:

A   P o se e n a uto  n A  75

P   P o se e n ca sa p ro p ia  n P

 es mínimo es

C  85 

8 0

T  70 

Se pide calcular el numero mínimo de

d

C   T  A  P

c

a

10

b

Graficando:
C  85 

v
p

z
P  80 

P  80 

T  70 

q

a

w

n
nd x
b
c
s
m
y
A  75 

Como  =0 entonces:
v  w  y  z p  q  r  s m  n  0

Luego:
85  b  100  b  15

Luego piden: c  x  a  m í n im o 

70  c  100  c  30

Siendo x  C  T  P  A , entonces el valor
de “x” el mínimo valor se tiene:
85  v  a  c  d  p  q  r  x.... (1)
70  w  a  b  d  q  n  s  x.....(2)
80  y  b  c  d  r  s  m  x.....(3)
75  y  b  c  d  r  s  m  x.... (4)

75  a  100  a  25
80  d  100  d  20

Finalmente:
n  C   T  A   P   c  10  a  65



100  y  w  z  y  a  b  c  d 
(5)
p  q  r  s  n  m  s........

Sumando (1) (2) (3) y (4)

A  75 

310  v  w  z  y  3 a  b  c  d



 2  p  q  r  s  n  m  4x...

En el problema el “x” mínimo es igual: (son
4 conjuntos)

()

x   8 5  7 0  7 5  8 0  4  1  1 0 0




x  10 Rpta.

La ecuación (5) se multiplica por 3

47
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
B   0; 4;8;12;16; 20

Cual de las siguientes alternativas le
corresponde al diagrama mostrado, si”x” es
el complemento de “x” en el universo.
22

C   x / x es d iviso r d e 48

B
A

C   1; 2; 3; 4; 8;12;16; 24; 48

C

C   A  B   1; 2


Por lo tanto la suma de los elementos:
1  2  3 Rpta.

I   C  B   A    A  B   C 

 

II  C ' B     A  B   C ' 



Se tiene 2 conjuntos A y B tal que la
unión de A y B tiene 36 elementos, el
numero de elementos de A es a la mitad del
numero de elementos de B. Los elementos
comunes de A y B son la mitad de los
elementos no comunes, hallar el numero de
elementos de B.
a) 12 b) 24 c) 32d) 30
e) 80
24

III  C  B  '   A  B  C 


a) I

b) II

Resolución:

c) III

d) I y III

e) Todas

B

A

C

1
(1)=  A  B   C
(2)=  B  C   A

Resolución:

2

n  A  B   36...............(1)

n  A 

Luego:
 (1)  (2)    A  B  C    B  C  A 

 




n  B   2n  A

  A  B   C    B  C  A  Rpta.

 


Se sabe: n  A  B   n A  n B  n A  B


Se tiene los conjuntos A, B, C
subconjuntos de los números naturales, A es
el conjunto de los múltiplos de 3, B es el
conjunto de los múltiplos de 4v menores que
24 y C es el conjunto de los divisores de 48.
Hallar la suma de los elementos de la
diferencia: C   A  B 
23

a) 2

b) 4

c) 5

d) 6

1
n B
2

36  nA  2nA  n  A  B
3n  A   n  A  B  3 6

Además:
n  A  B   n  A  n B  2n A  B


e) 3

2n  A  B   n A  n B  2n A  B



Resolución:

4 n  A  B   3n  A

 A, B, C   N

De (1) y (2)



A   x / x  3   0;3;6;..............;3n 



n  A  B   12  n A  16




B   x / x  4  x  24 



n  B   32 Rpta.

48
ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA
6.¿Cuántos subconjuntos se pueden formar
con 6 elementos?
a) 32 b) 23 c) 46
d) 64 e) 128
1.
Una persona come huevo o tocino
en el desayuno cada mañana durante el
mes de Enero. Si come tocino 25 mañanas y
huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas
come huevos y tocinos?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

7.
Indicar la verdad (V) o falsedad (F)
de las siguientes proposiciones:
I. Cuando el conjunto A contiene uno o
más elementos que no contiene B,
diremos que B es un subconjunto propio
de A.

2.
En un grupo de 55 personas, 25
hablan ingles, 32 francés, 33 alemán y 5 de
los tres idiomas. ¿Cuántas personas del
grupo hablan sólo 2 de estos idiomas?
a) 15 b) 20 c) 25d) 30e) 35

II. Todo conjunto es subconjunto del
conjunto universal
III. Al conjunto universal se le designa el
valor de 1

3.
El resultado de una encuesta sobre
preferencia de jugos de frutas de manzana,
fresa y piña es la siguiente: 60% gustan
manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan
piña, 30% gustan manzana y fresa, 20%
gustan de fresa y piña, 15% gustan de
manzana y piña, 5% gustan de los tres.
¿Qué porcentaje de las personas
encuestadas no gustan de ninguno de los
jugos de frutas mencionado?
a) 10%
b) 11%
c) 12%
d) 13%
e) 15%

IV. El conjunto vació es subconjunto e todo
conjunto.
a) VFVV
d) VVFV

c) VVVV

e) FVFV

8.
Si se determina por comprensión el
conjunto:
M  0 , 2 , 4 , 8 , 10 , 12 , ...... 

se tiene:

4.
¿Cuántas
de
las
siguientes
operaciones
con
conjuntos
son
conmutativos?

a) M   x / x es un número par 
b) M   x / x  2n ; 0  n 

I) Unión
II) Intersección
III) Diferencia
IV) Diferencia simétrica
V) Producto cartesiano
a) 2
b) 3
c) 4d) 1 e) Todas
5.

b) FVVV

c) M  x / x  N ;N= serie de números pares 


d) M   2x / x  
e) n. a.
9.

Sean: A  1 , 2 , 3  y B  4 , 5 

Dado el conjunto:

F  x / x  2x  2x  2  0
3

¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son
ciertas?

2



*  2 , 4   AB

*  4 , 2   AB

¿Cuál es su valor determinado por
extensión?

* 5 , 2 B A

*  3 , 4   AB

a) F   1 , 0 , 2 

* 3 , 4  B A
a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

b) F  2 ,  1 , 1 

e) n.a.

