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Ahora     xPxP  10 es una función de x...
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La intensidad en el intervalo 0 es
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Calcular la solución de...
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Resolver 0 yy .
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Una ecuación de pr...
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Resolver:   .' 2
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  1. 1. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 44 3.2.2 La Ecuación Diferencial Lineal De Primer Orden Una ecuación que puede escribirse en la forma    xQyxP dx dy  (10) Donde    xQxP y son funciones dadas de x se llama una ecuación diferencial de primer orden lineal. Es fácil verificar que la ecuación tiene como factor integrante a  dxP e , puesto que al multiplicar ambos lados de (10) por este factor se obtiene yP dx dy e dxP  Qe dxP   dxP e (11) lo cual es equivalente a        PdxPdx eQey dx d (12) Esto es cierto debido a que si usamos la regla del cálculo para la diferenciación de un producto, el lado izquierdo de (12) es                PdxPdxPdxPdxPdxPdxPdx eyP dx dy e dx dy ePey dx dy ee dx d yey dx d esto es, el lado izquierdo de (11). De (12) obtenemos por integración la solución.?   cdxeQey PdxPdx (13) Observación. No hay necesidad de memorizar (13). Es mucho mejor usar el factor integrante  Pdu e , multiplicar la ecuación dada (10) por este factor y luego escribir el lado izquierdo como la derivada del producto de  con y como en (12). EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 Resuelva: 505  y dx dy Solución: Esto está en la forma (10) con 5P , 50Q Un factor integrante es el ,55 xdx ee  Multiplicando por ,5x e podemos escribir la ecuación como   xx eye dx d 55 50 esto es
  2. 2. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 45 cey xx  55 e10 ó x ecy 5 10   Se podría haber usado también el método de separación de variables. EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 Resuelva: 10 52 10    t I dt dI dado que 0I donde 0t . Solución: La ecuación tiene la forma (10), remplazando con y con . Un factor integrante es        552ln52ln5 52 552/10    teee tt tdt multiplicando Por  5 52 t , encontramos.     55 521052  tIt dt d o     cTtI  65 52 6 5 52 Colocando 0I y 0t en la ecuación, tenemos Así    5 526 125.78 52 6 5   t tI Realmente no hay necesidad de considerar (10) como una nueva ecuación puesto que pertenece a. una categoría ya considerada, la categoría de ecuaciones con un factor integrante el cual es una función de sólo una variable. A pesar de esto, la forma en la cual (10) aparece ocurre tan frecuentemente en aplicaciones prácticas, y el método de solución es tan simple, que vale la pena llegar a estar familiarizado con ella. Sin embargo, si el estudiante no puede reconocer que una ecuación particular tiene la forma (10) puede estar seguro que el método de los factores integrantes de una variable si funcionará. Por ejemplo, considere la ecuación   033  dyyxdxy la cual discutimos en el Ejemplo ilustrativo 2. Si se nos ocurre reconocer que esta ecuación se puede escribir como y y y x dy dx 33   la cual está en la forma (10) con y intercambiados, podemos resolverla como una ecuación lineal. (Ver Ejercicio 3A). En otro caso podemos buscar un factor integrante que involucre una sola variable. Para mostrar que este método es aplicable escribirnos (10) como      0 dydxxQyxP Entonces N = 1,   ),(xQyxPM  1N ,  ,xP y M    ,0   x N
  3. 3. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 46 Ahora     xPxP  10 es una función de x sólo, y así   dxxP e es un factor integrante EJEMPLO ILUSTRATIVO 7 Resuelva: Solución: (1) La ec (1) es una ecuación diferencial lineal de primer orden: ( ) ( ) Con ( ) De tal modo que el factor integrante es: ∫ (2) Multiplicando cada término de (1) por el factor integrante (2) ( ) (3) Como el miembro izquierdo de (3) es el desarrollo de la derivada del producto , se tiene: ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ (4) Como ( ) : dominio de y ( ) dominio de , los coeficientes son continuos en todo ; y de (4) se concluye que la solución general de la ecuación diferencial y su intervalo de solución es: , ( )
  4. 4. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 47 EJEMPLO ILUSTRATIVO 8 Resuelva: Solución: (1) La ec (1) es una ecuación diferencial lineal de primer orden: ( ) ( ) Con ( ) De tal modo que el factor integrante es: ∫ (2) Multiplicando cada término de (1) por el factor integrante (2) ( ) (3) Como el miembro izquierdo de (3) es el desarrollo de la derivada del producto , se tiene: ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) (4) Como ( ) : dominio de y ( ) dominio de , los coeficientes son continuos en todo ; y de (4) se concluye que la solución general de la ecuación diferencial y su intervalo de solución es: ( ) , ( )
  5. 5. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 48 3.2.2.1 Problemas de aplicación Problema de aplicación 1: Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta en una razón proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará? Solución: Sea De tal manera que ( ) (1) Como ( ) (2) De (1) se tiene ( ) ( ) (3) Luego la ecuación (1) queda de la forma ( ) (4) En años la población se duplicó ( ) (5) (6) La función que da la población en función del tiempo es ( ) (7) Cuando la población se triplica queda Cuando la población se cuadruplica queda
