33ο Συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

1. Η σημασία των γεωμετρικών
σχημάτων στα Ελληνικά
χειρόγραφα
https://en-uoa-gr.academia.edu/DrChalkou
1

2. *Το άρθρο της Εισήγησης στο 33ο Συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας
μπορείτε να το διαβάσετε στο σύνδεσμο https://en-uoa-
gr.academia.edu/DrChalkou/Papers
Στὸν κώδικα 65 τοῦ 15ου αἰ. (Codex
Vindobonensis phil. Graecus 65 of the 15th
cent.)
1ο παράδειγμα
https://en-uoa-gr.academia.edu/DrChalkou
2

3. *Το άρθρο της Εισήγησης στο 33ο Συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας
μπορείτε να το διαβάσετε στο σύνδεσμο https://en-uoa-
gr.academia.edu/DrChalkou/Papers
 Περὶ τοῦ πῶς ἐστὶ εἰδέναι οἰνοδόχον ἄγγος τὸ
κοινῶς βουτζίν καλούμενον τῷ ὄντι σανίδων λ,
δεχόμενόν δε καὶ μέτρα λ, γενόμενόν δε, σανίδων
κ, πόσα μέτρα ἔλαττω τῶν λ δέξεται.
 Ἔστω οἰνοδόχον ἄγγος τὸ κοινῶς βουτζίον
καλούμενον, ὅπερ ἔχει σανίδας λ (30), δέχεταί δε
καὶ μέτρα λ (30). Ἀφαιρεθέντων δὲ σανίδων ι (10)
καὶ γενόμενον σανίδων κ (20), ζητεῖς εἰδέναι πόσα
μέτρα ἔλαττω τῶν λ (30) δέξεται.
3

4. Στο χειρόγραφο γίνονται οι εξής πράξεις:
 30.30=900, 20.20=400 (2πρ.2πρ=4π2ρ2)
<<έχει σανίδας 30>> (περίμετρος)
 12+4/7= 4(3+1/7)=4π
 900/(12+4/7)= 71+13/22 (4π2ρ2/4π= πρ2= ΕΒ)
 400/(12+4/7)= 31+9/11 (πρ1
2= ΕΒ1),
Μετά, ο συγγραφέας χρησιμοποιεί την αναλογία:
30/(71+13/22)=χ/(31+9/11)
Δηλαδή: Ο/ΕΒ=Ο1/ΕΒ1
<< δέχεται 30 μέτρα>> (όγκος)
Άρα, Χ=Ο1=13+1/3
4

5. Τα παραπάνω μπορεί να αιτιολογούνται ως εξής:
Ο μέσος όρος των περιμέτρων του μεγαλύτερου και του
μικρότερου κύκλου του πάνω δοχείου είναι:
(2πR+2πr)/2 = π(R+r),
Άρα
π2(R+r)2/ 4π =
π(R+r)2/ 4= EB
Η ίδια διαδικασία για το κάτω δοχείο δίνει
π(R1+r1)2/4= EB1
Οπότε η σχέση
Ο/ΕΒ=Ο1/ΕΒ1 είναι ισοδύναμη με τη σχέση
π[(R+r)/2]2.h/π[(R+r)/2]2 = π[(R1+r1)/2]2.h1/π[(R1+r1)/2]2
Από την οποία προκύπτει ότι
h= h1
το οποίο αληθεύει
5

6. 2ο παράδειγμα
https://en-uoa-gr.academia.edu/DrChalkou
6

7.  Κατὰ τὸν συγγραφέα, τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου, τοῦ ὁποίου
εἶναι γνωστὴ ἡ ἀκτίνα, μπορεῖ νὰ εὑρεθεῖ, ἂν ὑψώσουμε τὴν
περίμετρο στὸ τετράγωνο καὶ διαιρέσουμε τὸ ἀποτέλεσμα
μὲ 12 4/7, δηλ. μὲ τὸ 4(3 1/7)= 4π
Π2/4π =(2πρ)2/4π =4π2ρ2/4π =πρ2
 κεφ. 202. Ὑπολογισμὸς ἐμβαδοῦ κανονικοῦ 40-γώνου ὅταν
δίδεται ἡ πλευρὰ του ἴση μὲ 1/2 μιᾶς σπιθαμῆς.
Στὸ συγκεκριμένο ζήτημα, παρατηρεῖ πὼς ἡ περίμετρος
εἶναι ἴση μὲ 20 σπιθαμές, καὶ τὴν πολλαπλασιάζει μὲ τὸν
ἑαυτὸν της βρίσκοντας 400. Κατόπιν γράφει πὼς διαιροῦμε
τὸ 400
μὲ τὸ 12 5/8, καὶ βρίσκουμε πὼς τὸ ἐμβαδὸν τοῦ 40-γώνου
εἶναι ἴσο μὲ 31 7/10.
7

8. 3o παράδειγμα
https://en-uoa-gr.academia.edu/DrChalkou
8

9. https://en-uoa-gr.academia.edu/DrChalkou
9

10. 4ο παράδειγμα
Ἄκρως ἀπαραίτητη εἶναι ἡ ὕπαρξη τοῦ σχήματος γιὰ τὸ πρόβλημα τοῦ 220οῦ
κεφαλαίου, στὸ ὁποῖο ζητεῖται ὁ ὑπολογισμὸς τοῦ ἐμβαδοῦ ἑνὸς
ἰσοπλεύρουτριγώνου ἐλλιποῦς (Το τρίγωνο που
προκύπτει αν από ένα ισόπλευρο τρίγωνο αφαιρεθεί το τρίγωνο με
κορυφές το κέντρο του ισοπλεύρου τριγώνου και τα άκρα της βάσης
του)
https://en-uoa-gr.academia.edu/DrChalkou
10

