stabilizing control via feedback linearization and high-gain observer

1. NONLINEAR CONTROL: STABILIZING CONTROL VIA FEEDBACK
LINEARIZATION AND HIGH-GAIN OBSERVER
“GERADOR SÍNCRONO CONECTADO A UMA BARRA INFINITA”
Manuel Ricardo Vargas Ávila
Manuel06_20@hotmail.com
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
ELE222- Sistemas Não Lineares
RESUMO: O presente documento consiste em um A ideia central consiste em transformar
relato das atividades desenvolvidas durante o capítulos algebricamente dinâmicas não lineares em sistemas
12 do libro NONLINEAR SYSTEM de Hassan K. Khalil 3 (totalmente ou parcialmente) lineares, de modo que as
Ed da disciplina do Programa de Pós-Graduação em técnicas de controle lineares podem ser aplicadas.
Engenharia Elétrica -sistemas não lineares, o qual A maioria das abordagens de linearização por
consiste em na aplicação de controle não linear a partir realimentação são com base na linearização entrada-
da linearização por realimentação. Esta linearização não saída ou linearização espaço-estado. Neste relatório nós
é igual a linearização “jacobiana” aproximada do sistema, vamos presentar a segunda técnica que é aplicado no
a diferencia é que esta linearização por realimentação caso quando a dinâmica não linear do sistema não está
converte exatamente o sistema em lineal. Este capitulo na forma canônica controlável, com esta técnica nós
está dividido em várias partes, mas apenas nós vamos podemos obter um modelo linear que resulta numa
estudar a parte “Input-State Linearization” e “State representação exata do modelo não linear original ao
feedback control”. Será feita uma breve introdução dos longo de um conjunto de condições.
principais conceitos envolvidos sobre um sistema não
linear Linearizable. Em seguida, será feito um
desenvolvimento teórico sobre a linearização entrada- 2 BASE TEÓRICA
estado o qual será aplicado a um motor gerador síncrono
conectado a uma barra infinita, e uma vez definido o
modelo lineal sera feito um projeto de controle ótimo, 2.1 LINEARIZAÇÃO ENTRADA-ESTADO
linear-quadratic-regulator (LQR), depois será feito um
desenvolvimento teórico sobre a implementação do
observador de alto ganho no sistema não linear.
Finalmente, serão mostrados e discutidos os resultados
para pontos de equilíbrio assintoticamente estáveis a
traves de simulações com Simulink.
PALAVRAS-CHAVE: Linearização, variáveis de
estado, difeomorfismo, LQR, Matlab.
Figura1 - Input-state linearization
1 INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO1: Considerando o seguinte sistema
não-linear SISO1, representado no modelo state-space
Linearização por realimentação é uma das técnicas da forma:
de controle mais conhecidas para lidar com os sistemas
não lineares e é muito eficaz em problemas de controle ̇ ( ) ( ) (1)
na vida real. No entanto, existe também uma série de
limitações associadas com o abordagem de linearização. ( )
A primeira limitações é que ele não pode ser usado
para todos os sistemas não lineares (não todos os Onde ( ) é o vetor de estados, ( ) éa
sistemas são linearizable feedback). entrada, ( ) é a medição da saída, e e
A segunda limitação é que todos os estados do definidas no domínio .A equação (1) é
sistema devem ser acessíveis. linearizable entrada-estado si um difeomorfismo2
A terceira é que a robustez da técnica não é ( ) contem o origem e o troco
garantida em presencia de incerteza. de variáveis
1 2
Sistema que tem uma entrada e uma saída É uma mudança de variáveis T tal que ( ) esta
definido no domínio , sua inversa ( ) está definida
em ( ).
1

2. ( ) (2) A equação (7) é equivalente a:
A equação (2) transforma o sistema (1) em:
( ) ( )
̇ ( ) ( ) (3) ( ) ( )
( )
( ( ))
( ) ( )
Onde: ( )
( )
( )
 Controle linearizante
( ) (4) A equação (8) é equivalente a:
( )
 (A,B) controlável e ( ) não singular em ( )
.
( )
A não linearidade do sistema pode ser eliminada ( )
pela equação (4), o qual pode estar definida em um ( )
domínio e por tanto a linearização só será linear em
aquele domínio.
( ) ( )
Escrevendo ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))
Nós podemos reescrever (3) expressado nas novas
coordenadas: A existência de que satisfazem (10) e
(11) é uma condição necessário e suficiente para que (1)
seja linearizavel entrada-estado.
̇ ( ) ( ) (5)
3 CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO
DE ESTADOS
Mas, quando é possível obter um sistema dado na
forma (3) ? A resposta é derivando a equação (2).
̇ ̇ ( ) ( ) (6)
E igualando a (3), nós concluímos que o
difeomorfimos deve satisfazer as seguintes condições:
( ) ( ) ( ) ( ) (7)
Figura 2 - Controle por realimentação
( ) ( ) (8)
Consideremos o sistema input-state linearization
(3), e a transformação de variáveis (2). Onde ( ) é um
Agora tendo: difeomorfismo.
( ) Nós devemos projetar tal que ( ) seja
Hurwiz.
( ) [ ] (9)
( )
Fazendo substituição de (4) em (3), a equação de
(
estado linear fica:
̇ (12)
2