c) F   2 ,  1 , 0 , 1 
d) F  1 , 1 , 2 
e) n.a.
49
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  • 1. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA SÍLABO DESARROLLADO DE MATEMÁTICA PROGRAMA REGULAR 2013 1
  • 2. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA SILABO LÓGICO-MATEMÁTICA (PROCESO REGULAR) I. DATOS GENERALES EJE CURRICULAR : Formación General AREA EDUCATIVA : Formación Científica Básica AREA COGNITIVA : Ciencias Lógico - Matemáticas AÑO DE ESTUDIO : PRIMER AÑO HORAS SEMESTRALES : 72 horas académicas HORAS SEMANALES : 04 CRÉDITOS 3.5 PERIODO ACADEMICO II. : : I Semestre SUMILLA La Asignatura de Lógica Matemática forma parte del Área de Formación Científica Básica del Currículo de Estudios de las Escuelas Técnico - Superiores de la Policía Nacional del Perú, siendo de naturaleza instrumental y de carácter teórico – práctico, cuyo propósito es desarrollar en el alumno los contenidos básicos, organizados en cuatro unidades de aprendizaje: Lógica Proposicional, Teoría de Conjuntos, Matemática Financiera y Estadística Descriptiva. III. OBJETIVOS A. OBJETIVO GENERAL Fortalecer las capacidades de comunicación y de pensamiento lógicomatemático en los alumnos a partir de materiales educativos que contextualicen su práctica profesional- área de administración y ciencias policiales-, que contribuyan a ejercitar, desarrollar y poner a punto sus competencias lógico matemática. Desarrollar en los alumnos habilidades que permitan traducir problemas de la vida real- área de administración y ciencias policiales- al lenguaje lógico-matemático. 2
  • 3. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA B. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Reconocer un problema de la vida real, vinculado a su quehacer profesionalárea de administración y ciencias policiales-, en las dimensiones que sean suceptibles de ser traducidas, formalizadas u operables en lenguaje lógico o lenguaje matemático o representación estadística. 2. Fortalecer las capacidades de pensar ordenadamente, razonar, argumentar, cuantificar, efectuar mediciones, interpretar situaciones del área de la administración y ciencias policiales, comunicarse con otros códigos, modelar situaciones problemáticas, interpretar el lenguaje formal y simbólico, resolver problemas. 3. Promover la producción de soluciones lógicas-matemáticas a las situaciones problemáticas, vinculadas al quehacer profesional-área de administración y ciencias policiales-, como vía tendiente a posibilitar la toma de decisiones que permitan operar con seguridad sobre las dimensiones que comprenda cada situación problemática, en singular, particular o general. IV. CONTENIDOS I UNIDAD LÓGICA PROPOSICIONAL Sesión 01 PRIMERA SEMANA (04 hrs) COMPETENCIA Desarrolla conceptos y procedimientos de manera lógica y coherente, utilizando el lenguaje proposicional.  Conoce y comprende los conceptos básicos de la lógica proposicional, desarrollados en Presentación de la asignatura. la sesión 1. Prueba de Entrada.  Reconoce, describe, analiza, expresa, LOGICA PROPOSIONAL: clasifica y formaliza proposiciones.  Valora los conocimientos de la lógica  Enunciado, Proposición. proposicional como herramienta para  Proposición atómica, molecular. analizar, interpretar y traducir hechos,  Variables proposicionales. situaciones o problemas, de la vida real, del  Conectivos lógicos: área de la administración y ciencias  Expresiones de la lengua española policiales, al lenguaje de la lógica equivalentes a los conectivos proposicional, con la finalidad de resolver lógicos. situaciones o problemas.  Proposiciones en lenguaje natural u ordinario traducirlas al lenguaje lógico proposicional (Formalización o simbolización de proposiciones). 3
  • 4. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA Sesión 02   SEGUNDA  SEMANA (04 hrs) Valores de verdad para las proposiciones moleculares o tablas de verdad de los conectivos lógicos. Tabla de verdad: tautológica, contradictoria, contingente. Ley lógica, características de la ley lógica. Leyes Lógicas: Modus PonendoPonens, Modus TollendoTollens, Modus TollendoPonens, Silogismo Hipotético, Dilema Constructivo, Dilema Destructivo, Dilema Simple. Sesión 03      Razonamiento Deductivo. Las Argumentaciones Reglas de Inferencia Leyes Lógicas Problemas lógicossobre razonamientos deductivos TERCERA SEMANA Evaluación Escrita: 01 hora (04 hrs)  Conoce y comprende los conceptos básicos de la lógica proposicional, desarrollados en la sesión 2.  Identifica, analiza, compara y aplica los valores de verdad de los diferentes conectivos lógicos.  Clasifica las tablas de verdad según la naturaleza de su matriz de verdad. Caracteriza la ley lógica.  Describe el esquema o estructura de las leyes lógicas.  Aplica con propiedad los fundamentos y principios de la lógica proposicional en la solución de diversos problemas.  Muestra interés en los nuevos conocimientos, participa de manera activa, dialoga, pregunta, analiza, sintetiza, investiga.  Conoce y comprende los conceptos básicos de la lógica proposicional, desarrollados en la sesión 3.  Elabora razonamientos deductivos utilizando las reglas lógicas.  Maneja las reglas y principios de la lógica proposicional para analizar la validez o invalidez de las inferencias.  Utiliza el razonamiento deductivo en la formulación de hipótesis y en su respectiva comprobación.  Infiere conclusiones válidas haciendo uso de las reglas de inferencia, principios lógicos y del análisis.  Valora el razonamiento deductivo como herramienta para hacer inferencias sobre hechos o problemas, de la vida real, del área de la administración y ciencias policiales, que permitan obtener conocimientos nuevos.  Demuestra alto sentido de responsabilidad y de compromiso con su formación personal y profesional.  Participa de manera activa, dialoga, pregunta, analiza, sintetiza, investiga. 4
  • 5. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA Competencia II UNIDAD TEORÍA DE CONJUNTOS Resuelve problemas aplicando conceptos y las operaciones entre conjuntos, muestra solidaridad y colaboración con sus compañeros. Sesión 04 Teoría de conjuntos: CUARTA SEMANA (04hrs) Noción de conjunto. Conceptos no definidos de la teoría de conjuntos: elemento, relación de pertenencia. Determinación de conjuntos: Extensión y comprensión. Cardinal de un conjunto. Representación de conjuntos mediante diagramas de Venn Euler Sesión 05 QUINTA SEMANA (04 hrs)  Clases de conjuntos: Vacío, unitario, finito, infinito, universal, conjunto potencia.  Relaciones entre conjuntos: inclusión, igualdad, disjuntos.  Operaciones entre conjuntos: Unión, intersección, diferencia y complemento, diferencia simétrica,  Problemas de conjuntos.  Conoce y comprende los conceptos básicos de la teoría de conjuntos.  Expresa de manera verbal y grafica el concepto de conjunto  Determina un conjunto por extensión y comprensión.  Demuestra alto sentido de responsabilidad, colaboración, participación y de compromiso con su formación personal y profesional.  Participa de manera activa, dialoga, pregunta, analiza, sintetiza, investiga.  Conoce y comprende las clases, relaciones y operaciones con conjuntos.  Interpretay grafica las clases y operaciones de conjuntos.  Aplica las propiedades y operaciones entre conjuntos para resolver situaciones problemáticas.  Relaciona las operaciones entre conjuntos con las operaciones lógicas.  Interpreta enunciados y ejecuta estrategias para resolver problemas con conjuntos.  Participa de manera activa, dialoga, pregunta, analiza, sintetiza, investiga. Sesión 06 SEXTA  SEMANA (04 hrs)   Resuelve problemas relacionados con la cordialidad, clases, relaciones y operaciones entre conjuntos. 2° Taller: Teoría de conjuntos: Problemas de cardinalidad de conjuntos. Problemas de operaciones entre conjuntos. (3 horas) Evaluación: 1 hora  Propone y resuelve situaciones problemáticas relacionados con conjuntos y que le sirvan como herramienta para hacer relaciones con hechos de la vida real. 5
  • 6. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA III UNIDAD COMPETENCIAS MATEMATICA FINANCIERA  Aplica propiedades en situaciones reales de su entorno utilizando las matemática financiera  Respeta la opinión de sus compañeros.  Es perseverante para resolver problemas propuestos sobre matemática financiera SEPTIMA SEMANA (04hrs) OCTAVA SEMANA (04 hrs)  Identifica y compara razones.  Reconoce razones aritméticas y geométricas. Razones y proporciones  Infiere datos sobre razones.  Razón  Resuelve problemas relacionados sobre razones.  Definición  Clases de razón  Infiere datos sobre proporciones.  Proporción  Reconoce clases de proporciones.  Definiciones  Resuelve problemas de proporciones  Clases de proporción  Ejercicios propuestos. Sesión 7 Sesión 8 Promedios  Concepto  Promedios importantes  Propiedad de los promedios.  Ejercicios propuestos. 6  Identifica los conceptos sobre los promedios.  Reconoce los promedios importantes.  Infiere datos sobre los promedios.  Resuelve problemas propuestos sobre promedios.
  • 7. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA NOVENA SEMANA (04 hrs) Sesión 9 Magnitudes proporcionales  Concepto  Magnitudes directamente proporcionales.  Magnitudes inversamente proporcionales.  Identifica magnitudes proporcionales.  Reconoce la relación entre magnitudes.  Infiere datos sobre magnitudes proporcionales.  Reconoce magnitudes directamente e inversamente proporcional.  Infiere datos sobre magnitudes inversamente proporcionales.  Identifica  Ejercicios propuestos. propiedades  Resuelve problemas proporcionales. Sesión 10 DECIMA SEMANA (04 hrs) DECIMA PRIMERA SEMANA (04hrs) Regla de compuesta: tres simple y SEMANA (04hrs) sobre magnitudes  Identifica el concepto de la regla de tres simple.  Infiere datos sobre la regla de tres simple directa e inversa.  Reconoce la regla de tres compuesta.  Resuelve problemas aplicando regla Sesión 11  Identifica conceptos de matemática financiera  Resuelve ejercicios de matemática financiera.  Desarrolla práctica calificada.  Taller de reforzamiento sobre:  Razones y proporciones, Promedios, proporcionales, compañía.  Concepto.  Porcentaje.  Operaciones compañía.  Reconoce la regla de compañía.  identifica la regla de tanto por ciento.  Reconoce casos particulares de regla de tanto por ciento.  Infiere datos sobre la regla de tanto por ciento.  Resuelve problemas propuestos sobre tanto por con el tanto por ciento.  Descuentos de Magnitudes Regla de Regla de tanto por ciento SEGUNDA magnitudes  Concepto.  Regla de tres simple directa  Regla de tres simple inversa  Regla de tres compuesta.  Regla de compañía.  Ejercicios propuestos. Sesión 12 DECIMA de propiedades. y aumento sucesivos.  Aplicaciones comerciales de tanto por ciento.  Ejercicios propuestos. 7 ciento.
  • 8. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA DECIMA TRECERA  Identifica los elementos de la regla de interés.  Reconoce la clasificación de regla de interés.  Evalúa problemas propuestos sobre regla de Sesión 13 Regla de interés SEMANA (04hrs) DECIMA  Concepto  Elementos interés. de la regla de interés.  Clases de interés  Ejercicios propuestos.  Identifica el concepto sobre mezcla.  Resuelve problemas propuestos sobre mezcla.  Identifica mezcla alcohólica.  Evalúa problemas propuestos.  Identifica el concepto sobre aleación.  Resuelve problemas propuestos sobre aleación CUARTA SEMANA (04hrs) Sesión 14 Mezcla y aleación  Regla de Mezcla  Concepto.  Mezcla alcohólica.  Aleación.  Concepto Ejercicios propuestos.  Resuelve problemas y ejercicios sobre regla de Sesión 15 DECIMA QUINTA SEMANA (04hrs) tres simple, porcentajes,asuntos comerciales, aumentos y descuentos con margen de error de hasta el 8%. TALLER DE REFORZAMIENTO  Regla de compuesta. tres simple y  Tanto porciento  Asuntos comerciales  Aumento y descuentos.  Reconoce la importancia de resolver problemas aplicados a su vida profesional.  Describe e interpreta las propiedades de estadística descriptiva en problemas reales.  Es asertivo con su opinión.  Participa activamente en III UNIDAD ESTADISTICA DESCRIPTIVA grupal. 8 forma individual y
  • 9. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA DECIMA SEXTA SEMANA (04hrs) Sesión 16  Identifica conceptos de estadística.  Infiere datos sobre medidas tendencia Estadística descriptiva central para datos agrupados y no agrupados  Concepto  Medidas de tendencia central para datos agrupados y no agrupados  Reconoce la tabla de frecuencia para datos agrupados y no agrupados.  Evalúa problemas propuestos sobre tablas.  Tabla de frecuencia para datos agrupados y no agrupados DECIMA SEPTIMA SEMANA (04hrs)  Describe la Lectura e interpretación de tablas y gráficos para datos agrupados y no agrupados. Sesión 17  Lectura e interpretación de tablas y gráficos para datos agrupados y no agrupados.  Reconoce varianza, desviación estándar.  Resuelve propuestos sobre tablas y gráficos.  Varianza, desviación estándar. DECIMA OCTAVA SEMANA (04hrs)  Resuelve ejercicios propuesto sobre estadística Sesión 18 descriptiva.  Desarrolla el examen final.  Taller de estadística  Evaluación Final 9
