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FUNCIONES

GRAFICA DE FUNCIONES

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UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
FUNCIONES I
Matemáticas – Programa Tercero
Material : MT-06
FUNCIÓN
Sean A y B dos conjuntos no vacíos, entonces una función es una relación entre A y B
mediante la cual a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.
Notación: f :A ® B y se lee “f es una función de A en B”
El conjunto A se llama dominio de la función f, y a cada elemento de él se denomina
pre-imagen.
El conjunto B se llama codominio de la función f, y a cada elemento de él asociado a un
elemento perteneciente a A, se denomina imagen.
OBSERVACIÓN:
Se lama constante a una cantidad cuyo valor no cambia, generalmente se le asigna por las
primeras letras del abecedario, por ejemplo a, b ó c
EJEMPLO
1. ¿Cuál(es) de los siguientes diagramas representa(n) a una función de A en B?
I) II) III)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) I, II y III
a
b
c
d
1
2
3
4
5
A B
f






A B
f
A B
3
5
4
2
1

f
A B
f
a b = f(a)
2
FUNCION REAL
Función real de una variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un
determinado subconjunto de números reales un único número real.
La variable x se llama variable independiente.
La variable y se llama variable dependiente.
OBSERVACIONES
1. El conjunto formado por todas las imágenes de A se denomina recorrido de la función.
2. El recorrido puede ser distinto al codominio, como se muestra en la figura.
3. A y B son conjuntos de números reales y la correspondencia entre ellos se establece por
medio de una igualdad.
EJEMPLOS
1. Si f(x) = 5 – 2x, entonces f(-3) es igual a
A) 11
B) 9
C) -5
D) -9
E) -11
f : A  B
Conjunto de partida
DOMINIO
Conjunto de llegada
CODOMINIO
f : x  f(x) = y
.
.
.
.
.
.
-5
3
2
1
0
-1
-2
-3
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
4
x y
f(x) = x2
- 5
3
2. Dada la función f definida por f(x) = 3x – 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I) La imagen de 4 es 7.
II) La preimagen de -14 es -3.
III) f(-5) = -20
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo II y III
E) I, II y III
3. Sea f(x) =

2
x 4
, ¿cuál(es) de las siguientes valores NO pertenece(n) al dominio de
f(x)?
I) 0
II) 4
III) 2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
4. Si la función f(x) se define como f(x) =
2 3x, si x < -4
4 + 2x, si -4 x 4
-3x , si x > 4



 



, entonces
f(-5) – f(-4) + f(5) es igual a
A) 26
B) 16
C) 6
D) -2
E) -10
5. Si f(x + 1) = 2x – 7, entonces f(2) =
A) 13
B) 11
C) -1
D) -3
E) -5
4
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dadas las funciones reales de variable real f y g, se llama composición de las funciones f y g, y
se escribe f o g a la función definida de lR en lR por (gof)(x) = g(f(x))
El Dominio de (f o g) (x) es el conjunto de toda x en el Dominio de g, tal que g(x) pertenece al
Dominio de f.
OBSERVACIÓN:
La función compuesta no es conmutativa, es decir (f o g) ≠ (g o f)
EJEMPLOS
1. Sea f(x) = 3x + 2 y g(x) = x2
, entonces (f o g)(-2) =
A) -16
B) -14
C) -10
D) 14
E) 16
2. Sean f(x) = x + 2 y g(x) = 2x – 1 funciones reales. Entonces, (f o g)(x) es
A) 2x + 1
B) 2x + 3
C) 3x + 1
D) (x + 2)(2x – 1)
E) x – 1
3. Considere las funciones f(x) = x2
y g(x) = x + 2. ¿Cuál de los siguientes valores de x
cumple que f(g(x)) = g(f(x))?
A) -2
B) -6
C) -0,5
D) 0
E) 0,5
lR  lR  lR
x  f(x)  g(f(x))
f g
5
GRÁFICA DE FUNCIONES
Toda función real puede ser representada en el plano cartesiano. Si f es una función real, a
cada par ordenado (x,y) = (x,f(x)) determinado por la función f, le corresponde en el plano
cartesiano un único punto P(x,y) = P(x, f(x)).
OBSERVACIÓN:
En la gráfica de una función el dominio se representa sobre el eje OX, y el recorrido se
representa sobre el eje OY.
EJEMPLOS
1. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función real?
I) II) III)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
2. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos no representa una función en el intervalo ]a, b[?
A) B) C)
D) E)
y
x
b
a
x
y
a b
y
x
a b
y
x
a b
y
x
a b
y
x
y
x
y
x
6
3. El dominio y el recorrido de la función g, según la gráfica de la figura adjunta, es
Dom g Rec g
A) lR [-4, +[
B) lR ]-4, +[
C) lR lR
D) [-4, +[ lR
E) ]-4, +[ lR
4. Con respecto al gráfico de la figura adjunta, la suma de la imagen de 3 y la preimagen
de 0 es
A) 2
B) 3
C) 6
D) 4
E) 1
5. Según la función f dada en la gráfica de la figura adjunta, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es verdadera?
A) Df = [1, 4]
B) Rf = [0, 3[
C) La imagen de 4 es 0.
D) x = 5 tiene imagen.
E) la pre-imagen de 1 es 0.
6. La figura adjunta muestra el gráfico de una función f. ¿Cuál es el valor de
f(8) – f(-1) + 2f(-5)?
A) -4
B) -2
C) 0
D) 2
E) 10
3
1 2 3 4 5
y
x
3
1 2 3 4 5
y
x
1
2
-2
-1
-1
y
2 4 6 8
-2
-4
-6
2
4
6
-2
8
-4
x
g(x)
y
2 4 6 8
-2
-4
-6
2
4
6
6
4
-2
x

