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Edgerd de Alencat Fiiho
Nobel
■D 1975 Edgard de Alencar Filho
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(Câmara Brasileira do Livro. SP. Brasil)
Alcncar Filho, Edgard de, 1913
A.355Í Iniciação à lógica malemática/ Odgard de Alencar Filho. - São Paulo : Nobel. 2002.
Bibliografia
ISBN 85-213-0403-X
1. Lógica simbólica e matemática f. Título.
86-0802 CDD-511.3
Índice para catálogo sistemático:
1. Lógica matemática 511.3
É PROIBIDA A RLPRODUÇÀO
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Indice
Capítulo 1
PROPOSIÇÕES. CONECTIVOS
1. Conceito dc proposição . .............................................................. I j
2. Valores lógicos cias proposições.......................................................................... p
3. Proposições simples e proposições com postas................................................... p
4. Conectivos ............................................................................................................. jg
5. Tabela-verdade........................................................................................................ j j
6. N o tação .................................................................................................................. j^
Exercícios ................................................ ............................................................
Capítulo 2
o p e r a ç õ e s l ó g ic a s s o b r e p r o p o s iç õ e s
2. N egação................................................................................................................... p
3. Conjunção ............................................................................................................. Ig
4. Disjunção .............................................................................................................. 20
5. Disjunção exclusiva ................................................................................ 21
6. Condicional.............................................................................................................
7. Bicondicional ..................................................................., .................................. 23
Exercícios ................ ............................................................................................ 27
Capítulo 3
CONSTRUÇÃO DE TABELAS-VERDADE
1. 1 abela-verdadc de uma proposição com posta................................................... 29
2. Número de linhas de uma tabela-verdade........................................................... 29
3. Construção da tabela-vcrdadc de uma proposição composta
4. Exemplificação ......................................................' ...................
5. Valor lógico de uma proposição com posta.............................
6. Uso de parêntesis ......................................................................
7. Outros símbolos para os conectivos.....................................
Exercícios .................................................................................
Capítulo 4
TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇOES E CONTINGÊNCIAS
1. Tautologia ...................................................................................
’ 2. Princípio de substituição para as tautologías ........................
3. Contradição...................................................................................
4. Contingência ..............................................................................
Exercícios ........................................................................... • • •
Capítulo 5
IMPLICAÇÃO LÓGICA
1. D e fin iç ã o de im p lic a ç ã o ló g ic a .............................................................
2. Propriedades da implicação lógica ........................................
3. Exemplificação ...........................................................................
4. Tautologias c implicação lógica ..............................................
Exercícios ...................................................................................
Capítulo 6
EQUIVALÊNCIA LÓGICA
1. Definição de equivalência lógica.............................................
2. Propriedades da equivalência lógica........................................
3. Exemplificação ...........................................................................
4. Tautologías e equivalência lógica..............................................
5. Proposições associadas a uma condicional........................ .. •
6. Negação conjunta de duas proposições...................................
7. Negação disjunta de duas proposições...................................
Exercícios ................- .............................*................................
Capítulo 7
ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES
1. Propriedades da conjunção........................................................
2. Propriedades da disjunção........................................................
30
30
36
38
39
39
43
45
46
47
48
49
49
50
53
55
55
56
57
59
62
63
63
67
69
3. Propriedades da conjunção e da disjunção.................................................... 71
4. Negação da condicional........................................................................................ 74
5. Negação da bicondicional ................................................................................ 74
Exercícios ................ , , ......................................... - .......................................... 75
Capítulo 8
MÉTODO DEDUTIVO
2. Exemplificação................................................................ . ..................................... 78
3. Redução do número de conectivos................................................................... 81
4. Forma, normal das proposições ....................................................................... 82
5. Forma normal conjuntiva . . .............................................................................. 82
6. Forma normal disjuntiva .................................................................................. 84
7. Princípio de dualidade ................................................................................... • 85
Exercícios ................................................ - .............* .......................................... '85
Capítulo 9
ARGUMENTOS. REGRAS DE INFERÊNCIA
1. Definição de argumento. . . , .............................................................................. 8/
2. Validade de um argumento................................................................................... 87
3. Critério de validade de um argum ento.............................................................. 8X
4. Condicional associada a um argum ento..................................................... .. . 89
5. Argumentos válidos fundam entais..................................................................... 90
6. Regras de infcrcncia ..................................................................................................... 91
7. Exemplos do uso das regras de inferência........................................................ 92
Exercícios ........................................................ . ................................................ 96
Capítulo 10
VALIDADE MEDIANTE TABELAS-VERDADE
2. Exemplificação ............................. ...................
3. Prova de não-validade........................................
Exercícios ..........................................................
Capítulo 11
VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA
2. Exemplificação. ........................................ ............................................................
Exercícios .........................................................................................................- - 118
Capítulo 12
VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA E EQUIVALENCIAS
1. Regra de substituição................................................................................
2. Equivalencias notáveis ........................................................... ....................
3. Exemplificação ..................................................................................................
4. Inconsistência........................................................................................ ..
Exercícios ...................- ..........................................................................
Capítulo 13
• DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL E DEMONSTRAÇÃO INDIRETA
1. Demonstração condicional...........................................* .................. * • •
2. Exemplificação ...........................................................................................
3. Demonstração indireta ...........................................................................
4. Exemplificação ...........................................................................................
Exercícios .................................................................................................*
Capítulo 14
SENTENÇAS ABERTAS
1. Sentenças abertas com uma variável...........................................
2. Conjunto-verdade de uma sentença aberta com uma variável .
3. Sentenças abertas com duas vanáveis ......................................
4. Conjunto-verdade de uma sentença aberta com duas variáveis
5. Sentenças abertas com n variáveis.............................................
6. Conjunto-verdade de uma sentença aberta com n variáveis. .
Exercícios ...................................................................- .............
Capítulo 15
OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE SENTENÇAS ABERTAS
2. Conjunção ........................................ *..................
3. Disjunção ............. ...............................................................
4. Negação ...................................................................................
5. Condicional.............................................................................
6. Bicondicional ......................................................................*
7. Álgebra das sentenças abertas..............................................
Exercícios ......................................................... * .................
129
129
131
138
141
145
146
149
150
153
156
156
158
159
160
161
162
164
166
168
169
170
171
172
Capítulo 16
QUANTIFICADORES
1. Quantificador universal......................................* ........................................- . . 175
2. Quantificador existencial .......................................................................... .. ■- 178
3. Variável aparente e variável livre......................................................................... 180
4. Quanti ficador de existência e unicidade ................................................ .. 180
5. Negação de proposições com quantificadoT ................................................... 181
6. Contra-exemplo ................................ .................................................................. 183
Exercícios ............................................................................................................. 183
Capítulo 17
QUANTIFICAÇÃO DE SENTENÇAS ABERTAS COM MAIS DE UMA VARIÁVEL
1. Quantificação parcial.............................................................................................. 187
2. Quantificação m ú ltip la ......................................................................................... 187
3. Comutatividadc dos quantificadores................................................................ .. 189
4. Negação de proposições com quanti ficadores................... . . . ...............................190
Exercícios .......................................................................................* .................. 190
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS ......................................................................... 193
BIBLIOGRAFIA......................................................................................................... 203
Capítulo 1
Proposições. Conectivos
1. CONCEITO DE PROPOSIÇÃO
Definição - Cbama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que
exprimem um pensamento de sentido completo.
As proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem
juízos que formamos a respeito de determinados entes.