  • 10. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA DE LÓGICA MATEMÁTICA 10
  • 11. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA SILABO DESARROLLADO PRESENTACIÓN Presentación de la asignatura. Evaluación de Entrada. Lógica Proposicional. Enunciado. Proposición. Proposición Atómica. Proposición Molecular. Variables proposicionales. Conectivos lógicos. Expresiones de la lengua española equivalentes a los conectivos lógicos. Proposiciones en lenguaje natural u ordinario traducirlas al lenguaje lógico proposicional (Formalización o simbolización de proposiciones). Presentación de la Asignatura: La Escuela Técnica Superior de la PNP-Puente Piedra, en el periodo comprendido entre Setiembre 2013 y Enero 2014, Desarrollará el I Semestre Académico de Formación General del “Programa Regular” de Educación Presencial, Promoción 2013. Comprendiendo en dicho semestre académico la asignatura de LógicoMatemática, con 72 horas académicas. Los docentes seleccionados y designados por la Dirección de la Escuela Técnico Superior PNP de Puente Piedra para impartir la asignatura de Lógico-Matemática, en esta oportunidad, han formulado el Sílabo pertinente, como aporte de su experiencia profesional y ejercicio docente en dicho centro de estudios. Las unidades académicas están orientadas a fortalecer y desarrollar competencias básicas en lógica proposicional, teoría de conjuntos, matemática financiera y estadística descriptiva, que son temáticas fundamentales para obtener una formación policial profesional-área de administración y ciencias policiales-, basada en la práctica reflexiva y en la explicitación de los principios científicos y técnicos que fundamentan el quehacer profesional del policía. Los objetivos y competencias de la asignatura se detallan a continuación: Objetivo General Fortalecer las capacidades de comunicación y de pensamiento lógico-matemático en los alumnos a partir de materiales educativos que contextualicen su práctica profesional- área de administración y ciencias policiales-, contribuyan a ejercitar, desarrollar y poner a punto estas competencias. Desarrollar habilidades que permitan traducir problemas de la vida real- área de administración y ciencias policiales- al lenguaje lógico-matemático. Objetivos Específicos 4. Reconocer un problema de la vida real, vinculado a su quehacer profesional-área de administración y ciencias policiales, en las dimensiones que sean suceptibles de ser traducidas, formalizadas u operables en lenguaje lógico o lenguaje matemático o representación estadística. 11
  • 12. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA 5. Fortalecer las capacidades de pensar ordenadamente, razonar, argumentar, cuantificar, efectuar mediciones, interpretar situaciones del área de la administración y ciencias policiales, comunicarse con otros códigos, modelar situaciones problemáticas, interpretar el lenguaje formal y simbólico, resolver problemas. 6. Promover la producción de soluciones lógicas-matemáticas a las situaciones problemáticas, vinculadas al quehacer profesional-área de administración y ciencias policiales-, como vía tendiente a posibilitar la toma de decisiones que permitan operar con seguridad sobre las dimensiones que comprenda cada situación problemática, en lo singular, particular o general. COMPETENCIAS LÓGICO-MATEMÁTICAS COMPETENCIA EN LÓGICA PROPOSICIONAL: Desarrolla conceptos y procedimientos de manera lógica y coherente, utilizando el lenguaje proposicional COMPETENCIA EN TEORIA DE CONJUNTOS Aplica la teoría de conjuntos para modelar y resolver problemas, expresando un comportamiento solidario, colaborativo y participativo con sus compañeros. COMPETENCIA EN MATEMATICA FINANCIERA Conoce, comprende y aplica la matemática financiera para su aplicación como herramienta en la resolución de problemas de la vida real, vinculados al quehacer policial-área de administración y ciencias policiales. COMPETENCIA EN ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Aplica técnicas para organizar, analizar e interpretar información,relacionada con hechos reales o hipotéticos, utilizando adecuadamente las herramientas de la estadística descriptiva para la correcta toma de decisiones. EVALUACIÓN La asistencia a las sesiones teóricas es obligatoria en un 70% y a los Talleres en el 90%, en caso contrario de no existir justificación alguna por la Sub Dirección Académica de la ETS PNP, el Alumno (a) desaprobará la asignatura. El proceso de evaluación del aprendizaje será permanente, comprenderá: A. Evaluación Diagnóstica o de Entrada para valorar el nivel de conocimiento de la asignatura. B. Evaluación Formativa Interactiva, en relación a la participación activa del Alumno (a) en el aula. El promedio de las intervenciones orales constituirá Nota de Paso Oral. C. EvaluaciónFormativa o de Proceso para comprobar el rendimiento académico, pronosticar posibilidades de desarrollo de los Alumnos (a) y reorientar la metodología, para lo cual se aplicará: 1. Prácticas Calificadas 2. Dos exámenes escritos parciales (8ª y 13ª semana), enmarcados en los modelos de las Pruebas que son propias de la naturaleza de la Asignatura. 12
  • 13. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA D. EvaluaciónSumativa para comprobar el nivel de desarrollo cognoscitivo, reflexivo y del pensamiento lógico, para lo cual se aplicará un examen final (17ª semana), de similar característica empleada en los exámenes parciales. E. El Promedio General se calculará en concordancia con las disposiciones establecidas en el Manual de Régimen de Educación de las Escuelas de Formación de la PNP y con la naturaleza de la asignatura, conforme se detalla a continuación: Promedio General: PG = PEP (3) + EO (1) + ETA (2) +EF (4) 10 PEP = EO = ETA = EF = Promedio de Evaluaciones Parciales Evaluación Oral Evaluación de Trabajo Aplicativo Evaluación Final EVALUACIÓN DE ENTRADA Los docentes aplican la evaluación de entrada conforme al anexo 01. (Duración 1 hora) 13
  • 14. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA LÓGICA PROPOSICIONAL COMPETENCIA: Desarrolla conceptos y procedimientos de manera lógica y coherente, utilizando el lenguaje proposicional. 14
  • 15. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N°01 proposiciones atómicas o simples y luego evalúa las proposiciones compuestas o moleculares, formadas mediante el uso de los conectivos proposicionales. El cálculo proposicional recurre a símbolos: variables proposicionales, conectivos lógicos u operadores lógicos (constantes lógicas), reglas de formación de expresiones (sintaxis), símbolos auxiliares o signos de agrupación, valores veritativos (valores de verdad). LOGICA La lógica es una ciencia muy importante que sirve de apoyo a la matemática moderna, aunque en la vida diaria, nos ayuda a resolver situaciones que ocurren a nuestro alrededor, como por ejemplo: desentrañar el misterio de un asesinato o determinar la paternidad de un niño. Sin embargo, la lógica no está en lo que acontece, no pertenece al mundo concreto; sino surge de la mente del hombre y refleja cierta estructura y procesos mentales, productos de la creación de la mente humana. ENUNCIADOS Son frases u oraciones que utilizan las palabras “el , ella “ o los símbolos x,y,z ; que pueden ser ecuaciones e inecuaciones. Ejemplos : ¡ Alto ! ¿ Quien anda ahí? Perro que labra no muerde Mi auto nuevo x+3=7 5x + y > 34 “x gira alrededor del sol”. “x es mecánico”. “x + y = 0” “x es número real”. “x es padre de y”. “x > y” No obstante, el conocimiento o saber lógico, no tan solo se usa dentro del campo filosófico o del pensamiento, sino en todas las formas del conocimiento, dado que en todas las áreas se requiere de un ordenamiento de los elementos que implica un razonamiento. Los principios y las reglas de la lógica, se usan en la construcción del buen análisis de un problema específico y nos permiten establecer un orden de las partes a tratar y hacer un razonamiento que nos lleve a establecer un juicio objetivo. Por ejemplo, si necesitas calcular el área de un triángulo, ¿qué harías? PROPOSICIONES Es un enunciado lingüístico aseverativo, libre de ambigüedades, que afirma o niega algo, y que tiene la propiedad de decir de él que es verdadero o falso; pero no ambos a la vez. La proposición lógica es el pensamiento completo que describe algún hecho o aspecto del universo fáctico o formal Ejemplo: P: Lima es capital del Perú () Q :Mozart escribió Trilce ( ) R : 4 + 9 = 13 ( ) Queda pues claro que en la vida diaria del hombre común, así como en el campo de la ciencia, la lógica nos da las herramientas necesarias para argumentar bien. Lógica Proposicional.- Es aquella parte de la lógica formal que estudia a las proposiciones como un todo indiviso, como bloques unitarios, con total abstracción de su estructura interna. No analiza las palabras individuales que componen la proposición. Examina las conexiones lógicas existentes entre las proposiciones consideradas, es decir las conexiones lógicas que existen entre las proposiciones a través de los conectivos lógicos u operadores lógicos. Toma en cuenta su propiedad de ser verdaderas o falsas, evaluando primero las Existen dos tipos proposiciones -Proposición Simple o Atómica: Es aquella proposición que carece de conectivos lógicos u operador lógico. Pueden ser predicativas o relacionales. -Proposición Compuesta o Molecular: Es aquella proposición que tienen conectivo lógico u operador lógico. Los conectivos lógicos u operadores lógicos se representan o 15
  • 16. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA e) Cuatro es divisible por 2. denotan así: “” , “”, “”, “”, “”, “”, “”, “”, “” f) g) 7  5 Conectivos Lógicos u Operadores Lógicos OPERACIÓN FÓRMULA LÓGICO p Negación  Conjunción pq No p j) Débil pq poq pq Opoq Disyunción  Exclusiva  Implicación pq Si p entonces q  Replicador pq p si q  Bicondicional pq p si sólo si q Negación  Conjuntiva pq Ni p ni q pq Disyuntiva 3 ………. No p o no q 1) Pizarro jugó, aunque estuvo lesionado. ………………. Binegación  x k) Si me pagan en la UNMSM, entonces viajaré al Cuzco. ………. l) José C. Mariátegui es autor de “El artista y la Época” o “Temas de Educación” …….…. m) No es el caso que un número sea divisible entre dos y que no sea par. ………. n) Si a un número par le sumo otro número par, entonces el número resultante es también par. ………. o) ¿Quién es el Rector de la UNMSM? ………. 2. Escribe “C” si es una proposición compuesta o molecular y “S” si es proposición simple o atómica: pyq Disyunción  ……….. SIGNIFICADO LÓGICA  ……….. h) César Vallejo escribió “Los dados eternos” ………… i) Copérnico es el autor de la teoría heliocéntrica. ………. NOMBRE CONECTIVO Quito es capital de Bolivia. ……….. 2) 9 es múltiplo de 3 y 12 es múltiplo de 2 y 3. …………….. 3) La paz engrandece a los hombres. ……………….. Nota: 4) Nací en el Perú, entonces amo a mi país.………………… El conectivo lógico “” es un operador para la “negación conjuntiva”, llamada también “Binegación”. 5) La I.E. Miguel Grau es buena. ………..……….. El conectivo lógico “” es un operador para la 6) La honradez es un gran valor y la verdad “Binegación disyuntiva”, también se le llamada también lo es. “Negación alternativa”, o “Incompatibilidad”. ……..….………. 1. Escribe “e" si es un enunciado y “p” si es proposición en: a) 3 es mayor que 2. ………. b) ¡Viva el Perú! ………. c) Prohibido hacer bulla. .……… d) 5 < 6 ……….. 16
