S11 2 prob_comb_perm

ESTÁNDARES

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

PROBLEMA 1 PROBLEMA 2
PROBLEMA 3

PERMUTACIONES: ELEMENTOS REPETIDOS

PROBLEMA 4

PERMUTACIONES CIRCULARES

PROBLEMA 5 PROBLEMA 6
PROBLEMA 7 PROBLEMA 8 TERMINAR
PANTALLA
1
PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
COMPLETA

ESTÁNDAR 18
Los estudiantes usan principios
fundamentales de conteo para calcular
permutaciones y combinaciones.

2

n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)…(2)(1) es el factorial de un número.
6! = 6x5x4x3x2x1 = 720
8! = 8x7x6x5x4x3x2x1 = 40320

El facorial de 0 en uno: 0! = 1
Permutaciones
Un arreglo de cosas en un order dado; constituye una permutación. En
una permutación EL ORDEN ES IMPORTANTE.
Los arreglos de n objetos en una línea es una permutación lineal. El
número de permutaciones lineales de n objetos tomados r a la vez es
representado por P(n, r). En tanto que los objetos se distingan
perféctamente; cambiando aún un objeto crea una permutación
distinta. P(n,r) tiene el valor dado por la fórmula:

n!
nPr =
P(n, r) =
(n – r )!
3

Permutaciones vs combinaciones
Tenemos letras a, b, c, y d; y tomamos 3 a la vez. ¿Cuántas permutaciones y
cuántas combinaciones tenemos?
Encontremos los distintos grupos de 3 letras:

c c b b
b d a a a
d d c
b a a a
a c b c c b d b
d d d c
b a a a
d d d c
c c b b

1 abc 7 bac 13 cab 19 dab
2 abd 8 bad 14 cad 20 dac
3 acb 9 bca 15 cba 21 dba
4 acd 10 bcd 16 cbd 22 dbc
5 adb 11 bda 17 cda 23 dca
6 adc 12 bdc 18 cdb 24 dcb
4

Encontremos los distintos grupos de 3 letras:

c c b b
b d a a a
d d c
b a a a
a c b c c b d b
d d d c
b a a a
d d d c
c c b b

5



• Tenemos 24 permutaciones distintas donde el orden es importante.
• Cuando el orden no importa; solo tenemos 4 diferentes
combinaciones. Estas estan en los colores: rojo, azul, verde y negro.
• Por ejemplo, las que son rojas tienen las letras a, b, y c ordenadas
en formas distintas; pero siendo las mismas letras y por ello solo son
una combinación. 6

1 abc 7 abd 13 acd 19 bcd
2 acb 8 adb 14 adc 20 bdc
3 bac 9 bad 15 cad 21 cbd
4 bca 10 bda 16 cda 22 cdb
5 cab 11 dab 17 dac 23 dbc
6 cba 12 dba 18 dca 24 dcb

Permutaciones: Combinaciones:

n! n!
P(n, r) = C(n, r) = nCr
nPr (n – r )!r!
(n – r )!

4!
4! C(4, 3) =
P(4, 3) = (4 – 3 )!3!
(4 – 3 )! P(4, 3) = 24 C(4, 3) = 4

4x3x2x1 4x3x2x1
P(4, 3) = C(4, 3) = 7
1 1x3x2x1

¿De cuántas formas distintas podemos acomodar 4 sólidos geométricos en
una repisa; si los ecogemos de entre 9 sólidos geométricos diferentes?
Este es un evento dependiente y una permutación; porque una vez que
colocamos el primer sólido en la repisa este afecta las opciones de los
demás; y así sucesivamente. El orden es importante.

Permutaciones:

n!
P(n, r) =
(n – r )!

9!
P(9, 4) =
(9 – 4 )! P(9, 4) = 3024

9x8x7x6x5x4x3x2x1
P(9, 4) =
5x4x3x2x1 8

¿De cuantas formas distintas podemos poner 4 sólidos geométricos en una
bolsa; si los escogemos de entre 9 sólidos distintos?
Esta es una combinación, pues la posición de los sólidos geométricos en
la bolsa no es importante. Es dependiente porque el mismo sólido no se
puede escoger repetidamente.

9!
C(9, 4) =
(9 – 4 )!4!
9x8x7x6x5x4x3x2x1
C(9, 4) =
5x4x3x2x1x4x3x2x1

C(9, 4) = 126

Podemos poner 126 diferentes
combinaciones de sólidos en la bolsa.
9

De un grupo de 8 soldados del ejército, y 7 soldados de la guardia
nacional; se formará una unidad de 4 soldados del ejército y 3 de la
guardia. ¿Cuántas unidades distintas pueden formarse?