3. Aplicando a lei de controle:
E encontrando a matriz da equação (17), nós
( ) podemos obter o ganho do controle ótimo, que está
definido por:
E fazendo substituição em (12), o sistema em
malha fechada fica: (18)
̇ ( ) (13)
Outra maneira de obter o ganho de controle ótimo é
a solução da equação (17) é a partir da função de
Agora para projetar (13), nós devemos utilizar a Matlab, que está definida por:
formulação do problema LQR (linear-quadratic-regulator).
( ) (19)
3.1 PROJETO DE REALIMENTAÇÃO DE
ESTADOS ÓTIMO (LQR)
Seja um sistema dinâmico linear definido por:
4 OBSERVADOR DE ALTO GANHO
̇ (14)
Considere o sistema não linear representado por a
O objetivo do projeto é manter o sistema mais perto seguinte estrutura:
possível ao equilíbrio
O básico problema é encontrar um controle de
̇ ( ) ( ) (20)
realimentação de estados da forma:
(15) Agora considerando um observador de estados:
Tal que minimize o critério:
∫ ( ) (16)
Considerando que:
 A matriz é tipicamente semi-definida
positiva
 é uma matriz definida positiva
 é um vetor de estados n-dimensional
 é um vetor de estrada m-dimensional Figura 3 - Observador de estados
 É a medida de precisão de controle
 É a medida do esforço de controle
Si o sistema (1) tem apenas uma entrada, a matriz O observador de estados está definido a partir de (20)
será uma escalar. por:
Agora escolhidas , nós podemos encontrar a
solução da equação algébrica de Ricatti (ARE), o qual ̂̇ ̂ (̂) (̂) ( ̂) (21)
está definida por:
Onde:
(17)
(̂)
(̂)
Considerando:
 ( )
Onde o ganho do observador é projetado como:
3

4. [ ] (22) ̇ (24)
̇ ( ) (25)
̇ ( ) (26)
Onde:
 é um parâmetro pequeno positivo 5.1 REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA NAS
 As constante positivas são escolhidas tal NOVAS VARIÁVEIS DE ESTADO
que as raízes do polinômio escolhido tenham
parte real negativa:
Reescrevendo na forma (1):
(23)
( ) [ ( ) ( ) ( ) ]
( ) ( )
O objetivo do projeto do observador, é projetar um
ganho tal que o observador seja suficientemente rápido,
para recuperar o rendimento conseguido pela ( ) [ ]
realimentação de estados. O problema acontece é
quando o valor do parâmetro é muito pequeno, aparece
o que é chamado fenômeno pico o qual pode afetar o Nós devemos procurar uma função ( ) que satisfaça
controle do sistema. (10) e (11).
( ) [ ][ ]
5 SISTEMA NÃO LINEAR: GERADOR
SÍNCRONO CONECTADO A UMA
( ) [ ][ ]
BARRA INFINITA
Representação do sistema em equações de
estados.[1] ( ) [ ][ ]
̇
̇ ( ) Nos podemos observar que ( ) não depende de e
( ) , por tanto:
̇
( )
[ ] [ ] Agora:
( ) ( ) [ ][ ( ) ( ) ( ) ]
Onde os estados são: ( ) ( )
= ângulo de carga na máquina (rad.)
= Desvio da velocidade do rotor com relação a ( )
velocidade síncrona.
= Tensão interna de eixo em quadratura Agora:
As constantes são definidas: ( ) ( ) [ ][ ( ) ( ) ( ) ]
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Por tanto, o difeomorfismo estada dado por:
Então as equações de estados ficam:
4

5. 5.2 PROJETO DE REALIMENTAÇÃO DE
( ) [ ]
( ) ( ) ( )
ESTADOS ÓTIMO (LQR)
Considerando a representação do sistema nas
novas coordenadas (29). Nós podemos escrever:
O sistema nas novas variáveis de estado:
̇
Onde:
{
( ) ( ) ( )
[ ] [ ]
A representação do sistema nas novas variáveis de
estado é:
O básico problema do projeto de realimentação de
estados (LQR) é encontrar um controle de realimentação
̇ ̇ de estados da forma (15), tal que minimize o seguinte
criterio:
̇ ̇ ( ) ( ) ( )
∫ ( ) (30)
̇ ̇ ( ) ( ) Agora definidas , nós podemos encontrar a
solução da equação algébrica de Ricatti (ARE), o qual
Agora nós podemos escolher (4) para cancelar o está definida por:
termo não lineal da 3 equação anterior:
(31)
( )
( )
Definindo as matrizes:
Onde as funções ( ) e ( ) estão definidas por:
[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Nós podemos encontrar a solução da equação de Ricatti
Reescrevendo (31):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ]
( ) ( ) [ ][ ] ( )
( ) ( ) [ ]
Nós podemos observar que a linearização só é
linear no domínio E encontrando a matriz , nós podemos obter o
ganho do controle ótimo, que está definido por (18):
Agora, o modelo do sistema nas novas coordenadas
é:
[ ] [ ] [ ]
̇
{ ̇ (29)
̇
(32)
5

