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UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
                        ESCUELA DE INGENIERIA DE PETRÓLEOS
                 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA DE PETRÓLEOS

                                                  TALLER
                                               Primera Entrega



1. Un tanque de almacenamiento contiene un líquido          donde β es una constante de amortiguación
                                                                             na
   de altura y , donde y = 0 cuando el tanque está          positiva, k es la constante del resorte y m es la
   medio lleno. El líquido es desalojado con una            masa del cuerpo colgante.
   velocidad de flujo constante Q para satisfacer la
   demanda. El contenido es reabastecido a una              Para el problema dado por:
   velocidad senosoidal de 3Q ⋅ sen 2 t
                                                            d 2x      dx
                                                               2
                                                                  + 5 + 4x = 0
   Para este sistema la ecuación característica es:         dt        dt
                                                            x(0 ) = 1
    d ( Ay )
             = 3Q ⋅ sen 2 t − Q                             x , (0) = 1
      dt
                                                            Halle el modelo analítico que describe el sistema.
                   flujo   flujo 
     cambio                                           Proponga un modelo numérico y modele hasta un
              =  de
     volumen             −  de                         t = 3 . Grafique los resultados y compare.
               entrada   salida 
                                  
                                                        3. La serie infinita,
   O dado que el área de la superficie A es
   constante,
                                                                          x2 x3          xn
                                                            ex = 1+ x +     +    + ... +
    dy    Q            Q                                                  2   3!         n!
       = 3 ⋅ sen 2 t −
    dt    A            A
                                                            se utiliza para aproximar e x .
   Use un modelo numérico para encontrar la altura
    y de t = 0 a 5 d con un tamaño de paso de 0.5           a. Muestre que la expansión en serie de
                                                               Maclaurin es un caso especial de la expansión
   d. Los valores de los parámetros son A = 1200
                                                               en la serie de Taylor con x i = 0 y h = x .
   m2 y Q = 400 m3/d (Ver Figura 1).
                                                            b. Use la serie de Taylor para estimar
2. La ecuación diferencial del movimiento libre                 f (x ) = e − x en xi +1 = 1 para xi = 0.25 .
   amortiguado se describe mediante la siguiente               Emplee versiones de cero, primero, segundo y
   expresión:                                                  tercer orden calculando el EV para cada caso.

               d 2 x β dx k                             4. Use la serie de Taylor de cero a cuarto orden para
                    +    + x=0
               dt 2 m dt m                                 estimar f (3) si f ( x ) = Ln( x ) utilizando x = 1
como punto base. Calcule el EV para cada                   es incondicionalmente estable para una ecuación
    aproximación. Analice los resultados.                      parabólica unidimensional de la forma:

                                                                                   ∂ 2 P ∂P
                                                                                        =
5. En las siguientes dos series, calcule:                                          ∂x 2   ∂t
    a. La suma de la serie.
    b. La suma parcial S n indicada y completar la         9. Una formación saturada de aceite se encuentra
       tabla.                                                 inclinada 10º respecto a la horizontal. Su
    c. Representar en un gráfico las diez primeras            permeabilidad es de 100 mD y su espesor es de 40
       sumas parciales y una recta horizontal que             ft. La densidad y viscosidad de este aceite es de
       represente la suma total.                              40 lbm/ft3 y 0.6 cp respectivamente. Dos pozos
    d. Explicar la relación entre la magnitud de los          fueron perforados como se observa en la Figura 2.
       términos de la serie y el ritmo al que la              El pozo de observación en el fondo se encuentra a
       sucesión de sumas parciales tiende a la suma           8152,6 ft de profundidad respecto al nivel del
       de la serie.                                           mar, y el pozo del tope se encuentra a 7800 ft
                                                              respecto al nivel del mar. La presión de fondo del
            ∞                        ∞                        primer pozo es de 3600 psia y la del segundo es
           ∑ 2(0,9)                  ∑10(0,25)
                      n −1                          n −1
                                                              de 3570 psia. Determine la velocidad del fluido
           n =1                      n =1                     los dos puntos de observación.

