SlideShare una empresa de Scribd logo

61 trigonometría

Material preparación (PSU) pre universitario pedro de valdivia.

1 de 7
Descargar para leer sin conexión
C u r s o : Matemática 
Material N° 33 
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 33 
UNIDAD: GEOMETRÍA 
TRIGONOMETRÍA 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
En el triángulo ABC, rectángulo en C (figura 1), se definen las siguientes razones: 
Seno de  = sen  = 
Cateto opuesto a 
hipotenusa 
 
= a 
c 
Coseno de  = cos  = 
Cateto adyacente a 
hipotenusa 
 
= b 
c 
Tangente de  = tg  = 
 
 
Cateto opuesto a 
Cateto adyacente a 
= a 
b 
Cotangente de  = cotg  = 
 
 
Cateto adyacente a 
Cateto opuesto a 
= b 
a 
Secante de  = sec  = 
Hipotenusa 
Cateto adyacente a  
= c 
b 
Cosecante de  = cosec  = 
Hipotenusa 
Cateto opuesto a  
= c 
a 
B 
a c 
EJEMPLOS 
1. Si tg  = 
5 
12 
fig. 1 
y  es un ángulo agudo, entonces cos  = 
A) 
12 
5 
B) 
13 
12 
C) 
5 
12 
D) 
5 
13 
E) 
12 
13 
 
 
C b A
2. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 15 cm, entonces el seno del 
2 
ángulo agudo mayor es 
A) 15 
17 
B) 8 
17 
C) 8 
15 
D) 15 
8 
E) 17 
15 
3. Con los datos de la figura 1, la expresión tg  – sen  es igual a 
 
A) ac bc 
ab 
 
B) ac bc 
bc 
 
C) bc ac 
ab 
 
D) bc ac 
bc 
 
E) a c 
b 
C 
fig. 1 
a 
4. Con respecto al triángulo rectángulo ABC de la figura 2, ¿cuál de las opciones siguientes 
es verdadera? 
A) sec  = c 
b 
B) cos  = a 
c 
C) cotg  = b 
a 
D) cosec  = c 
b 
E) sen  = cos  
B 
c a 
5. En la hoja cuadriculada de la figura 3, cada cuadrado tiene lado 2. Entonces, en el ABC 
la tangente del ángulo  es igual a 
A) 1 
5 
B) 1 
2 
C) 2 
5 
D) 2 
E) 5 
 
A B 
b 
c 
A 
 
C B 
fig. 3 
 
 
A C 
fig. 2 
b
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30º, 45º y 60º 
Considerando los triángulos de las figuras 1 y 2, se tiene que: 
3 
Ángulo 
Razón 30º 45º 60º 
sen  
1 
2 
2 
2 
3 
2 
cos  3 
2 
2 
2 
1 
2 
tg  3 
3 
1 3 
EJEMPLOS 
C 
30º 
2 
1 
C 
2 
Horizontal Observador 
Línea de 
mira 
fig. 3 
1. Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 30º como se muestra en 
la figura 1. Si ha recorrido desde el punto de despegue una distancia de 1.000 metros, ¿a 
qué altura (h), respecto del suelo se encuentra? 
A) 500 3 metros 
B) 500 metros 
C) 1.000 
3 
metros 
D) 100 
3 
metros 
E) 1.500 
3 
metros 
60º 
A B 
3 
fig. 1 
45º 
45º 
A 1 
B 
fig. 2 1 
Ángulos de elevación y de depresión 
(fig. 3) son aquellos formados por la 
horizontal, considerada a nivel del ojo 
del observador y la línea de mira, según 
que el objeto observado esté por sobre 
o bajo esta última. 
Con respecto a un observador, los 
ángulos de elevación y de depresión 
constituyen ángulos alternos internos 
entre paralelas, por lo tanto, sus 
medidas son iguales 
1.000 m 
fig. 1 
h 
30º 
Ángulo de 
elevación 
Ángulo de 
depresión 
Observador Horizontal
2. ¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 50 m de altura (fig. 2) 
cuando el sol se ha elevado 40º sobre el horizonte? 
4 
A) 50 · tg 40º m 
50 
B) 
sen 40º 
m 
C) 
50 
tg 40º 
m 
D) tg 40º 
50 
E) cotg 40º 
50 
m 
3. ¿Cuál es la longitud del hilo que sujeta el volantín de la figura 3, si el ángulo de elevación 
es de 50º? (Considere cos 40º = 0,7) 
A) 20 2 m 
B) 3 51 
0,7 m 
C) 21,5 2 m 
D) 20 m 
E) 30 m 
4. Un observador de 1,80 m observa la azotea de un edificio, según un ángulo de elevación 
de 60º (fig. 4). Si el punto de observación está a 12 m del edificio, ¿cuánto mide la altura 
del edificio? 
A) 24 m 
B) 12 3 m 
C) 8 3 m 
D) (4 3 + 1,8) m 
E) (12 3 + 1,8) m 
5. La longitud de una escalera, cuyos extremos están apoyados a un poste y al suelo es de 
4 3 metros. La escalera forma un ángulo con el poste de 30º. ¿A qué distancia está el 
pie de la escalera del poste? 
A) 2 
3 
m 
B) 4 m 
C) 6 m 
D) 2 3 m 
E) 6 3 m 
40º 
fig. 2 
1,5 m 
50º 
fig. 3 
22,5 m 
12 m 
fig. 4
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES 
Las identidades 1, 2, 3, 4 y 5 se deducen directamente de las definiciones de las razones 
trigonométricas. La identidad 6, se deduce combinando las definiciones con el Teorema de 
Pitágoras. 
1. sen  · cosec  = 1 4. tg  = 
5 
sen 
cos 
 