Assim, p. ex., são proposições:
(a) A Lua é um satélite da Terra
(b) Recife é a capital de Pernambuco
(c) n >  í 5
(d) sen = 1
A Lógica Matemática adota como regras fundamentais do pensamento os dois
seguintes princípios (ou axiomas):
(I) PRINCIPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição não pode ser
verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
(II) PRINCIPIO DO TERCEI RO EXCLUÍDO: Toda a proposição ou é verda­
deira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.
Por virtude deste princípio diz-se que a Lógica Matematica é uma Lógica
bivalente.
Por exemplo, as proposições (a), (b), fc) e (d) são todas verdadeiras, mas são
falsas as cinco seguintes proposições:
(a) VASCO DA GAMA dcscobriu o Brasil
(b) DANTE escreveu os Lusíadas
(c) -j é um numero inteiro
(d) O númeTo n é racional
(e) t g | =2
Assim, as proposições são expressões a respeito das quais tem sentido dizer que
são verdadeiras ou falsas.
. 2. VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES
Definição Cliatna-se valsr lógico de uma proposição a verdade se a proposição
é verdadeira e a falsidade sc a proposição c falsa.
Os valores lógicos verdade e falsidade dc uma proposição designam-se abrevia­
damente pelas letras V e F, respectivamente. Assim, o que os princípios da não
contradição e do terceiro excluído alirmam c que:
Toda a proposição tem um, e um só, dos valores V, F.
Consideremos, p. ex., as proposições;
(aj O mercúrio é mais pesado que a água
(b) O Sol gira cm torno da Terra
0 valor lógico da proposição (a) é a verdade( V) e o valor lógico da proposição
(b) ê a falsidade! F).
3. PROPOSIÇÕES SIMPLES E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
As proposições podem ser classificadas em simples ou atómicas e compostas
ou moleculares.
Definição l Chama-se proposição simples ou proposição atómica aquela que
não contém nenhuma outra proposição como parte integrante dc si mesma.
As proposições simples são geralmente designadas pelas letras latinas minúsculas
p, q, i , s , .. . , chamadas letras proposici onais.
Assim, p. ex., são proposições simples as seguintes:
p : Carlos 6 careca
q : Pedro é estudante
r : O número 25 é quadrado perfeito
Definição 2 Chama-se proposição composta ou proposição molecular aquela
formada pela combinação de duas ou mais proposições.
As proposições compostas sao habitualmente designadas pelas letras latinas
maiúsculas P. O. R, S, . . . , também chamadas letras proposicionais.
12 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
I N IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 13
Assim, p. ex.f são proposições compostas as seguintes:
P : Carlos é careca e Pedro é estudante
Q : Carlos é careca ou Pedro é estudante
R : Se Carlos é careca, então e infeliz
visto que cada uma delas é formada por duas proposições simples.
As proposições compostas também costumam ser chamadas fórmulas propo-
sicionais ou apenas fórmulas.
Quando interessa destacar ou explicitar que uma proposição composta P é
formada pela combinação das proposições simples p, q, r , . . ., escreve-se:
P(p, q, i ■• •}■
As proposições simples e as proposições compostas tambcm são chamadas
respectivamente átomos c moléculas.
Observaremos ainda que as proposições componentes de uma proposição
composta podem ser, elas mesmas, proposições compostas.
4 CONECTIVOS
Definição — Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar novas
proposições a partir de outras.
Assim, p. ex., nas seguintes proposições compostas:
P : 0 número 6 c par e o número 8 é cubo perfeito
Q : O triângulo ABC é retângulo ou é isósccles
R : Não está chovendo
S : Se Jorge é engenheiro, então sabe Matemática
T : O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiãngulo
são conectivos usuais em Lógica Matemática as palavras que estão grifadas, isto c:
“e”, “ou”, “não”, “se . . . então . . . ” “ . . . se e somente se . . . ”
S. TABELA-VERDADE
Segundo o Princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p c verdadei­
ra ou é falsa, isto c, tem o valor lógico V(verdade) ou o valor lógico F(falsidade).
Em se tratando de uma proposição
composta, a determinação do seu valor
lógico, conhecidos os valores lógicos das
proposições simples componentes, se faz
com base no seguinte princípio:
O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores
lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente deter­
minado.
Admitido este princípio, para aplicá-lo na ptática à determinação do valor
lógico de uma proposição composta dada, recoirc-se quasi sempre a um dispositivo
denominado tabela-verdade, na qual figuram todos os possíveis valores lógicos da
proposição composta correspondentes a todas as possíveis atribuições dc valores
lógicos às proposições simples componentes.
Assim, p. ex., tio caso dc urna proposição composta cujas proposições simples
componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q
são:
, v
14 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
P q
l v v
2 v F
3 F v
4 F F
Observe-sc que os valores lógicos V e F sc alternam dc dois em dois para a
primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além
disso. W , VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos
V e F.
No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes
são p, q e r, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são:
V
P q r
1 v v v
2 v v F
3 v F v
4 v F F
5 F v v
6 F v F
7 F F v
8 F F F
I N IC IA Ç A O A L Ú G IC A M A T E M Á T IC A 15
Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatru em
quatro para aprimeira proposição p, de dois em dois para a segundaproposição q e
de um emuni para a terceira proposição r. e que, alem disso,V W , W F ,VFV.
VFF, F W , FVF, FFV c FFF são os arranjos ternários com repetição dos dois ele­
mentos V e F.
6. NOTAÇÃO
0 valor lógico de uma proposição simples p indica-$e porV(p). Assim,expri­
me-se que p é verdadeira! V), escrevendo: V(p) - V.
Analogamente, exprime-se que p é falsa(F), escrevendo: V(p) - F.
Sejam, p. ex., as proposições simples:
p : O Sol é verde
q : Um hexágono tem 9 diagonais
r ; 2 c raiz. da equação x2 + 3x - 4 = ü
Temos:
V(p) = F, V(q) - V, V(r) = F
Do mesmo modo, o valor lógico de uma proposição composta Findica-sc por
V(P).
EXERCÍCIOS
1. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
( a ) O número 17 c primo.
^ b ) Fortaleza é a capital do Maranhão.
( c ) TIRADENTES morreu afogado.
( d ) (3 + 5f = 32 + 52
( e ) O valor archimediano de ir é ~ -
( { ) - K - 7
( g ) 0,131313. . . é uma dízima periódica simples.
( h ) As diagonais de um paralelogramo são iguais.
( i ) Todo polígono regular convexo é inscritível.
( j ) O hexaedro regular tem 8 arestas.
16
E D G A R D DE A L E M C A R F IL H O
( k. ) A expressão n2 - n + 4 1 (n t N) só produz números primos.
I 1 ) Todo número divisível por 5 termina por 5.
(m) 0 produto de dois números ímpares é um número ímpar.
( n ) sen230° + s e n 2 b0c - 2.
^o J 1 + 3 + 5 + . . . + o - 1f = n2.
i, p j As raízes da equação x3 - 1 0 são todas reais.
( q J O número 125 é c u b o porfcito.
( r) 0,4 e -4 são as raízes da equação x3 I6x = 0.
( s) O cubo é um poliedro regular.
( t j sen( ~ + x) = sen( f - x).
U ) 5 < * f •
Capítulo 2
Operações Lógicas sobre Proposições
1. Quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas operações sobre proposições,
chamadas operações lógicas. Estas obedecem a regras de um cálculo, denominado
cálculo proposicional, semelhante ao da aritmética sobre números. Bstudarcmos a
seguir as operações lógicas fundamentais.
