El documento presenta los axiomas de Peano para definir los números naturales. Los cinco axiomas son: 1) 1 es un número natural, 2) si a es un número natural, entonces su sucesor a+1 también lo es, 3) 1 no tiene sucesor, 4) dos números distintos no tienen el mismo sucesor, 5) el principio de inducción matemática. Se explican las operaciones de suma y resta en los naturales basadas en la noción de sucesor y antecesor.

1. AXIOMAS DE
PEANO
Postítulo para profesores de 1º ciclo Básico

2. INTRODUCCIÓN

3. Algunas preguntas
¿Cómo se representa el resultado de un conteo?
¿Cómo representaban el resultado de un conteo en la
antigüedad?
¿Qué es para usted un número?

4. ¿Qué es un número?
Número: Expresión de la cantidad computada con relación a
una unidad. Signo o conjunto de signos que representa el
número. (Dic. de la Real Academia Española)
Número: Número es el resultado de la comparación entre una
magnitud y la unidad
Son entes abstractos desarrollados por el hombre como
modelos que permiten contar y medir. (Elon Lima)
Número: El conjunto de todos los conjuntos equivalentes a un
conjunto dado. (Def matemática)

5. Contar
¿Qué números utilizamos para contar?
 Magnitud discreta: contar, N
 Magnitud continua: medir, R
Los números surgen de la necesidad humana de
cuantificar de forma precisa. En la antigüedad, en diversas
culturas se contaba hasta tres o cuatro, y si eran
más, entonces se les asignaba la palabra muchos.

6. Caracterización del conjunto de los
IN
Axiomas de Peano
Giuseppe Peano: un famoso matemático italiano de inicios del siglo
XX, definió los naturales a partir del concepto de “sucesor”
mediante cinco axiomas (tal como los definió):
1. 1 es un número.
2. El sucesor inmediato de un número también es un número.
3. 1 no es el sucesor inmediato de ningún número.
4. Dos números distintos no tienen el mismo sucesor inmediato.
5. Toda propiedad perteneciente a 1 y al sucesor inmediato de todo
número que también tenga esa propiedad pertenece a todos los
números. (inducción matemática)
 El hecho de considerar el 0 como natural o no, es tema de
controversia. Normalmente se considera que lo es según si se
necesita o no.

7. Caracterización del conjunto de los
IN
 Versión actual de los axiomas de Peano:
1. 1 es un número natural. (es decir, el conjunto de los números
naturales es no vacío)
2. Si a es un número natural, entonces a + 1 también es un
número natural. (llamado el sucesor de a)
3. 1 no es sucesor de ningún número natural. (primer elemento
del conjunto)
4. Si hay dos números naturales a y b tales que sus sucesores son
diferentes entonces a y b son números naturales diferentes.
5. Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales
contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos
entonces contiene a todos los números naturales.

8. Construcción de IN a partir de los
Axiomas de Peano: La secuencia
numérica
 Empezamos por el elemento 1, luego para
escribir el siguiente elemento aplicamos el
sucesor de 1 a 1, el que sigue a ese es el
resultado de aplicar el sucesor del sucesor a
1,….
 Como resultado obtenemos: 1,2,3,4,5,6,7,…
…o sea la secuencia numérica.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …

9. Relación de orden
ayb . a b c a+c=b
 Transitividad:
Si a b y b c a c, a, b y c
 Tricotomía:
Si a y b a bóa bóa=b
 Monotonía:
a, b y c .a b a+c b+cyaxc bx
c

10. OPERACIONES
Significado, propiedades y algoritmos
sobre la secuencia numérica a partir de la
noción de sucesor…

11. Adición en IN
 Significado de la operación suma; (ej 7 + 2), Juntar, añadir...
+
La suma de n+p se obtiene de aplicar al número n, p veces
seguidas la operación de tomar el sucesor.
 7 + 2 -> el sucesor del sucesor de 7, o sea el 9
 En esta idea es que se basa la técnica del “sobre conteo”
 La aplicación de esta técnica requiere conocer la secuencia
numérica

12. Propiedades de la Adición en IN:
Conmutativa
+ = +
7 + 2 = 2 +7
En ambos casos obtenemos el mismo resultado.
Esta propiedad puede ser utilizada para El proceso de sobrecontar obliga a
simplificar determinados cálculos por llevar dos cuentas, por tanto
cuantas menos unidades se tengan
“sobreconteo”.
que sobrecontar más fácil es
calcular la suma. Entonces
2+7 -> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 conviene escoger el sumando
mayor como número inicial y
7+2 -> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 sobrecontar tantas unidades como
el sumando menor

