Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.

Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]

4.474 visualizaciones

Publicado el

Επιμέλεια: Σουρμπής, Βαρβαδούκας, Κουστέρης αποκλειστικά για το lisari

Publicado en: Educación
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Προσομοίωση Γ Λυκείου με απαντήσεις [2019]

  1. 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Ν.ΣΟΥΡΜΠΗΣ – Γ.ΒΑΡΒΑ∆ΟΥΚΑΣ – Χ.ΚΟΥΣΤΕΡΗΣ 17/5/2019 Θέμα Α Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ( ),α β , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 0x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν ( )f x 0′ > στο ( )0,xα και ( )f x 0′ < στο ( )0x ,β τότε να αποδείξετε ότι το ( )0f x είναι τοπικό μέγιστο της f. ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Α2. Θεωρήστε τον ισχυρισμό: «Αν οποιαδήποτε παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →R R δεν έχει τοπικά ακρότατα τότε ( )f x 0′ ≠ για κάθε x ∈R » Είναι o παραπάνω ισχυρισμός σωστός ή λάθος; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας . ΜΟΝΑΔΕΣ 4 Α3.Στο διπλανό σχήμα είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με δεδομένο ότι 1 2Ε = Ε να επιλέξετε την ορθή απάντηση για το ολοκλήρωμα ( ) 2 0 f x dxΙ = ∫ : α. Ι = 1 β. Ι = 2 γ. Ι = 3 ΜΟΝΑΔΕΣ 4 y = 1 f y x1 20 1 Ε2 Ε1 20.05.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 8
  2. 2. Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις με τη λέξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). 1. Αν η συνάρτηση f εφαρμόζει το Θ. Bolzano στο διάστημα [ ],α β τότε η f είναι συνεχής στο α. 2. Αν c 0> , τότε το cdx β α ∫ εκφράζει το εμβαδό ενός ορθογωνίου με βάση β – α και ύψος c. 3. Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού μεγαλύτερου του δύο έχει πάντοτε σημείο καμπής μεταξύ δυο διαδοχικών της ακροτάτων 4. Αν ( ) 0f x ≠ για κάθε x∈ℝ και ( ) ( )0 1 1f f = − τότε η f δεν είναι συνεχής. 5. Μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, όταν ένα κινητό που κινείται πάνω στη fC αυξάνοντας την τετμημένη του για να διαγράψει το αντίστοιχο τόξο πρέπει να στραφεί κατά τη θετική φορά. ΜΟΝΑΔΕΣ 10 Θέμα Β Έστω η συνάρτηση ( )f x x= με πεδίο ορισμού [ )0,Α = +∞ . Β1. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί η αντίστροφη συνάρτηση 1 f − ΜΟΝΑΔΕΣ 6 Β2. Να δείξετε ότι η ευθεία ( )ε που διέρχεται από τα σημεία ( )( ) ( )1,f 1 και Β 1,0Α − εφάπτεται στην γραφική παράσταση της f. ΜΟΝΑΔΕΣ 6 0 α β x y y = c 20.05.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 8