  • 17. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA CONECTIVOS LÓGICOS O bien .... o bien .... a menos que .... La lógica considera una clase de objetos llamados enunciados elementales o proposiciones elementales y tres términos de enlace ( no, y , o ) llamados conectivos lógicos que al aplicarlos a las proposiciones elementales forman nuevos enunciados llamados proposiciones compuestas. .... salvo que ...... Su tabla de verdad es: p V V F F Regla Metalógica de laconjunción: “Sólo es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas. Es falsa en todos los demás casos”.  Se le simboliza:"pΛ q", y se lee: "p y q". p q V V V F F V F F p a la  q V F F F q F V V F Si ..p.. entonces ..q… Si ..p.. , ..q.. Cuando .......p............. , ......q.. Siempre ......p............. , ....q.. Es condición suficiente..p..paraque..q.. Es condición necesaria...q..paraque..p.. .........q........ sólo si ......p....... q : Juan juega fútbol. p Λq : Carlos juega fútbol y Juan juega fútbol. Su tabla de verdad es: p q V V V F F V F F Regla Metalógica de la disyunción Débil “Es verdadera, en todos los casos, excepto, cuando ambas proposiciones atómicas son falsas.”  Se le simboliza: "p V q", y se lee: "p o q”.  Palabras conectivas: o p  q V F V V Ejemplo: p: Ana es estudiosa. q: Ana aprobó el examen de aritmética. p  q: Si Ana es estudiosa entonces aprobó el examen de aritmética Otras palabras que equivalen al condicional son: porque, puesto que, si cada vez que, etc. Su tabla de verdad es: p   Palabras conectivas: Ejemplo: p : Carlos juega fútbol. p q V V V F F V F F V F V F p Regla Metalógica del Condicional o Implicación: “Sólo es falsa, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En todos los demás casos es verdadera.”  Se le simboliza “p  q”, y se lee: "si p entonces q”,“implica que".  Palabras conectivas: y, aunque, pero, mas, también, sin embargo, vez,además, etc Su tabla de verdad es: q  q V V V F Regla Metalógica del Replicador.“Sólo es falsa, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En todos los demás casos es verdadera.” Ejemplo: p: José es futbolista q: José estudia francés p v q : José es futbolista o estudia francés Regla Metalógica de la Disyunción Fuerte: “Sólo es verdadera, cuando sólo una de las proposiciones atómicas es verdadera. En todos los demás casos es falsa.”  Se simboliza: “,” , p q V V V F F V F F  Palabras conectivas: O ......... o ..... 17 p  q V V F V
  • 18. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA  PROBLEMAS PROPUESTOS Regla Metalógica del Bicondicional o Biimplicación: “Sólo es verdadero, cuando ambas proposiciones atómicas son verdaderas o ambas son falsas. En los demás casos es falsa”. Se le simboliza: "p  q"; y se lee: “p si y sólo si q, “cuando y solo cuando". 01. Señale verdadero (V) o falso (F): ( ) Basta que el antecedente sea falso para que la proposición condicional sea falsa. ( ) Una proposición bicondicional es verdadera solamente cuando sus dos componentes son p pp q q V F F V q V V V F F V F F verdaderas. A) VV B) VF C) FV D) FF E) No se puede determinar 02. Señale verdadero (V) o falso (F): Ejemplo: p: Carla estudia ingles q: Carla viaja al extranjero p  q: Carla estudia ingles si y solo si viaja al extranjero.  Palabras conectivas:si y sólo si; cuando y sólo cuando; es equivalente a; es condición suficiente y necesaria para; entonces y solamente entonces. etc.: ( ) Solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, la proposición condicional es falso. ( ) Basta que el consecuente sea verdadero para que la proposición condicional sea verdadera. A) FV La negación: “Si p es verdadera, p es falsa; y viceversa”.Dada una proposición p, se denomina la negación de p, a otra proposición denotada por ~ ó , a la cual se le asigna el valor de verdad opuesto al de p. C) VV D) VF 03. Señale verdadero (V) o falso (F): ( ) “Si y sólo sí” es una conectiva bicondicional ( ) Basta que uno de los componentes de una proposición conjuntiva sea verdadero, para que la proposición conjuntiva sea verdadera. Su tabla de verdad es: p V F B) FF E) No se puede determinar A) VV B) VF C) FV D) FF E) No se puede determinar p F V 04. Es una proposición que admite el valor V sólo cuando las dos proposiciones componentes son verdaderas: A) Conjunción B) Disyunción débil C) Disyunción fuerte D) Implicación E) Negación Ejemplo: p: Lima es capital del Perú. ~ p: Lima no es capital del Perú. Las palabras: no es verdad que, es falso que, no ocurre que, etc. equivalen a una negación 05. Es una proposición en la cual basta que una de las proposiciones sea verdadera, para que toda ella sea verdadera A) Conjunción B) Disyunción C) Bicondicional D) Implicación E) Negación 06. Es una proposición que es verdadera sólo cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad. 18
  • 19. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA A) Disyunción B) Bicondicional C) Conjunción D) Implicación E) Negación A) VVVV B) VVFF D) FVFF C) VFVF E) FFF 12. Si la proposición compuesta: ( p  q)  (r V t ) es falsa Indicar las proposiciones que son verdaderas: 07. Es un proposición que es falsa sólo cuando forman la combinación V y F, en ese orden. A) p y r B) p y q C) r y t A) Disyunción B) Bicondicional C) Conjunción D) Implicación determinar, ¿Cuáles de las proposiciones son E) Negación falsas? D) q y t E) p; r y t 13. Si la proposición: ( p  q) A) p y q 08. Dada la proposición : “Si estudio triunfo. Estudio, B) p y r C) p; q y r D) q y r  r, es falsa, E) r y q por lo tanto triunfo”. Corresponde a un esquema: A) Tautológico B) Consistente C) Contradictorio D) Indeterminado E) Falso 14. Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r y s son respectivamente V, F, F, V. Obtener los valores de verdad de: ( ) [(p V q) V r ]  s ( ) r  (s  q) ( ) (p V r)  (r s) 09. Dada la proposición: “Si llueve, el suelo se moja”. A) VFF C) FFF Los valores de la matriz principal de su tabla de verdad son: A) FVFV B) VFVF C) VVVV D) VFVV E) FFVV 02 10. Si la proposición : “No es cierto que, estudiemos y no aprobemos”, es verdadera, entonces podemos afirmar. A) Aprobamos y no estudiamos B) Estudiamos o aprobamos C) Estudiamos o no aprobamos D) Aprobamos o no estudiamos E) Estudiamos y aprobamos 11. Si se sabe que: p  r es F r  q es V q V t es F Determine los valores de verdad de p, q, r y t 19 B) VVV D) FVV E) VVF
  • 20. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA EXPRESIONES DE LA LENGUA ESPAÑOLA EQUIVALENTES A LOS CONECTIVOS LÓGICOS EXPRESIONES DE LA LENGUA ESPAÑOLA EQUIVALENTES AL CONECTIVO LÓGICO UN OPERADOR LÓGICO “” 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. No A Nunca A Jamás A Tampoco A Es absurdo que A Es imposible que A No ocurre que A No es verdad que A Es inadmisible que A No acaece que A No es innegable que A Es erróneo que A Es incierto que A De ninguna forma se da que A No es el caso que A No es cierto que A Es Inconcebible que A Es mentira que A 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. Es incorrecto que A Es falso que A Es negable que a. Es refutable que A Es objetable que A En modo alguno A En forma alguna A De ningún modo A De ninguna manera A. Nunca sucede que A Bajo ninguna condición A No siempre que A No es inobjetablemente cierto que A No es innegable que A Nadie que sea A No es que A. No se da la posibilidad que A No es inobjetable que A Ejemplos de proposiciones con el conectivo lógico de negación “”. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) Es absurdo que el Edgar patee con las dos piernas. No es cierto que el cuadrado sea un polígono. Francisco Pizarro nunca descubrió América. Nunca Francisco Pizarro descubrió América. De ningún modo iré a tu casa. Es inadmisible que 3 + 3 = 9. No es verdad que toma refrescos. Es objetable que salga a pasear. Es falso que tenga dinero. Es inconcebible que Martín salda desaprobado. En modo alguno los ofidios poseen extremidades. En forma alguna los peces son anfibios. No hay cumplimiento de leyes. No ocurre que María canta. No acaece que el carro es blanco. No es el caso que Luís sea propietario del computador. 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 20 Es irrefutable que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 360 grados. Es mentira que en el Perú hay democracia. Jamás vayas al cine en la mañana. Es imposible que existe vida en el planeta Venus. Es incorrecto que 2 + 3 = 10. Es erróneo que 16 = 9. Nunca sucede que los peces no nadan en el aire. Es incierto que los alumnos de primaria ingresan a la universidad. Es innegable que las ballenas tengan extremidades. No es innegable que ballenas sean ovíparas. De ninguna forma se da 5<2. No es inobjetable cierto que el elefante no demora 20 meses para nacer. No es falso que sea imposible que el pulpo sea un molusco. Tampoco el elefante demora 20 meses para nacer.
  • 21. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA EXPRESIONES DE LA LENGUA ESPAÑOLA EQUIVALENTES AL CONECTIVO LÓGICO U OPERADOR LÓGICO “” 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) AyB A también B A asimismo B A así mismo B A del mismo modo que B A aunque B A sin embargo B Cierto A lo mismo que B A así como B A igualmente B Así como A, B A pero B A al igual que B A tal como B A no obstante B No sólo A también B No sólo A sino también B Que A es compatible con que B A incluso B A a la vez B 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40) A a la vez también B A al mismo tiempo que B A y al mismo tiempo B A de la misma manera B. Simultáneamente A con B. A tanto como B. A además B A es compatible con que B. A aún cuando B A empero B A sino B Si A e incluso B A a pesar de B Aún cuando A , B  A B Tanto A como B Tanto a como cuando B Tomar A como cuando B A , B también Siempre ambos A con B A vemos que también B Ejemplos de proposiciones con el 13) conectivo lógico de conjunción “  Gustavo es profesor tanto como artista. 14) Claudia ingreso a la universidad al 1) Juan y Luís son deportistas. 2) Es verano sin embargo hace frío. mismo tiempo que José ingresó a 3) Juan es médico y deportista. la marina. 4) La batalla ha terminado aunque la 15) El sueldo mínimo equivale a S/. guerra continúa. 6) Roxana no sólo bailo sino también hacen esfuerzos para cantó. 5) 600, no obstante las familias más dinero. Grau fue un héroe, 16) Bolognesi El sol es una estrella además un planeta. también. 7) 8) No 17) Lidia es muy sensual pero inocente. sólo conseguir es aplicado primo. también 18) bondadoso. 9) No sólo el número dos es par sino también número primo. No sólo es sabio, también bueno. 10) El número dos es par, también es No sólo Pedro sino también Luís 19) La boa es un ofidio al igual que carece de extremidades. estudian. 12) Que Pedro estudia es compatible 20) Así como trabajas, te alimentas. con que Ana estudia. 11) 21) Te alimentas así como trabajas. Tanto Pedro como Ana estudian. 22) Te alimentas así mismo trabajas. 21
  • 22. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N° 02 Tabla de verdad contradictoria Una fórmula proposicional es contradictoria cuando los valores de verdad del operador lógico LAS TABLAS DE VERDAD principal cualquier proposiciones número compuestas finito para construyendo sus p V V V V F F F F obtener tablas de verdad; en tales tablas se indican los valores resultantes - de estas proposiciones compuestas para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de sus proposiciones componentes. proposición compuesta siguiente: p (p Λ q) q ( ~p V q)  p V V V V F F F F ( ~p V q) CLASIFICACION DE LOS ESQUEMAS MOLECULARES [(pq) r  q] q r VV V F F V F F V V V F F V FF  p  q  (r  p) V F V F F V V F V F V F V F F V V F V F V VVVV V F FF V F VVVV F V F F V Evaluación de fórmulas mediante tablas de verdad Tabla de verdad tautológica, Una fórmula proposicional es tautológica cuando los valores de verdad del operador lógico principal contiene sólo valores verdaderos. Ejemplo: p q r q r [p(q  r)]  [qr p] V VFFF V VV F FFV VV VF F FF V VV FV F FF V VV FF F V FF V F VV V F FV FF VF V F F V F F FV V F F V FF FF Tabla de verdad contingente Una fórmula proposicional es contingente cuando los valores de verdad del operador lógico principal contiene valores verdaderos y valores falsos. Por ejemplo, la tabla de verdad de la (p Λ q)  valores de otras cuyos valores de verdad pueden ser conocidos sólo falsos. Ejemplo: Utilizando los conectivos lógicos se pueden combinar contiene Evaluar una fórmula mediante las tablas de verdad consiste en obtener los valores de verdad (V y F) del operador lógico o conectivo lógico  r p principal de la fórmula, a partir de V V V V F F F F VV V F F V F F V V V F F V FF V V F F V V V V F FF V VVF F VVVVV F V F FF V F V V F F F V F FVF V F F FF V VVVV VVVVVVVV V F V FVVVV F V F FVVVV todas las opciones de verdad o falsedad que tiene cada una de las variables proposicionales. 22
  • 23. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA PROBLEMAS APLICACIÓN Numero de opciones o combinaciones de las tablas de verdadsegún el número de variables proposicionales 1. Sean p: “José es estudioso ” , y q: “él es alto ”. Escribir las siguientes proposiciones en forma simbólica, con p y q: a) José es estudioso y es alto. ………………. b) José no es estudioso o no es alto. ………………. c) No es verdad que José es bajo o estudioso. ………………. d) Es falso queJosé es alto o que es estudioso. ……………….. e) José es alto, pero no es estudioso. ………………. VARIABLES PROPOSICIONALES 1 2 3 4 …… 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 …… p p q p q r p q r s V V V V VV V VVV F V F V V F V VV F F V V FV V V F V F F V FF V V F F F VV V F V V F VF V F V F F FV V F F V F FF V F FF F V VV F V V F F V F V F V F F F F V V F F V F F FF V F FFF 2. Simbolizar: "José estudia y trabaja, pero practica fútbol" a) b) c) d) e) Ejercicio 1. Evaluar la fórmula: 3. Simbolizar: "No es cierto que, Rubén canta y toca cajón"  p  qq r  p q r V VV V V F V F V V F F F V V F V F F F V F FF  p  qq r  F F V F V F FV F F V F FFV F F F V VF V VV F F V VF V V F V V F FV F F V V V F FV F V F F V VVF V VV F V VVF VV F a) b) c) d) e) ~ p q ~p V q ~p  ~ q ~(p  q) p V ~q 4. Simbolizar: "No es el caso que, hace frío y no se congele" a) ~(p  ~ q) b) ~p  ~ q c) p  ~q d) ~p V ~ q e) ~(p V ~q) Ejercicio 2. Evaluar la fórmula: (pq)(qr p q r V VV V V F V F V V F F F V V F V F F F V F FF (p  q)  r p  (q  r) pq p q r (p  q)  r (p  q)  (q r V VVV F V VVVV V V F V F V V F F V F F V V F F F V VV V V F V F V V F F V 5. Simbolizar: "Es falso que si el ciclotrón bombardea al átomo, entonces no se acelera la velocidad de los protones". a) ~p  ~q b) ~p  q c) ~(p  ~q) d) ~p  q e) (p  ~q) f) 23