 
2. cos  · sec  = 1 5. cotg  = 
cos 
sen 
 
 
3. tg  · cotg  = 1 6. sen2  + cos2  = 1 
EJEMPLOS 
 
1. Si k = cos2 60° + cos2 50° + sen2 50°, entonces 4k es igual a 
A) 7 
B) 6 
C) 5 
D) 1,25 
E) 1 
2. Si  es un ángulo agudo, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) identidad(es)? 
I) tg  · cosec  = sec  
II) 
2 
1 
1  cos  
= cosec2  
III) (sen  + cos ) (sen  – cos ) = 2 sen2  – 1 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo III 
D) Sólo I y II 
E) I, II y III 
3. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa al cuadrado del coseno de ? 
A) cos 2 
B) 
2 
1 
cosec  
C) 1 + sen2  
D) 
1 
2 
sec  
E) sen2  – 1 
 
B 
C A 
a 
b 
c
6 
4. Si cos2  = 4 
9 
, entonces 3 sen  = 
A) 5 
9 
B) 5 
3 
C) 5 
3 
D) 5 
E) 5 
5. Con los datos de la figura 1, la expresión (sen  + cos )2 es igual a 
A) 1 
B) 
2 
b + 2ac 
2 
b 
C) b2 + 2ac 
2 
D) 
 
b 2ac 
2 
b 
E) 
2ac 
b 
2 
B 
b a 
c 
6. Si  es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades 
no es (son) identidad(es)? 
I) sen  + cos  · cotg  = cosec  
II) sec  · sen  = sec2   1 
III) tg  · sen  = cos  
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo III 
D) Sólo I y II 
E) I, II y III 
A C 
fig. 1 

7. ¿En cuál(es) de las siguientes expresiones trigonométricas, el resultado es siempre igual 
7 
a 1? 
I) sen2 40º + cos2 50º 
II) sen 40º + sen 50º 
III) sen 45º 
cos 45º 
A) En II solamente 
B) En III solamente 
C) En I y en II solamente 
D) En II y en III solamente 
E) Ninguna de ellas 
RESPUESTAS 
DMTRMA33 
Ejemplos 
Págs. 1 2 3 4 5 6 7 
1 y 2 E A C E D 
3 y 4 B C E E D 
5, 6 y 7 C E D D B C B 
Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web 
http://www.pedrodevaldivia.cl/

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Material pedro de valdivia (PSU ) 03 números racionales
Material pedro de valdivia (PSU ) 03 números racionalesMaterial pedro de valdivia (PSU ) 03 números racionales
Material pedro de valdivia (PSU ) 03 números racionalesMarcelo Calderón
 
27 polígonos y cuadriláteros
27 polígonos y cuadriláteros27 polígonos y cuadriláteros
27 polígonos y cuadriláterosMarcelo Calderón
 
Material pre universitario pedro de valdivia (PSU) 05 numeros reales
Material pre universitario pedro de valdivia (PSU) 05 numeros realesMaterial pre universitario pedro de valdivia (PSU) 05 numeros reales
Material pre universitario pedro de valdivia (PSU) 05 numeros realesMarcelo Calderón
 
54 ecuación 2do grado y función cuadrática
54 ecuación 2do grado y función cuadrática54 ecuación 2do grado y función cuadrática
54 ecuación 2do grado y función cuadráticaMarcelo Calderón
 
Guia relaciones-metricas-en-la-circunferencia complementaria
Guia relaciones-metricas-en-la-circunferencia complementariaGuia relaciones-metricas-en-la-circunferencia complementaria
Guia relaciones-metricas-en-la-circunferencia complementariaYanira Castro
 
S01.s2 - Resolver ejercicios.pdf
S01.s2 - Resolver ejercicios.pdfS01.s2 - Resolver ejercicios.pdf
S01.s2 - Resolver ejercicios.pdfSaraCuarez
 
Material pre universitario pedro de valdivia (PSU) 10 porcentajes
Material pre universitario pedro de valdivia (PSU) 10 porcentajesMaterial pre universitario pedro de valdivia (PSU) 10 porcentajes
Material pre universitario pedro de valdivia (PSU) 10 porcentajesMarcelo Calderón
 
02 ejercitación números enteros
02 ejercitación números enteros02 ejercitación números enteros
02 ejercitación números enterosMarcelo Calderón
 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOSRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOSEDWIN RONALD CRUZ RUIZ
 
Taller tres thales
Taller tres thalesTaller tres thales
Taller tres thalesripahugo
 
57 geometría proporcional 1
57 geometría proporcional 157 geometría proporcional 1
57 geometría proporcional 1Marcelo Calderón
 
CEPECH: Matemáticas Guía N°1 [3° Medio] (2012)
CEPECH: Matemáticas Guía N°1 [3° Medio] (2012)CEPECH: Matemáticas Guía N°1 [3° Medio] (2012)
CEPECH: Matemáticas Guía N°1 [3° Medio] (2012)PSU Informator
 

La actualidad más candente (20)

Material pedro de valdivia (PSU ) 03 números racionales
Material pedro de valdivia (PSU ) 03 números racionalesMaterial pedro de valdivia (PSU ) 03 números racionales
Material pedro de valdivia (PSU ) 03 números racionales
 
