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GUÍA DE EJERCITACIÓN Nº 8 
GEOMETRÍA PROPORCIONAL - TRIGONOMETRÍA 
1. En la figura 1, el trazo KL es paralelo al lado PQ del triángulo PQR. Si RK es la mitad de 
KP , entonces podemos afirmar que RL es 
A) el cuádruplo de LQ . 
B) el doble de LQ . 
C) un cuarto de LQ . 
D) un tercio de LQ . 
E) la mitad de LQ . 
R 
K L 
fig. 1 
2. En el triángulo ABC de la figura 2, DE // BC . Si AB = 6 y AE = 3 EC , entonces BD = 
A) 1,5 
B) 2 
C) 3 
D) 4,5 
E) no se puede calcular. 
C 
E fig. 2 
3. En la figura 3, las rectas L y L’ son paralelas y los trazo AB y CD se cortan en E. Si 
AD = 8, BC = 5 y CE = 4, ¿cuánto mide ED ? 
A) 2,5 
B) 4 
C) 6,4 
D) 7 
E) 10 
C B 
4. Los triángulos A1B1C1 y A2B2C2 de la figura 4, son semejantes. Si m1 y m2 son dos 
medianas homólogas tales que m1 : m2 = 3 : 5, entonces c1 : c2 como 
A) 1 : 3 
B) 1 : 5 
C) 5 : 3 
D) 2 : 3 
E) 3 : 5 
P Q 
A D B 
L 
L’ 
E 
A D 
fig. 3 
fig. 4 
C1 
m1 
A1 c1 
B1 
C2 
m2 
A2 c2 
B2 
C u r s o : Matemática 
Material GEM-08
5. Las rectas L1 y L2 de la figura 5, son paralelas y los trazos DB y AE se cortan en C. ¿Cuál 
es la razón entre el área del ABC y el área del EDC? 
2 
A) 1 : 3 
B) 3 : 6 
C) 1 : 4 
D) 1 : 9 
E) 2 : 9 
D E 
6. En la figura 6, las rectas S1 y S2 intersectan a las rectas paralelas L1, L2 y L3. Si 
AC = 21 cm, BC = 9 cm y DE = 4 cm, ¿cuánto mide EF ? 
A) 1 
B) 3 
C) 4 
D) 7 
E) 9 
S1 S2 
7. En el triángulo ABC de la figura 7, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) 
verdadera(s)? 
I) sen = 2 
5 
II) cos = 1 
5 
III) tan = 2 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo I y II 
D) Sólo II y III 
E) I, II y III 
8 
C 
8. Sobre una planicie, un halcón en vuelo observa un conejo con un ángulo de depresión de 
50º. Si la distancia del halcón al conejo es 200 m, ¿a qué altura del suelo se encuentra el 
halcón? 
A) 200 
sen 50° 
m 
B) 200 
cos 50° 
m 
C) 200 sen 50º m 
D) 200 cos 50º m 
E) 200 tg 50º m 
L1 
L2 
C 
A B 
fig. 5 
6 
9 
1 2 
3 
x 
y 
fig. 7 
3 6 
2 
 
A B 
L1 
L3 
A D 
C F 
fig. 6 
L2 
B E
9. El extremo superior de una escalera de 8 metros de largo se encuentra apoyada en una 
pared. El ángulo formado por el piso y la escalera es de 60º. Luego, la distancia entre la 
pared y el pie de la escalera es 
3 
A) 4 3 metros. 
B) 4 2 metros. 
C) 2 2 metros. 
D) 6 metros. 
E) 4 metros. 
10. En la figura 8, el trazo DE es paralelo al lado AB del ABC. Si el perímetro del triángulo 
ABC es 45, entonces x – y = 
A) -2 
B) -3 
C) 2 
D) 3 
E) 4 
D 
11. En el triángulo ABC de la figura 9, se ha trazado DE tal que DEC = CAB. ¿Cuál(es) de 
las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)? 