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FUNCIONES

  • 1. UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES FUNCIONES I Matemáticas – Programa Tercero Material : MT-06 FUNCIÓN Sean A y B dos conjuntos no vacíos, entonces una función es una relación entre A y B mediante la cual a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B. Notación: f :A ® B y se lee “f es una función de A en B” El conjunto A se llama dominio de la función f, y a cada elemento de él se denomina pre-imagen. El conjunto B se llama codominio de la función f, y a cada elemento de él asociado a un elemento perteneciente a A, se denomina imagen. OBSERVACIÓN: Se lama constante a una cantidad cuyo valor no cambia, generalmente se le asigna por las primeras letras del abecedario, por ejemplo a, b ó c EJEMPLO 1. ¿Cuál(es) de los siguientes diagramas representa(n) a una función de A en B? I) II) III) A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III a b c d 1 2 3 4 5 A B f       A B f A B 3 5 4 2 1  f A B f a b = f(a)
  • 2. 2 FUNCION REAL Función real de una variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales un único número real. La variable x se llama variable independiente. La variable y se llama variable dependiente. OBSERVACIONES 1. El conjunto formado por todas las imágenes de A se denomina recorrido de la función. 2. El recorrido puede ser distinto al codominio, como se muestra en la figura. 3. A y B son conjuntos de números reales y la correspondencia entre ellos se establece por medio de una igualdad. EJEMPLOS 1. Si f(x) = 5 – 2x, entonces f(-3) es igual a A) 11 B) 9 C) -5 D) -9 E) -11 f : A  B Conjunto de partida DOMINIO Conjunto de llegada CODOMINIO f : x  f(x) = y . . . . . . -5 3 2 1 0 -1 -2 -3 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 4 x y f(x) = x2 - 5
  • 3. 3 2. Dada la función f definida por f(x) = 3x – 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La imagen de 4 es 7. II) La preimagen de -14 es -3. III) f(-5) = -20 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III 3. Sea f(x) =  2 x 4 , ¿cuál(es) de las siguientes valores NO pertenece(n) al dominio de f(x)? I) 0 II) 4 III) 2 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III 4. Si la función f(x) se define como f(x) = 2 3x, si x < -4 4 + 2x, si -4 x 4 -3x , si x > 4         , entonces f(-5) – f(-4) + f(5) es igual a A) 26 B) 16 C) 6 D) -2 E) -10 5. Si f(x + 1) = 2x – 7, entonces f(2) = A) 13 B) 11 C) -1 D) -3 E) -5
  • 4. 4 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas las funciones reales de variable real f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe f o g a la función definida de lR en lR por (gof)(x) = g(f(x)) El Dominio de (f o g) (x) es el conjunto de toda x en el Dominio de g, tal que g(x) pertenece al Dominio de f. OBSERVACIÓN: La función compuesta no es conmutativa, es decir (f o g) ≠ (g o f) EJEMPLOS 1. Sea f(x) = 3x + 2 y g(x) = x2 , entonces (f o g)(-2) = A) -16 B) -14 C) -10 D) 14 E) 16 2. Sean f(x) = x + 2 y g(x) = 2x – 1 funciones reales. Entonces, (f o g)(x) es A) 2x + 1 B) 2x + 3 C) 3x + 1 D) (x + 2)(2x – 1) E) x – 1 3. Considere las funciones f(x) = x2 y g(x) = x + 2. ¿Cuál de los siguientes valores de x cumple que f(g(x)) = g(f(x))? A) -2 B) -6 C) -0,5 D) 0 E) 0,5 lR  lR  lR x  f(x)  g(f(x)) f g
  • 5. 5 GRÁFICA DE FUNCIONES Toda función real puede ser representada en el plano cartesiano. Si f es una función real, a cada par ordenado (x,y) = (x,f(x)) determinado por la función f, le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x,y) = P(x, f(x)). OBSERVACIÓN: En la gráfica de una función el dominio se representa sobre el eje OX, y el recorrido se representa sobre el eje OY. EJEMPLOS 1. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función real? I) II) III) A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 2. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos no representa una función en el intervalo ]a, b[? A) B) C) D) E) y x b a x y a b y x a b y x a b y x a b y x y x y x