27 polígonos y cuadriláteros
27 polígonos y cuadriláteros27 polígonos y cuadriláteros
27 polígonos y cuadriláteros
 
Material pre universitario pedro de valdivia (PSU) 05 numeros reales
Material pre universitario pedro de valdivia (PSU) 05 numeros realesMaterial pre universitario pedro de valdivia (PSU) 05 numeros reales
Material pre universitario pedro de valdivia (PSU) 05 numeros reales
 
54 ecuación 2do grado y función cuadrática
54 ecuación 2do grado y función cuadrática54 ecuación 2do grado y función cuadrática
54 ecuación 2do grado y función cuadrática
 
68 probabilidades
68 probabilidades68 probabilidades
68 probabilidades
 
72 ejercicios volúmenes
72 ejercicios volúmenes72 ejercicios volúmenes
72 ejercicios volúmenes
 
Guia relaciones-metricas-en-la-circunferencia complementaria
Guia relaciones-metricas-en-la-circunferencia complementariaGuia relaciones-metricas-en-la-circunferencia complementaria
Guia relaciones-metricas-en-la-circunferencia complementaria
 
S01.s2 - Resolver ejercicios.pdf
S01.s2 - Resolver ejercicios.pdfS01.s2 - Resolver ejercicios.pdf
S01.s2 - Resolver ejercicios.pdf
 
Ma 11 2007
Ma 11 2007Ma 11 2007
Ma 11 2007
 
46 funciones (parte b)
46 funciones (parte b)46 funciones (parte b)
46 funciones (parte b)
 
Material pre universitario pedro de valdivia (PSU) 10 porcentajes
Material pre universitario pedro de valdivia (PSU) 10 porcentajesMaterial pre universitario pedro de valdivia (PSU) 10 porcentajes
Material pre universitario pedro de valdivia (PSU) 10 porcentajes
 
34 guía ejercitación
34 guía ejercitación34 guía ejercitación
34 guía ejercitación
 
02 ejercitación números enteros
02 ejercitación números enteros02 ejercitación números enteros
02 ejercitación números enteros
 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOSRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
 
Taller tres thales
Taller tres thalesTaller tres thales
Taller tres thales
 
57 geometría proporcional 1
57 geometría proporcional 157 geometría proporcional 1
57 geometría proporcional 1
 
64 estadística y gráficos
64 estadística y gráficos64 estadística y gráficos
64 estadística y gráficos
 
Teorema general de thales psu
Teorema general de thales psuTeorema general de thales psu
Teorema general de thales psu
 
38 ecuación de la recta
38 ecuación de la recta38 ecuación de la recta
38 ecuación de la recta
 
CEPECH: Matemáticas Guía N°1 [3° Medio] (2012)
CEPECH: Matemáticas Guía N°1 [3° Medio] (2012)CEPECH: Matemáticas Guía N°1 [3° Medio] (2012)
CEPECH: Matemáticas Guía N°1 [3° Medio] (2012)
 

Destacado

Stop Ego. Start Xtra. - Die Gewinner.
Stop Ego. Start Xtra. - Die Gewinner.Stop Ego. Start Xtra. - Die Gewinner.
Stop Ego. Start Xtra. - Die Gewinner.StartXtra
 
Wir bereiten uns auf eine deutschlandreise vor
Wir bereiten uns auf eine deutschlandreise vorWir bereiten uns auf eine deutschlandreise vor
Wir bereiten uns auf eine deutschlandreise vorgeheimnis1986
 
devolo Smart Home Forschungsprojekt ACEMIND
devolo Smart Home Forschungsprojekt ACEMIND devolo Smart Home Forschungsprojekt ACEMIND
devolo Smart Home Forschungsprojekt ACEMIND resultsrelations
 
Legal Compliance | weyer spezial
Legal Compliance | weyer spezialLegal Compliance | weyer spezial
Legal Compliance | weyer spezialweyer gruppe
 
Plädoyer für die solare zukunft
Plädoyer für die solare zukunftPlädoyer für die solare zukunft
Plädoyer für die solare zukunfterhard renz
 
How to Instal an Analog Encoder
How to Instal an Analog EncoderHow to Instal an Analog Encoder
How to Instal an Analog EncoderMitchell Dost
 
Regionale wertschöpfung
Regionale wertschöpfungRegionale wertschöpfung
Regionale wertschöpfungerhard renz
 
131114 devolo d_lan1200pluswifiacdevolo präsentiert neues Powerline-WLAN-Flag...
131114 devolo d_lan1200pluswifiacdevolo präsentiert neues Powerline-WLAN-Flag...131114 devolo d_lan1200pluswifiacdevolo präsentiert neues Powerline-WLAN-Flag...
131114 devolo d_lan1200pluswifiacdevolo präsentiert neues Powerline-WLAN-Flag...resultsrelations
 
Ölförderung in Bürstadt Information der Fa. Rhein Petroleum im Umweltausschuß
Ölförderung in Bürstadt Information der Fa. Rhein Petroleum im UmweltausschußÖlförderung in Bürstadt Information der Fa. Rhein Petroleum im Umweltausschuß
Ölförderung in Bürstadt Information der Fa. Rhein Petroleum im Umweltausschußerhard renz
 
Ost 1 11317 73
Ost 1 11317 73Ost 1 11317 73
Ost 1 11317 73Quinn Kane
 

Destacado (20)

Escuela 258 25 de mayo. T.M.
Escuela 258  25 de mayo. T.M.Escuela 258  25 de mayo. T.M.
Escuela 258 25 de mayo. T.M.
 