I) CD : DA = CE : EB 
II) DE : EC = BA : AC 
III) CD : CE = CA : CB 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo III 
D) Sólo I y III 
E) Sólo II y III 
12. En el triángulo ABC de la figura 10, PQ es tal que el PQC es congruente con el CAB. Si 
CQ = 6 cm, AC = 18 cm y CB = 12 cm, entonces AP = 
A) 15 cm 
B) 14 cm 
C) 12 cm 
D) 8 cm 
E) 4 cm 
C 
E 
B 
A 
6 
4 
y 
x 
20 
fig. 8 
D 
C 
E 
A B 
fig. 9 
C 
P 
Q 
A B 
fig. 10
13. ¿Cuál(es) de los siguientes triángulos es (son) siempre semejantes al PQR de la 
4 
figura 11? 
12 
Q 
I) II) III) 
A) Sólo I 
B) Sólo I y II 
C) Sólo I y III 
D) Sólo II y III 
E) I, II y III 
2 
14. El triángulo ABC de la figura 12, es rectángulo en C y CD es la altura bajada desde C. Si 
AC = 6 y AD = 3, entonces AB = 
A) 5 
B) 6 
C) 9 
D) 12 
E) 15 
C 
15. El triángulo ABC de la figura 13, es rectángulo en C y CD es la altura bajada desde C. Si 
AD = 5 y DB = 3, entonces AC = 
A) 15 
B) 40 
C) 15 
D) 2 6 
E) 2 10 
C 
A B 
D 
16. En la figura 14, el triángulo ABC es rectángulo en C y CD es la altura bajada desde C a la 
hipotenusa AB . ¿Cuánto mide el cateto AC ? 
A) 3 cm 
B) 3,5 cm 
C) 3,75 cm 
D) 4 cm 
E) 5 cm 
A B 
D 
fig. 12 
fig. 14 
C 
3 cm 
A B 
D 4 cm 
fig. 13 
60º 
R 6 
P 
fig. 11 
30º 
4 
6 
4 3 
60º 
1
17. Dado el triángulo ABC de la figura 15, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) 
5 
siempre verdadera(s)? 
I) r : h = h : s 
II) c : r = a : s 
III) c : a = r : s 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo III 
D) Sólo I y II 
E) Sólo I y III 
A 
18. El triángulo ABC de la figura 16, está inscrito en la semicircunferencia de centro O. El 
punto D es el pie de la altura trazada desde C. Si AD = 1 y AB = 7, entonces CD = 
A) 7 
B) 6 
C) 5 
D) 3 
E) 2 
A B 
19. En la circunferencia de centro O de la figura 17, CD es perpendicular al diámetro AB . Si 
AD : AB = 1 : 3, entonces AC : BC = 
A) 3 : 3 
B) 2 : 2 
C) 1 : 2 
D) 1 : 3 
E) 2 : 3 
A B 
20. Las cuerdas AB y CD de la circunferencia de la figura 18, se cortan en P. Si AB = 10, 
CP = 3 y CD = 11, entonces una ecuación de 2º grado para determinar la medida x del 
segmento AP es 
A) x2 – 10x + 24 = 0 
B) x2 + 10x – 33 = 0 
C) x2 – 10x – 24 = 0 
D) x2 – 10x + 33 = 0 
E) x2 + 10x + 24 = 0 
B C 
c 
D 
a 
r 
s 
fig. 15 
h 
C B 
P 
A 
fig. 18 
D 
O 
C 
fig. 17 
D 
O 
C 
fig. 16 
D
21. En la figura 19 se muestra una circunferencia de centro O. En ella CD y AB son cuerdas. 
6 
A partir de la información dada, sen  = 
A) 3 
5 
B) 4 
5 
C) 3 
4 
D) 5 
4 
E) 4 
3 
B 
D 
16 
3 
C 
A 
fig. 19 
 
4 
O 
22. La circunferencia de la figura 20, tiene centro O y radio r, CD es cuerda perpendicular en 
E al diámetro AB . Si OE 
OB 
= 1 
3 
, entonces la longitud de la cuerda CD es 
A) 1 
3 
r 2 
B) 2 
3 
r 2 
C) 4 
3 
r 2 
D) 1 
4 
r 15 
E) 1 
5 
r 15 
23. Desde un punto exterior de una circunferencia se ha trazado una tangente de 5 cm de 
longitud y una secante que pasa por el centro. ¿Qué longitud, en cm, tiene el radio de la 
circunferencia, si el segmento exterior de la secante mide 3 cm? 
A) 2,66... 
