1. 11.En una proporción geométrica, la suma de los cuadrados de los antecedentes es 225 y la suma de los términos de la primera razón es los 3/4 de la suma de los términos de la segunda razón. Hallar el producto de los antecedentes.tc quot;
11.En una proporción geométrica, la suma de los cuadrados de los antecedentes es 225 y la suma de los términos de la primera razón es los 3/4 de la suma de los términos de la segunda razón. Hallar el producto de los antecedentes.quot;
<br />Solucióntc quot;
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<br />Sea la proporción geométrica ab=cd= k<br />Entonces: <br />a2 + c2 = 225 (suma de los cuadrados antecedentes)<br />a + b = 3 4 (c + d) (dato del problema)<br /> a + bc +d = 34 (Trasposición de términos)<br />ac=bd= 34 Propiedad de proporciones<br /> Reemplazando en: a2 + c2 = 225 se tiene<br />(3k)2 + (4k)2 = 225<br /> 9k2 + 16k2 = 225<br /> 25k2 = 225<br />Extrayendo raíz cuadrada a ambos términos:<br /> 5k = 15<br /> K = 3<br />El producto de antecedentes será: a.c = (3k)(4k) = 12k2 = 12(3)2 = 12 x 9 = 108<br />a)108b)45c)20tc quot;
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<br />d)8e)18tc quot;
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<br />12.En una proporción geométrica continua, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los cuatro términos es 15, entonces la diferencia entre los términos mayor y menor es:tc quot;
12.En una proporción geométrica continua, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los cuatro términos es 15, entonces la diferencia entre los términos mayor y menor esquot;
<br />Solución:<br />Sea la proporción continua: ab= bc= k<br />b = ck<br />a = bk = a(ck)k = ck2<br />Del enunciado se tiene:<br />a2 + 2b2 + c2 = 15<br />Luego elevando al cuadrado ambos términos:<br />a2 + 2b2 + c2 = 225<br />Reemplazando:<br />(ck2)2 + 2(ck)2 +c2 = 225<br /> c2k4 + 2c2k2 + c2 = 225<br />Factorizando c2 <br />c2 (k4 +2k2 + 1) = 225<br /> c2 (k2 + 1)2 = 225 <br />Extrayendo raíz cuadrada se tiene:<br /> c (k2 + 1) = 15<br />Como 15 es el producto de 5 por 3, entonces c = 3; k2 + 1= 5<br />De donde k = 2<br />La diferencia del término mayor y el menor será<br />a – b = ck2 – ck = 3x22 – 3x2 = 6<br />tc quot;
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<br />a)9b)6c)3tc quot;
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<br />d)12e)15tc quot;
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<br />tc quot;
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<br />13.La suma de dos números es a su diferencia como 6 es a 1. Si el producto de los dos números es 5 040. Indicar la diferencia de los numerales.tc quot;
13.La suma de dos números es a su diferencia como 6 es a 1. Si el producto de los dos números es 5 040. Indicar la diferencia de los numerales.quot;
<br />Solución:<br />Sean los números a y b:<br />a + ba - b= 61<br />a + b = 6a – 6b<br /> 7b = 5a <br />a = 7k ; b = 5k<br />Si el producto es 5040<br /> a.b = 5040<br />(7k)(5k) = 5040<br /> 35k2 = 5040<br /> k2 = 144<br /> k = 12<br />La diferencia de los numerales será:<br />7k – 5k = 2k = 2(12) = 24<br />tc quot;
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<br />a)24b)30c)36tc quot;
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<br />d)42e)48<br />tc quot;
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<br />14.Inés nos cuenta: “En el barrio donde nací, éramos siete mujeres por cada tres hombres, pero en el tran14scurso de los años, por dos de nosotras llegó un hombre. Ahora que invito a todos a mi cumpleaños, observo sentada que todos bailan”. ¿Cuántos hombres habían en el cumpleaños?tc quot;
14.Inés nos cuenta “En el barrio donde nací, éramos siete mujeres por cada tres hombres, pero en el transcurso de los años, por dos de nosotras llegó un hombre. Ahora que invito a todos a mi cumpleaños, observo sentada que todos bailan”. ¿Cuántos hombres habían en el cumpleaños?quot;
