mecánica de fluidos

1. XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA
AMH
ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012
AMH
ESTUDIO EN MODELO FÍSICO DEL FENÓMENO DE SEPARACIÓN DE COLUMNA
*René Autrique Ruiz
**Eduardo Rodal Canales, Alejandro Sánchez Huerta y Libia Carmona
*Policonductos, Cracovia No. 54, San Ángel, 01000 México, D.F.
(0052) (444)8241498; rautrique@prodigy.net.mx
**Instituto de Ingeniería, UNAM, Ciudad Universitaria, México D.F.
(0052) (55)56233500 ext 1100; erc@pumas.ii.unam.mx
Introducción
por el cierre de la válvula, es positiva y viaja hacia aguas
arriba.
El fenómeno conocido como separación de columna ocurre en
aquellos sistemas de conducción de agua a presión, cuando
transitoriamenteen algúnpunto, esta desciende a la presión de
vapor. Como consecuencia inicia la formación de una cavidad
de vapor cuya presencia separa el comportamiento dinámico
entre las columnas que están antes y después de la cavidad por
lo que debido a esto recibe su nombre.
La separación de columna ocurre en la válvula, cuando retorna
la onda, al reflejarse en el tanque de presión constante, como
onda de presión negativa.
La separación de columna es un fenómeno transitorio y se
produce como resultado de cambios en las condiciones de
frontera de un sistema. Los cambios del sistema que pueden
provocarla son: cierre brusco de una válvula al inicio o al final
de una conducción, cambios repentinos de la demanda de agua,
paros programados o accidentales de equipos de bombeo y en
casos extremos como consecuencia de la ruptura de tuberías.
Nosotros pensamos que esta condición representa, de manera
más genuina, al comportamiento del fenómeno en un sistema
de conducción.
Una condición necesaria para que ocurra la separación de
columna,es que exista una onda de presión transitoria
negativaque viaje a través de la línea de conducción que
reduzca
la presión en algún punto a la presión de
vaporización. Bajo esta presión, aparecen una gran cantidad de
pequeñas burbujas que tienden a aglutinarse hasta formar una
sola cavidad de vapor de agua. Esta cavidad crece en volumen
absorbiendo la energía cinética del flujo, alcanza su máximo
tamaño y posteriormente inicia su reducción hasta colapsar. A
este último proceso se le conoce como reunión de columna y
esta asociado a una sobrepresióntransitoria.
Dos problemas principales interesan al estudiar este fenómeno:
el tamaño y duración de la cavidad de vapor de agua y el
cálculo de las presiones máximas y mínimas que ocurrirán por
este efecto.
En nuestros experimentos, la válvula de cierre brusco se ubica
al inicio de la conducción, generando directa e inmediatamente
la onda de presión negativa y por tanto la vaporización con su
correspondiente cavidad.
Desarrollo teórico
Para el primer problema consideremos el esquema mostrado en
la figura 1, donde la cavidad de vapor inició su crecimiento
como consecuencia del cierre brusco de la válvula en t=0. Una
vez que la cavidad existe, la presión en la misma permanece
constante e igual a la presión de vapor del agua.
En el tratado clásico de golpe de ariete, donde no se alcance en
ningún sitio la presión de vapor, la presión de Joukowsky,
, es considerada la sobrepresión máxima posible.
Sin embargo, en el caso de la separación de columna, han sido
medidas sobrepresiones transitorias mayores a la
deJoukowsky, como lo indican diversas publicaciones.
Particularmente este casoocurre por reflexiones y
superposiciones de ondas, que bajo ciertas condiciones,se
traslapan sobre las presiones transitorias tradicionales, dando
origen a picos de presión mayores a los esperados.
La separación de columna ha sido tradicionalmente estudiada y
reportada en la literatura técnica, para experimentos que
corresponden al cierre brusco de unaválvula al final de una
conducción que es alimentada desde un tanque de carga
constante. En esos casos, la primera onda de presión provocada
Figura 1.Esquema de la instalación utilizada.