2. NEGAÇÃO O ) ,',T
Definição Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada
por “não p”, cujo valor lógico é a verdade(V) quando p é falsa c a falsidade(F)
quando p é verdadeira.
Assim, "não p ” tem o valor lógico oposto daquele de p.
Simbolicamente, a negação de p indica-se com a notação “ " p ”, que se lé:
“não p”.
O valor lógico da negação de uma proposição é, portanto, definido pela seguinte
tabela-verdade muito simples:
ou seja, pelas igualdades:
V - F, ~ F = V
e
V( - p) = - V(p)
Hxemplos:
( 1) p : 2 + 3 = 5 (V) c p ; 2 + 3 £ 5 (F)
V( ~ p) = ~ V(p) '= ~ V = F
(2) q : 7 < 3 (F) e. ~ q ; 7 < 3 (V)
V( - q .) > - V(q) = ~ F = V
(3) r: Roma é acapital da França (F) t ~ r :Roma não é a capital da França (V)
V( - r) - - V(r) = ~ F - V
Na linguagem comum a negação efetua-sc, nos casos mais simples, antepondo o
advérbio “não” ao verbo da proposição dada. Assim, p. ex., a negação da proposição:
p : O Soi é uma estrela
é
~ p : O Sol não é uma estrela
Outra maneira de efetuar a negação consiste cm antepor à proposição dada
expressões tais como “não é verdade que”, “é falso que”. Assim, p. ex., a negação
da proposição:
q : Carlos ó mecânico
é
(j : Não é verdade que Carlos c mecânico
ou
~ q : É falso que Carlos c mecânico
Observe-se, entretanto, que a negação dc “Todos os homens são elegantes” é
“Nem todos os homens são elegantes” e a de “Nenhum homem c elegante" é
“Algum homem é elegante”.
18 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
3. CONJUNÇÃO ( A > I - :
Definição Cbama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição
representada por “p e q ' cujo valor lógico é a verdade(V) quando as proposições
p e q são ambas verdadeiras e a falsidade(F) nos demais casos.
Simbolicamente, a conjunção de duas proposições p e q indica-se com a
notação: “p a q”, que se lê: “p e q”.
O valor lógico da conjunção de duas proposições c, portanto, definido pela
seguinte tabela-verdade;
IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 19
p q p A q
V v v
V F F
F V F
F F F
ou seja, pelas igualdades:
V A V = V, V A F = F, F A V = F, F A F - F
e
V(p Aq} = V(p) A V(q)
Fxemplos:
(1) ( p : A neve é branca (V)
<|q : 2 < 5 (V)
p A q : A neve é branca e 2 < 5 (V)
V(p A q) ■
=V(pJ A V(q) = V A V = V
(2) í p : O enxofre é verde (F)
^ q : 7 é um número primo (V)
p A q : O enxofre é verde e 7 é um número primo (F)
V(p A q) - V(p) A V(q) = F A V = F
(3) ( p : CANTOR nasceu na Rússia (V)
| q : FERMAT era médico (F)
p A q : CANTOR nasceu na Rússia c FERMATera médico (F)
V(p A q) - V(p) A V(qj = VA F = F
(4) í p : tr > 4 (F)
 q : sen j = O (F)
p A q : rc > 4 e sen ^ =0 (F)
V(p A q) = V(p) A V(q) = F A F = F
4. DISJUNÇÃO ( V ) e g
Definição Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição
representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade(V) quando ao menos uma
das proposições p e q é verdadeira e a falsidade(F) quando as proposições p e q
são ambas falsas.
Simbolicamente, a disjunção de duas proposições p e q indica-se com a notação:
“p V q”, que se lê: “p ou q”.
O valor lógico da disjunção de duas proposições 6, portanto, definido pela
seguinte tabela-verdade:
2 0 E D G A R D OE A L E N C A R F IL H O
p q p V q
V V V
V F V
F V V
F F F
ou seja, pelas igualdades:
V V V = V, V V F - v, F V v = V, F V F = F
V(p V q) = Vip) V V(q)
Hxemplos:
(1) íp : Paris é a capital da França (V)
 q : 9 - 4 = 5 (V)
p V <
i : Paris é a capital da França ou 9 - 4- 5 (VJ
V (p V q) - V (p ) V V (q) = V V V ~ V
(2) i p : CAMÕES escreveu os Lusíadas (V)
 n : n = 3 (F)
p V q : CAMÕES escreveu os Lusíadas ou n = 3 (V)
V(p V q) = V(p) V V(qJ = V V F = V
(3) í p : Roma é a capital da Rússia (F)
( q : 5/7 é uma fração própria (V)
p V q : Roma é a capital da Rússia ou 5/7 c uma fração própria (V)
V(p Vq) = V(p) V V(q) - F V V - V
I N IC I A Ç Ã O À LÓ G IC A M A T E M Á T IC A 21
(4) i p : CARLOS GOMES nasccu na Bahia (F)
 q : V ^ = l (F)________________________
p V q :CARLOS GOMES nasceu na Bahia ou  / - T ; l (F)
V(p V q) - V(p) V V(q) = F V F = F
5. DISJUNÇÃO EXCLUSIVA ( V )
Na linguagem comum a palavra "ou” tem dois sentidos. Assim, p. ex., conside­
remos as duas seguintes proposições compostas:
P : Carlos é médico ou professor
O : Mario c alagoano ou gaúcho
Na proposição P sc está a indicar que uma pelo menos das proposições “Carlos
é médico”, “Carlos é professor” é verdadeira, podendo ser ambas verdadeiras:
“Carlos c médico e professor”. Mas, na proposição Q,seestá aprecisar que uma c
somente uma das proposições “Mario é alagoano”, “Marioégaúchoé verdadeira,
pois, não c possível ocorrer “Mario é alagoano c gaúcho”.
Na proposição P di/.-sc que “ou” é inclusivo, enquanto que, na proposição Q,
diz-se que “ou” é exclusivo,
Fin Lógica Matemática usa-se habitualmente o símbolo ” V ” para “ou'
inclusivo e o símbolo “ V ” para “ou” exclusivo.
Assim sendo, a proposição P c a disjunção inclusiva ou apenas disjunção das
proposições simples “Carlos c médico”, “Carlos é proíessor”, isto c:
P ; Carlos é médico V Carlos c professor
ao passo que a proposição O c a disjunção exclusiva das proposições simples
“Mario é alagoano”, “Mário c gaúcho”, isto c;
O' : Mario é alagoano V Mario c gaúcho
De um modo geral, chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a
proposição representada simbolicamente por “p V q”, que se le: “ou p ou q ’ ou
“p ou q, mas não ambos”, cujo valor lógico c a verdade(V) somente quando p é
verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p c q são ambas verdadeiras, c a
falsidade(F) quando p c q são ambas verdadeiras ou ambas falsas.
Logo, o valor lógico da disjunção exclusiva de duas proposições c definido peia
seguinte tabela-verdade:
p q p v q
v V F
V F v
F v v
F F F
ou seja, pelas igualdades:
v v v = F , v v f = v, F y v = v , f v f = f
e
V(p v q) = V(p) v V(q)
NOTA A língua latina tem duas palavras diferentes correspondentes aos dois
sentidos distintos da palavra “ou” na linguagem comum. A palavra latina "vei"
exprime a disjunção no seu sentido débil ou inclusivo, ao passo que a palas latina
“aut” exprime a disjunção no seu sentido forte ou exclusivo.