<br />Solución<br />Del enunciado se tiene:<br />hombresmujeres=3k7ktc quot;
quot;
<br />Pasado los años llegaron:<br />Hombres = 7k2<br />El número de hombres ahora será: 3k + 7k2 = 13k2<br />El número de mujeres ahora será : 7k <br />Como en la fiesta una mujer está sentada se deduce que:<br />7k - 13k2 = 1<br />14k – 13k = 2<br /> K = 2<br />Número de hombres = 13k2 = 13(2)2 = 13<br />a)10b)11c)12tc quot;
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<br />d)13e)14tc quot;
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<br />tc quot;
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<br />15.El jardinero quot;
Aquot;
planta más rápidamente que el jardinero quot;
Bquot;
en la proporción de 4 a 3. Cuando quot;
Bquot;
planta quot;
xquot;
rosas en una hora, quot;
Aquot;
planta quot;
x + 2quot;
rosas. ¿Cuántas rosas planta quot;
Bquot;
en 4 horas?tc quot;
15.El jardinero "
A"
planta más rápidamente que el jardinero "
B"
en la proporción de 4 a 3. Cuando "
B"
planta "
x"
rosas en una hora, "
A"
planta "
x + 2"
rosas. ¿Cuántas rosas planta "
B"
en 4 horas?quot;
<br />Solución<br />AB=43=x + 2xtc quot;
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<br /> 43=x + 2xtc quot;
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<br />4x = 3x + 6<br /> x = 6<br /> B plantará = 4x = 4(6) = 24 rosas<br /> <br />a)12b)24c)30tc quot;
a)12b)24c)30quot;
<br />d)36e)40tc quot;
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<br />tc quot;
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<br />16.En un momento de una fiesta, el número de hombres que no bailan es al número de personas que están bailando como 1 es a 6. Además el número de damas que no bailan es al número de hombres como 3 es a 20. Encontrar el número de damas que están bailando, si en total asistieron 456 personas.tc quot;
16.En un momento de una fiesta, el número de hombres que no bailan es al número de personas que están bailando como 1 es a 6. Además el número de damas que no bailan es al número de hombres como 3 es a 20. Encontrar el número de damas que están bailando, si en total asistieron 456 personas.quot;
<br />Solución:<br />Sea el número de hombres: H<br />Sea el número de hombres que bailan : x<br />Sea el número de mujeres que bailan : x<br />Sea el número de mujeres : M<br />H - x2x= 16 ----- 1<br />M - xH= 320 ------ 2<br />Además: H + M = 456<br /> De 1:<br />6H – 6x = 2x<br /> 6H = 8x<br /> 3H = 4x <br /> H = 4x3 -------- 3<br />De 2:<br />20M – 20x = 3H<br />Reemplazando de 3 <br /> 20 M – 20x = 3(4x3)<br /> 20 M – 20x = 4x<br /> 20M = 24x<br /> M =6x5 <br />Si: H + M = 456<br /> 4x3 + 6x5 = 456<br />20x + 18x = 15.456<br /> 38x = 15.456<br /> x = 15.45638tc quot;
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<br /> x = 180<br />El número de damas que bailan será = x = 180<br />a)120b)150c)180tc quot;
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<br />d)200e)210tc quot;
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<br />17.Para elegir los nuevos dirigentes de un club se presentaron las listas “A” y “B”; para votar se hacen presentes 240 socios. En una votación de sondeo inicial la elección favorece a “B” en la proporción de 3 a 2; pero en la segunda votación legal ganó “A” en una proporción de 5 a 3. ¿Cuántos socios que inicialmente votaban por “B” se cambiaron por “A” en la segunda votación?tc quot;
17.Para elegir los nuevos dirigentes de un club se presentaron las listas “A” y “B”; para votar se hacen presentes 240 socios. En una votación de sondeo inicial la elección favorece a “B” en la proporción de 3 a 2; pero en la segunda votación legal ganó “A” en una proporción de 5 a 3. ¿Cuántos socios que inicialmente votaban por “B” se cambiaron por “A” en la segunda votación?quot;
