Επιμέλεια: Γιώργος Χασάπης για το lisari.blogspot.com

1. Επιμέλεια πρότασης + απόδειξης: Γιώργος Χασάπης
Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com
Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση f άρτιου βαθμού
λαμβάνει μέγιστο ή ελάχιστο.
Συγκεκριμένα,
 αν ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου της f είναι θετικός, τότε η f λαμβάνει
ελάχιστο στο R.
 αν ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου της f είναι αρνητικός, τότε η f λαμβάνει
μέγιστο στο R.
Απόδειξη
Έστω ότι ο βαθμός της f είναι 2ν, όπου ο ν είναι φυσικός μεγαλύτερος ή ίσος του 1
και έστω ότι:
  2ν 2ν 1
2ν 2ν 1 0f x α x α x α ,
   για κάθε xR
όπου οι iα R και 2να 0 .
Έχουμε:
     2ν
x x
lim f x lim f x α
 
     ή  .
 Αν 2να 0 , τότε τα παραπάνω όρια είναι και τα δύο  , άρα υπάρχουν
πραγματικοί αριθμοί 1 2m ,m με 1 2m m τέτοιοι, ώστε
   f 0 f x , για κάθε  1x ,m  και    f 0 f x , για κάθε  2x m ,  .
Η f είναι συνεχής και μη σταθερή στο 1 2[m ,m ], άρα λαμβάνει σε αυτό
ελάχιστο, δηλαδή υπάρχει  0 1 2x m ,m τέτοιο, ώστε:
   0f x f x , για κάθε  1 2x m ,m .
To     0m min f 0 ,f x είναι το ελάχιστο της f στο R.
 Αν 2να 0 , τότε τα παραπάνω όρια είναι και τα δύο  , άρα υπάρχουν
πραγματικοί αριθμοί 1 2Μ ,Μ με 1 2Μ Μ τέτοιοι, ώστε
   f x f 0 , για κάθε  1x ,Μ  και    f x f 0 , για κάθε  2x Μ , 
Η f είναι συνεχής και μη σταθερή στο 1 2[Μ ,Μ ], άρα λαμβάνει σε αυτό μέγιστο,
δηλαδή υπάρχει  0 1 2x m ,m  τέτοιο, ώστε:
   0f x f x , για κάθε  1 2x M ,M .
To     0Μ max f 0 ,f x είναι το μέγιστο της f στο R.

2. Επιμέλεια πρότασης + απόδειξης: Γιώργος Χασάπης
Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com
Σημείωση:
1) Αν η πολυωνυμική συνάρτηση είναι περιττού βαθμού, τότε το σύνολο τιμών της
είναι το R (γιατί;), άρα δεν παρουσιάζει ολικά ακρότατα.
2) Η παραπάνω πρόταση αποτελεί γενίκευση των όσων γνωρίζουμε για το σύνολο
τιμών της συνάρτησης   2
f x αx βx γ   με α,β,γR και α 0 .