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C u r s o : Matemática 
Material N° 38-E 
GUÍA DE EJERCICIOS N° 38 
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO - ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 
1. En la figura 1, el cuadrilátero ABCD es un rectángulo. Si AD = 2DC = 2x, entonces el área 
del cilindro generado al rotar el rectángulo respecto del lado AD es 
A) 4 x2 
B) 6 x2 
C) 8 x2 
D) 12 x2 
E) 16 x2 
A B 
2. Un cuadrado de lado 3 cm se traslada 4 cm apoyado sobre uno de sus lados en un plano 
perpendicular a él, como se muestra en la figura 2. ¿Cuál es el volumen del cuerpo 
generado? 
A) 9 cm3 
B) 12 cm3 
C) 27 cm3 
D) 36 cm3 
E) 64 cm3 
3. La mitad de cada una de las caras de un cubo se ha achurado (fig. 3). Si la superficie 
total achurada del cubo es de 48 cm2, ¿cuál es el volumen del cubo? 
A) 64 cm3 
B) 96 cm3 
C) 128 2 cm3 
D) 192 cm3 
E) 256 cm3 
4. En la figura 4, ¿cuánto mide el menor ángulo diedro formado por el plano ABCD y una de 
las caras del paralelepípedo rectangular de aristas 4, 4 3 y 10? 
A) 3 º 
B) 2 3 º 
C) 30º 
D) 60º 
E) 90º 
fig. 3 
fig. 4 
10 
C 
B 4 
D 
A 4 3 
fig. 2 
D 
C 
fig. 1
5. Dentro de una caja cúbica cuyo volumen es 216 cm3, es colocada una pelota que es 
tangente a las caras del cubo (fig. 5). ¿Cuál es el área de la pelota? 
2 
A) 6  cm2 
B) 9  cm2 
C) 36  cm2 
D) 54  cm2 
E) 144  cm2 
6. Al desplazar 3 cm un triángulo equilátero de altura 3 cm, se obtiene un prisma recto 
(figura 6). ¿Cuál es el área del cuerpo, en centímetros cuadrados? 
A) 3 + 3 
B) 3 3 
C) 6 3 
D) 18 + 6 
E) 18 + 2 3 
fig. 6 
7. Las pelotas de tenis vienen envasadas en tarros cilíndricos en los cuales caben 
exactamente tres de ellas, tal como se muestra en la figura 7. ¿Cuál es el volumen y el 
área del tarro, si el diámetro de cada pelota es 2 cm? (considere  = 3) 
Volumen Área 
A) 164 cm3 168 cm2 
B) 144 cm3 42 cm2 
C) 18 cm3 168 cm2 
D) 18 cm3 42 cm2 
E) 9 cm3 24 cm2 
8. Si las alturas y las bases de un cono y de un cilindro son iguales, entonces la razón entre 
el volumen del cono y el volumen del cilindro, respectivamente, es 
A) 1 : 3 
B) 3 : 1 
C) 1 : 9 
D) 9 : 1 
E) 1 : 27 
fig. 5 
3 cm 
fig. 7
9. En la figura 8, se muestra un cuerpo de revolución. ¿Con cuál(es) de las opciones 
siguientes se puede generar el cuerpo al rotar la figura plana en torno al eje AB? 
I) II) III) 
3 
A) Sólo con I 
B) Sólo con I y con II 
C) Sólo con I y con III 
D) Sólo con II y con III 
E) Con I, con II y con III 
10. La distancia entre el punto A (0, 5, -5) y el punto B (-5, 0, 5) es 
A) 10 
B) 15 
C) 5 2 
D) 5 3 
E) 5 6 
11. Se tiene un Deltoide, cuyas diagonales están sobre los ejes coordenados. Si se hace rotar 
el Deltoide entorno a una de sus diagonales se obtiene 
A) un cono. 
B) dos conos unidos por sus bases. 
C) una pirámide. 
D) dos pirámides unidas por sus bases. 
E) un cilindro. 
12. Los puntos A, B, C y D de la figura 9, son los vértices de la base de un cubo. ¿Cuál de los 
puntos de las alternativas no es uno de los 4 vértices que faltan del cubo? 
A) (2, 1, 4) 
B) (5, 2, 4) 
C) (1, 6, 4) 
D) (5, 6, 4) 