  • 24. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA 6. Sean p “ el es estudioso ” , y q “ el es alto ”. Escribir los siguientes enunciados en forma simbólica con “ p y q “. a) El es estudioso y es alto p Λ q b) El no es estudioso o no es alto -p v-q c) No es verdad que el es bajo o estudioso p v q d) Es falso que es alto o que es estudioso –p v – p e) El es alto pero no es estudioso b) f v f f c) v vvv d) v f v v 12. De la falsedad de: ( p  ~ q ) V ( ~ r  ~ s), se deduce que: a ) ~ (~ q V ~ s)  ~ p b ) ~ (~ r  s)  ( ~ p  ~ q) c) P  ~ [ q  ~(s  r ) ] Son respectivamente : a) f f v b) v v f c) v f f d) v f v e) f ff 13. Si ( p ) = V ( ~ q) = F (r) =V Determinar el valor de verdad o falsedad a ) [ ( p q )  ( ~ r V q ) ]  ~ q b) [ ( ~ p  r )  ( q V p ) ] c) [ ( p  r ) V x ]  ( ~ q  ~ r ) 7. Completa : a) V v F = V b) F vF = F c) V  V= V d) F Λ F = F e) V  F=F f) F V V= V g) V Λ V= V h) F  V=F i) F  V=V j) V Λ F= F 8. Si la proposición es verdadero, hallar el valor de cada variable en: ~ [ ( ~ p y q)  ( ~ r  ~ s) ] a) b) c) d) 14. Si se sabe que : S p = V,r  s = F , q  p  f Determinar el valor de los siguientes diagramas: a) ( ~ r  q)  ( s  p ) b) [ ( p V ~ s) r ]  ~ r c) ( p  ~ q ) V ( ~ r  ~ s ) f fff fvvf fvfv vvff 9. Se sabe que la negación de : P  ( ~ q V r ) ; e s verdadera , entonces el valor de verdad de: ( q r )  { ( q  r )  t } e s : Obs. T no esta definida a)V b)F c) VóFd)NA 15. Si la negación de la siguiente formula lógica es verdadera , hallar los valores de verdad de cada uno de ellos. ~{( p s )  [ ( p  r ) V ( ~ qs)] } a) f fff b) f v v f c) f v f v d) v v f f e) v f ff 10.Los valores de verdad de p,q, r son : ~[(~ p V q) V ( r  q)]  [ ( ~pV q)  ( q  ~ p)]si el enunciado es verdadero a) f f v b) v v f c) v f f d) v f v e) f ff 16. Mediante la aplicación de las reglas metalógicas de los operadores o conectivos lógicos y el uso de tablas de verdad ejecute la evaluación de las fórmulas lógicas siguientes: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 11. Si la proposición ( p  ~q)  ( r  ~ s) es falsa , el valor de verdad de las proposiciones : q , p , r , s respectivamente son a) f v vv 24 pq pq pq p q pq  r p q  r)
  • 25. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA (p q)  (r  s  (p  q)  r {[p  r q]  r  s}  q {[ p  s q]  r q}  [( p ( r  s] 11) [(pq)  (pr)  (p p)]  [(q  s] 12) {[(p q)  (r  s)]  (p  s)}  ( r  q) 7) 8) 9) 10) A) C, T, C B) T, C, T C) T, T,T D) C, C, C E) C, C,T 26) Hallar la tabla de verdad de : (p  q) (q V p) A) VVFF D) VFFF {[(p q)  (r  s)]  (p vs)}  ( r  q) {(p q)  [ p(q r)]}(r p) (p  q)  (r  s) [(p  q) q]  p [(p  q r] r [(pq) q r)]  (p r) [(pq) q r)]  (p vr) p  (q  r) 21) Evalúe el siguiente esquema: pq. El 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) B) VVFV C) VFFV E) VVVF 27) Si : [(p  q)  (p p)]  [(r  s)  q] Es verdadera, cuáles son los valores de p, q, r, s respectivamente. A) VFFF D) FVVV esquema es de tipo : A) Contradictorio B) Consistente C) Tautológico D) Indeterminado E) B y D B) VFVV C) FVFF E) Sin solución 28) Si se sabe que: [(p  r)  q]  [(p V p) V (p q)] es verdadera, hallar los valores de p,q,r A) VVV B) FFF C) FVF D) VFV E) No se determina 22) Simplificar: (p q)  ( q V p) a. b. c. d. e. 29) Si la proposición: [(p  q) (p V w)]  s es falsa, se afirma que la siguiente proposición: [s V( p W) ] V (p  q) es: A) Verdadera B) Falsa C) No se afirma nada D) Toma ambos valores de verdad E) Faltan datos Tautología Contradicción Contingencia p q 23) Sea el esquema: (A V correspondiente es: 1. VVVV 2. Consistente 3. VFVV 4. Contradictoria 5. Tautológica. Son ciertas: A) 2 y 3 D) 2 y 4 B), la matriz 30) Si la siguiente proposición compuesta es falsa: ( p  q)  (q  r) Luego: I. (p  q) no es falsa II. q V s es verdadera III. q  p es verdadera B) 1 y 5 C) Sólo 4 E) Sólo 5 Son ciertas: A) I y II C) II y III 24) Si la proposición: (p q)  (r s] es falsa, el valor de verdad de q, p, r, s ( en ese orden es) A) FVVV B) I y III D) Todas E) Sólo II 31) Si la proposición: ( p  q) (p  r) es verdadera B) VVVF C) VFVV D) FVFF E) VVFF ¿Cuántas son verdaderaS? I. ( s  r)  ( p V s) II. (s  q )  (p V r) III. ( q  r) V ( p  r) 25) Determine si las siguientes proposiciones son tautologías o contradicciones. I. ( r  s)  ( r s) II. [(p V q)  p] p III. (pq)[(pq)(pVq)p] A) Sólo I D) I y III 25 B) Sólo II C) I y II E) Todas
  • 26. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS I. LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS [(p  q)  (q  r)]  (p  r) Ley Lógica.- Fórmula formalmente válida, es decir, fórmula lógica verdadera independiente de la asignación de los valores de verdad a sus variables. También se le denomina tautología. Las leyes lógicas no deben ser confundidas con las reglas de inferencia, ya que éstas pertenecen al metalenguaje del cálculo DEL BICONDICIONAL [(p  q)  (q  r)]  (p  r) 5. LEY DEL DILEMA CONSTRUCTIVO [(p  q)  (r  s) (p  r)]  (q  s ) Características fundamentales de la ley lógica: 6. 1)La ley permanece al plano teórico; 2) Su enunciado es susceptible de verdad o falsedad; 3) Se expresa en el interior del cálculo lógico; 4) Su expresión es un enunciado lógico; 5) La ley pertenece al lenguaje lógico. 6) La ley usa los functores o conectivos u operadores lógicos. Fuente: "http://symploke.trujaman.org/index.php ?title=Ley_l%F3gica" “Introducción a la Lógica de Bernardo Rea Ravello” [(p  q)  (r  s)( q s)]  ( p r) 7. LEY DEL MODUS PONENDO PONENS O MODUS PONENS [(p  q)  p]  q 2. LEY DEL MODUS TOLLENDO TOLLENS O MODUS TOLLENS [(p  q)  q]  p 3. LEYES DEL MODUS TOLLENDO PONENS O SILOGISMO DISYUNTIVO [(p  q)  p]  q [( p  q)  q]  p 4. LEY DEL DILEMA SIMPLE [(p  r)  (q  r) (p  q)] r LEYES LÓGICAS IMPORTANTES 1. LEY DEL DILEMA DESTRUCTIVO LEYES DE TRANSITIVIDAD O SILOGISMO HIPOTÉTICO DEL CONDICIONAL 26
  • 27. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA a. La regla se sitúa en el plano práctico, dice cómo debe hacerse una operación deductiva. b. Su enunciado es normativo, prescriptivo, y, por eso, la regla puede ser buena o mala, útil o inútil, eficiente o deficiente. c. Se expresa al exterior del cálculo, justifica, garantiza la legitimidad o validez de la deducción. d. Su expresión es enunciado metalógico. e. La regla pertenece al metalenguaje. f. La regla menciona los functores u operadores lógicos. A toda ley lógica le corresponde su respectiva regla lógica. SESIÓN 03 EL RAZONAMIENTO DEDUCTIVO 1. Leyes Lógicas.- Son fórmulas lógicas cuyas tablas de verdad tienen por resultado únicamente valores de verdad “verdaderos”. También se les denomina “tautologías”. Las características fundamentales de las leyes lógicas son: a. La ley permanece en el plano teórico. b. Su enunciado es susceptible de verdad o falsedad. c. Se expresa en el interior del cálculo (pertenece al cálculo mismo). d. Su expresión es un enunciado lógico. e. La ley pertenece al lenguaje lógico (lengua lógica proposicional). f. La ley usa los símbolos, functores u operadores lógicos. 3. Las Argumentaciones Por argumentación entenderemos una expresión lingüística que presenta o representa un razonamiento. Un razonamiento es un sistema de proposiciones (dos o más) en el que una de ellas, llamada conclusión, se pretende que esté fundada en o se infiera de la/s otra/s, llamada/s premisa/s. Un razonamiento deductivo es un sistema de proposiciones (dos o más) en el que se pretende que una de ellas, llamada “conclusión”, se infiera o derive con el carácter de necesidad de la/s premisa/s. La argumentación puede ser inductiva o deductiva, de acuerdo al tipo de razonamiento. Por consiguiente, la argumentación es un sistema de proposiciones. 2. Reglas de Inferencia.- Son normas, prescripciones, licencias que indican como debe hacerse la operación de deducción, al mismo tiempo que justifica, garantiza la legitimidad o validez del acto llamado “operación deductiva” o “inferencia.” Razonamiento Deductivo u operación de deducción es aquella operación que consiste en que dadas ciertas proposiciones, llamadas “premisas” se obtenga, se infiera, se derive se deduzca con el carácter de necesidad una proposición, llamada “conclusión.”, es decir, se pretende que una de ellas, llamada “conclusión”, se infiera en forma necesaria de la/s premisa/s. Una deducción es una secuencia de enunciados, los cuales pueden ser o bien premisas o bien se han obtenido de la aplicación de un conjunto de reglas de inferencia a enunciados anteriores. Las características fundamentales de las reglas lógicas son: La lógica es una ciencia eminentemente deductiva, por eso sólo tiene en cuenta los razonamientos deductivos. Estos se basan en fundamentos comprobados o aceptados como postulados primordiales. Una argumentación deductiva tendrá siempre un esquema, estructura o forma implicativa o condicional, en símbolos: AB, es decir, sus principales componentes-antecedente (premisa/s) y consecuente (conclusión)están unidos o enlazados por el conectivo lógico “”. 27
  • 28. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA Ejemplo de un razonamiento deductivo: “El ladrón entró por la puerta o la ventana. Por la puerta no entró, como lo ha demostrado la investigación policial. Por lo tanto, el ladrón entró por la ventana.” siguientes ejemplos ilustran los dos tipos de expresiones derivativas. Ejemplo 1. “El ladrón entró por la puerta o por la ventana. Por la puerta no entró, como lo ha demostrado la investigación policial. Por lo tanto, (expresión derivativa que se antepone a la conclusión) el ladrón entró por la ventana.” Los componentes del razonamiento deductivo dado son: Tomando el razonamiento deductivo del ejemplo dado, líneas arriba, procedemos a formalizarlo como fórmula lógica, teniendo como resultado la fórmula de la lógica proposicional: [(p  q) p]  q), Premisa 1: El ladrón entró por la puerta o por la ventana. que es una ley lógica (tautología) denominada “Modus TollendoPonens o Silogismo Disyuntivo.” Premisa 2: Por la puerta no entró./ Conclusión: Por lo tanto, el ladrón entró por la ventana. Este conjunto de proposiciones, formalizadas, también podemos verlas o percibirlas como una representación del argumento o razonamiento deductivo dado. Formalizando el razonamiento deductivo, dado, tenemos: Los componentes de los razonamientos deductivos son las premisas (proposiciones que implican a la conclusión), la conclusión (proposición implicada por las premisas) y las expresiones derivativas. Las expresiones derivativas tienen por objeto indicar cuál es la conclusión y cuáles son las premisas. No siempre figuran en los razonamientos, algunas veces están implícitas. Son de dos tipos: las que se anteponen a la conclusión, como “luego”, “por tanto”, “por consiguiente”, etc., y las que se colocan después de la conclusión, antepuestas a alguna de las premisas, como “ya que”, “puesto que”, “dado que”, “como” y otras. Premisa 2: Premisa 1: pq __ p / Conclusión: q La regla lógica “Modus TollendoPonens o Silogismo Disyuntivo” prescribe lo siguiente: “A partir de una disyunción débil y la negación de uno de sus disyuntivos es legítimo inferir u obtener el otro disyuntivo”, de esta manera justifica, garantiza la legitimidad o validez de la operación de deducción. Es decir, este conjunto de proposiciones están relacionadas de modo tal, que la proposición, llamada conclusión: “El ladrón entró por la ventana.” Está fundada o se infiere de las otras dos proposiciones, llamadas premisas. En éste caso, la regla lógica del modus tollendoponens o silogismo disyuntivo, nos autoriza, nos prescribe ha inferir u obtener la conclusión: “El ladròn entró por la ventana.” En símbolos: Un signo lógico que hace las veces de las expresiones derivativas (que separa a las premisas de la conclusión) es una barra “ _______/“ que se coloca después de las premisas encolumnadas, al lado derecho se escribe la conclusión. A  B, En los ejemplos que siguen a continuación se podrá observar la barra, que hace las veces de las expresiones derivativas. Los _A__/  B . 28