B) 3 
C) 4 
D) 5,33... 
E) 4,166... 
24. Las circunferencias de centros O y O’ de la figura 21 son tangentes y tienen radios R y 
3R, respectivamente. La recta que contiene los puntos P, A y B es una tangente común 
a las dos circunferencias en A y en B, respectivamente. ¿Cuánto mide, en función de R, el 
segmento PT? 
A) 3 
2 
R 
B) 5 
2 
R 
C) 7 
2 
R 
D) R 
E) 2R 
B 
D 
A 
fig. 20 
C 
O E 
P 
A 
B 
T O O’ fig. 21
25. La circunferencia de la figura 22, está inscrita en el triángulo rectángulo ABC. Si los 
catetos AC y CB del triángulo miden 3 cm y 4 cm, respectivamente, entonces ¿cuánto 
mide el radio r de la circunferencia? 
7 
A) 0,5 cm 
B) 0,8 cm 
C) 1,0 cm 
D) 1,2 cm 
E) 1,5 cm 
C 
fig. 22 
r 
26. En el ABC de la figura 23, se ha trazado CD de modo que AD = DB . Se puede afirmar 
que ADC  BDC si : 
(1) CD  AB 
(2) AC = BC 
A) (1) por sí sola 
B) (2) por sí sola 
C) Ambas juntas, (1) y (2) 
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 
E) Se requiere información adicional 
C 
D 
27. Sabiendo que ABC  A’B’C’, se puede determinar la razón entre sus alturas, 
respectivamente, si : 
(1) AB 3 
= 
A´B´ 4 
(2) AC = 6 y A´C´ = 8 
A) (1) por sí sola 
B) (2) por sí sola 
C) Ambas juntas, (1) y (2) 
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 
E) Se requiere información adicional 
28. En la circunferencia de centro O y diámetro BD de la figura 24, CA es cuerda. Se puede 
determinar la medida de CE si : 
(1) BE = 4 cm y BD = 20 cm 
(2) CEB = AEB 
A) (1) por sí sola 
B) (2) por sí sola 
C) Ambas juntas, (1) y (2) 
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 
E) Se requiere información adicional 
A B 
A B 
fig. 23 
B 
D 
A fig. 24 
C E 
O
29. Se puede determinar el perímetro del triángulo rectángulo ABC de la figura 25, si : 
1. E 11. B 21. B 
2. A 12. B 22. C 
3. C 13. C 23. A 
4. E 14. D 24. D 
5. D 15. E 25. C 
6. B 16. C 26. D 
7. E 17. A 27. D 
8. C 18. B 28. C 
9. E 19. B 29. E 
10. D 20. A 30. C 
8 
(1) sen  = 3 
5 
(2) cos  = 4 
5 
A) (1) por sí sola 
B) (2) por sí sola 
C) Ambas juntas, (1) y (2) 
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 
E) Se requiere información adicional 
A B 
30. En la figura 26, PD = 8 cm. Se puede calcular la longitud de AB si : 
(1) PA = 9 cm 
(2) PD 4 
= 
DC 5 
A) (1) por sí sola 
B) (2) por sí sola 
C) Ambas juntas, (1) y (2) 
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 
E) Se requiere información adicional 
RESPUESTAS 
DMTRGEM-08 
C 
 
fig. 25 
 
B 
D 
A 
fig. 26 
C 
P 
O 
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  • 1. GUÍA DE EJERCITACIÓN Nº 8 GEOMETRÍA PROPORCIONAL - TRIGONOMETRÍA 1. En la figura 1, el trazo KL es paralelo al lado PQ del triángulo PQR. Si RK es la mitad de KP , entonces podemos afirmar que RL es A) el cuádruplo de LQ . B) el doble de LQ . C) un cuarto de LQ . D) un tercio de LQ . E) la mitad de LQ . R K L fig. 1 2. En el triángulo ABC de la figura 2, DE // BC . Si AB = 6 y AE = 3 EC , entonces BD = A) 1,5 B) 2 C) 3 D) 4,5 E) no se puede calcular. C E fig. 2 3. En la figura 3, las rectas L y L’ son paralelas y los trazo AB y CD se cortan en E. Si AD = 8, BC = 5 y CE = 4, ¿cuánto mide ED ? A) 2,5 B) 4 C) 6,4 D) 7 E) 10 C B 4. Los triángulos A1B1C1 y A2B2C2 de la figura 4, son semejantes. Si m1 y m2 son dos medianas homólogas tales que m1 : m2 = 3 : 5, entonces c1 : c2 como A) 1 : 3 B) 1 : 5 C) 5 : 3 D) 2 : 3 E) 3 : 5 P Q A D B L L’ E A D fig. 3 fig. 4 C1 m1 A1 c1 B1 C2 m2 A2 c2 B2 C u r s o : Matemática Material GEM-08