  6. 6. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 49 La respuesta al problema es que la población se triplicará aproximadamente 7,9 años, y se cuadruplicará a los 10 años. Problema de aplicación 2: En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especímenes ¿cuál era la cantidad inicial de bacterias? Solución: sea De tal manera que ( ) ( ) ( ) (1) Como la cantidad de bacterias inicial es ( ) (2) De la ecuación (1) en ( ) ( ) (3) Sustituyendo (3) en (1) ( ) (4) Teniendo en cuenta que en horas hay individuos ( ) (5)
  7. 7. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 50 Sustituyendo en (4) ( ) ( ) ( ) (6) Además, teniendo en cuenta que en horas hay individuos ( ) (7) Sustituyendo en (4) ( ) ( ) ( ) (8) De (6) y (8) tenemos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La respuesta del problema es que la cantidad inicial de bacterias era de 201 Problema de aplicación 3: En el Pb-2009, isótopo radiactivo del plomo, se desintegra con una razón proporcional a la cantidad presente en cualquier momento y tiene un período medio de vida de 3.3 horas. Si al principio había un gramo de plomo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90%) Solución: Sea De tal manera que, la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad presente, esto es Resolviendo tenemos
  8. 8. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 51 ( ) (1) Como la cantidad de Pb-2009 en es (2) Aplicando la condición cuando en (1) ( ) ( ) ( ) (3) Luego la ecuación (1) queda de la forma ( ) (4) En se desintegra la mitad del PB-2009 esto es ( ) (5) Sustituyendo en (4) ( ) ( ) ( ) ( ) (6) Sustituyendo (6) en (4) ( ) (7) Necesitamos averiguar cuánto tiempo se necesita para que se desintegre el 90% de Pb-209, es decir para que la cantidad presente sea el 10% o 0.1 del original. ( ) La respuesta del problema es para que se desintegre el 90% de Pb-204, se necesitan, aproximadamente 11 horas.
  9. 9. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 52 Problema de aplicación 4: Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es de y se lleva al exterior, done la temperatura es de . Pasado medio minuto el termómetro indica ¿cuál es la lectura cuando ? ¿Cuánto tiempo se necesita para que el termómetro llegue a ? Solución: La Ley de enfriamiento de Newton establece que en un cuerpo que se enfría, la rapidez con que la temperatura del cuerpo cambia en el tiempo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante del medio ambiente que lo rodea. Es decir, si es una constante de proporcionalidad. ( ) Pero, en el presente problema se tiene que , ahora ( ) ( ) ( ) ( ) (1) Aplicando la condición para ( ) (2) Sustituyendo en (1) ( ) ( ) (3) Sustituyendo en (3) en (1) ( ) (4) Al aplicar la condición ( ) (5) Sustituyendo en (4) ( ) ( ) (6)
  10. 10. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 53 Sustituyendo el valor de dado por (6) en (4), se obtiene: ( ) (7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Para calcular el tiempo en que la temperatura sea de , se sustituye en (7): La respuesta al problema es que al cabo de un minuto la temperatura del termómetro es de el termómetro llega a en 3.06 minutos.
  11. 11. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 54 Problema de aplicación 5: Análisis de un circuito RC CIRCUITO RC Los circuitos RC son circuitos que están compuestos por una resistencia y un condensador. Se caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a cero, el condensador está descargado, en el momento que empieza a correr el tiempo, el condensador comienza a cargarse ya que hay una corriente en el circuito. Debido al espacio entre las placas del condensador, en el circuito no circula corriente, es por eso que se utiliza una resistencia. Cuando el condensador se carga completamente, la corriente en el circuito es igual a cero. Carga de un condensador Considérese el circuito en serie de la figura. Inicialmente el condensador está descargado. Si se cierra el interruptor I la carga empieza a fluir produciendo corriente en el circuito, el condensador se empieza a cargar. Una vez que se alcanza la carga máxima la corriente cesa en el circuito. Fuente de poder C.D Batería + - Capacitor Resistencia Interruptor
  12. 12. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 55 En el circuito de la figura tendremos que la suma  El extremo a tiene un potencial mayor que el extremo b de la resistencia R ya que la corriente fluye de a a b. De acuerdo a la ley de Ohm  La placa positiva del condensador b tiene mayor potencial que la placa negativa c, de modo que  El terminal positivo de la batería a tiene mayor potencial que el terminal negativo c, de modo que , donde Ve es la fem de la batería La ecuación del circuito es Teniendo en cuenta que la intensidad se define como la carga que atraviesa la sección del circuito en la unidad de tiempo, tendremos la siguiente ecuación para integrar ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la intensidad en función del tiempo ( ) La carga tiende hacia un valor máximo C·Ve al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito.