Por lo que aplicandoel balance de cantidad de movimiento para
la columna aguas abajo de la cavidad (incluyendo a la
fricción),se puede escribir que:

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Que presentándolo enla forma clásica de laecuación dinámica
para oscilación de masa, se obtiene la siguiente ecuación
diferencial:
AMH
original de Anderson fue preparada para el registro en la
válvula para un cierre aguas abajo. Si consideramos un cierre
aguas arriba, refiriéndonos aun experimento real (Sánchez H.,
1987), la figura 2 es obtenida.
dondeH representa a
.
Despreciando el valor de la
, entonces Hrepresenta la
presión absoluta del agua al inicio de la conducción.
Jaeger (1977), planteó una primera aproximación a la solución
de esta ecuación diferencial,integrándolapara obtener el tiempo
para que la cavidad alcance su máximo tamaño,
.
El resultado conduce a las siguientes fórmulasmatemáticas,
considerando, el caso en que la fricción en la conducción es
despreciable y cuando no lo es, por lo que tenemos:
F=0
(1)
y para
F≠0
(2)
El segundo problema, y el más importante desde el punto de
vista del diseño, es el cálculo de las máximas y mínimas
presiones en la conducción.
Para el análisis clásico del golpe de ariete, la presión mínima
será:
(3)
donde
es la sobrepresión de Joukowsky. La
máxima presión, correspondiente al retorno de la onda
positiva, asumiendo que no hay pérdida de energía, es:
Figura 2.Registro de presión para el cierre aguas arriba.
En este ejemplo, la cavidad de vapor existe un tiempo mayor al
periodo
.La onda de presiónes reflejada en el tanque de
presión constante al final de la tubería como onda positivay
encuentra a la cavidad de vapor como una nueva frontera de
presión constante y es reflejada como una nueva onda con
signo negativo. Esta onda es nuevamente reflejada por el
tanque como onda de presión positiva yarribará a un tiempo
de
más tarde. Al tiempo
,la cavidad colapsa y
genera una sobrepresión y al arribar la onda que regresa por
segunda vez, se superpone provocando el pico mostrado en la
figura 2. La explicación anterior asume que solo se forma una
cavidad y que esta se comporta como una frontera de presión
constante capaz de reflejar a la onda incidente con signo
contrario.
(4)
Parámetros adimensionados
De la ecuación (3), es claro que si la presión absoluta
es
menor que la de Joukowsky, la vaporización ocurrirá y una
cavidad de vapor será formada.
La presión mínima no podrá alcanzar valores menores a la de
vaporización, inclusive para transitorios de gran magnitud,
donde
puede ser mucho mayor a . Por tanto, la mínima
presión de diseño queda determinada.
Siguiendo a teoría clásica del golpe de ariete, nosotros
podríamos esperar que la ecuación (4) defina el valor máximo
de sobrepresión. Sin embargo, experimentos de laboratorio,
han mostrado que la presión puede alcanzar valores mayores.
Esta situación fue exhaustivamente reportada por Martin
(1983) y Carmona et al (1987, 1988). Una clara explicación
gráfica de este fenómeno puede ser consultada en el trabajo
hecho por Anderson et al (1991)[figura 1, pag 42]. La figura
Los siguientes parámetros adimensionados son utilizados en el
análisis e interpretación del fenómeno de separación de
columna:
a.La magnitud del transitorio, M, la cual es el cociente entre la
presión de Joukowsky y la presión absoluta inicial, Ho, aguas
arriba de la válvula. Este parámetro es
de Allievi (1921) y
el parámetro de Martin (1983) y Carmona et al (1987, 1988).
b. La máxima sobrepresión relativa
, o el cociente entre
y la presión de Joukowsky. Para este
efecto,Wylie y Streeter (1993)[pag 194], citado por Bergant et
al (2006), establece que la sobrepresión máxima posible
es
la cual puede escribirse en forma
adimensional como:

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1+
(5)
Analizando esta expresión, se puede concluir que la máxima
sobrepresión relativa corresponde al valor mínimo de M, o bien
al transitorio menos severo. De (5), en un caso ideal sin
pérdidas de energía ni atenuación de las ondas,
puede
alcanzar un valor
, solo si
, y
si el
mínimo transitorio (en el que se tenga separación de columna)
corresponde a
y
.