6. CONDICIONAL ( -*•)
Definição Charna-se proposição condicional ou apenas condicional uma
proposição representada por “sc p então q”, cujo valor lógico é a falsidade'F ) no
caso em que p é verdadeira c q é falsa c a verdade( V) nos demais casos.
Simbolicamente, a condicional de duas proposições p e q indica-se com a
notação: “p -» q”, que também se lê dc uma das seguintesmaneiras:
(1) p é condição suficiente para q
(ii) q é condição necessária para p
Na condicional‘'p -^ q ”, diz-sc que p é o antecedente e q o consequente. O
sím bolo L
‘ > ” c chamado símbolo de implicação.
0 valor lógico da condicional de duas proposições é. portanto, definido pela
seguinte tabela-verdade:
2 2 E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
p q
V v v
V F F
F V v
F F v
ou seja, pelas igualdades:
V -v V - V, V -» F = P f ->v = v , f -» f = v
C
V(p -> qj = V(p) -» V(q)
Portanto, uma condicional é verdadeira todas as vezes que o seu antecedente é
uma proposição talsa.
IN IC I A Ç Ã O Ã L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 23
Exemplos:
(1) íp : GALOIS morreu em duelo (V)
1 q : 1
7 c um número real (V)
{
p -> q : Sc GALOIS morreu em duelo, então7r é um número real (V)
V(p -»■
’qj = V(p) -+ V(q) = V V = V
(2) i p : O mes de Maio tem 31 dias (V)
( q : A Terra é plana (F)
p -*
■q : Se o mcs de Maio tem 31 dias, então a Terra é plana (F)
V(p -*
■q) = V(p) ->
•V(q ) = V -»■F = F
(3) i p : DANTE escreveu os Lusíadas (F)
I q : CANTOR criou a Teoria dos Conjuntos (V)
p q : Sc DANTE escreveu os Lusíadas, então CANTOR criou a Teoria dos
Conjuntos (V)
V(p -*• q) = V(p) -> V(q) = F V - V
(4) j p : SANTOS DUMONT nasceu no Ceará (F)
) q : O ano tem 9 meses (F)
p -> q : Se SANTOS DUMONT nasceu no Ceará, então o ano tem 9 meses (V)
V(p -+ q) = V(pj -* V(q) = F -*
■F = V
NOTA Uma condicional p -*
■q não afirma que o consequente q se deduz ou é
conseqüência do antecedente p. Assim, p. ex., as condicionais:
não estão a afirmar, de modo nenhum, que o lato de “Brasília ser lima cidadc se
deduz do fato de “7 ser um número ímpar” ou que a proposição “SANTOS
DUMONT nasceu no Ceará5' é conseqüência da proposição u3 + S = 9 ”. O que uma
condicional afirma c unicamente uma relação entre os valores lógicos do anlcccdcn-
te e do consequente de acordo com a tabela-verdade anterior.
7. BICONDICIONAL ( )
Definição — Chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional uma
proposição representada por “p sc c somente se q”, cujo valor lógico c a verdade{ V)
quando p ú q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, c a falsidade(F) nos demais
casos.
7 é um número ímpar -* Brasília c uma cidade
3 + 5 = 9 - * SANTOS DUMONT nasceu no Ceará
Simbolicamente, a bicondicional de duas proposições p e q indica-se com a
notação: p <
—>
■q, que também sc lê de uma das seguintes maneiras:
(i) p é condição necessária c suficiente para q
(ii) q é condição necessária e suficiente para p
O valor lógico da bicondicional de duas proposições é, portanto, definido pela
seguinte tabela-verdade:
2 4 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
p q p <~* q
v v v
v F F
F v F
F F v
ou seja, pelas igualdades:
V < _ » V - V , V«—
* F = F, F*~* V = F, F < - ^ F = V
e
V(p q) = V(p) V(q)
Portanto, uma bicondicional c verdadeira somentequandotambém osão as
duas condicionais: p -* q e q -» p.
Exemplos
(1) j p : Roma fica na Europa (V)
( q : A neve é branca (V)
P q ; Roma fica na Europa se c somente se a neve é branca (V)
V(p *-+ q) = V(p) V(q) = V +-+ V - V
(2) í p : Lisboa é a capital de Portugal (V)
l q : tg f = 3 (F)
p q ; Eisboa é a capital de Portugal se e somente setg= 3 (F)
V(p<-H> q) = V(p) <r-+V(q) = V <—
* F = F
(3) ( p : VASCO DA GAMA descobriu o Brasil (F)
j q : TIRADENTES foi enforcado (V)
P q ; VASCO DA GAMA descobriu o Brasil se e somente sc TIRADENTES
foi enforcado (F)
V(p <
—
v q) = V(p) V(q) = F V = F
IN IC I A Ç Ã O Ã L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 25
(4) ( p ; A Terra é plana (F)
 q : V ^ c um número racional (F)
pq : A Terra c plana se e somente se yJ~T é um número racional (V)
V(p q) - V(p) V(q) = F >F = V
EXERCÍCOS
1. Sejam as proposições p : Está frio e q : Está chovendo. Traduzir para a
linguagem corrente as seguintes proposições:
(a) - p (b) p A q (c) p V q
(d) q <
—*
-p (e) p ^ ~ q (f) p V ~ q
(g) ** p A ~ q 00 p « -+ ~ q (i) p A ~ q -> p
2. Sejam as proposiçocs p : Jorge é rico c q : Carlos c feliz. Traduzir para a
linguagem corrente as seguintes proposições:
(a) q -*
■p (b) p V ~ q (c) q ~ p
(d) ~ p q (e) ~ ~ p (f) - p A q - p
3. Sejítm as proposições p : Cláudio lála inglês e q : Cláudio fala alemáo. Tradu/.ir
para a linguagem corrente as seguintes proposições:
(a) p V q (b) p A q (c) p A ~ q
(d) - p A - q (c) ~ ~ p (f) ~ ( - p A -q)
4. Sejam as proposições p : João é gaúcho e q : Jaime c paulista. Traduzir para a
linguagem corrente as seguintes proposições:
(a) H P A - q ) (b) — p (c) ~ ( - p V - q )
(d) p - * - q (e) ~ p ►
~ q (f) ~(~q->-pJ
5. Sejam as proposições p : Marcos é alto e q : Marcos é elegante. Traduzir para a
linguagem simbólica as seguintes proposições:
(aj Marcos é alto e elegante
(b) Marcos é alto, mas não é elegante
(c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante
(d) Marcos não c nem alto e nem elegante
(e) Marcos é alto ou c baixo e elegante
(f) É falso que Marcos c baixo ou quo não é elegante
6. Sejam as proposições p : Suely c rica c q : Suely é feliz. Traduzir para a
linguagem simbólica as seguintes proposições:
(a) Suely é pobre, mas feliz
(b) Suely é rica ou infeliz
(c) Suely é pobre e infeliz
(d) Suely é pobre ou rica, mas é inleliz
7. Sejam as proposições p : Carlos (ala francês, q : Carlos fala inglês e r : Carlos
fala alemão. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:
(a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão
(b) Carlos fala francês e inglês, ou não falafrancês e alemão
(c) É falso que Carlos fala francês mas que nãofalaalemão
(d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não fala francês
8. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas:
(a) x = 0 oi.i x > 0 <b) x ^ O e y=£0
(c) x > 1 t>u x + y = 0 (d ) x2 =x . x e x° = 1
9. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas:
(a) (x + y = 0 e z > 0) ou /. = 0
(b) x - 0 e (y + 7 > x ou 7 = 0)
(c) x ^ 0 ou (x = ü e y < 0)
(d) (x = y e *=t.) ou (X < y c r. - 0)
10. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas:
(a) Se x > 0 então y - 2
íb) Se x + y = 2 então z > 0
(c) Se x = 1 ou z = 2 então y > J
(d) Se z > 5 então x # I ex ¥= 2
(c) Se x y então x +z > 5 ey + z < 5
{f) Se x + y > z e /. = 1 então x + y > 1
(g) Se x < 2 então x = I ou x - 0
(h) y - 4 esc x < y então x < 5
11. Simbolizar as seguintes proposições matemáticas:
(a) x ê maior que 5 e menor que 7 ou x não é igual a 6
(b) Se x é menor que 5 e maior que 3, então x c igual a 4
(c) x é maior que 1 ou x é menor que 1 e maioi que 0
26 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A
12. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a) 3 + 2 = 7 e 5 + 5 = 10 (b) 2 + 7 = 9 e 4 + 8 = 1 2
(c) sen n = 0 e cos n = 0 (d) 1 > 0 A 2 + 2 = 4
(e) 0 > 1 A y /T é irracional (f) (  Í ~ T )2 - -1 A it é racionai
(g)  f T < 1 A fs " é racional
13. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a) Roma é a capital da França ou tg45' = I
(b) FLEMING descobriu a penicilina ou sen30° = ^
(c) V ? < o ou Londres é a capital da Itália
(d) 2 > > /T ou Recife é a capital do Ceará
(e) > 1 V rr nao é um número real
(0 2 = 2 V sen90° ± tg45°
(g) 52 = 10 V 7r é racional
(h) 3 * 3 V 5 * 5
(i)  f -4 ' = 2 f~ -T V 13 é um número primo
ò ) -5 < - 7 V | - i i = -2
(k) | -5 | < 0 V tg | < 1
14. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a) Se 3 + 2 - 6 entao 4 + 4 = 9
(bj Se 0 < 1 então  / T é irracional
(c) Se V 3 > 1 então -1 < -2
(d) Se j —
1 1 = 0 então sen30° = ^
(e) LgóO0 =y / J -» 2 = 2
(f) y / j > V T -> 2° - 2
(g) - -1 -* V 2 T = 5
(h) 7
J > 4 —
»
■ 3 > y f T
15. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a) 3 + 4 = 7 sc c somente se 53 = 125
(b) 02 =1 sc c somente se (1 + 5)° = 3
(c) = 4 sc e somente se J~T - 0
(d) tg7r = 1 scc somente sc senir = 0
(e) -1 > -2 «-> rr2 < 2 0
(f) -2 > 0 «-► JT2 < 0
(g ) 3J + 4 2 = 5 2 ►rr é racional
(h) 1 > sen ^ +-+ cos ^ < I
( i) seri20° > I cos20° > 2
(j) v ^ T = - ] < - > -2
16. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a) Nâo é verdade que 12 é um número ímpar
(b) Não é verdade que Belém é a capital do Pará
(c) É falso que 2 + 3 = 5 e1 +1- 3
(d) E falso quo 3 + 3 = 6 ou / -1 = 0
(e) ~{J + 1 = 2 «—
►3 + 4 =5)
(i ) '-(1 + 1 = 5 «—
*
■ 3 + 3 =1)
(g) 2 + 2= 4 ->-(3 + 3 = 7 ►1+ 1 -4 )
(h) -(2 + 2 * 4 e 3 + 5 - 8 )
17. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a) ~(senO° = 0 ou eosO° = 1)
(b) ~ (2 3 =£8 ou 43 t
é 4 3)
(e) ~(tg45° = 2 se e somente se ctg45° = 3)
(d) Brasília é a capital do Brasil, c 2o= 0ou 3o = I
(e) ~ (32 =9 -> 3 -- 5 A O2 = 0)
(O 34 = 81 ^ - ( 2 + I =3 /. 5 . 0 = 0)
(g) 43 ¥■64 ~(3 + 3 = 7 «
—» 1 + i - 2)
18. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente V c h
determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a) p A ~~q (b) p V - q (c) ~ p A q
(d) ~ p A ~ q (e) ~ p v ~ q (f) p A ^ p V q)
19. Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo:
(a) V(qJ = F e V(p A q ) - F (b) V(q) = F e V(p V q) = F
(c) V(q) - F e V(p.-*q) = F (d) V(q) = F e V(q -> p) = V
(e) V(q) = V e V ( p ^ 'q ) = F (f) V(q) = F e V(q p) = V
20. Determinar V(p) e V(q> cm cada um dos seguintes casos, sabendo:
(a) V(p -> q) = V e V(p Aq) - F
(b) V(p -> q) = V e V(p V q) = F
(c) V( p <-> q) = V e V(p Aqj = V
(d) V(p «—
>q) = V e V(p V qj = V
(e) V(p «—
»
■q) = F e V(~p V qj = V
28 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
Capitulo 3
Construção de Tabelas-Verdade
1. TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA
Dadas várias proposições simples p, q, r, .. . , podemos combiná-las pelos
conectivos lógicos:
— , A , V , -» , «—
►
e construir proposições compostas, tais como:
p(p>q) ~ ~p v (p -*
•q)
Q<p, q) = (p ~q) A q
R(.p, q, r) - (p - —q V r) A ~ (q V fp »-r))
Então, com o emprego das tabelas-vcrdadc das operações lógicas lundamentais
(Cap. 2):
~p, p A q , p V q, p -+q, p * * q
é possível construir a tabela-verdadc correspondente a qualquer proposição compos­
ta dada,tabeía-verdade esta que mostrará exatamente os casos em que a proposição
compostaserá verdadeira(V) ou falsa(F), admitindo-se, como é sabido, que o seu
valor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples componentes.
2. NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA VERDADE
O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta deponde _
número de proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema:
A tabela-verdade de uma proposição composta eom n proposições simple»
componentes contém 2n linhas.
30 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
Dem. Com efeito, toda proposição simples tem dois valores lógicos: V e F,
que se excluem. Portanto, para uma proposição composta P(pi, p2, . . . , pn,) com n
proposições simples componentes pi, p2 , . . . , Pn há tantas possibilidades deatri-
buição dos valores lógicos V c F a tais componentes quantos são os arranjos com
repetição n a n dos dois elementos V e F, isto é, A2jn = 2n, segundo ensina a
Análise Combinatória.
3. CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA
Para a construção prática da tabcla-verdade dc unia proposição composta
começa-se por contar o número dc proposições simples quo a integram. Sc há n
proposições simples componentes: p ,, p¿,. . . , pn, então a tabcla-verdade contém
2n linhas. Posto isto, à 1? proposição simples p, atribuem-se 2n/2 ~ 2n ~ ‘ valoresV
seguidos de 2n_1 valores F; à 2? proposição simples p2 atribuem-se 2n/4 = 2n - *
valores V, seguidos de 2n - 2 valores F, seguidos dc 2n 2 valores V,seguidos,
finalmente, dc 2n " 2 valores F; e assim poT diante. De modo genérico, a k-ésima
proposição simples p|<(k<n) atribuem-se alternadamente 2n/2*c = 2n ^ valores V
seguidos de igual número de valores F.