  13. 13. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 56 La intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo, hasta que se hace cero cuando se alcanza la carga máxima. La cantidad RC que aparece en el denominador de t se denomina constante de tiempo del circuito. Este representa el tiempo que tomará a la corriente para decrecer hasta 1/e de su valor inicial. La analogía hidráulica de la carga de un condensador es un tubo-capilar alimentado por un flujo constante producido por un frasco de Mariotte. Descarga de un condensador Consideremos ahora el circuito que consta de un condensador, inicialmente cargado con carga Q, y una resistencia R, y se cierra el interruptor I. La ecuación del circuito será la siguiente.  Como la corriente va de a hacia b, el potencial de a es más alto que el potencial de b. Por la ley de Ohm .  En el condensador la placa positiva a tiene más potencial que la negativa b, de modo que . La ecuación del circuito es La ecuación diferencial es Ecuación diferencial lineal (1)
  14. 14. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 57 La ec (1) es una ecuación diferencial lineal de primer orden: ( ) ( ) Con ( ) ( ) ∫ ( ) [ ∫ ( ) ∫ ( ) ] De tal modo que el factor integrante es: ∫ (2) Multiplicando cada término de (1) por el factor integrante (2) ( ) (3) Como el miembro izquierdo de (3) es el desarrollo de la derivada del producto , se tiene: ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) (4) Aplicando las condiciones: ( ) y ( ) Para la condición ( ) ( ) Para la condición ( ) (4) De aquí que , ya que es la carga inicial del capacitor que es diferente de cero. Entonces para que la igualdad en (4) se cumpla es necesario que Esto solo es posible si en otras palabras este factor es
  15. 15. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 58 Se concluye que la solución general de la ecuación diferencial y su intervalo de solución es: ( ) Otra forma de solucionar el problema es usando el método de variables separables, esto es La ecuación del circuito es La ecuación a integrar es ∫ ∫ De donde se obtiene ( ) La carga del condensador disminuye exponencialmente con el tiempo. Derivando con respecto del tiempo, obtenemos la intensidad ( ) que disminuye exponencialmente con el tiempo.
  16. 16. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 59 Carga y descarga de un condensador Cuando el circuito RC se conecta a un generador de señales cuadradas, podemos observar en un osciloscopio el proceso de carga y descarga. Como se ve en la figura, durante el primer semiperiodo de la señal la fem tiene un valor constante e igual a V0. El condensador se carga durante un tiempo P/2. La carga q1 final del condensador en el instante t=P/2 se calcula a partir de la fórmula ( ) ( ) En el instante t=P/2 la fem se hace cero, el condensador se descarga. La carga del condensador q2 en el instante t=P se calcula a partir de la fórmula, ( ) ( )
  17. 17. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 60 En el siguiente proceso de carga, la integración no es entre los límites 0 y q, sino entre la carga remanente q2 y q. ∫ ( ) ∫ ( ) Calculamos la carga final q3 en el instante t=P+P/2. Y así, sucesivamente.
  18. 18. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 61 Problema de aplicación 6: Proyecto de aplicación de un circuito RC Problema de Aplicación: Medida de la velocidad de una bala Fundamentos teóricos Antes de disparar la bala se carga el condensador C con una batería de tensión V0. Y se observa la tensión que marca el voltímetro (en color amarillo). La bala rompe el circuito en A, y desconecta la batería por lo que el condensador C empieza a descargarse a través de la resistencia R. Como demostramos en la página anterior, cuando un condensador se descarga, la carga del condensador disminuye exponencial mente con el tiempo, luego, la diferencia de potencial V entre las placas del condensador disminuye de forma exponencial con el tiempo. ( ) ( ) (1) Donde al producto R·C se denomina constante de tiempo del circuito. Esta descarga prosigue hasta que la bala rompe el circuito en B. El tiempo transcurrido es el cociente entre la distancia x que separa los dos conductores rotos y la velocidad de la bala (2)
  19. 19. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 62 Problema de aplicación 7: Análisis de un circuito RL CIRCUITO RL FUNDAMENTOS FISICOS Autoinducción En un circuito existe una corriente que produce un campo magnético ligado al propio circuito y que varía cuando lo hace la intensidad. Por tanto, cualquier circuito en el que exista una corriente variable producirá una fem inducida que denominaremos fuerza electromotriz autoinducida. Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud l y de sección S recorrido por una corriente de intensidad i. 1.- El campo magnético producido por la corriente que recorre el solenoide suponemos que es uniforme y paralelo a su eje, cuyo valor hemos obtenido aplicando la ley de Ampère 2.-Este campo atraviesa las espiras el solenoide, el flujo de dicho campo a través de todas las espiras del solenoide se denomina flujo propio. ( ) 3.-Se denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el flujo propio F y la intensidad i.