11. 5ο παράδειγμα
https://en-uoa-gr.academia.edu/DrChalkou
11

12. *Το άρθρο της Εισήγησης στο 33ο Συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας
μπορείτε να το διαβάσετε στο σύνδεσμο https://en-uoa-
gr.academia.edu/DrChalkou/Papers
 Στὸ 230ό κεφάλαιο διαβάζουμε: «Περὶ τοῦ πῶς
ἐστὶ εἰδέναι πόσων σπιθαμῶν πανίν, ἔσται σοὶ
χρεία πρὸς τὸ ποιῆσαι σκηνὴν ὅσου ἄν μεγέθους
βούλη».
 «Ζητεῖται ὁ ὑπολογισμὸς τοῦ ἐμβαδοῦ τῆς
παράπλευρης ἐπιφάνειας μίας κωνικῆς σκηνῆς
ὕψους 40 σπιθαμῶν καὶ παράπλευρης ἀκμῆς 50
σπιθαμῶν»
12

13. Στὸν κώδικα 72 τοῦ 18ου αἰ. τῆς
Βιβλιοθήκης τῆς Δημητσάνας
1ο παράδειγμα
Ὀρθογώνιο παραλληλόγραμμο εἶναι
«Aὐτὸ ποὺ περιέχεται μεταξὺ δύο εὐθυγράμμων τμημάτων
καθέτων μεταξύ τους».
https://en-uoa-gr.academia.edu/DrChalkou
13

14. 2ο πaράδειγμα
Στὸν κώδικα 72 δὲν ἀναφέρεται ἡ λέξη «Ἐμβαδόν»
Εἶναι χρησιμότατο ἕνα ἀκόμα σχῆμα, ὥστε νὰ γίνει κατανοητό, ὅτι ὅταν π.χ. ὁ Θεοτόκης
γράφει ᾱ2 ἢ ͞αβ2 ἐννοεῖ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου μὲ κορυφὴ τὸ σημεῖο α, ἢ μὲ πλευρὰ τὸ
εὐθύγραμμο τμῆμα αβ ἀντίστοιχα .
Ὁ Ν. Θεοτόκης ἀκολουθεῖ πιστὰ τὸ πνεῦμα τῶν Στοιχείων τοῦ Εὐκλείδη, σύμφωνα μὲ τὸ
ὁποῖο τὰ γεωμετρικὰ σχήματα ἐξετάζονται χωρὶς ἀναφορὲς σὲ ἀριθμητικὲς ἔννοιες
μέτρησης.
https://en-uoa-gr.academia.edu/DrChalkou
14
[1]

15. 3ο παράδειγμα (Πρόταση)
https://en-uoa-gr.academia.edu/DrChalkou
15

16. *Το άρθρο της Εισήγησης στο 33ο Συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας
μπορείτε να το διαβάσετε στο σύνδεσμο https://en-uoa-
gr.academia.edu/DrChalkou/Papers
-Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ αβ, βγ, καὶ τετμήσθω
δίχα ἡ βγ ὡς ἔτυχε κατὰ τὰ δ, ε σημεῖα. Λέγω ὅτι
τὸ ὑπὸ τῶν αβ, βγ περιεχόμενον ὀρθογώνιον
ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπό τε τῶν αβ, βδ περιεχομένῳ
ὀρθογωνίῳ, καὶ τῷ ὑπὸ τῶν αβ, βε, καὶ ἔτι τῷ
ὑπὸ τῶν αβ, εγ».
16

17. Ζητεῖται νὰ δειχθεῖ ὅτι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου μὲ
κορυφὲς η, θ, γ, β εἶναι ἴσο μὲ τὸ ἄθροισμα τῶν ἐμβαδῶν τῶν 3
περιεχομένων σὲ αυτὸ παραλληλογράμμων
https://en-uoa-gr.academia.edu/DrChalkou
17

18. 4ο παράδειγμα (Γνώμων)
 Στὸν Εὐκλείδη ὡς Γνώμων ὁρίζεται τὸ σχῆμα ποὺ ὅταν προστεθεῖ σὲ
παραλληλόγραμμο αὐτὸ (τὸ παραλληλόγραμμο) παραμένει τὸ ἴδιο
 Στὸν κώδικα 72 ὁ Θεοτόκης ὅπως εἶναι ἀναμενόμενο χρησιμοποιεῖ τὸν
Εὐκλείδειο ὁρισμὸ, ἐννοώντας πὼς ἡ ἔκφραση ''παραμένει τὸ ἴδιο''
σημαίνει ὅτι τὸ σχῆμα ποὺ προκύπτει ἂν σὲ ἕνα παραλληλόγραμμο
προστεθεῖ ὁ γνώμων, εἶναι καὶ αὐτὸ παραλληλόγραμμο καὶ μάλιστα
ὅμοιο πρὸς τὸ ἀρχικό
 Ἡ ὁμοιότητα τῶν δύο παραλληλογράμμων φαίνεται ἀπὸ τὴν
ἰσχύουσα λόγω τῶν ὁμοίων τριγώνων ἀναλογία δγ/αζ=βγ/βζ
18

19. Ευχαριστώ για την προσοχή σας 19