No caso, p. ex., de uma proposição composta com cinco (5) proposições simples
componentes, a tabela-veidade contém 25 " 32 linhas, e os grupos de valores V e F
sc alternam de 16 em 16 para a Ia proposição simples p ,, de 8 em 8 para a 2?
proposição simples p2, de 4 em 4 para a 3? proposição simples p ;1, de 2 cm 2 para a
4? proposição simples p4, c, enfim, de 1 em 1 para a 5? proposição simples ps.
4. EXEMPLIFICAÇÃO
( I ) Construir a tabela-vcrdade da proposição:
P(p, q) = ~ (p A - q )
1? Resolução — Forma-se, em primeiro lugar, o par de colunas correspondentes
às duas proposições simples componentes p c q. Em seguida, forma-se a coluna para
-q . Depois, forma-se a coluna para p a ~ q Afinal, forma-se a coluna relativa aos
valores lógicos da proposição composta dada.
p <
1 ~ q p A ~ q ~ (p A ~ q)
v v F F v
v F v v F
F v F F v
F F v F v
IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 31
2? Resolução — Formam-se primeiro as colunas corrcspondentes às duas
proposições simples p e q. Em seguida, à direita, traça-se uma coluna para cada Uma
dessas proposições c para cada um dos conectivos que figuram na proposição
composta dada.
p q ~ (P A - q)
V v
v F
F v
F F
Depois, numa certa ordein, completam-se essas colunas, escrevendo em cada
uma delas os valores lógicos convenientes, no modo abaixo indicado:
p q ~ (P A ~ <
L
>
v v v v F F F
v F F v v v F
F v v F F F v
F F v F F v F
4 1 3 o 1
Os valores lógicos da proposição composta dada encontram-se nacoluna
completada em último lugar (coluna 4).
Portanto, os valores lógicos da proposição composta dada correspondentes a
todas as possíveis atribuições dos valores lógicos V e F às proposições simples
componentes p c q (W , VF, FV e FF) são V, F, V e V, isto é, simbolicamente:
P<W ) = V, P(VF) = F, P( FV) = V, P( FF) = V
ou seja, abreviadamente:
P (W . VF, FV, FF) = V F W
Observe-se que a proposição P(p, q) associa a cada um dos elementos do
conjunto U - { W , VF, FV, FF } um único elemento do conjunto {V, F} ,
isto é, P(p, q) outra coisa não é que uma função de U em {V, F} :
P(p, q) : U -* {V, F }
cuja representação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte:
32 E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
U
3? Resolução Resulta de suprimir na tabela-verdade anterior as duas
primeiras colunas da esquerda iclativas. às proposições simples componentes p e q,
o que dá a seguinte tabela-verdade simplificada para a proposição composta dada:
(P A q)
V v F F v
F v v v F
v F F F v
v F F v F
4 1 3 2 1
(2) Construir a (abela-vcrdadc da proposição:
P(p, q) = M p a q) V <-»■pj
lí1Resolução:
P q p A q q ^ P ~(P A q) ~ (q ^ p ) ~{p A q) V ~(q<—
*-p)
v v v v F F F
v F F F v v v
F v F F v v v
I F F v v F v
2? Resolução:
p q (P A q) V (q P)
v v F v v v F F v v v
v F v v F F. v v F F v
F v v F F v v v v F F
F F v F F F. v F F v F
3 1 2 1 4 3 1 2 1
I N IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A
Portanto, simbolicamente;
P(VV) * F, P( VF) = V, P(FV) = V, P<FF) = V
ou seja, abreviadamente:
P (W , VI’, FV, FF) - FV W
Obscrve-sc que P(p, q) outra coisa não 6 que uma função de li - ( W , VF, FV,
FF) em (V, F} , cuja representação gráfica por um diagrama sagital 6 a seguinte:
3? Resolução.
- (P A q) ,v (q <
—
> P)
F v v v F F v v v
V v F F v v F F v
v F F V v v v F F
v F F F v F F v F
3 1 2 1 4 3 1 2 1
(3) Construir a tabela-verdade da proposição:
P(p, q, r) = p V ~ r -»
■q A —r
1? Resolução:
P q T ~ r p V ~ r q A p V - r - ^ q A - r
v v v F v F F
v v F v V v v
v F v F V F F
v F F v v F F
F V v F F F V
F v F v v v V
F F v F F F V
F F F v v F F
_ E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
34
2? Resolução:
p q r P V - ! •i A r
V v v v v F v F v F F v
v v F v v v F v v v v F
v F v v v F v F F F F V
v F F v v v F F F F v F
F v v F F F v v v F F V
F v F F v v F v v v v F
*
F F v F F F v v F F F v
F F F F v v F F F F v F
1 3 2 J 4 1 3 2 1
Portanto, simbolicamente:
P( V W ) - F, P(W F) = V, P(VFV) - F, P(VFF) = F
P(FVV) = V, P(FVF) = V, P(FFV) = V, P(FFF) = F
ou seja. abreviadamente:
PfVVV, W F . VFV, VFF, F W , FVF, FFV, FFF) ~ FV FFW V F
Observe-se que a proposição P(p, q, r) outra coisa não é que uma função de
u 3
= {w v , W F . VFV. VFF, F W , FVF, FFV, FFF) em {V, F) , cuja represen­
tação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte:
INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA
3a Resolução:
35
p V ~ r -+
■ q A - r
v v F v F v F F v
v v v F v v v v F
v v F v F F F F v
v v v F F F F v F
F F F v v v F F v
F v v F v v v v F
F F F v v F F F v
F v v F F F F v F
1 3 2 1 4 1 3 2 i
(4) Construir a tabela-verdade da proposição:
P(p, q, r) - (p -►q) A (q -* r) -►(p -> r)
Resolução:
P q r (P -*
■ q) A (q — r) ->
• (P -y r)
v v v v v v v v v V v v V v
v v F v v v F v F F v v F F
v F v v F F F F v V v v v v
v F F v F F F F v F v v F F
F v v F v v v v v v v F v v
F v F F v v F v F F v F v F
F F v F v F v F v v v F v V
F F F F v F v F v F v F v F
1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1
Portanto, simbolicamente:
P(W V ) = V, P(VVF) = V, P( VFV) = V, P(VFF) = V
P(F W ) = V, P{FVF) = V, P(FFV) = V. P(FFF) = V
ou seja, abreviadamente:
P(W V . W F , VFV, VFF, F W , FVF, FFV, FFF) - VVVVVVW
Observe-se que a última coluna (coluna 4) da tabeia-verdade da proposição
P(p, q, r) só encerra a letra V(verdade), isto é, o valor lógico desta proposição é
sempre V quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes
p» q e r.
(5) Construir a tabela-verdade da proposição:
P(p, q, r) = (p -> (~ q V r» A ~ (q V (p ~r))
3 e E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
Resolução:
(p -y (~ q V r» A ~ (q V (P r))
V v F v v v F F v v v F F v
V F F v F F F F v v v v v F
V v v F v v v v F F v F F v
V v v F v F F F F v v v v F
F v F v v v F F v v F v F v
F v F v F F F F v v F F v F
F v v F v v F F F v F v F v
F v v F v F v v F F F F v F
1 4 2 1 3 1 6 5 1 4 1 3 2 1
Note-se que é uma tabela-verdade simplificada da proposição P(p, q, r), pois,
não encerra as colunas relativas às proposições componentes p, q e r.