  20. 20. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 63 Del mismo modo que la capacidad, el coeficiente de autoinducción solamente depende de la geometría del circuito y de las propiedades magnéticas de la sustancia que se coloque en el interior del solenoide. La autoinducción de un solenoide de dimensiones dadas es mucho mayor si tiene un núcleo de hierro que si se encuentra en el vacío La unidad de medida de la autoinducción se llama henry, abreviadamente H, en honor a Joseph Henry. f.e.m. autoinducida Cuando la intensidad de la corriente i cambia con el tiempo, se induce una f.e.m. en el propio circuito (flecha de color rojo) que se opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad. Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio La fem autoinducida VL siempre actúa en el sentido que se opone a la variación de corriente. Establecimiento de una corriente en un circuito Cuando se aplica una fem V0 a un circuito cerrando un interruptor, la corriente no alcanza instantáneamente el valor V0/R dado por la ley de Ohm, sino que tarda un cierto tiempo, teóricamente infinito, en la práctica, un intervalo de tiempo que depende de la resistencia.
  21. 21. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 64 La razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L que genera una fem que se opone al incremento de corriente. En la figura, se muestra un circuito formado por una batería, una resistencia y una autoinducción. Se conecta la batería y la intensidad i aumenta con el tiempo. Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los tres elementos que forman el circuito. Se cumplirá que Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=0. ∫ ∫ ( ) ( )
  22. 22. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 65 Si R/L es grande, como sucede en la mayor parte de los casos prácticos, la intensidad de la corriente alcanza su valor máximo constante V0/R muy rápidamente. Caída de la corriente en un circuito Si se ha establecido la corriente máxima en el circuito y desconectamos la batería, la corriente no alcanza el valor cero de forma instantánea, sino que tarda cierto tiempo en desaparecer del circuito. De nuevo, la razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L en la que se genera una fem que se opone a la disminución de corriente. Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los dos elementos que forman el circuito. Se ha de tener en cuenta, que i disminuye con el tiempo por lo que su derivada di/dt<0 es negativa Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=i0. ∫ ∫ ( )
  23. 23. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 66 La corriente disminuye exponencialmente con el tiempo. En la mayor parte de los casos, R/L es grande, por lo que la corriente desaparece muy rápidamente. Energía del campo magnético Hemos visto que para mantener una corriente en un circuito es necesario suministrar energía. La energía suministrada por la batería en la unidad de tiempo es V0· i. Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto Joule y se acumula en la autoinducción en forma de energía magnética. De la ecuación del circuito Multiplicando ambos miembros por la intensidad i. El término R·i2 es la energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia. El primer término V0·i es la energía suministrada por la batería. El último término, es la energía por unidad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la autoinducción o su campo magnético asociado. Simplificando dt e integrando entre 0 e i, obtenemos
  24. 24. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 67 Esta es la energía acumulada en forma de campo magnético, cuando circula por la bobina una corriente de intensidad i. Para un solenoide la energía en forma de campo magnético que guarda en su interior se escribe ( ) La energía EB es el producto de dos términos: la densidad de energía magnética (energía por unidad de volumen) y el volumen S·l. En general, la energía asociada a un campo magnético se calcula mediante la siguiente fórmula ∫ La integral se extiende a todo el espacio donde el campo magnético B es no nulo. Comprobación  Cuando se cierra el circuito La energía suministrada por la batería hasta el instante t es ∫ ∫ ( ) La energía disipada en la resistencia es ∫ La energía acumulada en la autoinducción en forma de campo magnético es Como podemos comprobar E0=ER+EB  Cuando se abre el circuito y cae la corriente, toda la energía acumulada en la autoinducción se disipa en la resistencia. La energía inicial acumulada en la bobina, cuando la intensidad es i0
  25. 25. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 68 Al abrir el circuito la intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo. La energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia por efecto Joule será Integrando entre cero e infinito obtenemos la energía total disipada. ∫ ∫ Establecimiento y caída de la corriente eléctrica en el circuito Un circuito RL se conecta a un generador de señales cuadradas, podemos observar en un osciloscopio el proceso de establecimiento y caída de la corriente en el circuito. Una experiencia análoga la efectuamos para verificar el proceso de carga y descarga de un condensador a través de una resistencia. Como se ve en la figura, durante el primer semiperiodo de la señal, la fem tiene un valor constante e igual a V0. Se establece la corriente en el circuito durante un tiempo .