E) (1, 2, 4) 
A 
B 
A 
B 
A 
B 
y 
2 
1 1 2 
3 
3 4 
4 
5 
5 
6 
6 
7 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
x 
z 
C B 
D A 
fig. 9 
fig. 8
13. Se tiene un barril con capacidad de 200 litros el cual contiene agua hasta sus tres cuartas 
partes. Si se insertan dentro del barril ladrillos cuyas dimensiones son (10 x 20 x 40) cm, 
¿cuántos de estos ladrillos serían necesarios como mínimo colocar para que el agua 
rebalse? 
4 
A) 6 
B) 7 
C) 8 
D) 9 
E) 10 
14. Al sumergir completamente una piedra dentro de un tubo cilíndrico de 5 cm de radio 
(fig. 10), el nivel del agua que contiene sube 4 cm. ¿Cuál es el volumen de la piedra? 
(considere  = 3,14) 
A) 314,0 cm3 
B) 251,2 cm3 
C) 125,6 cm3 
D) 31,4 cm3 
E) Falta información para determinarlo 
15. Se tiene un cilindro compacto de metal de 10 cm de diámetro por 200 cm de largo. 
¿Cuánto material se debe sacar para obtener un tubo de 1 cm de grosor y el mismo 
largo? 
A) 1.600  cm3 
B) 1.800  cm3 
C) 2.500  cm3 
D) 3.200  cm3 
E) 4.800  cm3 
16. En la figura 11, la pirámide ABCOE está inscrita en el cubo. ¿Cuál(es) de las siguientes 
afirmaciones es (son) verdadera(s)? 
I) La diferencia entre el volumen del cubo y la pirámide es el doble del volumen 
de la pirámide. 
II) El volumen del cubo es 3 veces el volumen de la pirámide. 
III) El área del cubo es 3 veces el área de la pirámide. 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo I y II 
D) Sólo I y III 
E) Sólo II y III 
fig. 11 
E 
C 
O 
A B 
fig. 10
17. La figura 12, muestra un paralelepípedo cuyas aristas miden 3 cm, 4 cm y 6 cm. De las 
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s): 
I) El área total del cuerpo es 108 cm2. 
II) El volumen del cuerpo es 72 cm3. 
III) La mayor longitud rectilínea entre dos vértices del paralelepípedo es 61 cm. 
5 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo I y II 
D) Sólo II y III 
E) Todas ellas 
fig. 12 
18. Las pelotas de tenis vienen envasadas en cajas cilíndricas donde justo caben tres a lo alto 
y quedan completamente ajustadas en su interior. La razón entre el volumen ocupado por 
las pelotas y el volumen interior de la caja es 
A) 4 
5 
B) 3 
4 
C) 2 
3 
D) 3 
5 
E) 1 
2 
19. En la figura 13, se tiene un prisma recto cuya base es un hexágono regular de lado 5 y 
la altura del prisma es 12 . ¿Cuál es el volumen del prisma? 
A) 6 · 5 · 12 
B) 15 
2 
3 
C) 15 
2 
D) 45 3 
E) 45 
20. La figura 14, representa una piscina generada al trasladar n metros el trapecio achurado. 
El largo de la piscina es 8 m y tiene 1,5 m de profundidad mínima y 2,5 m de profundidad 
máxima. Para que el volumen de la piscina sea 56 m3 el valor de n debe ser 
A) 1,5 m 
B) 2,5 m 
C) 3,5 m 
D) 4,0 m 
E) 4,5 m 
n 
fig. 14 
5 
12 
fig. 13 
3 cm 
4 cm 
6 cm
21. ¿En qué razón están respectivamente, los volúmenes de un cilindro de radio m y altura n 
6 
y un cono recto de radio n y altura m? 
A) n 
3m 
B) 3n 
m 
C) m 
3n 
D) 3m 
n 
E) 2m 
n 
22. ABCD es un cuadrado de lado a cm y el trapecio EFBA es isósceles AE = BF = a. ¿Cuál es 
el volumen del cuerpo de la figura 15? 
A) 2 3 2 
  2a + a 3 
 