Electronica
ElectronicaElectronica
Electronica
 
ausbilder-forum: Referat Torsten Maier
ausbilder-forum: Referat Torsten Maierausbilder-forum: Referat Torsten Maier
ausbilder-forum: Referat Torsten Maier
 
PERFIL CORFISA SA DE CV
PERFIL CORFISA SA DE CVPERFIL CORFISA SA DE CV
PERFIL CORFISA SA DE CV
 
Stop Ego. Start Xtra. - Die Gewinner.
Stop Ego. Start Xtra. - Die Gewinner.Stop Ego. Start Xtra. - Die Gewinner.
Stop Ego. Start Xtra. - Die Gewinner.
 
Wir bereiten uns auf eine deutschlandreise vor
Wir bereiten uns auf eine deutschlandreise vorWir bereiten uns auf eine deutschlandreise vor
Wir bereiten uns auf eine deutschlandreise vor
 
devolo Smart Home Forschungsprojekt ACEMIND
devolo Smart Home Forschungsprojekt ACEMIND devolo Smart Home Forschungsprojekt ACEMIND
devolo Smart Home Forschungsprojekt ACEMIND
 
Legal Compliance | weyer spezial
Legal Compliance | weyer spezialLegal Compliance | weyer spezial
Legal Compliance | weyer spezial
 
Plädoyer für die solare zukunft
Plädoyer für die solare zukunftPlädoyer für die solare zukunft
Plädoyer für die solare zukunft
 
ÖW Marketingkampagne 2013 Polen
ÖW Marketingkampagne 2013 PolenÖW Marketingkampagne 2013 Polen
ÖW Marketingkampagne 2013 Polen
 
Marketingkampagne Winter 2013/14 Schweden
Marketingkampagne Winter 2013/14 SchwedenMarketingkampagne Winter 2013/14 Schweden
Marketingkampagne Winter 2013/14 Schweden
 
How to Instal an Analog Encoder
How to Instal an Analog EncoderHow to Instal an Analog Encoder
How to Instal an Analog Encoder
 
Regionale wertschöpfung
Regionale wertschöpfungRegionale wertschöpfung
Regionale wertschöpfung
 
Gat1
Gat1Gat1
Gat1
 
Ausschreibung weite winterwelten_de_2012_13
Ausschreibung weite winterwelten_de_2012_13Ausschreibung weite winterwelten_de_2012_13
Ausschreibung weite winterwelten_de_2012_13
 
131114 devolo d_lan1200pluswifiacdevolo präsentiert neues Powerline-WLAN-Flag...
131114 devolo d_lan1200pluswifiacdevolo präsentiert neues Powerline-WLAN-Flag...131114 devolo d_lan1200pluswifiacdevolo präsentiert neues Powerline-WLAN-Flag...
131114 devolo d_lan1200pluswifiacdevolo präsentiert neues Powerline-WLAN-Flag...
 
Ölförderung in Bürstadt Information der Fa. Rhein Petroleum im Umweltausschuß
Ölförderung in Bürstadt Information der Fa. Rhein Petroleum im UmweltausschußÖlförderung in Bürstadt Information der Fa. Rhein Petroleum im Umweltausschuß
Ölförderung in Bürstadt Information der Fa. Rhein Petroleum im Umweltausschuß
 
Ost 1 11317 73
Ost 1 11317 73Ost 1 11317 73
Ost 1 11317 73
 
ÖW Marketingkampagne Winter 2014/15 Polen
ÖW Marketingkampagne Winter 2014/15 PolenÖW Marketingkampagne Winter 2014/15 Polen
ÖW Marketingkampagne Winter 2014/15 Polen
 
Humanidad 2.0
Humanidad 2.0Humanidad 2.0
Humanidad 2.0
 

Similar a 61 trigonometría (20)

Trigonometria.pdf
Trigonometria.pdfTrigonometria.pdf
Trigonometria.pdf
 
Trigonometria.pdf
Trigonometria.pdfTrigonometria.pdf
Trigonometria.pdf
 
Ma 31 2007
Ma 31 2007Ma 31 2007
Ma 31 2007
 
Ma 31 2007
Ma 31 2007Ma 31 2007
Ma 31 2007
 
02 TRIGO-HELICOIDE RT TEORIAAA.pdf
02 TRIGO-HELICOIDE RT TEORIAAA.pdf02 TRIGO-HELICOIDE RT TEORIAAA.pdf
02 TRIGO-HELICOIDE RT TEORIAAA.pdf
 
22 guía acumulativa-
22  guía acumulativa-22  guía acumulativa-
22 guía acumulativa-
 
PPT 03 - Corrección Formativa.pptx
PPT 03 - Corrección Formativa.pptxPPT 03 - Corrección Formativa.pptx
PPT 03 - Corrección Formativa.pptx
 
Semana n° 03
Semana n° 03Semana n° 03
Semana n° 03
 
29 guía ejercitación-
29  guía ejercitación-29  guía ejercitación-
29 guía ejercitación-
 
Ensayo PSU matematica
Ensayo PSU matematicaEnsayo PSU matematica
Ensayo PSU matematica
 
58 ejercicios geometría proporcional 1
58 ejercicios geometría proporcional 158 ejercicios geometría proporcional 1
58 ejercicios geometría proporcional 1
 
Semana 3 completo
Semana 3 completoSemana 3 completo
Semana 3 completo
 
Semana 3 completo
Semana 3 completoSemana 3 completo
Semana 3 completo
 
Seminario excelencia preferente
Seminario excelencia   preferenteSeminario excelencia   preferente
Seminario excelencia preferente
 