  26. 26. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 69 La intensidad en el intervalo 0 es [ ] Se calcula la intensidad final i1 en el instante t=P/2. En este instante, la fem se hace cero, la corriente cae en el circuito. La corriente i en el intervalo P/2<t<P es, ( ) ( ) Se calcula la intensidad final i2 en el instante t=P La corriente en el intervalo , se obtiene integrando no entre los límites y , sino entre la intensidad remanente e . ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) Calculamos la intensidad final en el instante . Y así, sucesivamente.
  27. 27. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 70 3.2.2.2 Ecuación diferencial de Bernoulli. Demostraremos que la ecuación no lineal ( ) ( ) Puede transformarse en una ecuación lineal usando la sustitución DEMOSTRACIÓN: La sustitución sugerida nos permite expresar: ( ) Despejando Dividiendo por Reemplazando ahora esto en la EDO original se tiene: ( ) ( ) Dividiendo por ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y, finalmente, multiplicando todo por (1 - n): ( ) ( ) ( ) ( ) (1) Ésta es una ecuación lineal, que puede ser resuelta siguiendo el procedimiento habitual. Luego, revirtiendo el cambio de variables, se puede obtener la expresión para “y”.
  28. 28. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 71 EJEMPLO ILUSTRATIVO 1: Calcular la solución de 2 3 2 x y y x y  Solución: La ecuación dada, 2 3 2 x y y x y  ,es una ecuación diferencial de Bernoulli ; para transformar esta ecuación en una ecuación lineal es necesario multiplicar la ecuación por 3 y ; de ahí se obtiene lo siguiente: 2 23 12 x y xdx dy y   luego la sustitución que se hace es: dx dy y dx du yxu 32 2)(   De esta manera, la ecuación puede escribirse, para este caso particular: 2 24 x u xdy du   ; 21 2)(4)(   xxQxxP Luego se tiene que la ecuación diferencial es lineal y se puede resolver aplicando la siguiente fórmula ; es decir:        dxxQecexu dxxPdxxP )()( )()( Reemplazando nos queda de la siguiente manera:                 dxxecexu dx x dx x 2 44 2)( 41 5 2 )( xcxxu   Finalmente se reemplaza la sustitución inicial que se hizo y nos queda de la siguiente manera: 41 5 2 12 1 xCx uy    
  29. 29. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 72 TALLER 3.3 ECUACION DIFERENCIAL LINEAL EJERCICIOS A. 1. Resuelva (a) 1 x y dx dy . (b). 2 3 xyyx  (c). 12 22  yxy dv dx y (d). xsenx x y dx dy 3 2 2  (e). 5)0(;3 2   IeII t (f). xxyy coscot'  (g). yx y 3 1   (h). 1;1; 3      r r d dr 2. La corriente Z, en amperios, en un cierto circuito eléctrico satisface la ecuación diferencial t eI dt dI 2 102   Donde t es el tiempo. Si Z= 0 donde t = 0, encuentre Z como una función de t. EJERCICIOS B 1. La ecuación, ,/ n QyPydxdy  donde y son funciones sólo de y es una constante, se llama la ecuación diferencial de Bernoulli y surge en varias aplicaciones. Muestre cómo se resuelve con n=0 y n=1. 2. Si 0n , 1, ninguno de los métodos discutidos hasta ahora sirve. Muestre, sin embargo, que al cambiar la variable dependiente de a de acuerdo a la transformación la ecuación n yv   1 puede resolverse. 3. Resuelva 2 xyyy  por el método del Ejercicio 2. 4. Resuelva.   032  dyxxydxy
  30. 30. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 73 5. Resuelva 2 43 xyyx  (Sugerencia: Haga .) 6. Resuelva el Ejercicio 4 buscando un factor integrante de la forma pp yx , donde p y q son constantes apropiadamente escogidas. 7. Resuelva la ecuación ,n yyay  donde ,, a y 1,0n son constantes, como (a) una ecuación de Bernoulli; (b) como una ecuación separable. EJERCICIOS C 1. Muestre que la ecuación diferencial ,ln yyQyPy  , donde P y Q son funciones de , puede resolverse al hacer. vy ln 2. Resuelva. .ln2 2 yyyxyx  3. Muestre que una ecuación lineal con variable independiente se transforma en otra ecuación lineal cuando sufre la transformación ( ), donde es una nueva variable independiente y es cualquier función diferenciable. 4. Resuelva.   02,43   yxeyx y