 4 
 
 
a cm3 
B) 3 2 
  a + a 3 
 
 4 
 
 
2a cm3 
C) (1 + 3 3 )2a3 cm3 
D) 
 2 
 
 a 
a 2 + 3 
 
  4 
 
 
2a cm3 
E) 3 
  1 + 3 
 
 4 
 
 
2a3 cm3 
a 
a 
23. El cuadrado OABC está en el plano XY del sistema que muestra la figura 16, el vector 
dibujado en el eje Z indica la traslación que experimentará el cuadrado, ¿cuál es el 
volumen del cuerpo generado por esta traslación? (En unidades cúbicas) 
A) 25 
B) 100 
C) 150 
D) 200 
E) 210 
2a 
B 
D C 
A 
E 2a F 
fig. 15 
O 
Y 
Z 
C 5 
A B 
5 
E 
8 
fig. 16 
X
24. En la figura 17, las coordenadas de los puntos C y E son (0,6,5) y (4,0,5) 
respectivamente. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 
I) El área de la figura formada por los trapecios AODE y OBCD es 50 unidades 
7 
cuadradas. 
II) El segmento AC mide 97 unidades. 
III) El perímetro del triángulo AOB es 10 + 52 unidades. 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo I y II 
D) Sólo I y III 
E) I, II y III 
Z fig. 17 
A 4 
25. Un triángulo isósceles rectángulo de cateto a se hace girar indefinidamente entorno a 
uno de sus catetos, entonces el área del manto del cuerpo generado es 
A) a2 
B) 2a2 
C) a2 2 
D) a3 
E) a2 2 
26. Las caras A y B de la caja (fig. 18) son cuadradas y el resto son rectangulares. El 
volumen de la caja se puede determinar, si: 
(1) El área de una de las caras cuadradas es de 36 cm2. 
(2) El perímetro de una de las caras rectangulares es de 32 cm. 
A) (1) por sí sola 
B) (2) por sí sola 
C) Ambas juntas, (1) y (2) 
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 
E) Se requiere información adicional 
27. El área del manto del cono, se puede determinar, si: 
(1) Se conoce la generatriz del cono. 
(2) Se conoce la razón entre la generatriz y el radio. 
A) (1) por sí sola 
B) (2) por sí sola 
C) Ambas juntas, (1) y (2) 
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 
E) Se requiere información 
A 
B 
fig. 18 
6 
B 
D 
E C 
X 
X 
Y 
O
28. Se puede determinar el área total de un paralelepipedo, si: 
(1) Tiene su base cuadrada. 
(2) Se conoce el área basal del peralelepípedo. 
8 
A) (1) por sí sola 
B) (2) por sí sola 
C) Ambas juntas, (1) y (2) 
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 
E) Se requiere información adicional 
29. En el tubo de la figura 19, el segmento AC es tangente en A a la circunferencia interior. 
Se puede determinar el volumen del tubo, si: 
(1) La medida del segmento AC es 5 cm. 
(2) El largo del tubo es 80 cm. 
A) (1) por sí sola 
B) (2) por sí sola 
C) Ambas juntas, (1) y (2) 
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 
E) Se requiere información adicional 
A 
C 
30. Se puede determinar la razón entre los volúmenes de los cuerpos generados por los 
triángulos ABC y DEF de la figura 20, al hacerlas girar en torno al eje indicado, si: 
(1) ABC  DFE 
(2) BC = EF = 2 cm 
A) (1) por sí sola 
B) (2) por sí sola 
C) Ambas juntas, (1) y (2) 
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 
E) Se requiere información adicional 
RESPUESTAS 
DMTRMA38-E 
C 
1. B 6. E 11. B 16. C 21. D 26. C 
2. D 7. D 12. A 17. E 22. E 27. C 
3. A 8. A 13. B 18. C 23. D 28. E 
4. C 9. C 14. A 19. E 24. E 29. C 
5. C 10. E 15. D 20. C 25. C 30. D 
fig. 20 
60° 
F 
60° 
A B 
D E 
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fig. 19