63 guía ejercitación-
63  guía ejercitación-63  guía ejercitación-
63 guía ejercitación-
 
1 semana trigo
1 semana   trigo1 semana   trigo
1 semana trigo
 
Seminario 2014 iii
Seminario 2014 iiiSeminario 2014 iii
Seminario 2014 iii
 
37 guía acumulativa-
37  guía acumulativa-37  guía acumulativa-
37 guía acumulativa-
 
Facsimil9
Facsimil9Facsimil9
Facsimil9
 
Ma 36 2007
Ma 36 2007Ma 36 2007
Ma 36 2007
 

Más de Marcelo Calderón

530 Preguntas (PSU) matematica oficial rectificado.
530 Preguntas (PSU) matematica oficial rectificado.530 Preguntas (PSU) matematica oficial rectificado.
530 Preguntas (PSU) matematica oficial rectificado.Marcelo Calderón
 
49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial
49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial
49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencialMarcelo Calderón
 
69 ejercicios probabilidades
69 ejercicios probabilidades69 ejercicios probabilidades
69 ejercicios probabilidadesMarcelo Calderón
 
65 ejercicios estadística y gráficos
65 ejercicios estadística y gráficos65 ejercicios estadística y gráficos
65 ejercicios estadística y gráficosMarcelo Calderón
 
65 ejercicios estadística y gráficos
65 ejercicios estadística y gráficos65 ejercicios estadística y gráficos
65 ejercicios estadística y gráficosMarcelo Calderón
 
60 ejercicios geometría proporcional 2
60 ejercicios geometría proporcional 260 ejercicios geometría proporcional 2
60 ejercicios geometría proporcional 2Marcelo Calderón
 
53 ejercicios logaritmos y función logarítmica
53 ejercicios logaritmos y función logarítmica53 ejercicios logaritmos y función logarítmica
53 ejercicios logaritmos y función logarítmicaMarcelo Calderón
 
52 logaritmos y función logarítmica
52 logaritmos y función logarítmica52 logaritmos y función logarítmica
52 logaritmos y función logarítmicaMarcelo Calderón
 
51 ejercicios raíces y función raíz cuadrada
51 ejercicios raíces y función raíz cuadrada51 ejercicios raíces y función raíz cuadrada
51 ejercicios raíces y función raíz cuadradaMarcelo Calderón
 
50 raíces y función raíz cuadrada
50 raíces y función raíz cuadrada50 raíces y función raíz cuadrada
50 raíces y función raíz cuadradaMarcelo Calderón
 
49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial
49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial
49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencialMarcelo Calderón
 
48 potencias, ecuación exponencial, función exponencial
48 potencias, ecuación exponencial, función exponencial48 potencias, ecuación exponencial, función exponencial
48 potencias, ecuación exponencial, función exponencialMarcelo Calderón
 

Más de Marcelo Calderón (18)

Resumen-psu-biologia
Resumen-psu-biologiaResumen-psu-biologia
Resumen-psu-biologia
 
530 Preguntas (PSU) matematica oficial rectificado.
530 Preguntas (PSU) matematica oficial rectificado.530 Preguntas (PSU) matematica oficial rectificado.
530 Preguntas (PSU) matematica oficial rectificado.
 
49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial
49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial
49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial
 
70 guía ejercitación-
70  guía ejercitación-70  guía ejercitación-
70 guía ejercitación-
 
69 ejercicios probabilidades
69 ejercicios probabilidades69 ejercicios probabilidades
69 ejercicios probabilidades
 
67 ejercicios combinatoria
67 ejercicios combinatoria67 ejercicios combinatoria
67 ejercicios combinatoria
 
66 combinatoria
66 combinatoria66 combinatoria
66 combinatoria
 
65 ejercicios estadística y gráficos
65 ejercicios estadística y gráficos65 ejercicios estadística y gráficos
65 ejercicios estadística y gráficos
 
65 ejercicios estadística y gráficos
65 ejercicios estadística y gráficos65 ejercicios estadística y gráficos
65 ejercicios estadística y gráficos
 
60 ejercicios geometría proporcional 2
60 ejercicios geometría proporcional 260 ejercicios geometría proporcional 2
60 ejercicios geometría proporcional 2
 
56 guía ejercitación-
56  guía ejercitación-56  guía ejercitación-
56 guía ejercitación-
 
53 ejercicios logaritmos y función logarítmica
53 ejercicios logaritmos y función logarítmica53 ejercicios logaritmos y función logarítmica
53 ejercicios logaritmos y función logarítmica
 
52 logaritmos y función logarítmica
52 logaritmos y función logarítmica52 logaritmos y función logarítmica
52 logaritmos y función logarítmica
 
51 ejercicios raíces y función raíz cuadrada
51 ejercicios raíces y función raíz cuadrada51 ejercicios raíces y función raíz cuadrada
51 ejercicios raíces y función raíz cuadrada
 
50 raíces y función raíz cuadrada
50 raíces y función raíz cuadrada50 raíces y función raíz cuadrada
50 raíces y función raíz cuadrada
 
49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial
49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial
49 ejercicios potencias, ecuación exponencial, función exponencial
 
48 potencias, ecuación exponencial, función exponencial
48 potencias, ecuación exponencial, función exponencial48 potencias, ecuación exponencial, función exponencial
48 potencias, ecuación exponencial, función exponencial
 