  31. 31. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 74 3.2.3 EL METODO DE INSPECCION En el pasaje anterior, se mencionó que un factor integrante de una ecuación diferencial podía algunas veces encontrarse por inspección, un proceso basado en el ingenio y la experiencia. En esa sección evitamos usar el método de inspección para los casos donde el factor integrante involucraba sólo una variable. Sin embargo, en algunos casos los factores integrantes dependen de ambas variables y la “inspección” puede ser útil. El método de inspección generalmente se aplica cuando uno nota ciertos aspectos especiales en la ecuación. EJEMPLO ILUSTRATIVO 7 Resuelva:   022  dyxdxyyx Solución: Todos los métodos estándar discutidos hasta ahora no funcionan para esta ecuación. Sin embargo si escribimos la ecuación como   022  dyxdxydxyx y “se nos ocurre notar” que esto puede escribirse 022     yx ydxxdy dx ó 0tan 1       x y ddx inmediatamente obtenemos por integración la solución c x y x  1 tan El estudiante observará que un factor integrante para esta ecuación es  . 1 22 yx  EJEMPLO ILUSTRATIVO 8 Resuelva:   022  dyyxydxx Solución: Escribiendo esto como dy yx ydyxdx    22 Podemos notar que el lado izquierdo puede escribirse       22 yxd la ecuación puede escribirse dyyxd       22 . La integración nos lleva a cyyx  22 ó 22 2 ccyx  El estudiante también podría haber resuelto este problema al escribir
  32. 32. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 75 yyx x dx dy   22 y luego usar la transformación vxy  Los siguientes resultados fácilmente establecidos pueden ayudar en la solución de ecuaciones diferenciales por “inspección”. d x ydxxdy   2 , x y         y x d y ydxxdy 2
  33. 33. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 76 TALLER 3.4 ECUACION DIFERENCIAL POR EL METODO DE INSPECCION EJERCICIOS A. Resuelva cada ecuación por el método de inspección o por cualquier otro método 1. 0)2( 2  dyxyxydx 2. 0)( 3  dyxyydx 3. 0)( 23  xdydxyxyx 4. 0)()( 23  dyxyxdxyx 5. 0)()( 2222  dyyxydxyxx 6. 0)()( 2222  dyxxydxyyx 7. 0)()( 2222  dyyxydxyxx 8. 0)()( 2332  dyyxyxdxxyyx EJERCICIOS B 1. Muestre que        2 3 222 )( 3 1 )( yxdydyxdxyx . Ahora, resuelva 0)()( 2222  dyyxyxdxyxxy 2. Muestre que  3 4 )( 3 1 )(    xyd xy ydxxdy Ahora, resuelva  dxyxy )( 45 0)( 54  dyyxx 3. Muestre que   yx yx d yx xdyydx      ln 2 1 22 .Ahora, resuelva 0)()( 2323  dyxyxydxyxyx EJERCICIOS C Resuelva. 1. 0)22()2( 3223  dyyyyxdxxxyx
  34. 34. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 77 2. xx yx dx dy    3 2 2 3. 02)2( 22  ydydxxsenxsenxy 4.              dx x y yxyx tan)( 22 dy x y yxyx              tan)( 22
  35. 35. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 78 3.3 ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR QUE SE RESUELVEN FÁCILMENTE Ahora ya hemos aprendido cómo resolver algunas ecuaciones de primer orden. para resolver ecuaciones de orden superior, es natural preguntar si ellas pueden de alguna manera ser reducidas a ecuaciones de primer orden, las cuales puedan luego resolverse. Realmente hay dos tipos importantes de ecuaciones de alto orden que pueden resolverse fácilmente de esta manera. 3.3.1 ECUACIONES INMEDIATAMENTE INTEGRABLES Como ya hemos encontrado en el Capítulo uno, la ecuación diferencial más simple que puede surgir es aquella que puede integrarse directamente. Revisemos esto brevemente en el siguiente EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Resuelva:   xy IV  donde que 0,1,0  yyyy cuando .0x Solución: Con una integración de la ecuación dada tenemos 1 2 2 c x y  Puesto que 0y donde x = 0, implica que 01 c . Así, 2 2 x y  Integrando de nuevo, obtenemos 2 3 6 c x y  Usando 0y donde 0x , tenemos 02 c . De donde 6 3 x y  Integrando de nuevo, encontramos 3 4 24 c x y  Usando 1y donde 0x , tenemos 13 c así, 1 24 4  x y Integrando de nuevo, obtenemos 4 5 120 cx x y  Puesto que 0y donde 0x , 04 c así, x x y  120 5 Note que la ecuación dada se consideró como una de primer orden en y  la segunda ecuación como una de primer orden en y  , etc. Note también que en el resultado final hemos evaluado cuatro constantes arbitrarias estando de acuerdo con el hecho de que empezarnos con una ecuación de cuarto orden.