  • 2. 5. Las rectas L1 y L2 de la figura 5, son paralelas y los trazos DB y AE se cortan en C. ¿Cuál es la razón entre el área del ABC y el área del EDC? 2 A) 1 : 3 B) 3 : 6 C) 1 : 4 D) 1 : 9 E) 2 : 9 D E 6. En la figura 6, las rectas S1 y S2 intersectan a las rectas paralelas L1, L2 y L3. Si AC = 21 cm, BC = 9 cm y DE = 4 cm, ¿cuánto mide EF ? A) 1 B) 3 C) 4 D) 7 E) 9 S1 S2 7. En el triángulo ABC de la figura 7, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) sen = 2 5 II) cos = 1 5 III) tan = 2 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III 8 C 8. Sobre una planicie, un halcón en vuelo observa un conejo con un ángulo de depresión de 50º. Si la distancia del halcón al conejo es 200 m, ¿a qué altura del suelo se encuentra el halcón? A) 200 sen 50° m B) 200 cos 50° m C) 200 sen 50º m D) 200 cos 50º m E) 200 tg 50º m L1 L2 C A B fig. 5 6 9 1 2 3 x y fig. 7 3 6 2  A B L1 L3 A D C F fig. 6 L2 B E
  • 3. 9. El extremo superior de una escalera de 8 metros de largo se encuentra apoyada en una pared. El ángulo formado por el piso y la escalera es de 60º. Luego, la distancia entre la pared y el pie de la escalera es 3 A) 4 3 metros. B) 4 2 metros. C) 2 2 metros. D) 6 metros. E) 4 metros. 10. En la figura 8, el trazo DE es paralelo al lado AB del ABC. Si el perímetro del triángulo ABC es 45, entonces x – y = A) -2 B) -3 C) 2 D) 3 E) 4 D 11. En el triángulo ABC de la figura 9, se ha trazado DE tal que DEC = CAB. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)? I) CD : DA = CE : EB II) DE : EC = BA : AC III) CD : CE = CA : CB A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III 12. En el triángulo ABC de la figura 10, PQ es tal que el PQC es congruente con el CAB. Si CQ = 6 cm, AC = 18 cm y CB = 12 cm, entonces AP = A) 15 cm B) 14 cm C) 12 cm D) 8 cm E) 4 cm C E B A 6 4 y x 20 fig. 8 D C E A B fig. 9 C P Q A B fig. 10
  • 4. 13. ¿Cuál(es) de los siguientes triángulos es (son) siempre semejantes al PQR de la 4 figura 11? 12 Q I) II) III) A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 2 14. El triángulo ABC de la figura 12, es rectángulo en C y CD es la altura bajada desde C. Si AC = 6 y AD = 3, entonces AB = A) 5 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15 C 15. El triángulo ABC de la figura 13, es rectángulo en C y CD es la altura bajada desde C. Si AD = 5 y DB = 3, entonces AC = A) 15 B) 40 C) 15 D) 2 6 E) 2 10 C A B D 16. En la figura 14, el triángulo ABC es rectángulo en C y CD es la altura bajada desde C a la hipotenusa AB . ¿Cuánto mide el cateto AC ? A) 3 cm B) 3,5 cm C) 3,75 cm D) 4 cm E) 5 cm A B D fig. 12 fig. 14 C 3 cm A B D 4 cm fig. 13 60º R 6 P fig. 11 30º 4 6 4 3 60º 1