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72 ejercicios volúmenes

  • 1. C u r s o : Matemática Material N° 38-E GUÍA DE EJERCICIOS N° 38 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO - ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 1. En la figura 1, el cuadrilátero ABCD es un rectángulo. Si AD = 2DC = 2x, entonces el área del cilindro generado al rotar el rectángulo respecto del lado AD es A) 4 x2 B) 6 x2 C) 8 x2 D) 12 x2 E) 16 x2 A B 2. Un cuadrado de lado 3 cm se traslada 4 cm apoyado sobre uno de sus lados en un plano perpendicular a él, como se muestra en la figura 2. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado? A) 9 cm3 B) 12 cm3 C) 27 cm3 D) 36 cm3 E) 64 cm3 3. La mitad de cada una de las caras de un cubo se ha achurado (fig. 3). Si la superficie total achurada del cubo es de 48 cm2, ¿cuál es el volumen del cubo? A) 64 cm3 B) 96 cm3 C) 128 2 cm3 D) 192 cm3 E) 256 cm3 4. En la figura 4, ¿cuánto mide el menor ángulo diedro formado por el plano ABCD y una de las caras del paralelepípedo rectangular de aristas 4, 4 3 y 10? A) 3 º B) 2 3 º C) 30º D) 60º E) 90º fig. 3 fig. 4 10 C B 4 D A 4 3 fig. 2 D C fig. 1
  • 2. 5. Dentro de una caja cúbica cuyo volumen es 216 cm3, es colocada una pelota que es tangente a las caras del cubo (fig. 5). ¿Cuál es el área de la pelota? 2 A) 6  cm2 B) 9  cm2 C) 36  cm2 D) 54  cm2 E) 144  cm2 6. Al desplazar 3 cm un triángulo equilátero de altura 3 cm, se obtiene un prisma recto (figura 6). ¿Cuál es el área del cuerpo, en centímetros cuadrados? A) 3 + 3 B) 3 3 C) 6 3 D) 18 + 6 E) 18 + 2 3 fig. 6 7. Las pelotas de tenis vienen envasadas en tarros cilíndricos en los cuales caben exactamente tres de ellas, tal como se muestra en la figura 7. ¿Cuál es el volumen y el área del tarro, si el diámetro de cada pelota es 2 cm? (considere  = 3) Volumen Área A) 164 cm3 168 cm2 B) 144 cm3 42 cm2 C) 18 cm3 168 cm2 D) 18 cm3 42 cm2 E) 9 cm3 24 cm2 8. Si las alturas y las bases de un cono y de un cilindro son iguales, entonces la razón entre el volumen del cono y el volumen del cilindro, respectivamente, es A) 1 : 3 B) 3 : 1 C) 1 : 9 D) 9 : 1 E) 1 : 27 fig. 5 3 cm fig. 7
  • 3. 9. En la figura 8, se muestra un cuerpo de revolución. ¿Con cuál(es) de las opciones siguientes se puede generar el cuerpo al rotar la figura plana en torno al eje AB? I) II) III) 3 A) Sólo con I B) Sólo con I y con II C) Sólo con I y con III D) Sólo con II y con III E) Con I, con II y con III 10. La distancia entre el punto A (0, 5, -5) y el punto B (-5, 0, 5) es A) 10 B) 15 C) 5 2 D) 5 3 E) 5 6 11. Se tiene un Deltoide, cuyas diagonales están sobre los ejes coordenados. Si se hace rotar el Deltoide entorno a una de sus diagonales se obtiene A) un cono. B) dos conos unidos por sus bases. C) una pirámide. D) dos pirámides unidas por sus bases. E) un cilindro. 12. Los puntos A, B, C y D de la figura 9, son los vértices de la base de un cubo. ¿Cuál de los puntos de las alternativas no es uno de los 4 vértices que faltan del cubo? A) (2, 1, 4) B) (5, 2, 4) C) (1, 6, 4) D) (5, 6, 4) E) (1, 2, 4) A B A B A B y 2 1 1 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 1 2 3 4 5 6 7 x z C B D A fig. 9 fig. 8
  • 4. 13. Se tiene un barril con capacidad de 200 litros el cual contiene agua hasta sus tres cuartas partes. Si se insertan dentro del barril ladrillos cuyas dimensiones son (10 x 20 x 40) cm, ¿cuántos de estos ladrillos serían necesarios como mínimo colocar para que el agua rebalse? 4 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 14. Al sumergir completamente una piedra dentro de un tubo cilíndrico de 5 cm de radio (fig. 10), el nivel del agua que contiene sube 4 cm. ¿Cuál es el volumen de la piedra? (considere  = 3,14) A) 314,0 cm3 B) 251,2 cm3 C) 125,6 cm3 D) 31,4 cm3 E) Falta información para determinarlo 15. Se tiene un cilindro compacto de metal de 10 cm de diámetro por 200 cm de largo. ¿Cuánto material se debe sacar para obtener un tubo de 1 cm de grosor y el mismo largo? A) 1.600  cm3 B) 1.800  cm3 C) 2.500  cm3 D) 3.200  cm3 E) 4.800  cm3 16. En la figura 11, la pirámide ABCOE está inscrita en el cubo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La diferencia entre el volumen del cubo y la pirámide es el doble del volumen de la pirámide. II) El volumen del cubo es 3 veces el volumen de la pirámide. III) El área del cubo es 3 veces el área de la pirámide. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III fig. 11 E C O A B fig. 10