            n     5     10      20       50   100
           Sn                                              10. Considere el problema de determinar la
                                                               distribución estacionaria de temperatura en una
                                                               lámina delgada en forma cuadrada con
6. Un polinomio de Taylor centrado en 0 se va a                dimensiones de 0.5 m por 0.5 m, la cual se
   usar para aproximar la función coseno.                      mantiene a 0ºC en dos fronteras adyacentes
   Determinar el grado del polinomio requerido para            mientras que la temperatura en las otras fronteras
   lograr la precisión que se especifica sobre el              se va incrementando linealmente de 0 ºC en una
   intervalo indicado.                                         esquina a 100 ºC donde estos lados se encuentran.
                                                               Si ponemos los lados con condición de frontera
            Error máximo          Intervalo                    cero a lo largo de los ejes x e y , el problema se
            a) 0,001              [-0.5 , 0.5]                 puede expresar matemáticamente como:
            b) 0,001              [-1 , 1]
            c) 0,0001             [-0.5 , 0.5]                          ∂ 2 T ( x, y ) ∂ 2 T ( x, y )
            d) 0,0001             [-2 , 2]                                            +               =0
                                                                            ∂x 2           ∂y 2
    Represente en un gráfico la función coseno y los
    polinomios de Taylor de cada aproximación.
                                                               para         (x, y )      en      el        conjunto
                                                               R = {( x, y ) 0 < x < 0.5,0 < y < 0.5},     con   las
7. Use el criterio de estabilidad de Von Neumann
                                                               condiciones de frontera:
   para demostrar que un esquema implícito simple
   es incondicionalmente estable para una ecuación
   parabólica unidimensional de la forma:                      T (0, y ) = 0 , T ( x,0) = 0 , T ( x,0.5) = 200 x y
                                                               T (0.5, y ) = 200 y
                             ∂ 2 P ∂P
                                  =
                             ∂x 2   ∂t

8. Use el criterio de estabilidad de Karplus para
   demostrar que el esquema de Crank – Nicholson
11. Considere la ecuación de Poisson                                          ∂ 2u ∂ 2u
                                                                                   −    =0
                                                                              ∂t 2 ∂x 2
            ∂ 2 u ( x, y ) ∂ 2 u ( x, y )
                    2
                          +        2
                                          = xe y                              0 < x <1
                ∂x             ∂y
                                                                              0<t
            0<x<2
            0 < y <1                                        u (0, t ) = u (1, t ) = 0, 0 < t
                                                            u ( x,0) = sen(2πx ) , 0 ≤ x ≤ 1
   con condiciones de frontera:
                                                            ∂u
                                                                 (x,0) = 2πsen(2πx ) , 0 ≤ x ≤ 1
    u (0, y ) = 0 , u (2, y ) = 2e y , 0 ≤ y ≤ 1            ∂t
    u ( x,0) = 0 , u ( x,1) = ex , 0 ≤ x ≤ 2                con     ∆t = 0.1 y ∆x = 0.1 . Compare sus
                                                            resultados con la solución exacta:

12. La ecuación que describe el flujo unidimensional        u ( x, t ) = sen(2πx )[cos(2πt ) + sen(2πt )]
    de una fase ligeramente compresible viene dada,
    para 0 < x < 1000 y 0 < t , por
                                                            para un t = 0.3

        φµC ∂P ∂ 2 P 0,                   x ≠ 500
              = 2 −
         K ∂t  ∂t    1000,                x = 500      14. Desde el punto de vista algebráico es conocido
                                                            que
   donde se ha supuesto que el medio poroso y el
                                                        P6 ( x ) = ( x − 1)
                                                                          6
   pozo son homogéneos, que el líquido es ideal y
   que los efectos gravitacionales son despreciables.
   Los parámetros de definen de la siguiente manera:    P6 ( x ) = x 6 − 6 x 5 + 15 x 4 − 20 x 3 + 15 x 2 − 6 x + 1