  • 29. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA Ejemplo 2. “El agua hervirá, dado que (expresión derivativa que se coloca después de la conclusión) si la temperatura está a 1000 C entonces el agua hervirá. La temperatura está a 1000 C” Al formalizarlo, tenemos como resultado la fórmula lógica proposicional q  [(pq)  p], que es una ley lógica (tautología) denominada “Ley Lógica del Modus PonendoPonens.” Procedemos a reestructurar el razonamiento deductivo dado, para obtener un razonamiento deductivo equivalente, tal como: “Si la temperatura está a 1000 C entonces elagua hervirá. La temperatura está a 1000 C. Por consiguiente, el agua hervirá.” Este sistema de proposiciones formalizadas, equivalente al sistema de proposiciones inicialmente dado, también podemos verla o percibirla como una representación del argumento o razonamiento deductivo dado. Los componentes, reestructurados, de éste razonamiento deductivo son: Premisa 1: Si la temperatura está a 1000 C entonces el agua hervirá. orazonamiento deductivo, dado. Los componentes, reestructurados, de éste razonamiento deductivo son: Premisa 1: Si hace calor, Juan va a la piscina. Premisa 2: Si Juan va a la piscina, arregla la casa después de almorzar. Conclusión: Luego, si hace calor, se arregla la casa después de almorzar. Formalizando el razonamiento deductivo, dado, tenemos: Premisa 1: p  q. Premisa 2: q  r/ Conclusión: p r. La regla lógica, “Silogismo Hipotético o Transitividad”, prescribe lo siguiente: “A partir de dos condicionales, donde el consecuente del primero es el antecedente del segundo es legítimo inferir el condicional formado por el antecedente del primero y el consecuente del segundo” Premisa 2: La temperatura está a 1000 C./ Conclusión: Por consiguiente, El agua hervirá. Formalizando el razonamiento deductivo, dado, tenemos: Premisa 1: p q. Premisa 2: _p_____/ Conclusión: q. La regla lógica, “Modus PonendoPonens”, prescribe lo siguiente: “A partir de un condicional y la afirmación de su antecedente es legítimo inferir su consecuente.” ¿Cuándo un conjunto de proposiciones no es un razonamiento deductivo? Cuando no hay ninguna proposición, de las dadas, que se afirme sobre la base de las otras. Tomemos como ejemplo las proposiciones siguientes: “Llueve mucho. Será mejor que no salgamos. Podemos postergar la excursión para mañana.” Efectuando la formalización se tiene la siguiente fórmula: p q  r. Si bien estas proposiciones están relacionadas en cuanto al contenido, no hay ninguna que se afirme sobre la base de las otras. En consecuencia, no se trata de un razonamiento deductivo. Ejemplo 3. “Si hace calor, Juan va a la piscina. Si Juan va a la piscina, arregla la casa después de almorzar. Luego, si hace calor, se arregla la casa después de almorzar.”Procedemos a formalizarlo como fórmula lógica, teniendo como resultado la fórmula de la lógica proposicional [(pq)  (q r)]  (pr), que es una ley lógica (tautología) denominada “Ley Lógica Silogismo Hipotético o Transitividad” Este conjunto de proposiciones, formalizadas, también podemos verlas o percibirlas como una representación del argumento Conclusión y premisas son términos relativos. Una misma proposición puede ser premisa en un razonamiento deductivo y conclusión en otro. Esta circunstancia origina cadenas de razonamientos deductivos. 29
  • 30. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA PROBLEMAS LÓGICOS 9. Si Gabriel es un alumno-policía que práctica buenos hábitos, será un policía disciplinado y responsable. Gabriel es un alumno-policía que práctica buenos hábitos. SOBRE RAZONAMIENTOS DEDUCTIVOS A. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL MODUS PONENDOPONENS [(p  q)  p]  q 10.Si hay igualdad de oportunidades, hay justicia social. Hay igualdad de oportunidades. Dadas las premisas infiera o derive una conclusión. 11. Si las computadoras bajan de precio, las personas se educaran. Las computadoras bajan de precio. 1. Si Venus es un planeta entonces Venus brilla con luz refleja. Venus es un planeta. 2. Si son las cinco, la oficina está cerrada. Son las cinco. 3. Si Juan va a la Unión, se encuentra con Pedro. Juan va a la Unión. 4. Si llovió anoche, las pistas están mojadas. Llovió anoche. 5. Si voy de paseo, me encuentro con Ana. Voy de paseo. 6. Si la policía hace patrullaje urbano, captura a los delincuentes. La policía hace patrullaje urbano. Resolución Formalización: (p  qp 12. Dado que los objetos caen, existe gravedad. Los objetos caen. 13. Si Luís no ha pasado de año, no viaja a la Argentina. Luís no ha pasado de año. 14. Si el papel de tornasol se vuelve rojo, la solución es un ácido. El papel de tornasol se vuelve rojo. 15. Si el satélite entra en órbita, el proyecto espacial será un éxito. El satélite entra en órbita. Razonamiento P1: p  q P2: p_____/q: La policía captura a los delincuentes. B. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL MODUS TOLLENDO TOLLENS [(p  q)  q]  p Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Modus PonendoPonens. 7. Si el Atestado Policial prueba que estafaste, serás privado de tu libertad. El Atestado Policial prueba que estafaste. Resolución Formalización: (p  qp Dadas las premisas infiera o derive una conclusión. Razonamiento 2. 1. P1: p  q P2: p_____/q: serás privado de tú libertad Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Modus PonendoPonens. Dado que los objetos caen entonces existe gravedad. No es cierto que los objetos caén. Si es estrella, ese astro tiene luz propia. Ese astro no tiene luz propia. Resolución Formalización: (p  q (q) Razonamiento P1: p  q 8. Si los terremotos son fenómenos naturales, los terremotos obedecen a leyes físicas. Los terremotos son fenómenos naturales. P2: q _____/p: no es estrella. Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Modus TollendoTollens. 30
  • 31. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA 3. C. Si llueve, la ropa se moja. La ropa no se moja. Resolución Formalización: (p  q (q) Razonamiento APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL MODUS TOLLENDO PONENS O SILOGISMO DISYUNTIVO [(p  q)  p]  q [( p  q)  q]  p P1: p  q P2: q _____/p: no llueve. Dadas las premisas infiera o derive una Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Modus TollendoTollens. conclusión. 1. 4. Si Carlos no viaja a Tumbes, no se encontrará con Gabriel. Carlos se encontró con Gabriel. 5. Si Juan no ésta en clase entonces está de servicio. Juan no está de servicio. 6. Si Pedro compró el libro entonces es propietario del libro. Pedro no es propietario del libro. 7. Me llamo Julio o Jorge. No me llamo Julio. 2. No viajo a Trujillo o no viajo a Arequipa. Viajo a Arequipa. 3. El policía viajó en auto o avión. El policía no viajó en avión. 4. Las Fuerzas Operativas de la Policía Nacional del Perú van al Estadio Nacional o al Mercado de Santa Anita. Las Fuerzas Operativas de la Policía Nacional no van al Estadio Nacional. 5. Maria juega Voley o Básquet. Maria no juega básquet. 6. El paciente tiene sarampión o tifoidea. El paciente no tiene sarampión. 7. En Piura llueve o hace calor. En Piura no llueve. 8. El sol es estrella o satélite. El sol no es satélite. 9. En Irak hay guerra o paz. En Irak no hay paz. 10. Fujimori será extraditado o liberado. Fujimori no será liberado. 11. Los funcionarios policiales trabajan con hipótesis o refutaciones de hipótesis. Los funcionarios policiales no trabajan con refutaciones de hipótesis. Si un objeto flota en el agua entonces es menos denso que el agua. No es menos denso que el agua. 8. Si eres bondadoso y honrado, serás premiado. No serás premiado. 9. Si  = 1500 entonces Sen = ½. Sen ½. 10. Si Víctor es un graduado universitario entonces Víctor no es mecánico. Víctor es mecánico. 11. Teniendo en cuenta que hace frió, bien se ve que la gente se abriga. La gente no se abriga. 12. Si hoy es día de pago, iré de compras. No iré de compras. 13. Si Pedro se encuentra en casa, la luz está encendida. La luz no está encendida. 14. Si vienes, me voy. No me voy. 15. Si estudio lógica matemática, mejoro mi razonamiento deductivo. No mejoro mi razonamiento. 16. Si son las siete de la mañana, el avión partió. El avión no partió. 12. El reo es culpable o inocente del delito que se le imputa. El reo no es inocente del delito que se le imputa. 13. 13. El ladrón entró por la puerta o la ventana. Por la puerta no entró, como lo ha demostrado la investigación policial. 14. Maritza se dedica a la función policial o se dedica a la función jurisdiccional. Maritza no se dedica a la función jurisdiccional. 15. El accidente de tránsito fue causado por ebriedad del chofer o falla mecánica del 31
  • 32. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA vehículo. El accidente de tránsito no fue causado por falla mecánica, de acuerdo a la investigación policial. alarma. Si el cajero aprieta el botón de alarma, la patrulla policial interviene a los ladrones. D. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DE SILOGISMO HIPOTÈTICO O TRANSITIVIDAD 5. Si el Gobierno está a favor de las nacionalizaciones de las empresas, está en contra de la empresa privada. Si el Gobierno está en contra de la empresa privada, es comunista. 6. Si Bertrand Russell fue neopositivista, conformó el Circulo de Viena. Si conformó el Circulo de Viena, confiaba en la Lógica Simbólica. 7. Si Luisa obtiene buenas notas, le dan una beca. Si le dan una beca, viaja a Colombia. 8. Si hay abundancia de peces, habrá abundante harina de pescado. Si hay abundante harina de pescado, se incrementa la exportación. 9. Si sube la gasolina, subirá la harina de trigo. Si sube la harina de trigo, subirá el precio del pan. DEL CONDICIONAL: [(p  q)  (q  r)]  (p  r) DEL BICONDICIONAL: [(p  q)  (q  r)]  (p  r) Dadas las premisas infiera o derive una conclusión Dadas las premisas infiera o derive una conclusión. 1. Si un policía es profesional y ético, es responsable de su buena conducta. Si es responsable de su buena conducta, evita realizar acciones delictivas. Resolución Formalización: [(pq)  r]  (r s) Razonamiento P1: (pq)  r P2: r s /(pq)  s: Si un policía es profesional y ético, entonces evita realizar acciones delictivas 2. E. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL DILEMA CONSTRUCTIVO [(p  q)  (r  s) (p  r)]  (q  s ) Si se denuncia la comisiòn de un delito, la policìaefectùa la investigaciòn.Si la policía efectúa la investigación, establece la responsabilidad de los involucrados. Resolución Formalización: (p  q)  (q r) Dados los razonamientos deductivos siguientes. Verifique, si dichos razonamientos son válidos o inválidos, utilizando cualesquiera de las técnicas de validación que se le ha enseñado y usted ha aprendido. Razonamiento P1: p  q P2: q r /p  r: Conclusión: p  r: Si se denuncia la comisión de un delito, entonces la policía establece la responsabilidad de los involucrados. 3. 4. 1. 2. Si Elizabeth viaja a Estados Unidos, visitará a su papá. Si visita a su papá, pasará buenas vacaciones. Si los ladrones asaltan el Banco de la Nación, el cajero aprieta el botón de 32 Si llueve, jugaremos ajedrez. Si el campo está seco, jugaremos fútbol. O llueve o el campo está seco. / O jugaremos al ajedrez o fútbol. Si voy al cine, no estudio. Si no voy a la fiesta, viene Felipe a Estudiar. Voy al cine o no voy a la fiesta. / No estudio o viene Felipe a estudiar. Resolución
  • 33. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA Formalización: 2. (p q)  (r s)  (p r ) Razonamiento P1: p q P2: r s P3: p r / (q s): No estudio o viene Felipe a estudiar. Si voy a Chosica, no me encuentro con Pedro. Si me encuentro con Eduardo, no voy a Barranco. O me encuentro con Pedro o voy a Barranco. / O voy a Chosica o me encuentro con Eduardo. Resolución Formalización: (p q)  (rs)  (q s ) 3. Si se mantiene la paz, las ciencias progresan. Si se fomenta la guerra, los pueblos se empobrecen. O se mantiene la paz o se fomenta la guerra. / Las ciencias progresan o los pueblos se empobrecen. Resolución Formalización: (p  q)  (r s)  (p  r ) Razonamiento P1: p  q P2: r s P3: q  s / (pr): No voy a Chosica o no me encuentro con Eduardo. Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Dilema destructivo. Razonamiento P1: p  q P2: r s 3. Si te dedicas a la ciencia, serás un científico. Si cultivas las artes, serás un artista. O no serás un científico o no serás un artista. / O no te dedicas a las ciencias o no cultivas las artes. Resolución Formalización: P3: p  r / (q s): Las ciencias progresan o los pueblos se empobrecen. F. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL DILEMA DESTRUCTIVO (p  q)  (r s)  (q s ) [(p  q)  (r  s)( q s)]  ( p r) Razonamiento Dados los razonamientos deductivos siguientes. Verifique, si dichos razonamientos son válidos o inválidos, utilizando cualesquiera de las técnicas de validación que se le ha enseñado y usted ha aprendido. P1: p  q 1. P2: r s P3: q s / (pr): No te dedicas a la ciencia o no cultivas las artes. Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Dilema destructivo. Si me encuentro con Pedro, voy a Chosica. Si me encuentro con Eduardo, voy a Barranco. No voy a Chosica o no voy a Barranco. / O no me encuentro con Pedro o no me encuentro con Eduardo. 33