6. Agora considerando (15), nós podemos reescrever
(30) da seguinte maneira:
̂̇ ̂ ( ̂)
{ ̂̇ ̂ ( ̂ ) ̂ ( ̂)
∫ ( ( )( )) ∫ ( ⏞ ) (31) ̂̇ (̂ ) ̂ ( ̂)
Agora usaremos uma função de lyapunov para
encontrar a solução. Consideremos que: 6 SIMULAÇÕES
( ) ̇ ̇ ( ) ( ) 6.1 PROJETO DE REALIMENTAÇÃO DE
ESTADOS ÓTIMO
( ) ( )
O índice de desempenho (31) é encontrado da
seguinte maneira:
( ) ( ) ( ) ( ) (32)
Figura7 - Modelo da máscara no simulink
5.3 OBSERVADOR DE ALTO GANHO
Para começar, nós devemos definir qualquer
polinômio (23), considerando que suas raízes devem
estar no lado esquerdo do semi-plano.
(33)
Suas raízes está posicionadas em:
Figura8 - Subsystem realimentação de estados
Agora, a partir de (22), nós podemos definir o ganho
do observador e o critério minimizado para diferentes
valores de .
 (34)
[ ]
 (35)
[ ]
 (36)
[ ]
O estados estimados da máquina, está definido por:
Figura9 - Modelo da máquina
6

7. 6.2 OBSERVADOR DE ALTO GANHO
Figura13 - Modelo da máscara no simulink
Figura10 - Controle linearizante + controle ótimo
Figura14 - Modelo interno subsystem observador de alto ganho
Figura14 - observador de estados
Figura11 - Resposta de cada um dos estados do sistema
Figura15 – Subsystem observador de estados
Figura12 - sinal de controle ( )
( )
7

8.  ε=0.01
Figura 16 - Resposta de cada um dos estados do sistema ε=0.01
Figura18– Erro de estimação
Figura 16 - Resposta de cada um dos estados do sistema
Figura19 - sinal de controle ( ̂)
( ̂)
 ε=0.001
Figura17 – Estados estimados
Figura 20 - Resposta de cada um dos estados do sistema
8

9.  ε=0.0001
Figura17 - Sinal de controle ( ̂)
( ̂)
Figura21 – Estados estimados
Figura 24 - Resposta de cada um dos estados do sistema
Figura22– Erro de estimação
Figura25 – Estados estimados
Figura23 - Sinal de controle e ( ̂)
( ̂)
9

10. Critério de minimização (32) :
7.2 Com observador de alto ganho
Condições iniciais:
( ) [ ]

Figura26 – Erro de estimação
Estabilização dos estados:
( ) [ ]
Critério de minimização (32) :

Estabilização dos estados:
Figura27 - Sinal de controle ( ̂)
( ̂) ( ) [ ]
Critério de minimização (32) :
7 AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO DO
OBSERVADOR
7.1 Sim observador de alto ganho

Condições iniciais: Estabilização dos estados:
( ) [ ]
( ) [ ]
Estabilização dos estados:
Critério de minimização (32) :
( ) [ ]
10

11. 8 CONCLUSÕES
 A combinação de controle global limitada do
estado de feedback e de alto ganho
observadores permite uma abordagem
separação onde o controlador de
realimentação de estado é projetado
primeiramente para satisfazer os objetivos do
projeto, o observador de alto ganho é
projetado, rápido o suficiente, para recuperar
o desempenho alcançado em realimentação
de estado. Esta abordagem separação é
usado na maioria dos trabalhos que utilizam
alto ganho de observadores.
 Foi avaliado o desempenho do observador de
alto ganho a traves do valor do critério de
minimização, tendo um desempenho do
99.36%.
 A linearização por realimentação é aplicado
em diversas aplicações como: helicópteros,
aeronaves de alto rendimento, robots
industriais, dispositivos biomédicos, controle
de vehiculos, etc.
9 REFERÊNCIAS
[1] Métodos Analíticos para a Sínteses de Controladores em
sistemas de potência, tese de Doctorado, Alexandre
Sanfelice Bazanella
[2] H. Khalil, ”Nonlinear Systems”, 2nd. ed., Prentice Hall, NJ, ,
1996.
[3] Engenheria de controle moderna, Ogata, 3 Ed, Capitulo 13,
pág. 921
11