  3. 3. Β3. Να βρεθεί το εμβαδόν Ε χωρίου Ω που περικλείεται από την fC , τον άξονα x x′ και την ευθεία ( )ε ΜΟΝΑΔΕΣ 6 Β4. Να βρεθεί ο αριθμός α με ( )1,0α∈ − ώστε η ευθεία x = α να χωρίζει το χωρίο Ω σε δυο ισεμβαδικά χωρία. ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Θέμα Γ Δίνεται η συνάρτηση ( ) 4 f x x 4x 3, A= − + µε = R και η συνεχής συνάρτηση g στο [ ]0,1∆ = για την οποία ισχύει : ( ) ( )( ) 41 1 0 0 g x dx 4g x 3 dx   = −    ∫ ∫ Γ1. (α) Να δείξετε ότι ( )f x 0≥ για κάθε x ∈R (β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα (γ) Να χαράξετε την γραφική της παράσταση (δ) Να βρείτε το εμβαδόν χωρίου ανάμεσα στην f , τον άξονα x x′ και την εφαπτομένη ευθεία στο Μ ( )( )0,f 0 ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Γ2. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( ) 1 0 f x g x dx= ∫ έχει ακριβώς δύο ρίζες στο R ΜΟΝΑΔΕΣ 6 Γ3. Αν G μία παράγουσα της g στο Δ να δείξετε ότι υπάρχει ( )0,1ξ∈ ώστε η ευθεία ( ): y x Gε = + ξ − ξ να εφάπτεται στην G ΜΟΝΑΔΕΣ 6 Γ4. Να δείξετε ότι η εξίσωση : ( ) ( ) 1 1 2 4 0 0 x f x dx 1 g x dx e 1 x 1 − = − − ∫ ∫ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (0,1) ΜΟΝΑΔΕΣ 5 20.05.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 8
  4. 4. Θέμα Δ Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση f και η συνάρτηση h στο R για τις οποίες ισχύουν ότι : • ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f y f x 2 x y x y′ ′− − − ≤ − για κάθε x,y∈R • ( ) ( )x 0 f x 3 lim 2f 0 x→ − ′= • ( ) ( ) ( ) 2 h y h x x y− ≤ − για κάθε x,y∈R Δ1. (α) Να δείξετε ότι η h είναι σταθερή και ότι ( ) 2 f x x 3 ,x= − + ∈R . (β) Να βρεθεί ο ( )x 0, 3∈ ώστε το ορθογώνιο με κορυφές : ( ) ( )( )x,0 , B x,f x ,Α ( )( ) ( )Γ x,f x και Δ x,0− − να έχει μέγιστο εμβαδό. ΜΟΝΑΔΕΣ 5+5=10 Δ2. Έστω συνάρτηση g παραγωγίσιμη , κυρτή και γνησίως φθίνουσα στο [ ]g 1,1Α = − . Αν η γραφική παράσταση της g είναι εντός του τετραγώνου που προκύπτει στο ερώτημα Δ1 , να δείξετε ότι η διαγώνιος του ΒΔ έχει εξίσωση y = x + 1 και ένα μόνο κοινό σημείο με τη g το σημείο με συντεταγμένες ( ), 1Λ α α + . ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Δ Γ Β ΑΟ x y g 20.05.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 8
  5. 5. Δ3. Να λύσετε την εξίσωση: 5 3 5 3 g (x) g (x) g(x) (x 1) (x 1) (x 1)+ + = + + + + + στο [ ]g 1,1Α = − : ΜΟΝΑΔΕΣ 4 Δ4. Αν G μια παράγουσα της g στο [ ]0,1 και ( ) 1 1 g x dx 2 − <∫ , να δείξετε ότι: (α) ( )g 0 1< (β) ( ) ( )( ) 1 x x 0 lim G 2x G x x e+ →   − − = −∞    ΜΟΝΑΔΕΣ 6 The cleverest of all in my opinion is the man who calls himself a fool at least once a month (F.Dostoevsky) 20.05.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 8