c. La duración de la cavidad relativa al periodo de la
conducción
. Si aceptamos que el tiempo teórico
de desarrollo de la cavidad hasta su máximo tamaño mas el de
su colapso es de
, obtenemos que
que es igual al parámetro adimensional M. Esto
implica, que para condiciones de experimentos reales,
calculado con el tiempo total de la cavidad medida y el
valor de M, deben tener valores cercanos. Wylie and Streeter
(1993) [p 192-196],citado nuevamente por Bergant et al
(2006), mostrando que la duración de la primera cavidad de
vapor es:
dedonde
Modelo Físico
El modelo físico esta formado por tubos de 102 mm de
diámetro, en acero o 114 mmde diámetro, en PEAD, con 86 o
110 m de longitud, con tubos colocados horizontalmente con
una curva intermedia. La tubería esta instalada entre dos
tanques hidroneumáticos, al inicio y final de la conducción,
que simulan condiciones de carga constante. En cada extremo
de la conducción existe una válvula de mariposa con actuador
automático con tiempos de cierre controlables.
PC. El caudal es determinado mediante placa orificio y
manómetro diferencial de mercurio. Se dispone de dos bombas
de 11 Kw (15 hp), para operarlas en serie o paralelo con lo que
se puede alcanzar caudales máximos de 20 l/s con una presión
de 40m o 10 l/s con 80m. La instalación permitió ensayar
velocidades desde 0.56 a 3.6 m/s.
Las tuberías ensayadas corresponden a diferentes
configuraciones formadas con tubería de acero de D/e=64,
PEAD de D/e= 7, 21, 32.5 y 41, permitiendo obtener
combinaciones de las mismas que varían su celeridad (desde c
= 185 a 1180 m/s) con lo que los periodos 2L/c van de 0.15 a
1.25 s. Las sobrepresiones de Joukowsky alcanzadas van de 25
a 245m y la severidad de los transitorios fue de M = 1 a 10.
El modelo esta localizado en la ciudad de San Luis Potosí,
México a 1900 metros sobre el nivel del mar por lo que la
presión atmosférica es de 8 m.
Experimentos
La Tabla1 resume las configuraciones de los arreglos
ensayados y los rangos de los valores de las variables y
parámetros
calculados
a
partir
de
las
medicionescorrespondientes a cada arreglo.Las presiones
señaladas son absolutas y se presentan en mca. Se probaron
inicialmente las configuraciones del modelo: solo tubería de
acero, acero + PVC transparente, acero + PVC + PEAD.
Posteriormente se probó PEAD, con D/e = 7, 32.5 y 41 + PVC
transparente, colocado en los extremos para visualización.
Para todas las configuraciones el gasto se varió de 6 a 20 l/s y
por tanto, la velocidad de 0.65 a 3.6 m/s. La presión media a la
descarga se mantuvo en un orden de 23 mca (absoluta),
variándola para obtener diferentes valores de M. Cada
experimento contó con su registro de presión en la válvula y
video de la cavidad respectivos.
Tabla1. Configuraciones del modelo, materiales, yrango de las
principales variables y parámetros
(1ª parte)
No
Materiales de
configuración
la
[m]
[m/s]
[s]
[m/s]
1
Acero
86
1181
0.15
1.022.55
2
Acero
92
1041
0.18
0.662.55
110
704
0.31
0.642.55
110
488
0.45
1.143.41
0.892.22
3
Acero + PE
Figura 3. Esquema isométrico del modelo físico
4
El tiempo mínimo de cierre es de 0.2 s. Se colocaron, en
ambos extremos justo al lado de las válvulas, tuberías de PVC
transparente de 3m, con el fin de poder observar la formación
de la cavidad. La presión transitoria se registró mediante
transductores de presión y se almacenó e forma digital en una
PEAD
5
PEAD
110
219
1.00
6
PEAD
110
186
1.18
1.50

4. XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA
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(2ª parte)
valores mayores de M. Es también claro que la ecuación (5)
representa el límite teórico máximo de
No
[m]
123
1
-307
70
2
-270
46
3
-183
57
4
-170
20
5
-50
28
6
AMH
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M
[m]
24-31
5.1-10.1
5.9-13.8
0.99-0.78
23-35
3.3-7.8
3.1-12.4
1.02-0.79
23-34
1.7-5.5
2.1-7.8
1.14-0.72
23-42
2.5-4.1
2.0-5.8
1.03-0.51
15-30
1.3-1.7
1.4-2.1
1.16-0.53
24-29
1.0-1.2
1.2-1.5
0.87-0.83
NOTA: Todas las configuraciones, con excepción de la configuración
1, tienen un tramo al inicio de 3 m de longitud de PVC transparente
para visualizar el fenómeno.