Portanto, simbolicamente:
P(W V ) = F, P(VVF) = F, P(VFV) = V, P(VFF) = F
P (F W ) = F, P(FVF) = F, P(FFV) = F, P(FFF) = V
ou seja, abreviadamente:
P(W V , W F , VFV, VFF, F W , FVF, FFV, FFF) = FFVFFFFV
5. VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA
Dada uma proposição composta P(p, q, r , , . .), pode-se sempre determinar o
seu valor lógico (V ou F) quando são dados ou conhecidos os valores lógicos
respectivos das proposições componentes p, q, r, . . .
IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 37
Exemplos:
(1) Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente
V e F, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:
PÍP- q) = ~ (p v q) ~ p A ~ q
Resolução Temos, sucessivamente:
V(P) - ~(V V F)«-+ ~ V A ~ F = ~ V ►
F A V •- F +
-*■ F = V
(2) Sejam as proposições p : ir = 3 e q : sen ~ = 0. Determinar o valor lógico
(V ou F) da proposição:
P(p, q) = (p -*
■q) -*
■(p -+ p A q)
Resolução — As proposições componentes p e q são ambas falsas, isto é,
V(p) = F e V(q) = F. Portanto:
V(P) = (F + F )-M F -* F A F) = V (F -> F) = V -> V = V
(3) Sabendo que V(p) = V, V(q) = F e V(r) = F, determinar o valor lógico (V ou F)
da proposição:
P(p, q, r) = (q <
—
* (r -*
■—p)) V ( ( - q ^ p j
Resolução Temos, sucessivamente:
V(P) = (F (F ~ V)) V ((—F -v V) F) =
- (F (F F)J V ((V V) F) =
= ( F ^ V j v ( V ^ > F ) = F V F = F
(4) Sabendo que V(r) = V, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:
p -* ~ q V r.
Resolução Como r c vcrdadcira(V), a disjunção --q V r é vcrdadcira(V).
Logo, a condiciona] dada é verdadeira(V). pois, o seu consequente é verdadeiro
(V).
(S,) Sabendo que V(q) = V, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:
(p -» q) -»( ~ q -> ~p).
Resolução —Como qé verdadeira(V), então ~ q é falsa(F). Logo, a condicional
~ q ->
■~ p é verdadeira(V), pois, o seu antecedente é falso(F). Por conseqüência,
a condicional dada é verdadeira(V), pois, o seu consequente é verdadciro(VJ.
(6) Sabendo que as proposições “x = 0” e “x = y” são verdadeiras e que a
proposição “y = z” é falsa, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:
x ^ O V x ^ y - t y ^ z
Resolução Temos, sucessivamente:
~V V ~V -> -rF = FV F -»V= F -* v = v
. 6. USO DE PARENTESIS
óbvia a necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições, que
devcin ser colocados para evitar qualquer tipo de ambiguidade. Assim, p. ex., a
expressão p A q V r dá lugar, colocando parêntesis, às duas seguintes proposições:
(0 (p A q) V r e (ii) p A (q V r)
que não têm o mesmo significado, pois, na (i), o conectivo principal é " V , e na
(ii), o conectivo principal c “ A ”, isto é, a (i) 6 uma disjunção e a (ii) c uma
conjunção.
Analogamente, a expressão p A q-+r V s dá lugar, colocando parêntesis, às
seguintes proposições:
t(P A -s- r> V s, p A ((q -+ r) V s), (p A (q -* r)) V s,
p A (q -* (r V s)), (p A q)-+(rV s)
tais que, duas quaisquer delas, não têm o mesmo significado.
Por outro lado, cm muitos casos, parêntesis podem ser suprimidos, a fim dc
simplificar as proposições simbolizadas, desde que, naturalmente, ambiguidade
alguma venha a aparecer.
A supressão de parêntesis nas proposições simbolizadas se faz mediante algumas
convenções, das quais são particularmente importantes as duas seguintes:
(I) A “ordem de precedencia” para os conectivos é:
(1) ~ ; (2) A e V ;(3) ■+; (4)
Portanto, o conectivo mais “fraco” c e o conectivo mais '‘forte ’ é .
Ássim, p. ex., a proposição:
p ->
• q <
—
* s A r
é uma bicondicional c nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la
numa condicional há que usar parêntesis:
p (q «-*- s A rj
3 8 E D G A R O DE A L E N C A R F IL H O
I N IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 39
e, analogamente, para convertê-la numa conjunção;
(p q «
—►
s) A r
O conseqüente da condicional é uma bícondicional. Desejando-se converter
este consequente numa conjunção cumpre escrever:
P "
*
■((q s) A r)
Também são bicondicionais as três seguintes proposições;
p A q j-t-r V s; p q <
—*
■r As; p V q -—*~ r s
(II) Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem -
-se os parêntesis, fazendo-se a associação a partir da esquerda.
Segundo estas duas convenções, as quatro seguintes proposições:
(( ~ÜMP a q))) v (~p))i((P V (~q)) A (rA(~p)))
(((p V (- q)j A r) A (~p)); ((~p) (q -> (~(p V r))))
escrevem-se mais simplesmente assim:
-.'-(p A q ) V ' p ; (p V ~ q) A (r A ~p)
(p V - q) A r A ~p; ~ p-* (q -* -~ (p V rj)
7. OUTROS SÍMBOLOS PARA OS CONECTIVOS
Nos livros de Lógica, usam-se diferentes símbolos para os conectivos, Assim,
p. ex., são frequentemente usados os símbolos:
“ 1 ” para a negação ( )
“ . ” e “ ec ” para a conjunção ( A )
“ D ” (ferradura) para a condicional (->-)
EXERCÍCIOS
1. Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições:
(a) ~ (p V - q) (b) ~ ( p - > - q )
(c) p A q - > p V q (d) ~ p -*-(<! * p)
(e) (p- ^q ) - » - pAq (f) q & * "~q A p
(g) (p ~q) "
í-i> q ^ P (hj (p *— * ~q) -» ~ p A q
2. Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições:
(a) - p A r ^ q V - r (b) p -*
■r q • -:
(cj p~Mp -+ ~r)*-* q V r(d) (p A q ™r) V f^ p — * q V -i>
40 E D G A R D DE A L E N C A R F fL H O
3. Determinar P (W , VF, FV, FF) em cada um dos seguintes casos:
(a) P(p, qj = ~C^P ►
q)
(b) P (p.q) = ~ p V q -►p
(0) P(p, q) = (p V q) A H p A q)
(d) P(p, qj - (p A ~ q ) V ( ~p A q_)
(e) P(p, q) = -((p V q) A (~ p V - q))
(f) P(p, q) - - q V p ^ q - » ~ p
(g.) p(p. q) = (p V q) A - p -+ (q -> p)
Determinar P(V W , W F , VFV. VFF, F W , FVF, FFV, FFF) em cada um dos
seguintes casos:
(a) P<p, q,r) = p V j q A r)
(b) P(p, q,r) = tP A ~q) V i
(c) P(p, q,r) = - p V (q A ~ r )
(d) P{p, q,r) = (p V q) A (p V r)
(e) P(p. q,c) = (p V - r) A (q V ~r)
(f ) P(p, q, r) = M p V - q ) A ( - p V r)
Determinar P(VFV)em cada um dos seguintes casos:
(a) P(p, q,r) = p A M - » ~ q
(b) P(p, q,r) = ~ p A (q V —r)
(c) P(p, q,r) = ~ ip A q )* -> -(p V -r )
(d) P(p, q,r) = {r A (p V -q)) A ~ (~ r V(p A q)j
(e) P(p, q,r) = (p V q -> r) -►q V ~ r
( f ) P(p, q,r) = (p V (q - * -r)) A (~ p V r* —-q)
6. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente F e V,
determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:
{p A (,- q -4- p)) A ~((p *-*►
'~q) - q V ~ p)
7. Sejam as proposições p : tg(jr -x.) = ctgx c q : n < 2. Determinar o valor lógico
(V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a) (~ p A q ) V (p A - q ) (b) (p -►q) A ~ p -* ~ q
(c) ~ (p A q) *—*
■- p v - q (d) (p V (~p v qj) V ( ~ p A - q )
8 Sabendo que os valores Lógicos das proposições p, q e r são respectivamente V,
F e F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes propor­
ções: ¿ , . i
(a) (p<—>p-^q) V (p-*r) (b) ( p -*~<Ú*-»"U-P ■ r) ^
(c) (p A q •+ 0 ** (p -*(<
l-+T))
9. Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que as propostçoes r e s
são falsas, determinar o valor lógico (V ou F) de cada urna das segum es
proposições:
(a) p A q - » f (b) i V s q
(c) q <-*■ p A s (d) p ~ (r A s)
(e) (q - S) -> r (Ó ~ r -+ P A q
(g) ( q V r ) A ( p V s ) (h) ( r ^ ) A ( p A q)
( i ) ( p A ~ q ) V r 0 ) - ( t r ^ p ) V ( s - q ) )
(k) (s +-* r) (p q) 0 ) r ^ q ^ (~ P «-* r)
10. Sabcndo que os valores lógicos das proposições p, q, r c s s ã o respectivamente
V, V, F e F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada urna das seguintes
proposições:
(a) p -?