13. Propiedades de la Adición en IN: Asociativa
+ +
+ + + + +
3 + 2 + 5 = (3+2) + 5 = 3 + (2 +5) = 3 + 2 + 1 + 4
Esta propiedad permite la composición y descomposición de sumandos, en
particular la descomposición canónica
325 = 300 + 20 + 5
y realizar adiciones de más de dos sumandos por etapas
(15 + 7) (22 + 8)
15 + 7 + 8 + 12 = 22 + 8 + 12 = 30 + 12 = 42

14. Propiedades de la Adición en IN:
Trasvasije
Al “traspasar” unidades de un sumando a otro la suma se conserva.
7 + 5 = 6 + 6 = 5 + 7 = 4 + 8 = 3 + 9 ...
+ = +
En general, A + B = (A-C) + (B+C)
Esta propiedad, permite desarrollar estrategias de cálculo como la
siguiente: 2
48 + 35 = 50 + 33 = 83

15. Propiedades de la Adición en IN:
Clausura
Al sumar dos elementos cualesquiera de N el resultado siempre
pertenece a N
122 + 57 = 179
Esta propiedad, se puede demostrar utilizando los axiomas de Peano y
la noción de suma:
¿Cómo podemos demostrar esta
propiedad usando los axiomas de
Peano?

16. Propiedades de la Adición en IN:
Clausura
Al sumar dos elementos cualesquiera de N el resultado siempre es de N
122 + 57 = 179
Esta propiedad, se puede demostrar utilizando los axiomas de Peano y
la noción de suma:
Si todo n N tiene sucesor entonces n + p es de N, dado
que
n + p = (((…(n+1)+1)+1)…+1), o sea el sucesor del
sucesor del sucesor … del sucesor de n.

17. Sustracción en IN
-
Significado de la operación resta; (ej 9 - 3), quitar
• La resta de n - p se puede definir como el resultado de aplicar al
número n, p veces seguidas la operación de tomar el antecesor, o sea
de descontar p unidades a n.
9 - 3 -> el antecesor del antecesor del antecesor de 9.
En esta idea es que se basa la técnica del “descontar”
9 -3, me planto en el 9 y
“descuento” tres unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
La aplicación de ésta técnica requiere conocer la secuencia numérica
en orden descendente.

18. Sustracción en IN
Problema: En una caja tengo 5 pelotas y en otra 8. ¿Cuántas
pelotas más tengo en una caja que en la otra?
Comparo con
Dos estrategias:
a) Voy sacando parejas de pelotas (una pelota de cada caja)
hasta que la caja que tiene menos pelotas quede vacía.

19. Sustracción en N
Problema: En una caja tengo 5 pelotas y en otra 8. ¿cuántas
pelotas más tengo en una caja que en la otra?
Comparo con
Dos estrategias:
a) Voy sacando parejas de pelotas (una pelota de cada caja)
hasta que la caja que tiene menos pelotas quede vacía.

20. Sustracción en N
Problema: En una caja tengo 5 pelotas y en otra 8. ¿cuántas
pelotas más tengo en una caja que en la otra?
Comparo con
Dos estrategias:
a) Voy sacando parejas de pelotas (una pelota de cada caja)
hasta que la caja que tiene menos pelotas quede vacía.

21. Sustracción en N
Problema: En una caja tengo 5 pelotas y en otra 8. ¿cuántas
pelotas más tengo en una caja que en la otra?
Comparo con
Dos estrategias:
a) Voy sacando parejas de pelotas (una pelota de cada caja)
hasta que la caja que tiene menos pelotas quede vacía.

22. Sustracción en N
Problema: En una caja tengo 5 pelotas y en otra 8. ¿cuántas
pelotas más tengo en una caja que en la otra?
Comparo con
Dos estrategias:
a) Voy sacando parejas de pelotas (una pelota de cada caja)
hasta que la caja que tiene menos pelotas quede vacía.

23. Sustracción en N
Problema: En una caja tengo 5 pelotas y en otra 8. ¿cuántas
pelotas más tengo en una caja que en la otra?
Comparo con
Dos estrategias:
a) Voy sacando parejas de pelotas (una pelota de cada caja)
hasta que la caja que tiene menos pelotas quede vacía.

24. Sustracción en N
Problema: En una caja tengo 5 pelotas y en otra 8. ¿cuántas
pelotas más tengo en una caja que en la otra?
Comparo con
Dos estrategias:
a) Voy sacando parejas de pelotas (una pelota de cada caja)
hasta que la caja que tiene menos pelotas quede vacía.
O sea que es posible calcular la diferencia de pelotas entre una caja y la
otra restado (quitando) a la caja que tiene más pelotas la cantidad de
pelotas que tiene la otra caja. 8–5=3

25. Sustracción en N
Problema: En una caja tengo 5 pelotas y en otra 8. ¿cuántas
pelotas más tengo en una caja que en la otra?
Comparo con
Dos estrategias:
b) Voy añadiendo pelotas a la caja que tiene menos, hasta
igualar la cantidad de pelotas de la caja que tiene más.