47 ejercicios de funciones
47 ejercicios de funciones47 ejercicios de funciones
47 ejercicios de funciones
 

Último

Manejo de Emociones en la Escuela ME2 Ccesa007.pdf
Manejo de Emociones en la Escuela ME2  Ccesa007.pdfManejo de Emociones en la Escuela ME2  Ccesa007.pdf
Manejo de Emociones en la Escuela ME2 Ccesa007.pdfDemetrio Ccesa Rayme
 
Comunidad de aprendizaje virtuales Presentacion Slide Share.
Comunidad de aprendizaje virtuales Presentacion Slide Share.Comunidad de aprendizaje virtuales Presentacion Slide Share.
Comunidad de aprendizaje virtuales Presentacion Slide Share.NoelyLopez1
 
Granada2024 segunda parte, charla de JM.pdf
Granada2024 segunda parte, charla de JM.pdfGranada2024 segunda parte, charla de JM.pdf
Granada2024 segunda parte, charla de JM.pdfFRANCISCO PAVON RABASCO
 
Diapositivas acerca de la Biología celular
Diapositivas acerca de la  Biología celularDiapositivas acerca de la  Biología celular
Diapositivas acerca de la Biología celularchacaguasaydayana284
 
Reinos Y Clasificación Diapositivas.pptx
Reinos Y Clasificación Diapositivas.pptxReinos Y Clasificación Diapositivas.pptx
Reinos Y Clasificación Diapositivas.pptxkarolbustamante2911
 
MODU UNO maestria contemporáneo pedagogía.pdf
MODU UNO  maestria contemporáneo pedagogía.pdfMODU UNO  maestria contemporáneo pedagogía.pdf
MODU UNO maestria contemporáneo pedagogía.pdfMagno Yupanki
 
ACTA OFICIAL DE POSESIÓN DE CARGO 2024.docx
ACTA OFICIAL DE POSESIÓN DE CARGO 2024.docxACTA OFICIAL DE POSESIÓN DE CARGO 2024.docx
ACTA OFICIAL DE POSESIÓN DE CARGO 2024.docxCarlos Muñoz
 
Hitos históricos de la transformación del PODER GLOBAL II.pptx
Hitos históricos de la transformación del PODER GLOBAL II.pptxHitos históricos de la transformación del PODER GLOBAL II.pptx
Hitos históricos de la transformación del PODER GLOBAL II.pptxsubfabian
 
Diplomatura Ultrasonido Piso Pelviano BLOG.pdf
Diplomatura Ultrasonido Piso Pelviano BLOG.pdfDiplomatura Ultrasonido Piso Pelviano BLOG.pdf
Diplomatura Ultrasonido Piso Pelviano BLOG.pdfTony Terrones
 
Tema 3 Clasificación de los seres vivos 2024.pdf
Tema 3 Clasificación de los seres vivos 2024.pdfTema 3 Clasificación de los seres vivos 2024.pdf
Tema 3 Clasificación de los seres vivos 2024.pdfIES Vicent Andres Estelles
 
Investigación Calculadora Científica.docx
Investigación Calculadora Científica.docxInvestigación Calculadora Científica.docx
Investigación Calculadora Científica.docxedepmiguelgarcia
 
IMÁGENES SUBLIMINALES OCULTAS EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMÁGENES SUBLIMINALES OCULTAS EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁIMÁGENES SUBLIMINALES OCULTAS EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMÁGENES SUBLIMINALES OCULTAS EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁClaude LaCombe
 
Presentación Animales de PBA para docentes
Presentación Animales de PBA para docentesPresentación Animales de PBA para docentes
Presentación Animales de PBA para docentesSoVentura2
 
GUÍA DIDÁCTICA UNIDAD 2_Medios Didácticos
GUÍA DIDÁCTICA UNIDAD 2_Medios DidácticosGUÍA DIDÁCTICA UNIDAD 2_Medios Didácticos
GUÍA DIDÁCTICA UNIDAD 2_Medios Didácticoseliecerespinosa
 
Diapositivas acerca de la Mitocondria.pdf
Diapositivas acerca de la Mitocondria.pdfDiapositivas acerca de la Mitocondria.pdf
Diapositivas acerca de la Mitocondria.pdfchacaguasaydayana284
 
Tema 4. Razonamiento Lógico 25-02-24.pdf
Tema 4. Razonamiento Lógico 25-02-24.pdfTema 4. Razonamiento Lógico 25-02-24.pdf
Tema 4. Razonamiento Lógico 25-02-24.pdfNoe Castillo
 
Biología Marina, Elaborado por Sujey Lara
Biología Marina, Elaborado por Sujey LaraBiología Marina, Elaborado por Sujey Lara
Biología Marina, Elaborado por Sujey Larassuserb2b6fc1
 
Comunidad virtual sus características principales
Comunidad virtual sus características principalesComunidad virtual sus características principales
Comunidad virtual sus características principalesJoselinMaldonadoRami
 
Tipos_de_direccion para administración en fisioterapia
Tipos_de_direccion para administración en fisioterapiaTipos_de_direccion para administración en fisioterapia
Tipos_de_direccion para administración en fisioterapiaAsdrubalNotario
 

Último (20)

Manejo de Emociones en la Escuela ME2 Ccesa007.pdf
Manejo de Emociones en la Escuela ME2  Ccesa007.pdfManejo de Emociones en la Escuela ME2  Ccesa007.pdf
Manejo de Emociones en la Escuela ME2 Ccesa007.pdf
 
Comunidad de aprendizaje virtuales Presentacion Slide Share.
Comunidad de aprendizaje virtuales Presentacion Slide Share.Comunidad de aprendizaje virtuales Presentacion Slide Share.
Comunidad de aprendizaje virtuales Presentacion Slide Share.
 