  • 5. 17. Dado el triángulo ABC de la figura 15, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) 5 siempre verdadera(s)? I) r : h = h : s II) c : r = a : s III) c : a = r : s A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III A 18. El triángulo ABC de la figura 16, está inscrito en la semicircunferencia de centro O. El punto D es el pie de la altura trazada desde C. Si AD = 1 y AB = 7, entonces CD = A) 7 B) 6 C) 5 D) 3 E) 2 A B 19. En la circunferencia de centro O de la figura 17, CD es perpendicular al diámetro AB . Si AD : AB = 1 : 3, entonces AC : BC = A) 3 : 3 B) 2 : 2 C) 1 : 2 D) 1 : 3 E) 2 : 3 A B 20. Las cuerdas AB y CD de la circunferencia de la figura 18, se cortan en P. Si AB = 10, CP = 3 y CD = 11, entonces una ecuación de 2º grado para determinar la medida x del segmento AP es A) x2 – 10x + 24 = 0 B) x2 + 10x – 33 = 0 C) x2 – 10x – 24 = 0 D) x2 – 10x + 33 = 0 E) x2 + 10x + 24 = 0 B C c D a r s fig. 15 h C B P A fig. 18 D O C fig. 17 D O C fig. 16 D
  • 6. 21. En la figura 19 se muestra una circunferencia de centro O. En ella CD y AB son cuerdas. 6 A partir de la información dada, sen  = A) 3 5 B) 4 5 C) 3 4 D) 5 4 E) 4 3 B D 16 3 C A fig. 19  4 O 22. La circunferencia de la figura 20, tiene centro O y radio r, CD es cuerda perpendicular en E al diámetro AB . Si OE OB = 1 3 , entonces la longitud de la cuerda CD es A) 1 3 r 2 B) 2 3 r 2 C) 4 3 r 2 D) 1 4 r 15 E) 1 5 r 15 23. Desde un punto exterior de una circunferencia se ha trazado una tangente de 5 cm de longitud y una secante que pasa por el centro. ¿Qué longitud, en cm, tiene el radio de la circunferencia, si el segmento exterior de la secante mide 3 cm? A) 2,66... B) 3 C) 4 D) 5,33... E) 4,166... 24. Las circunferencias de centros O y O’ de la figura 21 son tangentes y tienen radios R y 3R, respectivamente. La recta que contiene los puntos P, A y B es una tangente común a las dos circunferencias en A y en B, respectivamente. ¿Cuánto mide, en función de R, el segmento PT? A) 3 2 R B) 5 2 R C) 7 2 R D) R E) 2R B D A fig. 20 C O E P A B T O O’ fig. 21
  • 7. 25. La circunferencia de la figura 22, está inscrita en el triángulo rectángulo ABC. Si los catetos AC y CB del triángulo miden 3 cm y 4 cm, respectivamente, entonces ¿cuánto mide el radio r de la circunferencia? 7 A) 0,5 cm B) 0,8 cm C) 1,0 cm D) 1,2 cm E) 1,5 cm C fig. 22 r 26. En el ABC de la figura 23, se ha trazado CD de modo que AD = DB . Se puede afirmar que ADC  BDC si : (1) CD  AB (2) AC = BC A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional C D 27. Sabiendo que ABC  A’B’C’, se puede determinar la razón entre sus alturas, respectivamente, si : (1) AB 3 = A´B´ 4 (2) AC = 6 y A´C´ = 8 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 28. En la circunferencia de centro O y diámetro BD de la figura 24, CA es cuerda. Se puede determinar la medida de CE si : (1) BE = 4 cm y BD = 20 cm (2) CEB = AEB A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional A B A B fig. 23 B D A fig. 24 C E O
  • 8. 29. Se puede determinar el perímetro del triángulo rectángulo ABC de la figura 25, si : 1. E 11. B 21. B 2. A 12. B 22. C 3. C 13. C 23. A 4. E 14. D 24. D 5. D 15. E 25. C 6. B 16. C 26. D 7. E 17. A 27. D 8. C 18. B 28. C 9. E 19. B 29. E 10. D 20. A 30. C 8 (1) sen  = 3 5 (2) cos  = 4 5 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional A B 30. En la figura 26, PD = 8 cm. Se puede calcular la longitud de AB si : (1) PA = 9 cm (2) PD 4 = DC 5 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional RESPUESTAS DMTRGEM-08 C  fig. 25  B D A fig. 26 C P O Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/