26. Sustracción en N
Problema: En una caja tengo 5 pelotas y en otra 8. ¿cuántas
pelotas más tengo en una caja que en la otra?
Comparo con
Dos estrategias:
b) Voy añadiendo pelotas a la caja que tiene menos, hasta
igualar la cantidad de pelotas de la caja que tiene más.

27. Sustracción en N
Problema: En una caja tengo 5 pelotas y en otra 8. ¿cuántas
pelotas más tengo en una caja que en la otra?
Comparo con
Dos estrategias:
b) Voy añadiendo pelotas a la caja que tiene menos, hasta
igualar la cantidad de pelotas de la caja que tiene más.

28. Sustracción en N
Problema: En una caja tengo 5 pelotas y en otra 8. ¿cuántas
pelotas más tengo en una caja que en la otra?
Comparo con
Dos estrategias:
b) Voy añadiendo pelotas a la caja que tiene menos, hasta
igualar la cantidad de pelotas de la caja que tiene más.

29. Sustracción en N
Problema: En una caja tengo 5 pelotas y en otra 8. ¿cuántas
pelotas más tengo en una caja que en la otra?
Comparo con
Dos estrategias:
b) Voy añadiendo pelotas a la caja que tiene menos, hasta
igualar la cantidad de pelotas de la caja que tiene más.
La cantidad de pelotas que he añadido es la diferencia, es decir 3. A esta
estrategia se le llama resta por completación (5 + ? = 8) y es más sencilla que
la anterior, dado que en este caso se utiliza la secuencia numérica en orden
ascendente.

30. Sustracción en N
El problema presentado, pese a que también se resuelve con una
resta, el significado de dicha resta es muy distinto al de quitar, ya
que en realidad no es que las pelotas se quiten si no que se
establece una comparación entre la cantidad de objetos que tienen
dos colecciones, siendo el resultado la cantidad de objetos que tiene
más una colección que otra.
Veamos los procedimientos anteriores sobre la secuencia numérica:
a) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... Si a 8 le quito 5 llego al 3
a) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...
de cinco a ocho van 3

31. Propiedades de la Sustracción en
IN
•Dominio de validez: en N solo está definida cuando el minuendo es igual o
mayor que el sustraendo. No cumple la propiedad de clausura 5 – 8 = no
hay solución en N.
? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...
Esto se debe a que el 0 no tiene antecesor, entonces puedo aplicar el
antecesor tantas veces como quiera hasta llegar a 0
•No Conmutativa; no es lo mismo tener 7 bolitas en una caja y quitar 5, que
tener en una caja 5 bolitas y quitar 7. En el primer caso quedarán 2, mientras
que en el segundo caso puedo llegar a quitar solo 5, de forma que el
problema 5-7 no tiene solución. 7 - 5 5 – 7
Me faltaron sacar 2

32. Propiedades de la Sustracción en IN:
Asociatividad del minuendo y
sustraendo
El resultado de quitar primero 2 y luego 3, es igual que quitar 5 de
golpe
=
Se puede descomponer el minuendo y el sustraendo asociativamente
en sumandos y calcular la resta a partir de la suma de los resultados
de las restas parciales entre los términos que componen el minuendo y
los que componen el sustrayendo.
Realizando restas parciales
83 – 29 = (70+13) – (20+9)
70-20 13-9
50 + 4 = 54

33. Propiedades de la Sustracción en IN:
Asociatividad del minuendo y
sustraendo
1002 - 898
¿Podríamos resolver esta resta
sin utilizar un algoritmo
convencional?

34. Propiedades de la Sustracción en
IN: Traslado de la diferencia
Al añadir o quitar una misma cantidad de unidades al
minuendo y al sustraendo de una resta, la diferencia se
conserva. A – B = (A+C) – (B+C)
d
8
5
8– 5

35. Propiedades de la Sustracción en
IN: Traslado de la diferencia
Al añadir o quitar una misma cantidad de unidades al
minuendo y al sustraendo de una resta, la diferencia se
conserva. A – B = (A+C) – (B+C)
d
d
=
11 8
=
8 5 d
5
2
11 – 8 8– 5 5– 2

36. Multiplicación en IN
n veces
• n p es n veces p o sea p + p + ….+ p
Esto resulta aplicar n-1 veces p veces el sucesor a p
3 4 3 veces 4 4+4+4
o sea:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15…

37. Propiedades de la Multiplicación
en IN
Tengo tres bolsas y en cada bolsa hay 2 paquetes de 5 turrones, ¿Cuántos
turrones tengo en total?