  • 6. 6 3. El dominio y el recorrido de la función g, según la gráfica de la figura adjunta, es Dom g Rec g A) lR [-4, +[ B) lR ]-4, +[ C) lR lR D) [-4, +[ lR E) ]-4, +[ lR 4. Con respecto al gráfico de la figura adjunta, la suma de la imagen de 3 y la preimagen de 0 es A) 2 B) 3 C) 6 D) 4 E) 1 5. Según la función f dada en la gráfica de la figura adjunta, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) Df = [1, 4] B) Rf = [0, 3[ C) La imagen de 4 es 0. D) x = 5 tiene imagen. E) la pre-imagen de 1 es 0. 6. La figura adjunta muestra el gráfico de una función f. ¿Cuál es el valor de f(8) – f(-1) + 2f(-5)? A) -4 B) -2 C) 0 D) 2 E) 10 3 1 2 3 4 5 y x 3 1 2 3 4 5 y x 1 2 -2 -1 -1 y 2 4 6 8 -2 -4 -6 2 4 6 -2 8 -4 x g(x) y 2 4 6 8 -2 -4 -6 2 4 6 6 4 -2 x
  • 7. 7 TIPOS DE FUNCIONES Función Continua: Geométricamente es aquella que no presenta cortes en su gráfica. Si la función no es continua, se llama discontinua. Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente. Para todo x perteneciente al dominio de f(x), si x1 > x2  f(x1) > f(x2). Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye. Para todo x perteneciente al dominio de f(x), si x1 > x2  f(x1) < f(x2). Función Constante: Es aquella que para todo valor de la variable independiente la variable dependiente es la misma. Para todo x perteneciente al dominio de f(x), si x1 ≠ x2  f(x1) = f(x2). EJEMPLOS 1. Con respecto al gráfico de la función f de la figura adjunta, ¿cuál de las siguientes alternativas es FALSA? A) f(-2) = -f(2) B) f(0) = f(0,5) C) f(1) > f(3) D) f es creciente en el intervalo [-2, 3]. E) f es decreciente en el intervalo [2, 3]. 1 2 3 -1 -2 -2 1 y x 2
  • 8. 8 2. ¿Cuál(es) de las siguientes gráficas representa(n) una función continua en el intervalo ]a,b[? I) II) III) A) Solo I B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 3. Con respecto al gráfico de la figura adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) h(x) es decreciente. II) p(x) es creciente. III) q(x) es constante. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 4. Con respecto al gráfico de la figura adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f(x) es creciente. II) g(x) es decreciente. III) h(x) es decreciente. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III y x f(x) g(x) h(x) a b y x a b y x a b y x y x h(x) q(x) p(x)
  • 9. 9 MODELOS LINEALES Se denomina Función Afín a la función definida por f(x) = mx + n, con m y n números reales distintos de cero. Se denomina Función Lineal a la función definida por f(x) = mx, con m número real distinto de cero. Se denomina Función Constante a la función de la forma f(x) = c, con c un número real. Función Afín Función Lineal Función Constante OBSERVACIÓN: La función lineal f(x) = mx, cumple las siguientes propiedades:  Para todo a y b pertenecientes al Df se cumple que f(a + b) = f(a) + f(b)  Para todo a perteneciente al Df y   lR se cumple que f( · a) =  f(a) EJEMPLOS 1. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función lineal? I) II) III) A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III x y x y x y x y x y x y