  6. 6. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό σελ 144. Α2. Λάθος διότι η ( ) 3 f x x= δεν έχει τοπικό ακρότατο αλλά ( )0 0f ′ = . Α3. (β) Α4. 1Λ , 2Σ , 3Σ , 4Σ , 5Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Για x > 0 ισχύει ( ) 1 0 2 f x x ′ = > άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α οπότε αντιστρέφεται με ( )1 2 f x x− = , με ( ) [ )1 0,f A f A− = = +∞ . B2. Είναι ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 2 fλΑΒ − ′= = = − − και το Α κοινό σημείο άρα εφάπτονται. Β3. Το ζητούμενο εμβαδόν προκύπτει από την αφαίρεση του εμβαδού τριγώνου και του χωρίου από την f , τον x΄x , x = 0 , x = 1 άρα 1 0 1 1 2 1 2 3 xdxΕ = ⋅ ⋅ − =∫ Β4. Πρέπει 1 1 1 1 6 3 1 2 2 2 6 3 α α α Ε + − Ε = ⇔ + ⋅ = ⇔ = . ΘΕΜΑ Γ Γ1. Είναι ( ) ( )3 4 1f x x′ = − Και έχει ελάχιστο ( )1 0f = άρα ( ) 0f x ≥ για x∈ℝ και ( ]( ) [ )( ) [ ),1 1, 0,f f−∞ = +∞ = +∞ ( ) 2 12 0f x x′′ = ≥ η f είναι κυρτή στο ℝ . 1 +- Ε 1 20.05.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 8
  7. 7. Η εφαπτομένη είναι η 4 3y x= − + και το ζητούμενο εμβαδόν είναι ( ) 1 0 1 3 3 .... 2 4 f x dxΕ = − ⋅ ⋅ =∫ Γ2. Από την υπόθεση έχουμε ( ) 1 0 0f g x dx   =    ∫ και λόγω μονοτονίας ( ) 1 0 1g x dx =∫ άρα ( ) ( )1 21 , 1f f∈ Α ∈ Α οπότε η εξίσωση έχει ακριβώς δυο ρίζες. Γ3. Με ΘΜΤ στην G στο [ ]0,1 και χρήση του προηγούμενου ερωτήματος. Γ4. Από το ελάχιστο της f και Θ. Bolzano … ΘΕΜΑ Δ Δ1. Για ( ) ( ) ( ) ( )2 0 0 0 0 0 0 0 : x x h x h x y x h x h x x x x x x x ≠ − = − ≤ − ⇔ ≤ − ⇔ − ( ) ( )0 0 0 0 h x h x x x x x x x − ⇔ − − ≤ ≤ − − Από Κ.Π. έχω ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim 0 0 x x h x h x h x x x→ − ′= ⇒ = − για κάθε 0x ∈ℝ , άρα ( )h x C ήσταθερ= = . Έχω ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2f y y f x x x y′ ′+ − + ≤ − άρα από προηγούμενο έχω ότι η ( ) 2f x x c′ + = . Από το όριο παίρνω ( )0 3f = και ( )0 0f ′ = άρα ( ) 2 3f x x= − + . ( )( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 2 3 2 6fα α α α α α αΕ = Α∆ ΑΒ = ⋅ = − + = − + = Ε ( ) 2 6 6α α′Ε = − + Μέγιστο για α = 1. 1 + - Μ 20.05.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 8
  8. 8. Δ2. ( ) 2 0 2 1 1 2 λΒ∆ − = = − − άρα ( )0 1 1y x y x− = + ⇔ = + Θεωρώ ( ) ( ) 1x g x xϕ = − − H φ συνεχής στο [ ]1,1− ( ) ( )1 1 2 0gϕ = − < ( ) . .... 0ϕ α Θ Β ⇒ = ( ) ( ) ( )1 1 0 1 0g gϕ − = − − = − > ( ) 1g α α⇔ = + (μοναδική , η φ γνησίως φθίνουσα στο Αφ) Δ3. Θεωρούμε την συνάρτηση ( ) 5 3 x x x xϕ = + + που είναι γνησίως αύξουσα στο Α , διότι ( ) 4 2 5 3 1 0x x xϕ′ = + + > και η εξίσωση γίνεται : ( )( ) ( ) ( )1 1g x x g x xϕ ϕ= + ⇔ = + , που από το προηγούμενο ερώτημα έχει μια ρίζα το α. Δ4. H g είναι κυρτή άρα πάνω από κάθε εφαπτομένη ευθεία , οπότε ( ) ( ) ( )0 0g x g x g′≥ + για κάθε [ ]0,1x∈ , οπότε ολοκληρώνοντας προκύπτει το ζητούμενο. Για το όριο πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με x οπότε με DLH προκύπτει το ζητούμενο. -1 0 20.05.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 8

×