Granada2024 segunda parte, charla de JM.pdf
Granada2024 segunda parte, charla de JM.pdfGranada2024 segunda parte, charla de JM.pdf
Granada2024 segunda parte, charla de JM.pdf
 
Diapositivas acerca de la Biología celular
Diapositivas acerca de la  Biología celularDiapositivas acerca de la  Biología celular
Diapositivas acerca de la Biología celular
 
Reinos Y Clasificación Diapositivas.pptx
Reinos Y Clasificación Diapositivas.pptxReinos Y Clasificación Diapositivas.pptx
Reinos Y Clasificación Diapositivas.pptx
 
MODU UNO maestria contemporáneo pedagogía.pdf
MODU UNO  maestria contemporáneo pedagogía.pdfMODU UNO  maestria contemporáneo pedagogía.pdf
MODU UNO maestria contemporáneo pedagogía.pdf
 
ACTA OFICIAL DE POSESIÓN DE CARGO 2024.docx
ACTA OFICIAL DE POSESIÓN DE CARGO 2024.docxACTA OFICIAL DE POSESIÓN DE CARGO 2024.docx
ACTA OFICIAL DE POSESIÓN DE CARGO 2024.docx
 
Hitos históricos de la transformación del PODER GLOBAL II.pptx
Hitos históricos de la transformación del PODER GLOBAL II.pptxHitos históricos de la transformación del PODER GLOBAL II.pptx
Hitos históricos de la transformación del PODER GLOBAL II.pptx
 
Diplomatura Ultrasonido Piso Pelviano BLOG.pdf
Diplomatura Ultrasonido Piso Pelviano BLOG.pdfDiplomatura Ultrasonido Piso Pelviano BLOG.pdf
Diplomatura Ultrasonido Piso Pelviano BLOG.pdf
 
Tema 3 Clasificación de los seres vivos 2024.pdf
Tema 3 Clasificación de los seres vivos 2024.pdfTema 3 Clasificación de los seres vivos 2024.pdf
Tema 3 Clasificación de los seres vivos 2024.pdf
 
Investigación Calculadora Científica.docx
Investigación Calculadora Científica.docxInvestigación Calculadora Científica.docx
Investigación Calculadora Científica.docx
 
IMÁGENES SUBLIMINALES OCULTAS EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMÁGENES SUBLIMINALES OCULTAS EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁIMÁGENES SUBLIMINALES OCULTAS EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMÁGENES SUBLIMINALES OCULTAS EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
 
Presentación Animales de PBA para docentes
Presentación Animales de PBA para docentesPresentación Animales de PBA para docentes
Presentación Animales de PBA para docentes
 
GUÍA DIDÁCTICA UNIDAD 2_Medios Didácticos
GUÍA DIDÁCTICA UNIDAD 2_Medios DidácticosGUÍA DIDÁCTICA UNIDAD 2_Medios Didácticos
GUÍA DIDÁCTICA UNIDAD 2_Medios Didácticos
 
Diapositivas acerca de la Mitocondria.pdf
Diapositivas acerca de la Mitocondria.pdfDiapositivas acerca de la Mitocondria.pdf
Diapositivas acerca de la Mitocondria.pdf
 
Taller de Creatividad Publicitaria - 23 de marzo 2024
Taller de Creatividad Publicitaria - 23 de marzo 2024Taller de Creatividad Publicitaria - 23 de marzo 2024
Taller de Creatividad Publicitaria - 23 de marzo 2024
 
Tema 4. Razonamiento Lógico 25-02-24.pdf
Tema 4. Razonamiento Lógico 25-02-24.pdfTema 4. Razonamiento Lógico 25-02-24.pdf
Tema 4. Razonamiento Lógico 25-02-24.pdf
 
Biología Marina, Elaborado por Sujey Lara
Biología Marina, Elaborado por Sujey LaraBiología Marina, Elaborado por Sujey Lara
Biología Marina, Elaborado por Sujey Lara
 
Comunidad virtual sus características principales
Comunidad virtual sus características principalesComunidad virtual sus características principales
Comunidad virtual sus características principales
 
Tipos_de_direccion para administración en fisioterapia
Tipos_de_direccion para administración en fisioterapiaTipos_de_direccion para administración en fisioterapia
Tipos_de_direccion para administración en fisioterapia
 