Adicional se agregaron 12 experimentos desarrollados en 1987
en el laboratorio de Hidromecánica del Instituto de Ingeniería
de la UNAM (Sánchez H, 1987), la tabla 2 resume los
experimentos. Los experimentos corresponden a cierres de
válvula aguas arriba, en una línea de fierro galvanizado de 114
mm de diámetro extendida horizontalmente y con una longitud
L = 1470 m de longitud. En este modelo c = 1280 m/s y por
tanto T = 2.30s. Los experimentos se agruparon de acuerdo al
rango de velocidades.
La figura 5 muestra la correspondencia entre el parámetro
adimensional
y ,
con
ligeramente
mayor
a .Transitorios severos implican longitudes de cavidades
mayores y por tanto también de mayor duración. Existiendo
una gran cantidad de recorridos entre la cavidad y el tanquela
onda que finalmente se superpone al colapso se debilita por lo
que no aporta una sobrepresión importante.
La figura 6 muestra una tendencia similar a la 4. Esto
demuestra que hay una relación inversamente proporcional de
con v0 por lo que puede aproximarse como
,
donde
. En la figura 6 se observa que los
valores mas altos de
corresponden a valores bajos o muy
bajos de velocidad del agua, particularmente a valores menores
a 1 m/s. Para velocidades iniciales del agua mayores a 1.5 m/s,
los valores de
son inferiores a 1, lo que significa que no
alcanzaron la sobrepresión de Joukowsky.
Esta es una importante observación ya que el diámetro
económico de la mayoría de los sistemas de conducciónde
agua a presión resulta mayor a 1.5 m/s.
La figura 7 muestra la relación directa entre
y
de manera
congruente a lo descrito con la ecuación (1). Para diferentes
configuraciones y por tanto, diferentes celeridades, se observa
una relación casi lineal.
Grandes velocidades implican longitudes largas de la cavidad
de vapor.
En las figuras 4 a 7 se agregaron 4 experimentos reportados
por Martin (1983) y 4 más por Bergant y Simpson (1999).
Tabla 2. IIUNAM rango de experimentos y de las variables
importantes.
No
[m/s]
[m]
[m]
1
0.3 a
0.4
42 a
51
20 a
45
1.1 a
2.1
0.9 a
1.9
1.0 a
1.7
2
0.5 a
0.6
64 a
76
36 a
66
1.1a
2.0
1.0 a
2.0
1.1 a
1.9
3
0.7 a
0.8
91 a
104
52 a
80
1.1a
2.0
0.9 a
2.1
1.0 a
1.3
Figura 4. Máximo relativo de sobrepresión
contra
Análisis de resultados
Los resultados de los experimentos indicados en las tablas 1, 2
y 3 son mostrados en las figuras 4 a 7.
La figura 4 muestra el máximo relativo de sobrepresión,
contra , la magnitud del transitorio. Es claro que el valor
mas alto de
corresponde al menor valor de
,
particularmente para valores menores a 2.
cae por debajo
de 1 para valores de M > 4, y continua decreciendo para
Figura 5. Tiempo de cavidad relativo
contra

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(b) configuración 4
Figura 6. Máximo relativo de sobrepresión
contra
(c) configuración 3
Figura 7. Tiempo de cavidad relativo
contra
Las figuras 8 a, b, c y d, muestran diferentes formas de registro
para diferentes configuraciones y magnitudes del transitorio en
los experimentos de San Luis Potosí. El orden en que se
presentan esta en valores de Mdecrecientes.La tabla 3 muestra
las principales variables y los parámetros para cada caso.