  • 34. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA I UNIDAD TEORIA DE CONJUNTOS COMPETENCIA: Resuelve problemas aplicando conceptos en operaciones entre conjuntos, muestra solidaridad y colaboración con sus compañeros. 34
  • 35. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N° 04 CONJUNTO RELACIONES ENTRE CONJUNTOS No existe una definición; solo se puede dar una idea conceptual como colección, agrupación, clase o agregado de objetos, llamados elementos. 1. Relación De Pertenencia Es una relación que vincula un elemento con un conjunto. * Si un elemento esta en un conjunto, se dice que pertenece    Notación: Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas (A,B,C,D,….) y los elementos con letras minúsculas (a,b,c,…..). Así el conjunto de los diez primeros números naturales positivos: * Si no esta en un conjunto, se dice que no pertenece    Ejemplo: Dado: A   2; 3; 5;6 N   1; 2; 3; 4;5;6;7;8;9;10 Así diremos que: Se observa que los elementos que van separados por punto y coma y encerrados entre llaves, determinan el conjunto N. 2A 3A  5;6   A 4A 5A 6A Determinación de un conjunto: 2. (I)POR EXTENCION: Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se nombra a todos y cada uno de los elementos. Relación De Inclusión O Subconjunto Se dice que el conjunto A esta incluido en B, si todos los elementos de A están en B. Se denota como: A  B ”A incluido en B” Si: A  B  x  A  x  B A   2;4;6;8  M  a;e;i;o;u  B  1;8; 27;64;......;1000  Ejemplo: (II) POR COMPRENSIÓN: A  n;3;5  B  4;n;m;6;3;p;5  Un conjunto queda determinado por compresión, cuando se nombra una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto, generalmente se emplea x/x: “x tal x” Se observa que todos los elementos de A son también elementos de B, luego: A  B . PROPIEDADES A   x / x e s p a r; 2  x  8  * Pr opiedad reflexiva : A  A * Pr opiedad antisimetrica : Si : A  B  B  A  A  B * Pr opiedad transitiva : Si : A  B  B  C  A  C B   x / x e s una vo ca l  3 C  x / x    10 ;x  35
  • 36. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA 3. Relación de igualdad de conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos. 1).- Determina por extensión cada uno de los siguientes conjuntos: A = {x / x  N ; 1 < x  5} B = {x / x  N ; 3  x  6} 2 C = {x / x  N ; 5 x  8} Si: A  B  A  B  B  A D = { 2x  1 / xN ; x = 3} 5 Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si, A es subconjunto de B y B es subconjunto de A. 4. Relación de contabilidad conjuntos Dos conjuntos A y B son coordinables cuando entre sus elementos puede establecerse una correspondencia biunívoca. 2).- Expresa por extensión el conjunto: 2 A={x +1/xZ4x<9} a) {16, 25, 36, 49, 64} b) {15, 24, 35, 48, 63} c) {4, 5, 6, 7, 8} d) {27, 36, 47, 60, 68} e) {17, 26, 37, 50, 65} de 3).- Determina por extensión el siguiente conjunto: A = 2 {x + 4 / x  N  x  4} a) {4, 5, 8, 13, 20} c) {5, 8, 13, 20} e)  Cuando dos conjuntos son coordínales tienen el mismo numero de elementos. A  1;3;5;7;9          son coordinables B   a;e;i;o;u    4).- Expresa el conjunto: A = { 3x – 2 / x  N  2< x  5 } por extensión. a) {7,10} b) {10, 13, 16} c) {7, 10,13 } d) {5, 7, 10} e) {3, 4, 5} Graficándolos: A 1 3 5 7 9 5).- Determina por extensión el conjunto A y dar respuesta la suma de sus elementos: 2 A = {x + 1 / x  Z  - 3 < x < 3 } B a e i o u a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 6).- El conjunto E = {x  N / 32 < 4x < 60, x es número compuesto} determinado por extensión es: a) {8,9,10,14} b) {8,10,14} c) {8,14} d) {9,10,12,14} e) N.A. Cardinal de un conjunto 7).- Determina por extensión el siguiente conjunto: A = 2 { x -3 / x  N  2  x  5 } a) {1,6,13,22} b) {2,3,4,5} c) {2,5,6,13} d) {4,5,6,22} e) {1,5,13,22} El cardinal de un conjunto es el número de elementos de dicho conjunto y se denota como n(A). A 2;4;7;9  b) {0, 1, 2, 3, 4} d) {0, 4, 5, 8, 13}  n A 4   8).- Si el conjunto R={7a + 4, b – 3, 25} es un conjunto unitario, calcule b  25 a a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5 M      n M  a;b; m;n  3 B  2,3;2;2;5;6;7  n B 5    9).- Hallar a + b si A = {4a +1, 2b + 9, 3a + 4} es unitario. a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 10).- Dado el conjunto unitario: 2 2 A = {a + b, a + 2b – 3, 12}, calcule a + b 36
  • 37. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA a) 60 d) 90 b) 7 e) 104 2 2 c) 80 20).- Dados los conjuntos unitarios: A = {3a + 1; 7}, B = {3; b+c} y C = {2; bc} Donde: b > c Calcular: a –2b + 3c 2 11).- Dado A = {a + b + c , d + e}, B= 2 {c + 1, d – e + 4, 5}. Si A=B, A es unitario c>a>b y son negativos. Hallar a + b + c + d.e a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 a) 2 3 b) –1 e) 2 a) 26 d) 16 c) 0 b) 25 e) 40 b) 188 e) 158 a) 36 d) 46 c) 178 c) 9 d) 11 b) 9 c) 10 d) 11 e) 13 a) 84 b) 76 c) 52 d) 90 e) 67 25).- Si el siguiente conjunto es unitario: e) 12 H = { a+15 ; b2 –4 ; 45 } Calcula ( a + b ) a) 33 a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 18).- Sean los conjuntos iguales “A” y “B”, A = {x + 7,6}; B = {y, 12}, calcular la suma de cifras y dar como respuesta “x.y”. b) 20 e) 12 c) 30 19).- Si A, B y C son unitarios A={a + 4,b-2, 2a-4} ; B = { b  3, c  3 }; C ={ c  1 , d – 4 } 2 3 3 Hallar a + b + c + d a) 20 b) 25 c) 30 d) 37 c) 48 Calcula ( m + p2 ) 17).- Dados los conjuntos unitarios: A = {x + 7,2x + 5} ; B = {y – 3,5y–15}. Hallar el valor de x + y. a) 11 d) 33 b) 40 e) 60 P= { m -7 ; 33 ; 4p + 9 } 16).- Dado los conjunto unitarios: A = {m, 3}, b = {n, 7}. Hallar m + n a) 8 c) 18 24).- Si el siguiente conjunto es unitario: A = {a + 3, 3b + 1} , B = {6c + 1, 8c - 1} b) 7 b) 27 e) 28 23).- Determina por extensión el siguiente conjunto: 2 A = {x + 1 / x  Z  -3< x  4} Dar como respuesta la suma de sus elementos. a) 43 b) 18 c) 35 d) 38 e) 42 15).- Si los conjuntos A y B son iguales y unitarios, calcular a + b + c si : a) 6 e) 6 Calcule la suma m + n + p + q c) 30 14).- Si se sabe que A ={m+n, m+2n-2, 10} es un 2 2 conjunto unitario. Dar el valor de 3m -n a) 198 d) 168 d) 4 22).- Si los conjuntos A y B son unitarios: A = {2m; 12; n + 2} B = {20; 5p; q} 13).- Hallar el valor de (m+n) si el conjunto A={2n + 1, 13, m-n} es unitario. a) 20 d) 35 c) 3 21).- Si los conjuntos “A” y “B” son iguales: A = {3a + 5; 7} y B = {b/3 – 2; 5} Calcular b – a e) 11 12).- Los conjuntos A={a + 1,10}, B = {a + b, 65} son iguales, calcular el valor de a-b. a) –2 d) 1 b) 1 e) 12 37 b) 24 c) 25 d) 50 e) 37
  • 38. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N° 05 5. C L AS E S D E C O N J U N T O S CONJUNTO UNIVERSAL  U  Es aquel conjunto que abarca a todos los conjuntos dados y se les representa por regiones planas rectangulares. U 1. CONJUNTO FINITO Cuando el conjunto tiene un determinado numero de elementos diferentes. Ejemplos: B A  3;6;9;12  N M A B  1;3;5;7;......; 29  P 2. CONJUNTO INFINITO Cuando el proceso de contar los elementos del conjunto no tiene limite. 6. CONJUNTO POTENCIA Se llama conjunto potencia de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y se le denota como P  A . Ejemplos: A  x / x es un número real  B  x / x es un planeta del universo  Ejemplos: * Dado: A   4;7 Su conjunto potencia será: 3. CONJUNTO VACIO Llamado también conjunto nulo; es aquel conjunto que carece de elementos. Se denota como:     P  A    4  ; 7 ; 4;7 ;  * Dado: A   2;3;4  *El conjunto vació se le considera incluido en cualquier otro conjunto. P  A   2 ; 3 ; 4 ; 2;3 ; 2;4 ; *El conjunto vació no tiene ningún subconjunto propio y su número cardinal:  El número de elementos de P  A  o numero n    0 de subconjuntos de A, está dado por: n P  A   2   Ejemplos:   3; 4  ; 2; 3; 4  ;  2  A  x  / x  x  1  0 n Donde “n” representa el numero de elementos del conjunto A. B   los cabellos de un calvo  Ejemplos: 2 P Si: A  4;7   n  A  2  4   4. CONJUNTO UNITARIO Llamado también singlé ton, es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Si: A   2;3;4   n P  A    2 3  8   Si: A   a; b;c;d;e  n  P  A    2 5  32   Ejemplos: Numero de subconjuntos propios: Dado el conjunto A, su número de subconjuntos A   x  / 2  x  4  B   Bety C    propios será: 2 n  1 .No se considera el mismo conjunto A. 38
  • 39. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA 2. INTERSECCIÓN    PROPIEDADES 1)   P  A  , puesto que   A 4) Si A  B  P  A   P  B  Para dos conjuntos A y B se llama intersección de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B (elementos comunes). 6) P  A   P  B   P  A  B  Se denota como A  B . 2) A  P  A  , puesto que A  A 3) P      5) Si A  B  P  A   P  B  7) P  A   P  B   P  A  B  A B  x /x  A x  B  A U B OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Si: A   1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 1. UNIÓN O REUNIÓN (U) Para dos conjuntos A y B se llama unión o reunión al conjunto formado por los elementos de A, de B o de ambos. Se denota como A  B. A B  x /x  A x  B  A Si: B B   2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 10 ; 11 ; 12 Luego: A  B   3 ; 4 ; 5 PROPIEDADES 1) A  A  A Idempotenc ia 2) A  B  B  A Conmutativa 3)  A  B  C  A   C  Asociativa B 4) Si : A  B  A B  A 5) A    6) A  U  A 7) Si :A B   A y B son disjuntos 8) A   A  C   A U A  2;3;4;6  9) Si: A  B  C   A  B  A  C 10) A  B  C   A  B    C A B  1;3;4;5  A  B  C   A  B    C A Luego: A  B   1; 2; 3; 4 ; 5; 6   PROPIEDADES 3. DIFERENCIA (–) 1) A  A  AIdempotencia 2) A  B  B  AConmutativa 3)  A  B   C  A  B  C Asociativa 4) A     5) A    A 6) Si : A  B  A  B  B 7) Si Ay B son disjuntos n  A  B   n A  n B  8) Si Ay B son dos conjuntos no compa  rables, con una región común : n  A  B   n A  n B  n A  B  Para dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A con B, al conjunto formado por todos los elementos de A, que no son elementos de B, Se denota por A–B. A B x /x  A  x B  U A B Si: A   2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 8  B  1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 9 Luego: A  B   6 ; 8  39 
  • 40. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA PROPIEDADES 5. COMPLEMENTACIÓN 1) A A   2) A   3) A B  B  A 4)  A B B   Para dos conjuntos A y B, donde A es un subconjunto de B. 5) Se denota C B A ; se lee complemento de A respecto a B.  A B   A B A B 6) A  B A B   7) A B  A B  B  A  AB   8) A B  A B  A A CBA  B  A  B * El complemento de un subconjunto A respecto del conjunto universal U. 4. DIFERENCIA SIMETRICA    A Para dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a la unión de A y B; pero no pertenecen a la intersección de A y B. C A  A'  U  A A'   x / x  U  x  A  PROPIEDADES Se denota por: A  B 1) 2) 3) 4) 5) 6) A  B   x / x   A  B   x  A  B  Formas usuales: A B   A  B   A  B  7) A B   A  B   B  A  A' UA U'=  ' U AA'=U AA'= A' ' A A B ' A'B' ' A B  A'B'    Leyes de Morgan   Ejemplo: U A B Si: A   2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8  B B   1 , 3 , 4 , 5 , 9  Hallar: C B A Resolución: Si: A   2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 B   1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9 Como: C B A Luego:  BA C B A  1 , 3 , 4 , 5 , 9   2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8  A  B   1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9  2 ; 4  A  B  1 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9  C BA   1 , 5 , 9  40 1 ,5 ,9   Rpta.
  • 41. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA PRODUCTO CARTESIANO Ejemplo: Dados los conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A por B, al conjunto formado por todos los pares ordenados  a ; b  , tales que a  A y b  B . A   a ; b ; c B   1 ; 2 ; 3 ; 4 Hallar:   A  y Se denota por: A  B  B  A  B    a ; b  / a  A  b  B Resolución: Ejemplo:   A     a ; a  ; b ; b  ; c ; c Si: A   1 ; 2 ; 3  B  1 ; 2   B    1 ; 1  ; 2 ; 2  ; 3 ; 3  ; 4 ; 4   NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO Hallar: A  B Si: Resolución: A  B  O  n  A  B   n  A   n  B A  B    1 ;1 ; 1 ; 2  2 ;1 ; 2 ; 2 ; 3 ;1  ; 3 ;   ; 2     A Grafica de A  B B B 2    1    1 2 3 Si: A y B son dos conjuntos cualesquiera A n  A  B   n  A  n A  B Propiedades 1)  a ; b   A  B  a  A  b  B 2) A  B  B  A ; A  B A 3) A  O  O B 4) A   B  C    A  B    A  C  5) A   B  C    A  B    A  C  6) A   B  C   A  B  A  C 7) n  A  B   n  A   n  B  Si: 8) Si: A  B   A  C    B  C  A y B son conjuntos tales que A  B  O Diagonal de un Conjunto: n  A  B   n  A  n B  n A  B  Dado el conjunto A, la diagonal del producto A  A que se denota   A  , se A define por:   A     x ; y  41 B