<br />Solución<br />Si por la lista A votan “x”; por la lista “B” votaran 240 – x; entonces:<br />BA=240-xx= 32<br /> <br />480 – 2x = 3x<br /> 480 = 5x<br /> x = 96<br />Por la lista “B” iban a votar 240 – 96 = 144<br />Por la lista “A” iban a votar 96<br />En la votación legal si por A votan “y”, por B votaran: 240 – y; entonces:<br />AB=y240 - y= 53<br /> 3y = 1200 – 5y<br /> 8y = 1200<br /> y = 150<br />Por la lista “A” votaron 150<br />Por la lista “B” votaron 240 – 150 = 90<br />Se cambiaron entonces: 144 -90 = 54<br />tc quot;
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<br />a)24b)48c)54tc quot;
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<br />d)72e)60tc quot;
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<br />tc quot;
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<br />18.Cuatro números son proporcionales a: 1; 2; 3 y 5, además la suma de los cubos de dichos números es 1.288. El mayor es:tc quot;
18.Cuatro números son proporcionales a 1; 2; 3 y 5, además la suma de los cubos de dichos números es 1.288. El mayor esquot;
<br />Solución:<br />a1= b2=c3=d5= k; Además a3 + b2 + c3 +d3 = 1288 <br />Entonces:<br />a = 1k: b = 2k; c = 3k: d= 5k<br />como: a3 + b2 + c3 +d3 = 1288; se tiene:<br />(1k)3 + (2k)3 + (3k)3 + (5k)3 = 1288<br /> 1k3 + 8k3 + 27k3 + 125k3 = 1288<br /> 161k3 = 1288<br /> k3 = 8<br /> k = 2<br />El mayor será: 5k = 5(2) = 10<br />tc quot;
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<br />a)20b)5c)15tc quot;
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<br />d)8e)10tc quot;
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<br />19.En un corral hay patos y gallinas. Si el número de patos es al total de gallinas como 3 a 7; y la diferencia entre patos y gallinas es 20, ¿cuál será la relación entre patos y gallinas al quitar 5 gallinas?tc quot;
19.En un corral hay patos y gallinas. Si el número de patos es al total como 3 a 7; y la diferencia entre patos y gallinas es 20, ¿cuál será la relación entre patos y gallinas al quitar 50 gallinas?quot;
<br />Solución:<br />gallinaspatos= 7k3k ; Además gallinas – patos = 20<br /> 7k – 3k = 20<br /> 4k = 20<br /> k = 5<br />Gallinas = 7(5) = 35<br />Patos = 3(5) = 15<br />Si quitamos 5 gallinas la relación será: 30:15 = 2:1<br />tc quot;
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<br />a)4 : 3b)2 : 1c)3 : 4tc quot;
a)4 3b)2 1c)3 4quot;
<br />d)3 : 2e)2 : 3tc quot;
d)3 2e)2 3quot;
<br />tc quot;
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<br />20. 2 970 estudiantes votaron por una moción. En una primera votación por cada 4 votos a favor habían 5 en contra. Pedida la reconsideración se vio que por cada 8 votos a favor había 3 en contra. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión? (No hubo abstenciones)tc quot;
20. 2 970 estudiantes votaron por una moción. En una primera votación por cada 4 votos a favor habían 5 en contra. Pedida la reconsideración se vio que por cada 8 votos a favor había 3 en contra. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión? (No hubo abstenciones)quot;
<br />Solución:<br />Si en la primera votación los votos a favor fueron “x”tc quot;
quot;
; los votos en contra fueron 2970 – x.<br />x2970 - x= 45<br /> 5x = 11880 – 4x<br /> 9x = 11880<br /> x = 1320<br /> Votos a favor: 1320<br />Votos en contra: 2970 – 1320 = 1650<br />En la reconsideración sea “y” los votos a favor; 2970 – y serán los votos en contra<br />y2970 - y= 83<br /> 3y = 23760 – 8y<br /> 11y = 23760<br /> Y = 2160<br />Votos a favor: 2160<br />Votos en contra: 2970 – 2160 = 810<br />Cambiaron su voto: 2160 – 1320 = 840 personas<br />a)990b)330c)1 320tc quot;
a)990b)330c)1 320quot;
<br />d)660e)840tc quot;
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