Esta es una combinación, pues no importa en que orden se escojan.
Es dependiente pues un soldado no se puede seleccionar 2 veces en la
unidad.
Formas de escoger a los soldados de
Combinaciones:
la guardia nacional:
n! 7!
C(n, r) = C(7, 3) =
(n – r )!r! (7 – 3 )!3!
7x6x5x4x3x2x1
Formas de escoger a los C(7, 3) =
4x3x2x1x3x2x1
soldados del ejército:
8! C(7, 3) = 35
C(8, 4) =
(8 – 4 )!4!
Formas de integrar la unidad:
8x7x6x5x4x3x2x1
C(8, 4) =
4x3x2x1x4x3x2x1 70x35= 2450
10
C(8, 4) = 70

Algunas veces tenemos que no todos los objetos se distinguen; este hecho se
debe tomar en cuenta al contar el número de permutaciones. Si x son
indistinguibles, y son también indistinguibles; entonces la cantidad de
permutaciones lineales de n objetos esta dado por la fórmula:
n!
x!y!

¿De cuantas maneras las letras en TELEVISION se pueden arreglar?

objetos distinguibles = T, L, V, S, O, N

objetos indistinguibles = E,E, and I, I

10! 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1
= = 907200
2!2! 2x1x2x1

Este es un evento dependiente. 11

¿De cuantas formas las letras en PARALLEL se pueden arreglar?

objetos distinguibles = P, R, E

objetos indistinguibles = A, A, y L, L, L

8! 8x7x6x5x4x3x2x1
= = 3360
2!3! 2x1x3x2x1

Este es un evento dependiente.

12

• Si n objetos distinguibles son arreglados en forma circular; esto
constituye una permutación circular. En una permutación circular ahy
solo (n – 1)! permutaciones circulares de n objetos.
• Una permutación circular implica que no hay un punto fijo en el
círculo. Si tenemos dicho punto; entonces la permutación circular es
considerada permutación lineal y tenemos n! permutaciones.
PUNTO FIJO

(5 – 1)! = 4!
= 4x3x2x1 = 24 5! = 5x4x3x2x1 = 120
13
NOTA: Ambos casos de arriba, implican que no podemos voltear el arreglo.

Si podemos voltear el arreglo, entonces; tenemos reflexiones. Cada arreglo
tiene una reflexión; pero es contado como solo una permutación. Por ello
dividimos el número de permutaciones entre 2.

línea de reflexión

24
(5 – 1)! = 4! = 12
2
= 4x3x2x1 = 24
14

Si podemos voltear el arreglo con un punto fijo, entonces; tenemos
reflexiones. Cada arreglo tiene una reflexión; pero es contado como solo una
permutación. Por ello dividimos el número de permutaciones entre 2.

línea de reflexión
PUNTO FIJO PUNTO FIJO

120
5! = 5x4x3x2x1 = 120 = 60
2
NOTA: Podemos voltear llaveros y brazaletes; ¡pero no podemos voltear
una mesa con gente! 15

Una permutación de objetos arreglados en líne; también se divide
entre dow si se determina que existen reflexiones para el arreglo. Esto
pasa por ejemplo cuando en un cine tenemos gente sentada en una fila
y son vistos desde la izquierda y derecha.

Vistos desde la Vistos desde la
izquierda derecha

6! = 6x5x4x3x2x1 720
720
= 310
2 16

¿De cuántas formas 6 miembros de una familia, pueden ser formados
lado a lado en el tramo recto de las gradas de un estadio; si el padre y la
madre tienen que estar sentados junto al pasillo. Con el padre en el
extremo izquierdo?

(1)(1)(4)(3)(2)(1) = 24
17

Escogemos 5 libros de una repisa conteniendo 14 libros. ¿Es
esto una combinación o un permutación? ¿De cuántas formas se
puede hacer?
Es una combinación pues orden no es importante.

14!
C(14, 5) =
(14 – 5 )!5!

C(14, 5) = 2002

18

¿De cuántas formas distintas podemos escoger 7 cartas de un juego
de 52 cartas? ¿Es esto una combinación o una permutación?
Puesto que el orden no es importante es combinación.

52!
C(52, 7) =
(52 – 7 )!7!

C(52, 7) = 133,784,560

¿De cuántas formas distintas se pueden poner en línea, sobre una
mesa, estas cartas¡
Esta es permutación pues el orden es importante.
7!
P(7, 4) =
(7 – 4 )!

P(7, 4) = 840
19

¿Cuántos comités distintos de 5 administradores, 8 maestros, y 4
estudiantes; pueden ser formados de entre 10 administradores, 30
maestros, y 10 estudiantes?
Esta es combinación pues el orden no tiene importancia.
Formas de escoger 5 administradores:
10!
C(10, 5) =
(10 – 5 )!5!
Formas distintas de integrar el comité:
C(10, 5) = 252

Formas de escoger 5 maestros:
30! (252)(5,852,925)(210) = 309,736,791,000
C(30, 8) =
(30 – 8 )!8!

C(30, 8) = 5,852,925
Formas de escoger 4 estudiantes:
10!
C(10, 4) =
(30 – 4 )!4!
20
C(10, 4) = 210 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved

S11 2 prob_comb_perm

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a S11 2 prob_comb_perm

Similar a S11 2 prob_comb_perm (20)

Último

Último (20)

S11 2 prob_comb_perm