                φ es la porosidad de la roca            Dibuje en una única gráfica las curvas
                                                        correspondientes a las dos expresiones del polinomio
                µ es la viscosidad del fluido
                                                        anterior. En esta gráfica el eje de las abscisas será el
                K es la permeabilidad del medio
                                                        intervalo I = [1 − δ ,1 + δ ] , siendo δ un valor
                C la compresibilidad
                                                        conocido. Presentar las gráficas que se obtienen
   Suponiendo que α = φµC K = 0.00004 días/ft2
                                                        para δ = 0.1,0.01,0.008 ,0.007 ,0.005 ,0.003
   y que se satisfacen las siguientes condiciones:      en un único dibujo y justificar los resultados
                                                        obtenidos.
    P( x,0 ) = 2.5 × 10 7 , 0 ≤ x ≤ 1000
    ∂P (0, t ) ∂P (1000, t )                            15. Una viga de longitud L está empotrada en ambos
              =                =0, 0<t
       ∂x             ∂x                                extremos. Determine la desviación de esa viga si
                                                        sostiene una carga constante, Wo, uniformemente
   Encuentre la presión en t = 5 , usando el método     distribuida en su longitud; esto es, w(x) = wo, 0 < x <
   de Crank-Nicolson con ∆t = 0.5 y ∆x = 100 .          L.


13. Aproxime la solución de la ecuación de onda:        16. Calcule el tiempo necesario para que el nivel
                                                        del líquido dentro del tanque esférico con radio r
                                                        = 5m mostrado en la figura, pase de 4 m a 3 m.
                                                        La velocidad de salida por el orificio del fondo
                                                        viene dada por v = 4.895 a m/s, siendo el
                                                        diámetro de dicho orificio 10 cm.
19. Demuestre que para un fluido levemente
                                                    compresible el modelo de ecuación de estado
                                                    tiene la forma:

                                                    ρ ( p ) = ρ o (1 + cp )




CONSIDERACIONES ADICIONALES:

   a. Plantee un modelo numérico para resolver
      este problema.
   b. Explique y sustente todas las suposiciones
      necesarias para construir el modelo que
      plantea.


17. Usando como base la forma general de la
ecuación fundamental de flujo de fluidos,
establezca el modelo matemático asociado a la
descripción del flujo bidimensional de un fluido
incompresible dentro de un medio poroso
sabiendo que el plano de flujo predominante es el
XY.