  • 10. 10 2. Sean las funciones f(x) = a y g(x) = 2a, con a un número real. Entonces, el valor de g(4) + f(2) es A) a B) 3a C) 4a D) 5a E) 6a 3. Respecto a la función f(x) = 3, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) Su dominio es el conjunto de los números reales. II) Su recorrido es {3}. III) Su representación gráfica es una recta perpendicular al eje de las ordenadas. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 4. Según la gráfica de la función h, de la figura, la expresión analítica que mejor la representa es A) h(y) = 3 B) h(y) = 3 + y C) h(x) = x D) h(x) = 3 E) h(x) = 3 + x y 2 4 6 8 -2 -4 -6 2 4 6 -2 -4 x h(x)
  • 11. 11 APLICACIONES LINEALES En el quehacer cotidiano hay muchos problemas que se tratan con funciones, y por ende, es necesario saber expresar una situación práctica en términos de una relación funcional. La función que se obtiene produce un modelo matemático de la situación. EJEMPLOS 1. En la cuenta de energía eléctrica se consigna un cargo fijo de $ 641. Sabiendo que el cálculo de tarifas es un modelo lineal y que el valor del kWh es de $ 118, ¿cuál es la función que permite calcular el costo G de x kWh? A) G(x) = 641x B) G(x) = 641 + 118x C) G(x) = 118 + 641x D) G(x) = 118x E) G(x) = 118 – 641x 2. Si por cada 12 kilómetros recorridos un automóvil consume 1 litro de bencina, ¿cuál es el modelo lineal que permite calcular el consumo C de bencina en términos de la cantidad x de kilómetros recorridos? A) C(x) = 12x B) C(x) = x 12 C) C(x) = x + 12 D) C(x) = x – 12 E) C(x) = 12 x 3. Un plan telefónico mensual permite hablar hasta 6 horas pagando una cuota de $ 10.500. Todo minuto extra tiene un costo de $ a. Si x es el tiempo de llamadas en minutos, ¿cuál es la función que representa el costo mensual C para valores de x superiores al tiempo pactado? A) C(x) = ax – 10.500 B) C(x) = ax + 10.500 C) C(x) = a(x – 360) + 10.500 D) C(x) = a(360 – x) + 10.500 E) C(x) = a(x + 360) + 10.500 4. El perímetro de un terreno rectangular es 240 metros. Si el largo mide x metros, entonces la función que representa el área del terreno es A) f(x) = (240 – x) · x B) f(x) = (240 + x) · x C) f(x) = (120 – x) · x D) f(x) = (120 + x) · x E) f(x) = (120 – x) · 2x
  • 12. 12 EJERCICIOS 1. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función en el intervalo ]-2,2[? I) II) III) A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 2. ¿Cuál es el dominio de la función f(x) = 2 x 1 x 4   ? A) lR – {2} B) lR – {4} C) lR – {-2, 2} D) lR – {-2, 2, 4} E) lR – [-2, 2] 3. El recorrido de la función es f(x) = 5 x + 1 A) lR – {-1} B) lR – {0} C) lR D) lR – {1} E) lR – {5} 4. En la figura, están representadas las funciones f(x) y g(x), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)? I) a – b = 3 II) f(x) es creciente. III) g(x) es función lineal. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III y x 1 2 -1 -2 -2 -1 2 y x 1 2 -1 -2 -2 -1 2 1 y x 1 -1 -2 -2 -1 2 1 a 2 3 3 y x 2 1 b f(x) = x g(x)
  • 13. 13 5. Sea la función g(x) = 5x + 3, cuyo dominio es el conjunto de los números reales, ¿para qué valor de x su imagen es 18? A) Para el 93 B) Para el 18 C) Para el 15 D) Para el 5 E) Para el 3 6. De acuerdo al gráfico de la figura adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I) f(-2) = f(1) II) f(0) + f(3) = 3 III) f(-2) = f(3) A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) Ninguna de ellas. 7. La figura adjunta muestra el gráfico de una función y = f(x), definida en los reales. ¿Cuál es el valor de [f(-3) + f(3)] · f(0) – f(2)? A) 8 B) 7 C) 6 D) 4 E) 0 8. Si f(x) = 4x 1 x 2   , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f(-2) = 9 4 II) f(0) = 1 2 III) f(2) = 7 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III y x 1 2 -3 -4 -2 -1 2 1 3 4 3 4 5 6 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 y x -1