  • 42. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA SESIÓN N° 06 Si: A  B  C  O n  A  B  C   n A  n B  n C  1  n  A  B   n  A  C B   2, 4, 6  n  B  C  n  A  B  C  A Si: A   3, 6 Hallar la suma de los términos del conjunto:  A  B    A  B B a) 10 b) 12 c) 14 d) 13 e) 11 Resolución: C A  B  2, 3, 4, 6  A  B  3  PAR ORDENADO: Luego: Par ordenado es un ente matemático constituido por dos elementos (a ;b) par ordenado  AB  A  B   2, 3, 4, 6   3   2, 4, 6  Se cumple que: Piden: 2  4  6  12  a ; b    b ; a 2 Hallar: x  3y , si: Si:  a ; b    c ; d   a = c  b= d 3 x     2x  1, y  5    23,  2 3    Para los problemas A 1 : sólo A 2: A y B 3: sólo B 1 y 2: A 2 y 3: B 1 , 2 y 3: A ó B B 1 2 3 A 1 6 2 5 7 B 3 4 C a) 14 b) 13 c) 11 d) 15 Solución: Por pares ordenados iguales * 2x  1  23  x  12 3 12 2 * y5   y 2 3 3 1 : sólo A 3: sólo B 7: sólo C 2: sólo A y B 4: sólo B y C 6: sólo A y C 5: A , B y C 25: A y B 45: B y C 56: A y C  2 Luego piden: 12  3   3    12  2  14 3 Si: A   5,  2 , 9  Señale la expresión falsa: a)  2   A b)  2  A c) 9  A d)  5, 9   A e)  5,  2  A 42 e) 16
  • 43. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA 7 Se tienen 65 banderas que tienen por lo menos dos colores. 25 tienen rojo y azul, 15 banderas rojo y blanco y 35 tienen blanco y azul. ¿Cuántas banderas tienen los 3 colores mencionados? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Resolución: Se observa en el conjunto A que los elementos 5 y 9 pueden formar un conjunto  5, 9  , luego  5, 9   A , lo falso seria (d). 4 5 De un grupo de 41 personas 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no trabajan ¿Cuántos trabajan y estudian? a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 3 Resolución: Resolución: No hay banderas de un solo color “x”: # banderas que tienen 3 colores 25 R 41 Estudian y A Trabajan z 25  x w 15  x x 35  x 15 15 Del gráfico, se tiene: * y  w  z  15  41  y+ w+ z= 26 ….. ( I ) * w  15  28  w= 13 * y  15  25  y= 10 Reemplazando en ( I ) 35 B De la figura se tiene que: 25  x  x  35  x  15  x  65 10  2x  x= 5 Rpta. 13  10  z  26 z  3 Rpta. 8 Cotos come fréjoles y/o tallarines en su almuerzo, cada día, durante el mes de febrero de 1988. Si come 19 días fréjoles y 23 días tallarines. ¿Cuántos días come fréjoles con tallarines? a) 12 b) 8 c) 10 d) 14 e) 13 6 De un grupo de 17 personas, 13 tienen bigote, 4 son calvos y 3 son calvos que usan bigotes. ¿Cuántos no son calvos ni usan bigotes? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolución: T F Resolución: 19  x 17 con bigote 13 x x 23  x calvos 4 3 19  x  x  23  x  29 x  13 Rpta. y z Formando ecuaciones: x  3  13  y 3  4  En un grupo de 55 personas, 25 hablan Ingles, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas? x= 10 y= 1 10  3  1  z  17 z  3 Rpta. a) 40 43 b) 37 c) 25 d) 22 e) 38
  • 44. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA Resolución: Resolución: I  25  Como:  A  B    B  A  A  B F  32  y a Quiere decir que A y B son conjuntos disjuntos, para las alternativas se tendrá que: b x 5 z c A  33  A  AB AB  O a  x  y  20 b  y  z  27 c  x  z  28  a  b  c   2 x  y  z (Verdadero) B  A' a  b  c  x  y  z  50 …. ( I ) (Falso) B BA Del grafico se tiene que: (Verdadero) (Verdadero)  A  B '   75 …. ( II ) AB  O ( I ) en ( II ) A B (Verdadero) Rpta. 50  x  y  z  75 Si: 11 x  y  z  25 Rpta. A   2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 Determinar el conjunto dado por compresión 9 ¿Cuántos subconjuntos se formaran con 6 elementos? a) 63 b) 64 c) 61 d) 68 e) n.a. a) # Subconjuntos = 2 n # Subconjuntos = x 2 x /x   x  6   x  x+ 1  / x    x 2  x / x    1< x  8 e) 6 = 2  2  64  d) n 1 / x    x  7 c) Recordado que: 2 b) Resolución: x x 2 x/x x  8 x7    Resolución: 64 Rpta. A   2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56  Sean A y B dos conjuntos contenidos un universo, si:  A  B    B  A  A  B . ¿ Cual de las 10 en A   1  2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , 6 7 ,  8    7 Lo elementos son de la forma: siguientes proposiciones es falsa? a) A  A  B c) B  B  A x  x  1  Donde: b) A  B  O d) B  A' x 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7  x  x+ 1  / x    e)  A  B  '  A  B 44 x7  Rpta. 
  • 45. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA Cuantos sub conjuntos tiene “A” Resolución:  x  2  Por pares ordenados iguales A a) 16 2 b) 8  / x   1  x  5 c) 32 d) 64 e) n.a. 2x  1  23  x= 12 3y 12 2 5   y=  2 3 3 Resolución: Luego piden: x  1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 Reemplazando en:  x  2  2  2 x  3y  12  3     14 Rpta.  3 9 14 ,4 ,1 ,0 ,1 ,4  a)  2   A 4 2  16 Rpta. b)  2  A c)  5 , 9   A Total de sub conjuntos es: Si  Señale la expresión falsa: A   9 , 4 , 1 , 0 12 Si: A   5 ,  2 , 9 d)  5 ,  2  A e) 9  A A  3 , 6 Resolución: Se observa en el conjunto “A” que los elementos 5 y 9 pueden formar un conjunto 5 , 9 .  B  2 , 4 , 6  Hallar la suma de los términos del conjunto: Luego:  5 , 9   A a) 10 15 La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B se define:  A  B    A  B b) 14 c) 11 d) 12 e) 13 A  B   x / x   A  B    A  B Resolución: Si se define los conjuntos: A  B   2 , 3 , 4 , 6 4 U   x / x   x< 10  A   x / x  U  x e s d iviso r d e 12  A B  3  B   x / x  U  x e s im p a r  Luego:  A  B    A  B 2 ,3 ,4 ,6    3  ¿Cuántos elementos tiene  A  B  C ? a) 1 , 3 , 8  Piden: 2  4  6  12 Rpta. 13 Resolución: Hallar: x  3y , si: b) 11 c) 16 d) 13 d)  3 , 1 , 8  e) n.a.  2x  1 ; 3 y  5    23 ; x      2 3    a) 14 b) 1 , 4 , 8  c) 1 , 8 , 3  2 , 4 , 6 A e) 15 2 4 6 1 3 8 45 5 7 9 B U
  • 46. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA U   1 , 2 , 3 , ....... , 9  18 En un aula de 43 alumnos, 5 son mujeres que estudian R.M. y 28 son hombres y el número de hombres que no estudian R.M. es el doble del número de mujeres que tampoco lo hace. ¿Cuántos hombres estudian R.M.? a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) n.a. A   1 , 2 , 4 , 6 B   1 , 3 , 5 , 7 , 9 A  B   2 , 4 , 6 , 5 , 7 , 9  A  B C 16   1,3 ,8  Rpta. Dado: Resolución: A   n  m , n + p , 8 B   m  p , 10 Unitarios Hallar: m  n  p a) 1 b) 2 c) 3 H  28 d) 4 e) 5 x Resolución: 5 20 m  n  n  p  m= p m  p  10  2m= 10 n  m  8  n= 3 Luego: m  n  p  3 Rpta. x  28  20  8 Rpta. Si: #  P  A    256 19 De 80 personas que hablan alguno de los idiomas: Castellano, Inglés y Francés, se tiene que 40 hablan castellano, 46 hablan Inglés, 35 hablan Francés, además los que hablan Castellano no participan nunca en el Francés. ¿Cuántos hablan dos de dichos idiomas? a) 16 b) 48 c) 41 d) 50 e) n.a. #  P  A  B    16 #  P  B    64 Calcular: #  P  A  B   a) 1 024 b) 2 048 d) 512 10 El número de mujeres que no estudian R.M. es: 15  5  10 El número de hombres que estudian R.M. está dado por: De donde: m  p  5 17 M  15 c) 360 e) 256 Resolución: Hablan Ingles: I  46 Resolución: Hablan Castellano: C  40 Hablan Francés: F  35 Hablan 2 Idiomas:  x  y  #  P  A    256  2  #   8 A 8 C #  P B    64  2  # B  6  6 40  x #  P  A  B    16  2  #  A  B   4 4 #  A  B  # A  # B  # A  B   8  6  # P  A  B  2 x F y 35  y Luego: I  C  F  80 4  40  x   x  46  x  y  y  35  y  80 De  10 10 I  1 024 Rpta. donde se tiene que: x  y  41 Rpta. 46
  • 47. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA En una ciudad de cada 100 hombres, 85 son casados 70 son abonados al teléfono, 75 tienen auto y 80 son propietarios de su casa ¿Cuál es el numero mínimo de personas que al mismo tiempo son casados, poseen teléfono oculto y casa propia. a) 5 b) 10 c) 65 d) 25 e) 45 tenemos(agrupando convenientemente) 21 300  3  v  w  z  y   3 a  b  c  d  3  p  q  r  s  n  m   3x.......  Luego: (  )-      10  x   2v  2w  2y  2z   p  q  r  s  m  n        10  x     Resolución: C   H o m b re s ca sa d o s  n C Como “x” mínimo entonces decir  = 0. 8 5 T   Abo na d o s a l te le fo no  n T Entonces: 70 x  10 Graficando: A   P o se e n a uto  n A  75 P   P o se e n ca sa p ro p ia  n P  es mínimo es C  85  8 0 T  70  Se pide calcular el numero mínimo de d C   T  A  P c a 10 b Graficando: C  85  v p z P  80  P  80  T  70  q a w n nd x b c s m y A  75  Como  =0 entonces: v  w  y  z p  q  r  s m  n  0 Luego: 85  b  100  b  15 Luego piden: c  x  a  m í n im o  70  c  100  c  30 Siendo x  C  T  P  A , entonces el valor de “x” el mínimo valor se tiene: 85  v  a  c  d  p  q  r  x.... (1) 70  w  a  b  d  q  n  s  x.....(2) 80  y  b  c  d  r  s  m  x.....(3) 75  y  b  c  d  r  s  m  x.... (4) 75  a  100  a  25 80  d  100  d  20 Finalmente: n  C   T  A   P   c  10  a  65   100  y  w  z  y  a  b  c  d  (5) p  q  r  s  n  m  s........ Sumando (1) (2) (3) y (4) A  75  310  v  w  z  y  3 a  b  c  d   2  p  q  r  s  n  m  4x... En el problema el “x” mínimo es igual: (son 4 conjuntos) () x   8 5  7 0  7 5  8 0  4  1  1 0 0    x  10 Rpta. La ecuación (5) se multiplica por 3 47
  • 48. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA B   0; 4;8;12;16; 20 Cual de las siguientes alternativas le corresponde al diagrama mostrado, si”x” es el complemento de “x” en el universo. 22 C   x / x es d iviso r d e 48 B A C   1; 2; 3; 4; 8;12;16; 24; 48 C C   A  B   1; 2  Por lo tanto la suma de los elementos: 1  2  3 Rpta. I   C  B   A    A  B   C      II  C ' B     A  B   C '    Se tiene 2 conjuntos A y B tal que la unión de A y B tiene 36 elementos, el numero de elementos de A es a la mitad del numero de elementos de B. Los elementos comunes de A y B son la mitad de los elementos no comunes, hallar el numero de elementos de B. a) 12 b) 24 c) 32d) 30 e) 80 24 III  C  B  '   A  B  C    a) I b) II Resolución: c) III d) I y III e) Todas B A C 1 (1)=  A  B   C (2)=  B  C   A Resolución: 2 n  A  B   36...............(1) n  A  Luego:  (1)  (2)    A  B  C    B  C  A        n  B   2n  A   A  B   C    B  C  A  Rpta.     Se sabe: n  A  B   n A  n B  n A  B  Se tiene los conjuntos A, B, C subconjuntos de los números naturales, A es el conjunto de los múltiplos de 3, B es el conjunto de los múltiplos de 4v menores que 24 y C es el conjunto de los divisores de 48. Hallar la suma de los elementos de la diferencia: C   A  B  23 a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 1 n B 2 36  nA  2nA  n  A  B 3n  A   n  A  B  3 6 Además: n  A  B   n  A  n B  2n A  B  e) 3 2n  A  B   n A  n B  2n A  B   Resolución: 4 n  A  B   3n  A  A, B, C   N De (1) y (2)   A   x / x  3   0;3;6;..............;3n    n  A  B   12  n A  16    B   x / x  4  x  24    n  B   32 Rpta. 48
  • 49. ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA 6.¿Cuántos subconjuntos se pueden formar con 6 elementos? a) 32 b) 23 c) 46 d) 64 e) 128 1. Una persona come huevo o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de Enero. Si come tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevos y tocinos? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 7. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Cuando el conjunto A contiene uno o más elementos que no contiene B, diremos que B es un subconjunto propio de A. 2. En un grupo de 55 personas, 25 hablan ingles, 32 francés, 33 alemán y 5 de los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan sólo 2 de estos idiomas? a) 15 b) 20 c) 25d) 30e) 35 II. Todo conjunto es subconjunto del conjunto universal III. Al conjunto universal se le designa el valor de 1 3. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos de frutas de manzana, fresa y piña es la siguiente: 60% gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gustan manzana y fresa, 20% gustan de fresa y piña, 15% gustan de manzana y piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustan de ninguno de los jugos de frutas mencionado? a) 10% b) 11% c) 12% d) 13% e) 15% IV. El conjunto vació es subconjunto e todo conjunto. a) VFVV d) VVFV c) VVVV e) FVFV 8. Si se determina por comprensión el conjunto: M  0 , 2 , 4 , 8 , 10 , 12 , ......  se tiene: 4. ¿Cuántas de las siguientes operaciones con conjuntos son conmutativos? a) M   x / x es un número par  b) M   x / x  2n ; 0  n  I) Unión II) Intersección III) Diferencia IV) Diferencia simétrica V) Producto cartesiano a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) Todas 5. b) FVVV c) M  x / x  N ;N= serie de números pares   d) M   2x / x   e) n. a. 9. Sean: A  1 , 2 , 3  y B  4 , 5  Dado el conjunto: F  x / x  2x  2x  2  0 3 ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son ciertas? 2  *  2 , 4   AB *  4 , 2   AB ¿Cuál es su valor determinado por extensión? * 5 , 2 B A *  3 , 4   AB a) F   1 , 0 , 2  * 3 , 4  B A a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 b) F  2 ,  1 , 1  e) n.a. c) F   2 ,  1 , 0 , 1  d) F  1 , 1 , 2  e) n.a. 49