2. Απαλοιφή m × n πίνακα
Εάν τόσο το οδηγό στοιχείο όσο και όλα τα στοιχεία κάτω
από αυτό είναι 0 τότε πήγαινε στην επόμενη στήλη
Κάτω από κάθε οδηγό έχουμε μηδέν
Κάθε οδηγός βρίσκεται στα δεξιά του οδηγού της από
πάνω γραμμής
Οι μη-μηδενικές γραμμές έρχονται πριν τις μηδενικές
6. Ανάλυση LU m × n πίνακα
Σε κάθε m × n πίνακα A αντιστοιχεί ένας πίνακας
μετάθεσης P, ένας κάτω τριγωνικός πίνακας L με 1
στην διαγώνιο και ένας m × n κλιμακωτός πίνακας
U έτσι ώστε PA = LU.
1 3 3 2
2 6 9 5=
−1 −3 3 0
7. Ανάλυση LU m × n πίνακα
Σε κάθε m × n πίνακα A αντιστοιχεί ένας πίνακας
μετάθεσης P, ένας κάτω τριγωνικός πίνακας L με 1
στην διαγώνιο και ένας m × n κλιμακωτός πίνακας
U έτσι ώστε PA = LU.
1 0 0
1 3 3 2
2 6 9 5= 2 1 0
−1 2 1
−1 −3 3 0
8. Ανάλυση LU m × n πίνακα
Σε κάθε m × n πίνακα A αντιστοιχεί ένας πίνακας
μετάθεσης P, ένας κάτω τριγωνικός πίνακας L με 1
στην διαγώνιο και ένας m × n κλιμακωτός πίνακας
U έτσι ώστε PA = LU.
1 0 0
1 3 3 2
1 3 3 2
2 6 9 5= 2 1 00 0 3 1
−1 2 1
0 0 0 0
−1 −3 3 0
11. Επίλυση ομογενούς m × n
Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
u
1 3 3 2
0
0 0 3 1 v = 0
w
0 0 0 0
0
y
−3v − y
v
x =
1
−3y
y
12. Επίλυση ομογενούς m × n
Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
u
1 3 3 2
0
0 0 3 1 v = 0
w
0 0 0 0
0
y
−3v − y
−1
−3
1
0
v
= v + y 1
x =
1
0
−
−3y
3
0
y
1
13. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
14. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
Απόδειξη.
x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0
15. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
Απόδειξη.
x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
16. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
Απόδειξη.
x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
⇒ x ∈ N (U).
17. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
Απόδειξη.
x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U)
18. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
Απόδειξη.
x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U)
x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0
19. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
Απόδειξη.
x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U)
x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ax = 0
20. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
Απόδειξη.
x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U)
x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ax = 0
⇒ x ∈ N (A).
21. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
Απόδειξη.
x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U)
x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ax = 0
⇒ x ∈ N (A). ΄Αρα N (U) ⊂ N (A)
22. N (A) = N (U)
Θεώρημα
Ο μηδενόχωρος ενός πίνακα A ισούται με τον μηδενόχωρο του
άνω-κλιμακωτού πίνακα U που προκύπτει απο την διαδικασία
της απαλοιφής στον A.
Απόδειξη.
x ∈ N (A) ⇒ Ax = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ux = L−1 0 ⇒ Ux = 0
⇒ x ∈ N (U). ΄Αρα N (A) ⊂ N (U)
x ∈ N (U) ⇒ Ux = 0 ⇒ LUx = 0 ⇒ Ax = 0
⇒ x ∈ N (A). ΄Αρα N (U) ⊂ N (A)
23. ΄Υπαρξη λύσης ομογενούς
Θεώρημα
Εάν το Ax = 0 έχει περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις
(n > m) τότε έχει μια τουλάχιστον μη-τετριμμένη λύση.