18. Formule la ecuación fundamental de flujo
para una geometría cilíndrica en 3D.

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  • 1. UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER ESCUELA DE INGENIERIA DE PETRÓLEOS METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA DE PETRÓLEOS TALLER Primera Entrega 1. Un tanque de almacenamiento contiene un líquido donde β es una constante de amortiguación na de altura y , donde y = 0 cuando el tanque está positiva, k es la constante del resorte y m es la medio lleno. El líquido es desalojado con una masa del cuerpo colgante. velocidad de flujo constante Q para satisfacer la demanda. El contenido es reabastecido a una Para el problema dado por: velocidad senosoidal de 3Q ⋅ sen 2 t d 2x dx 2 + 5 + 4x = 0 Para este sistema la ecuación característica es: dt dt x(0 ) = 1 d ( Ay ) = 3Q ⋅ sen 2 t − Q x , (0) = 1 dt Halle el modelo analítico que describe el sistema.  flujo   flujo   cambio      Proponga un modelo numérico y modele hasta un   =  de  volumen   −  de  t = 3 . Grafique los resultados y compare.    entrada   salida      3. La serie infinita, O dado que el área de la superficie A es constante, x2 x3 xn ex = 1+ x + + + ... + dy Q Q 2 3! n! = 3 ⋅ sen 2 t − dt A A se utiliza para aproximar e x . Use un modelo numérico para encontrar la altura y de t = 0 a 5 d con un tamaño de paso de 0.5 a. Muestre que la expansión en serie de Maclaurin es un caso especial de la expansión d. Los valores de los parámetros son A = 1200 en la serie de Taylor con x i = 0 y h = x . m2 y Q = 400 m3/d (Ver Figura 1). b. Use la serie de Taylor para estimar 2. La ecuación diferencial del movimiento libre f (x ) = e − x en xi +1 = 1 para xi = 0.25 . amortiguado se describe mediante la siguiente Emplee versiones de cero, primero, segundo y expresión: tercer orden calculando el EV para cada caso. d 2 x β dx k 4. Use la serie de Taylor de cero a cuarto orden para + + x=0 dt 2 m dt m estimar f (3) si f ( x ) = Ln( x ) utilizando x = 1
  • 2. como punto base. Calcule el EV para cada es incondicionalmente estable para una ecuación aproximación. Analice los resultados. parabólica unidimensional de la forma: ∂ 2 P ∂P = 5. En las siguientes dos series, calcule: ∂x 2 ∂t a. La suma de la serie. b. La suma parcial S n indicada y completar la 9. Una formación saturada de aceite se encuentra tabla. inclinada 10º respecto a la horizontal. Su c. Representar en un gráfico las diez primeras permeabilidad es de 100 mD y su espesor es de 40 sumas parciales y una recta horizontal que ft. La densidad y viscosidad de este aceite es de represente la suma total. 40 lbm/ft3 y 0.6 cp respectivamente. Dos pozos d. Explicar la relación entre la magnitud de los fueron perforados como se observa en la Figura 2. términos de la serie y el ritmo al que la El pozo de observación en el fondo se encuentra a sucesión de sumas parciales tiende a la suma 8152,6 ft de profundidad respecto al nivel del de la serie. mar, y el pozo del tope se encuentra a 7800 ft respecto al nivel del mar. La presión de fondo del ∞ ∞ primer pozo es de 3600 psia y la del segundo es ∑ 2(0,9) ∑10(0,25) n −1 n −1 de 3570 psia. Determine la velocidad del fluido n =1 n =1 los dos puntos de observación. n 5 10 20 50 100 Sn 10. Considere el problema de determinar la distribución estacionaria de temperatura en una lámina delgada en forma cuadrada con 6. Un polinomio de Taylor centrado en 0 se va a dimensiones de 0.5 m por 0.5 m, la cual se usar para aproximar la función coseno. mantiene a 0ºC en dos fronteras adyacentes Determinar el grado del polinomio requerido para mientras que la temperatura en las otras fronteras lograr la precisión que se especifica sobre el se va incrementando linealmente de 0 ºC en una intervalo indicado. esquina a 100 ºC donde estos lados se