  36. 36. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 79 3.3.2 ECUACIONES CON UNA VARIABLE AUSENTE Este método se aplica cuando una de las variables no aparece en la ecuación. El método es con frecuencia útil en aplicaciones. EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Resolver: xyxy 4''  Solución: Aquí una de las variables, y, está ausente de la ecuación. El método en este caso es hacer . Entonces , y la ecuación puede escriblrse xvxv 4'  ó   xxv dx d 4 La integración da  xcxcxxv /2,2 1 2   Remplazando v por y, tenemos x c xy 1 2  ó 21 2 ln cxcxy  EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Resolver:  2 12 yyy  Solución: En este caso falta . Haciendo como antes, encontramos 2 1'2 vyv  ó 2 12 v dx dv y  (1) Desafortunadamente tenemos ahora tres variables vx, y y . Sin embargo, podemos escribir v dy dx dx dy dy dv dx dv  . así (1) se convierte en 2 12 v dy dv vy  Separando variables e integrando, tenemos     , 1 2 2 y dy v dvv .   cyv  ln1ln 2 así, 1 2 1 c y v   o 11  ycv esto es, 11  yc dx dy o    dx yc dy 11 La integración da 211 12 cxcyc  de donde, y puede obtenerse.
  37. 37. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 80 EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 Resolver 0 yy . Solución Haciendo y , podemos escribir la ecuación dada como ,0 y dx d 0.  y dx dy dy d o 0 y dy d  Separando las variables e integrando, encontramos    cdyyd o cy  22 2 1 2 1  Luego escogiendo 22 cc  , tenemos 22 yc  esto es, 22 1 yc dx dy  o    dx yc dy 2 1 La integración produce   21 1 / cxcysen  o   senxccxcsenccxsency 212121 coscos  lo cual puede escribirse xBsenxAy cos
  38. 38. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 81 TALLER 3.5 ECUACION DIFERENCIAL DE ORDEN SUPERIOR EJERCICIOS A. Resolver cada uno de las siguientes ecuaciones sujetas a las condiciones dadas. 1. 10)0('),0(;2  yyxy 2. 3 )( x y IV  3. 2)0(;0)0(;1)0(;3  yyysenxy 4. 0)0()0()0(;2 )(   yyyeey xxIV 5. 3)0(;2)0(;1)( 2  IIttI 6. 0)0(;1)1(;122  yyxyx 7. xyx  13 8 1)0(;5)0(;1  yyyy . 9. 2)0(;3)0(;04  yyyy 10. 02  yyx 11. y  0y 12. 13. 1)( 2  yy 14. )1( yyy  15. xyxy  EJERCICIOS B Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones sujetas a las condiciones indicadas 1. 0)1()1()1(;0)1(;ln)(  yyyyxy IV 2. 0)0()0()0()0(;)1(;2 )()()(  IVIVV yyyyyxyy 3. 1 yy 4. 32 )()( yy  5. 0 yy 6. 0)(1 2  yyy 7. 122  yxyx
  39. 39. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 82 EJERCICIOS C 1. Si 3 /4 yy  y   42 y ,   02 y , halle  4y 2. Resolver   2 3 2 1 yy  e intérprete geométricamente. 3 . Resolver 12 2 2 2  dy xd dx yd 4. Una curva en el plano xy tiene la propiedad de que su curvatura en cualquier punto  yx, es siempre igual a senx. Si la curva tiene pendiente cero en el punto,  0,0 , ¿Cuál es su ecuación? 5. Trabaje el Ejercicio 4 si senx se remplaza por x2 .
  40. 40. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 83 3.4 LA ECUACIÓN DE CLAIRAUT Una ecuación de primer orden que presenta propiedades interesantes está dada por  yfyxy  ' (1) Y es conocida como la ecuación diferencial de Clairaut en honor al matemático quién primero investigó estas propiedades. Supondremos que  yf  define una función diferenciable de y Ejemplo.   22 )(1;tan';' yyxyyyxyyyxy  son todas Ecuaciones De Clairaut. Para resolver (1), digamos primero y para obtener )( fxy  (2) luego diferenciando ambos lados de (2) con respecto a x se obtiene ')(''  fxy  o   0)(   fx . Dos casos surgen de la última ecuación. Caso 1. 0 . En este caso tenemos, al integrar, c , donde es cualquier constante. Luego remplazando  por c en (2) obtenemos. )(cfcxy  (3) Es llamativo que (3), la cual se obtiene directamente de la ecuación diferencial dada (1) al remplazar simplemente por , produzca la solución general de (1), como se puede verificar por sustitución. Caso 2. )(' ufx  . En este caso tenemos, usando (2), 0)('  fx )( fxy  De lo cual )(fx  )()(   fy (4) Las ecuaciones (4) son ecuaciones paramétricas para una curva donde  es el parámetro. Esta curva da una solución a (1). Sin embargo, puesto que ésta no es un caso especial de la solución general (3), es una solución singular. Para ilustrar el procedimiento y obtener alguna idea concerniente a la relación entre la solución singular y la general, consideremos el siguiente