  • 14. 14 9. Si f y g son funciones reales tales que f(a) = a2 + a y g(a) = -a, entonces el valor de f(-1) – g(-2) es A) -3 B) -2 C) 0 D) 2 E) 3 10. ¿Cuál de las siguientes funciones cumple que f(a + b) = f(a) + f(b)? A) f(x) = x2 B) f(x) = 3x – 1 C) f(x) = 3x D) f(x) = x3 E) f(x) = x + 2 11. Con respecto a los datos de la tabla adjunta, ¿cuál de las siguientes relaciones representa una función entre w y z? A) z = 1 – 2w B) z = w + 2 C) w = 1 – 2z D) w = z + 4 E) z = -1 – 2w 12. Sea f(x) = ax + b con a, b números reales, entonces ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)? I) Si b ≠ 0, entonces f(x) es lineal. II) Si a ≠ 0, entonces f(x) es lineal. III) Si a ≠ 0 y b = 0, entonces f(x) es lineal. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Ninguna de ellas. z w -1 - 1 3 2 1 3 5 3 -3 -1
  • 15. 15 13. Un estanque posee un desagüe y una llave que sirve para llenarlo de agua. La función f que relaciona el tiempo de llenado y el contenido está representada en el gráfico de la figura adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) El estanque tiene una capacidad de 50 litros. II) Entre los 2 y 5 minutos la llave se encuentra cerrada, luego se abre el desagüe y en un minuto se vacían 40 litros. III) El estanque se vacía en 4 minutos. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III 14. Una función g, cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos, satisface que g(x + 1) · g(x) = 3, para todo x perteneciente a su dominio. Si g(1) = 9, entonces g(11) + g(20) = A) 47 B) 19 C) 2 3 D) 18 E) 28 3 15. Sean g y h funciones, ambas con domino el conjunto de los números reales, definidas por g(x) = x – 2 y por h(x) = 3x + 2. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I) g(g(x)) = g(x) II) g(h(x)) = h(x) – 2 III) h(g(-6)) = -22 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III 20 2 6 4 Tiempo (min) Contenido (litros) 40 60 8 10
  • 16. 16 16. Si f(x) = 2x – 1 , si x 1 3x + 2 , si x > 1     , entonces f(0) + f(2) -7f(1) = A) 1 B) - 7 2 C) - 35 2 D) -1 E) - 5 1 17. Si f(x) = 3x, entonces 3 ∙ f(3x) es igual a A) 81x B) 9x C) 81x2 D) 9x2 E) ninguna de las anteriores. 18. Si f(x + 1) = x2 – (a – 1)x + 2, entonces f(a)= A) -4a + 2 B) -2a C) 2a2 D) 2a E) 2 19. Sea la función real f(x) = px + 2, si f(-4) = 8, entonces el valor de p es A) -14 B) -2 C) -1,5 D) 1,5 E) 14
  • 17. 17 20. Si las funciones f y g verifican que (f o g) (x) = 14x + 27 y f(x) = 7x – 1, entonces (g o f) (x) es igual a A) 14x + 27 A) 2x + 4 B) 14x + 28 C) 14x + 2 D) (2x + 4)(7x – 1) 21. Si f(x + 1) = x2 – 1, entonces f(x – 1)= A) x + 1 B) x2 + 1 C) (x + 1)2 D) (x – 2)2 E) (x – 2)2 – 1 22. El recorrido de f(x) = 2x 5 4 3x   , con x ≠ 4 3 , es A) lR B) lR – 2 - 3       C) lR – 4 - 3       D) lR – 2 3       E) lR – 4 3       23. Se puede determinar los valores numéricos de a y b en la función definida por f(x) = ax – 3b, si: (1) La imagen de 0 es 6. (2) La preimagen de -4 es 2. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
  • 18. 18 24. Se puede determinar que la función f de la forma f(x) = ax + b, es una función lineal, si: (1) f(-3) = -1 y f(6) = 2 (2) a ∙ b = 0 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 25. Se definen f(x) = 2x – 2 y g(x) = -x + 3. Si g(a) = b, se puede determinar el valor numérico de f(b), si: (1) Se conoce a. (2) Se conoce b. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
  • 19. 19 RESPUESTAS EJEMPLOS MT-06 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/ Ejemplos Págs. 1 2 3 4 5 6 1 D 2 y 3 A E B C E 4 D A C 5 y 6 C E A B C B 7 y 8 D C E B 9 y 10 C B E D 11 B B C C RESPUESTAS EJERCICIOS PÁG. 12 1. B 6. A 11. C 16. D 21. E 2. C 7. B 12. C 17. E 22. B 3. B 8. C 13. D 18. E 23. C 4. E 9. B 14. E 19. C 24. A 5. E 10. C 15. D 20. D 25. D