38. Propiedades de la Multiplicación
en IN: Asociatividad
3 2 5 = 3 (2 5) = (3 2) 5
3 veces 2 veces 5 6 veces 5 = 30
3 veces 10 = 30
Tengo tres bolsas y en cada bolsa hay 2 paquetes de 5 turrones, ¿Cuántos
turrones tengo en total?

39. Propiedades de la Multiplicación
en IN: Conmutativa
4 6 = 6 4 o sea 4 veces 6 = 6 veces 4
4+4+4+4+4+4 = 6+6+6+6
Esta propiedad no es fácil de imaginar, un posible problema
para verla sería;
¿Cuántas baldosas se han ocupado en el piso?

40. Propiedades de la Multiplicación
en IN: Conmutativa
4 6 = 6 4 o sea 4 veces 6 = 6 veces 4
4+4+4+4+4+4 = 6+6+6+6
Esta propiedad no es fácil de imaginar, un posible problema
para verla sería;
¿Cuántas baldosas se han ocupado en el piso?
6 veces 4

41. Propiedades de la Multiplicación
en IN: Conmutativa
4 6 = 6 4 o sea 4 veces 6 = 6 veces 4
4+4+4+4+4+4 = 6+6+6+6
Esta propiedad no es fácil de imaginar, un posible problema
para verla sería;
¿Cuántas baldosas se han ocupado en el piso?
4 veces 6

42. Propiedades de la Multiplicación
en IN: Asociatividad de los factores
Determina la cantidad de bloques necesarios para formar la
figura siguiente:

43. Propiedades de la Multiplicación
en IN: Asociatividad de los
Factores
Razonamiento 1: 4 pisos de 3 x 8 bloques cada piso
O sea 4 x (3 x 8), es decir 4 veces 24

44. Propiedades de la Multiplicación
en IN: Asociatividad de los factores
Razonamiento 2: 8 filas de 3 x 4 cada una
O sea 8 x (3 x 4), es decir 8 veces 12

45. Propiedades de la Multiplicación
en IN: Asociatividad de los
Factores
Razonamiento 3: 3 caras de 8 x 4 cada una
O sea 3 x (8 x 4), es decir 3 veces 32

46. Propiedad de la Multiplicación en
IN: Asociatividad de los factores
Razonamiento 4: 8x3x4

47. Propiedad de la Multiplicación en IN:
Problema: En la cocina hay 3 docenas de huevos blancos y 2
docenas de huevos amarillos. ¿Cuántos huevos hay en total?

48. Propiedad de la Multiplicación en IN:
Distributividad del producto respecto a la
suma
m x ( a + b) = (m x a) + (m x b)
Problema: En la cocina hay 3 docenas de huevos blancos y 2
docenas de huevos rubios. ¿Cuántos huevos hay en total?

49. Propiedades de la Multiplicación
en IN
 Elemento Neutro: m x 1 = m, para todo
número natural m.
 Clausura: m x n es un número natural, dados
cualesquiera m y n naturales.
 “El producto de dos naturales es siempre
mayor que los factores” m x n > m ; m x n >
n, para todo m y n número natural.

50. División en IN
 Se asocia a las acciones de repartir equitativamente y
agrupar en base a una medida
Problema: “ Tengo 12 caramelos y los quiero envasar en
bolsas con 4 caramelos en cada una, ¿Cuántas bolsas
necesito?
1 bolsa 1 bolsa 1 bolsa 1 bolsa
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,….
¿Cómo se sustenta esta técnica
en los Axiomas de Peano?

51. Propiedades de la División en
IN
 Clausura: no se cumple ¿por qué?
 Conmutativa: no se cumple ¿por qué?
Resuelva: 96018 : 3= … y luego 90.000:3; 6000:3; 18:3
 Distributiva: se puede descomponer aditivamente el
dividendo y distribuirlo con respecto al divisor, el
cuociente de la división inicial será la suma de los
cuocientes parciales.
(a + b ) : c = a : c + b : c ; c≠0
Si la división es inexacta el resto será la suma de los
restos parciales. Si la suma de los restos parciales es
mayor o igual que c debemos volver a dividir por c.

52. Propiedades de la División en
IN
 Resuelva: 20 : 4 ; 60 : 12 ; 100 : 20
¿ Qué ocurre?
Amplificación de la división: a : b = (a x c) : (b x
c), para todo a, b , c, números naturales.
Observe el siguiente procedimiento:
34122 : 5 =
El resultado es 6824 y sobran 4. ¿Cómo lo hizo?