  41. 41. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 84 EJEMPLO ILUSTRATIVO Resolver:   .' 2 yyxy  . Solución: Como antes, sea vy  de modo que 2   xy . Luego derivando con respecto a x se obtiene   2xy o 0)2(   x Entonces hay dos casos. Caso 1. 0 En este caso c , el cual sustituido en .2   xy la solución general 2 ccxy  (5) Caso 2. 02  x .En este caso obtenemos de 02  x y .2   xy las ecuaciones paramétricas ,2x ,2 y o 4 2 x y  (6) Eliminando  . Puesto que esto satisface la ecuación diferencial dada y no es un caso especial de (5), es una solución singular. La relación entre la solución singular y la solución general puede ser vista en la Figura 3.4.1. En esta figura hemos mostrado el gráfico de .4/2 xy  , la cual es una parábola, junto con gráficos de 2 ccxy  para varios valores de c, las cuales representan líneas tangentes a .4/2 xy  La parábola .4/2 xy  , la cual “envuelve” todas las tangentes 2 ccxy  es por obvias razones llamada envolvente de la familia de líneas tangentes. Por la ecuación general de Clairaut (1), la solución singular (4) representa la envolvente de la familia de líneas rectas (3), las cuales a su vez son líneas tangentes a la envolvente. Es posible obtener la envolvente directamente de esta familia. El teorema fundamental de existencia-unicidad del Capítulo uno también puede proporcionar guías a la presencia de soluciones singulares y sus conexiones con soluciones generales. Refiriéndonos a la ecuación de Clairaut en el Ejemplo ilustrativo anterior, por ejemplo, vemos al resolver para que hay dos valores, 2 42 yxx y   2 42 yxx y   (7) Considerando la primera ecuación en (7), notamos que la derivada parcial con respecto a del lado derecho es yx 4/1 2  , y es real, simple valorada y continua
  42. 42. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 85 sí y sólo sí , la cual describe geométricamente la región por encima de la parábola de la Figura 3.4.2. Dado un punto, digamos (1, 2), en esta región, vemos de la solución general 2 ccxy  que 022  cc Figura 3.4.1 Figura 3.4.2 2-,1c ; esto es, xyxy 24,1  . De éstas, solamente 2,1  xxy , satisface la primera ecuación de (7), mientras que , 2,1  xxy satisface la segunda ecuación de (7) acorde con el teorema de existencia-unicidad. De manera similar podemos mostrar que 4,24  xxy , es la única solución de la segunda ecuación en (7) que pasa por (1, 2), mientras,  4y 4,2 xx es la única solución de la primera ecuación. La situación se indica en la-Figura 3.4.2. Los conceptos descritos anteriormente para la ecuación de Clairaut sirven para indicar algunos principios guías en relación a las soluciones para tipos más generales de ecuaciones. Para las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, habrá usualmente una solución general en ciertas regiones restringidas como lo garantiza el teorema de existencia-unicidad. Soluciones singulares, si ellas ocurren, deben manifestarse ellas mismas en las fronteras de tales regiones. En algunos casos ellas pueden ser vistas desde ciertos factores que pueden llegar a ser cero o infinito.
  43. 43. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 86 TALLER 3.6 ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT EJERCICIOS A. Obtenga la solución general y singular para cada uno de los siguientes 1., 2 )(yyxy  2. 2 )(41 yyxy  3. yyxy  tan 4. 2 )(1 yyxy  EJERCICIOS B 1. (a) Muestre que la ecuación diferencial para la familia de líneas rectas 3 ccxy  es 3 )(yyxy  . (b) Muestre que la envolvente de la familia 3 ccxy  es también una solución de la ecuación diferencial en (a). ¿De qué clase es? [Sugerencia: La envolvente de una familia de un parámetro 0),,( cyxF , si existe, se puede encontrar de la solución simultánea de 0),,( cyxF y 0/),,(  ccyxF Se puede obtener la envolvente directamente de la ecuación diferencial? 2. Use el método del Ejercicio 1 para obtener las envolventes en (a) Ejemplo ilustrativo de este pasaje. (b) Ejercicio 1A. (c) Ejercicio 2A. (d) Ejercicio 3A. (e) Ejercicio 4A. 3. Muestre que 2 ccxy  es tangente a 4/2 xy  4. Muestre que la curva definida por las ecuaciones paramétricas (4) vistas en esta sección representa una solución de (1). También muestre que las líneas )(cfcxy  representan líneas tangentes a esta curva; esto es, la curva es la envolvente de la familia de líneas tangentes. 5. La solución general de 3/2 3yy  está dada por  3 cxy  y la solución singular es 0y . Examine la relación entre estas soluciones desde el punto de vista de las envolventes. 6. Encuentre la solución general y singular de yy 
  44. 44. UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: JULIO ROMERO 87 EJERCICIOS C 1. Muestre que la ecuación xyxyy 22 sec)(tan  se puede reducir a la ecuación de Clairaut con el uso de la transformación senxz  , y resuelva así la ecuación. 2. Resolver        dy dx dx dyx y 2

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