  • 5. 17. La figura 12, muestra un paralelepípedo cuyas aristas miden 3 cm, 4 cm y 6 cm. De las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s): I) El área total del cuerpo es 108 cm2. II) El volumen del cuerpo es 72 cm3. III) La mayor longitud rectilínea entre dos vértices del paralelepípedo es 61 cm. 5 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) Todas ellas fig. 12 18. Las pelotas de tenis vienen envasadas en cajas cilíndricas donde justo caben tres a lo alto y quedan completamente ajustadas en su interior. La razón entre el volumen ocupado por las pelotas y el volumen interior de la caja es A) 4 5 B) 3 4 C) 2 3 D) 3 5 E) 1 2 19. En la figura 13, se tiene un prisma recto cuya base es un hexágono regular de lado 5 y la altura del prisma es 12 . ¿Cuál es el volumen del prisma? A) 6 · 5 · 12 B) 15 2 3 C) 15 2 D) 45 3 E) 45 20. La figura 14, representa una piscina generada al trasladar n metros el trapecio achurado. El largo de la piscina es 8 m y tiene 1,5 m de profundidad mínima y 2,5 m de profundidad máxima. Para que el volumen de la piscina sea 56 m3 el valor de n debe ser A) 1,5 m B) 2,5 m C) 3,5 m D) 4,0 m E) 4,5 m n fig. 14 5 12 fig. 13 3 cm 4 cm 6 cm
  • 6. 21. ¿En qué razón están respectivamente, los volúmenes de un cilindro de radio m y altura n 6 y un cono recto de radio n y altura m? A) n 3m B) 3n m C) m 3n D) 3m n E) 2m n 22. ABCD es un cuadrado de lado a cm y el trapecio EFBA es isósceles AE = BF = a. ¿Cuál es el volumen del cuerpo de la figura 15? A) 2 3 2   2a + a 3   4   a cm3 B) 3 2   a + a 3   4   2a cm3 C) (1 + 3 3 )2a3 cm3 D)  2   a a 2 + 3    4   2a cm3 E) 3   1 + 3   4   2a3 cm3 a a 23. El cuadrado OABC está en el plano XY del sistema que muestra la figura 16, el vector dibujado en el eje Z indica la traslación que experimentará el cuadrado, ¿cuál es el volumen del cuerpo generado por esta traslación? (En unidades cúbicas) A) 25 B) 100 C) 150 D) 200 E) 210 2a B D C A E 2a F fig. 15 O Y Z C 5 A B 5 E 8 fig. 16 X
  • 7. 24. En la figura 17, las coordenadas de los puntos C y E son (0,6,5) y (4,0,5) respectivamente. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El área de la figura formada por los trapecios AODE y OBCD es 50 unidades 7 cuadradas. II) El segmento AC mide 97 unidades. III) El perímetro del triángulo AOB es 10 + 52 unidades. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III Z fig. 17 A 4 25. Un triángulo isósceles rectángulo de cateto a se hace girar indefinidamente entorno a uno de sus catetos, entonces el área del manto del cuerpo generado es A) a2 B) 2a2 C) a2 2 D) a3 E) a2 2 26. Las caras A y B de la caja (fig. 18) son cuadradas y el resto son rectangulares. El volumen de la caja se puede determinar, si: (1) El área de una de las caras cuadradas es de 36 cm2. (2) El perímetro de una de las caras rectangulares es de 32 cm. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 27. El área del manto del cono, se puede determinar, si: (1) Se conoce la generatriz del cono. (2) Se conoce la razón entre la generatriz y el radio. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información A B fig. 18 6 B D E C X X Y O
  • 8. 28. Se puede determinar el área total de un paralelepipedo, si: (1) Tiene su base cuadrada. (2) Se conoce el área basal del peralelepípedo. 8 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 29. En el tubo de la figura 19, el segmento AC es tangente en A a la circunferencia interior. Se puede determinar el volumen del tubo, si: (1) La medida del segmento AC es 5 cm. (2) El largo del tubo es 80 cm. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional A C 30. Se puede determinar la razón entre los volúmenes de los cuerpos generados por los triángulos ABC y DEF de la figura 20, al hacerlas girar en torno al eje indicado, si: (1) ABC  DFE (2) BC = EF = 2 cm A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional RESPUESTAS DMTRMA38-E C 1. B 6. E 11. B 16. C 21. D 26. C 2. D 7. D 12. A 17. E 22. E 27. C 3. A 8. A 13. B 18. C 23. D 28. E 4. C 9. C 14. A 19. E 24. E 29. C 5. C 10. E 15. D 20. C 25. C 30. D fig. 20 60° F 60° A B D E Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/ fig. 19