encuentran. Si ponemos los lados con condición de frontera Error máximo Intervalo cero a lo largo de los ejes x e y , el problema se a) 0,001 [-0.5 , 0.5] puede expresar matemáticamente como: b) 0,001 [-1 , 1] c) 0,0001 [-0.5 , 0.5] ∂ 2 T ( x, y ) ∂ 2 T ( x, y ) d) 0,0001 [-2 , 2] + =0 ∂x 2 ∂y 2 Represente en un gráfico la función coseno y los polinomios de Taylor de cada aproximación. para (x, y ) en el conjunto R = {( x, y ) 0 < x < 0.5,0 < y < 0.5}, con las 7. Use el criterio de estabilidad de Von Neumann condiciones de frontera: para demostrar que un esquema implícito simple es incondicionalmente estable para una ecuación parabólica unidimensional de la forma: T (0, y ) = 0 , T ( x,0) = 0 , T ( x,0.5) = 200 x y T (0.5, y ) = 200 y ∂ 2 P ∂P = ∂x 2 ∂t 8. Use el criterio de estabilidad de Karplus para demostrar que el esquema de Crank – Nicholson
  • 3. 11. Considere la ecuación de Poisson ∂ 2u ∂ 2u − =0 ∂t 2 ∂x 2 ∂ 2 u ( x, y ) ∂ 2 u ( x, y ) 2 + 2 = xe y 0 < x <1 ∂x ∂y 0<t 0<x<2 0 < y <1 u (0, t ) = u (1, t ) = 0, 0 < t u ( x,0) = sen(2πx ) , 0 ≤ x ≤ 1 con condiciones de frontera: ∂u (x,0) = 2πsen(2πx ) , 0 ≤ x ≤ 1 u (0, y ) = 0 , u (2, y ) = 2e y , 0 ≤ y ≤ 1 ∂t u ( x,0) = 0 , u ( x,1) = ex , 0 ≤ x ≤ 2 con ∆t = 0.1 y ∆x = 0.1 . Compare sus resultados con la solución exacta: 12. La ecuación que describe el flujo unidimensional u ( x, t ) = sen(2πx )[cos(2πt ) + sen(2πt )] de una fase ligeramente compresible viene dada, para 0 < x < 1000 y 0 < t , por para un t = 0.3 φµC ∂P ∂ 2 P 0, x ≠ 500 = 2 − K ∂t ∂t 1000, x = 500 14. Desde el punto de vista algebráico es conocido que donde se ha supuesto que el medio poroso y el P6 ( x ) = ( x − 1) 6 pozo son homogéneos, que el líquido es ideal y que los efectos gravitacionales son despreciables. Los parámetros de definen de la siguiente manera: P6 ( x ) = x 6 − 6 x 5 + 15 x 4 − 20 x 3 + 15 x 2 − 6 x + 1 φ es la porosidad de la roca Dibuje en una única gráfica las curvas correspondientes a las dos expresiones del polinomio µ es la viscosidad del fluido anterior. En esta gráfica el eje de las abscisas será el K es la permeabilidad del medio intervalo I = [1 − δ ,1 + δ ] , siendo δ un valor C la compresibilidad conocido. Presentar las gráficas que se obtienen Suponiendo que α = φµC K = 0.00004 días/ft2 para δ = 0.1,0.01,0.008 ,0.007 ,0.005 ,0.003 y que se satisfacen las siguientes condiciones: en un único dibujo y justificar los resultados obtenidos. P( x,0 ) = 2.5 × 10 7 , 0 ≤ x ≤ 1000 ∂P (0, t ) ∂P (1000, t ) 15. Una viga de longitud L está empotrada en ambos = =0, 0<t ∂x ∂x extremos. Determine la desviación de esa viga si sostiene una carga constante, Wo, uniformemente Encuentre la presión en t = 5 , usando el método distribuida en su longitud; esto es, w(x) = wo, 0 < x < de Crank-Nicolson con ∆t = 0.5 y ∆x = 100 . L. 13. Aproxime la solución de la ecuación de onda: 16. Calcule el tiempo necesario para que el nivel del líquido dentro del tanque esférico con radio r = 5m mostrado en la figura, pase de 4 m a 3 m. La velocidad de salida por el orificio del fondo viene dada por v = 4.895 a m/s, siendo el diámetro de dicho orificio 10 cm.
  • 4. 19. Demuestre que para un fluido levemente compresible el modelo de ecuación de estado tiene la forma: ρ ( p ) = ρ o (1 + cp ) CONSIDERACIONES ADICIONALES: a. Plantee un modelo numérico para resolver este problema. b. Explique y sustente todas las suposiciones necesarias para construir el modelo que plantea. 17. Usando como base la forma general de la ecuación fundamental de flujo de fluidos, establezca el modelo matemático asociado a la descripción del flujo bidimensional de un fluido incompresible dentro de un medio poroso sabiendo que el plano de flujo predominante es el XY. 18. Formule la ecuación fundamental de flujo para una geometría cilíndrica en 3D.