61 trigonometría

  • 1. C u r s o : Matemática Material N° 33 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 33 UNIDAD: GEOMETRÍA TRIGONOMETRÍA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS En el triángulo ABC, rectángulo en C (figura 1), se definen las siguientes razones: Seno de  = sen  = Cateto opuesto a hipotenusa  = a c Coseno de  = cos  = Cateto adyacente a hipotenusa  = b c Tangente de  = tg  =   Cateto opuesto a Cateto adyacente a = a b Cotangente de  = cotg  =   Cateto adyacente a Cateto opuesto a = b a Secante de  = sec  = Hipotenusa Cateto adyacente a  = c b Cosecante de  = cosec  = Hipotenusa Cateto opuesto a  = c a B a c EJEMPLOS 1. Si tg  = 5 12 fig. 1 y  es un ángulo agudo, entonces cos  = A) 12 5 B) 13 12 C) 5 12 D) 5 13 E) 12 13   C b A
  • 2. 2. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 15 cm, entonces el seno del 2 ángulo agudo mayor es A) 15 17 B) 8 17 C) 8 15 D) 15 8 E) 17 15 3. Con los datos de la figura 1, la expresión tg  – sen  es igual a  A) ac bc ab  B) ac bc bc  C) bc ac ab  D) bc ac bc  E) a c b C fig. 1 a 4. Con respecto al triángulo rectángulo ABC de la figura 2, ¿cuál de las opciones siguientes es verdadera? A) sec  = c b B) cos  = a c C) cotg  = b a D) cosec  = c b E) sen  = cos  B c a 5. En la hoja cuadriculada de la figura 3, cada cuadrado tiene lado 2. Entonces, en el ABC la tangente del ángulo  es igual a A) 1 5 B) 1 2 C) 2 5 D) 2 E) 5  A B b c A  C B fig. 3   A C fig. 2 b
  • 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30º, 45º y 60º Considerando los triángulos de las figuras 1 y 2, se tiene que: 3 Ángulo Razón 30º 45º 60º sen  1 2 2 2 3 2 cos  3 2 2 2 1 2 tg  3 3 1 3 EJEMPLOS C 30º 2 1 C 2 Horizontal Observador Línea de mira fig. 3 1. Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 30º como se muestra en la figura 1. Si ha recorrido desde el punto de despegue una distancia de 1.000 metros, ¿a qué altura (h), respecto del suelo se encuentra? A) 500 3 metros B) 500 metros C) 1.000 3 metros D) 100 3 metros E) 1.500 3 metros 60º A B 3 fig. 1 45º 45º A 1 B fig. 2 1 Ángulos de elevación y de depresión (fig. 3) son aquellos formados por la horizontal, considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira, según que el objeto observado esté por sobre o bajo esta última. Con respecto a un observador, los ángulos de elevación y de depresión constituyen ángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto, sus medidas son iguales 1.000 m fig. 1 h 30º Ángulo de elevación Ángulo de depresión Observador Horizontal
  • 4. 2. ¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 50 m de altura (fig. 2) cuando el sol se ha elevado 40º sobre el horizonte? 4 A) 50 · tg 40º m 50 B) sen 40º m C) 50 tg 40º m D) tg 40º 50 E) cotg 40º 50 m 3. ¿Cuál es la longitud del hilo que sujeta el volantín de la figura 3, si el ángulo de elevación es de 50º? (Considere cos 40º = 0,7) A) 20 2 m B) 3 51 0,7 m C) 21,5 2 m D) 20 m E) 30 m 4. Un observador de 1,80 m observa la azotea de un edificio, según un ángulo de elevación de 60º (fig. 4). Si el punto de observación está a 12 m del edificio, ¿cuánto mide la altura del edificio? A) 24 m B) 12 3 m C) 8 3 m D) (4 3 + 1,8) m E) (12 3 + 1,8) m 5. La longitud de una escalera, cuyos extremos están apoyados a un poste y al suelo es de 4 3 metros. La escalera forma un ángulo con el poste de 30º. ¿A qué distancia está el pie de la escalera del poste? A) 2 3 m B) 4 m C) 6 m D) 2 3 m E) 6 3 m 40º fig. 2 1,5 m 50º fig. 3 22,5 m 12 m fig. 4
  • 5. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Las identidades 1, 2, 3, 4 y 5 se deducen directamente de las definiciones de las razones trigonométricas. La identidad 6, se deduce combinando las definiciones con el Teorema de Pitágoras. 1. sen  · cosec  = 1 4. tg  = 5 sen cos   2. cos  · sec  = 1 5. cotg  = cos sen   3. tg  · cotg  = 1 6. sen2  + cos2  = 1 EJEMPLOS  1. Si k = cos2 60° + cos2 50° + sen2 50°, entonces 4k es igual a A) 7 B) 6 C) 5 D) 1,25 E) 1 2. Si  es un ángulo agudo, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) identidad(es)? I) tg  · cosec  = sec  II) 2 1 1  cos  = cosec2  III) (sen  + cos ) (sen  – cos ) = 2 sen2  – 1 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III 3. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa al cuadrado del coseno de ? A) cos 2 B) 2 1 cosec  C) 1 + sen2  D) 1 2 sec  E) sen2  – 1  B C A a b c
  • 6. 6 4. Si cos2  = 4 9 , entonces 3 sen  = A) 5 9 B) 5 3 C) 5 3 D) 5 E) 5 5. Con los datos de la figura 1, la expresión (sen  + cos )2 es igual a A) 1 B) 2 b + 2ac 2 b C) b2 + 2ac 2 D)  b 2ac 2 b E) 2ac b 2 B b a c 6. Si  es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades no es (son) identidad(es)? I) sen  + cos  · cotg  = cosec  II) sec  · sen  = sec2   1 III) tg  · sen  = cos  A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III A C fig. 1 
  • 7. 7. ¿En cuál(es) de las siguientes expresiones trigonométricas, el resultado es siempre igual 7 a 1? I) sen2 40º + cos2 50º II) sen 40º + sen 50º III) sen 45º cos 45º A) En II solamente B) En III solamente C) En I y en II solamente D) En II y en III solamente E) Ninguna de ellas RESPUESTAS DMTRMA33 Ejemplos Págs. 1 2 3 4 5 6 7 1 y 2 E A C E D 3 y 4 B C E E D 5, 6 y 7 C E D D B C B Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/