Tabla 3. Principales variables y parámetros adimensionales para
diferentes configuraciones de la figura 8
∆hJ
c
T
[m/s]
[s]
[m/s]
[m]
a
1041
0.18
2.29
243.0
7.4
0.79
b
488
0.45
3.41
169.6
4.05
0.54
c
704
0.31
0.64
45.9
1.65
1.11
d
219
1.00
1.56
34.8
1.32
(d) configuración 5
Figura 8. Registros de presión (tabla 3)
Las figuras 9 a, b y c, muestran diferentes formas de registro
correspondientes a parejas de valores
y
en los
experimentos del IIUNAM. En las tres figuras se observan
claramente los efectos de superposición de ondas positivas
resultando en valores altos de
. El orden en que se
presentan esta en valores de M crecientes.
0.90
Fig8
M
La tabla 4 muestra las principales variables y los parámetros
para cada caso. La tabla y las figuras confirman el hecho de
que
altos se obtienen para valores de M bajos y por tanto
velocidades del agua bajas.
Tabla 4. Principales variables y parámetros adimensionales para
los experimentos del IIUNAM
Fig 9
∆hJ
M
[m]
[m]
a
0.55
67
71.8
1.07
1.82
b
0.38
38
49.6
1.31
1.62
c
(a) configuración 2
[m/s]
0.32
22
41.8
1.90
0.96

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asicomo grandes tiempos de existencia de la cavidad, no
causan sobrepresiones mayores a las de Joukowsky debido a la
atenuación significativa de las ondas antes de que se
superpongan. En particular
> 1 es poco probable para M
> 4 y > 1.5 m/s. La figura 6 muestra la relación inversa
y .
d) Para una primera aproximación al análisis del transitorio
para el diseño de un sistema de conducción las figuras 4 y 6
pueden ser usadas como referencia.
(a)
f ) El diseño final, por supuesto debe ser analizado por medio
de el calculo numérico de algún paquete específico y
verificado con pruebas específicas.
Notación
Presión en el tanque, N/m2
Presión atmosférica local, N/m2
Presión de vaporización del agua, N/m2
(b)
Pérdida por fricción, N/m2
Presión absoluta en la válvula, m
Presión inicial absoluta en la válvula, m
Densidad del agua, kg/m3
Aceleración de la gravedad, m/s2
Peso específico del agua, N/m3
Presión absoluta transitoria máxima, m
Sobrepresión máxima transitoria, (
Sobrepresión deJoukowsky, m
(c)
Figura 9. Registros de presión (tabla 4)
Sobrepresión máxima relativa, (
Magnitud del transitorio, (
Velocidad del agua en la columna, m/s
Conclusiones y recomendaciones de diseño
para un análisis preliminar
Velocidadinicial, m/s
a)La separación de columna es un fenómeno transitorio que
puede explicarse y clasificarse usando tres parámetros
adimensionales: , la magnitud del transitorio, igual a
;
Tiempo de crecimiento de la cavidad, s
, la máxima sobrepresión relativa,
, y
, la duración relativa de la cavidad de vapor formada por
la válvula de aguas arriba.
b) Para bajas magnitudes del transitorioM, en la separación de
columna pueden ocurrir superposiciones de ondas de presión
positivas capaces de causar sobrepresiones cercanas a dos
veces la de Joukowsky. En cambio, para altas magnitudes del
transitorio, considerando la pérdida de energía, la sobrepresión
de Joukowsky nunca será alcanzada. La figura 3 muestra la
clara relación inversa entre
y M. La ecuación (5), graficada
en la figura, muestra el valor teórico límite para
.
c) El valor más alto de
fue obtenido para bajas magnitudes
del transitorio M y para valores bajos de velocidad del agua.
Medianos y altos valores de M, asociados con velocidades del
agua grandes y por tanto con cavidades de vapor grandes
Tiempo de duración de la cavidad,s
Tiempo relativo de la cavidad, (
Periodo de la línea, (
, s
Longitud de la tubería en el modelo físico, m
Celeridad de las ondas de presión, m/s
Diámetro exterior de la tubería, m
Cociente entre el diámetro exterior y el espesor
Área de sección de la tubería, m2
Factor de fricción,
s2/m
Coeficiente de fricción de Darcy-Weisbach
Factor de proporcionalidad inversa
,m

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Referencias
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(1987) “Experimental relation between the highest transient
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International Conference on Pressure Surges, BHRA Fluid
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UNAM, Mexico (in Spanish).
11.-Wylie , E. B., and Streeter, V. L. (1993) Fluid Transients
in Systems. Prentice Hall, New Jersey.
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