■q *
—►
q p (b) ( t - ' P ) *lp r)
(c) (p - t) - ( - P - ~ r) (d) - (p A q)--> >'P V ~q
(e) '-(p A s)-> ~ p A ~ s (O p V sj A (s V i))
11. Sabcndo queV(p)-V(r) = V e V(q) = V(s) ” F, determinar o valor lógico
(V ou F) de cada urna das seguintes proposições:
(a) p Aq<—>
-r A 'S (b) ( p - * - * - q ) í )
(c) ( ~ p -»
■q ) -> ( s ->r) (d) (,p A q ) V s - , ( p ^ s )
(e) (q A r) A s -» (p s) (O p -» ~ q (p V r) A s
(g) (p A q) A (r A s) >pV s (b) (~ p v s) V ( - s A r)
12. Sabcndo queas proposições “x = 0” e “x = y ” são verdadeiras c que as
proposições “y = e “y = t” são falsas, determinar o valor logico(V ou f ) de
cada uma das seguintes proposições:
(a) x - l ) A x - y - > y ^ (b) x ^ 0 V y = t - + y - z
íc( 1 « * + 0 V * * * ■ * * * ' ■
(e) x = 0 + ( x ^ y V y t
6 t )
13. Sabcndo que a condicional p ^ q é verdadeira(V), determinar o valor lógico
(V ou F) das condicionais:
p V i ^ q V r e p A r - > q A r
IN IC I A Ç Ã O A L Ó G IC A M A T E M Á T IC A
14. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma dasseguinies proposições:
(a) p *
—*
■q A ~r, sabendo que V(pJ - V(r) = V
(b) p A q - » p V r, sabendo que V(p) = V(r) = V
(c) (p -> ~q) A (~p V r), sabendo que V(qJ = F c V(r) =V
15. Suprimir o maior número possível de parêntesis nas seguintes proposições:
(a) {(q <
—
>(r V q)) *
—
* (p A (~ (-q ))))
(b) ((p A ('-(~ q))) ^ ( q ^ ( r V q»)
(c) (((p V q)-+(~r)) V ((((—
q> A r) A q)))
4 2 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
Capitulo 4
Tautologías, Contradições e
Contingências
I. TAUTOLOGIA
Definição Chama-sc tautologia toda a proposição composta cuja última
coluna da sua tabcla-verdade encerra somente a letra V( verdade).
Em outros termos, tautologia é toda proposição compostn P(p, q, r , .. .) cujo
valor lógico é sempre V(verdade), quaisquer que sejam os valores lógicos das
proposições simples componentes p, q, r, . . .
As tautologías são também denominadas proposições tautológicas ou proposições
logicamente verdadeiras.
É imediato que as proposições p ^ p e p *
—
*
■p são tautológicas (Principio de
identidade para as proposições),
hxeniplos:
(1) A proposição “~{p A ~ p )” (Princípio da não contradição) é tautológica,
conforme se vê pela sua tabela-verdade;
p ~ p p A ~p ~ (p A~*-p)
v F F v
F v P V -
Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultáneamente verdadeira e
falsa é sempre verdadeiro.
(2) A proposição "p V p” (Princípio do terceiro excluído) é tautológica, corno
imediatamente se vc pela sua labcla-verdadc:
4 4 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
p ~p P V' P
v F v
F v v
Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre
verdadeiro.
(3) A proposição up V M p A q f c tautológica, conforme se vê pela sua tabeia-
-verdade:
p 9 p A q H p A q) p V ~ (p A q)
v v v F v
v F F v v
F v F v v
F
*
' F F v v
(4) A proposição “p A q -M p+-+q)” é tautológica, conforme mostra a sua (abcla-
-verdade:
p q p A q p*-*q
'
p A q -^(p-e—
» q)
v V v v v
v F F 1 v
F v F F v
F F F v v
(.5) A proposição “ p V ( q A ~q')+-+p” é tautológica, conforme mostra a sua
labela-verdíidc:
p q ^q q A - q p V (q A ~q) p V (q A ~ q) p
v v F F v v
V f v F v v
F v F F F v
F v F F v
(6) A proposição up A r -+ q V r” c tautológica, conforme se vê pela sua
tabela-verdade:
I N IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T F M Á T IC A 45
p q r ~ q p A r ~ q V r p A r - * ~ q V r
v v v F v v v
v v F F F F v
v F v v v v v
v F F v F v v
F V V F F v v
F v F F F F v
F F v v F v v
F F F v F v v
(7) A proposição %
í((p -*
■q> *) {p -»•(q -+ r)J” c tautológica, conforme mostra a
sua tabela-verdade:
IIP -> q) -* r) - (P (q r))
v v v v v v v v v v v
V v v F F v V F v F F
v F F V v v V v F v v
v F F V F v v v V V v
F v v v v v F v v V v
F v v F F v F v v F F
F v F V v v F v F V v
F v F F 1 v F v F v F
1 2 1 3 1 4 1 3 1 -) 1
2. PRINCIPIO DE SUBSTITUIÇÃO PARA AS TAUTOLOGIAS
Seja Pfp. q, r . . . . ) uma tautologia e sejam P0(p. q, r , .. .), Qo<P' q, r , . ..),
R()(p, q, r. . proposições quaisquer.
Como o valor lógico de P(p, q, r , . ..) c sempre Víverdade), quaisquer que
sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p, q, r , .. c óbvio
que, substituindo p por P0,q por Q0,r por R0, . . . na tautologia P(p, q, r ,. ..), a
nova proposição P(P0, Qo> • • •) Q
ue assim se obtém também é uma tautologia.
Subsiste, pois, para as tautologías o chamado “ Princípio de substituição” seguinte:
Se P(p. q. r , . . é uma tautologia, então P(P{i. Q0, R<>, . ..) também é uma
tautologia, quaisquer que sejam as proposições P0, Q0. R0, . . .
4 6
E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
3. CONTRADIÇÃO
Definição — Chama-se contradição toda a proposição composta cuja última
coluna da sua tabela-verdade cncerra somente a letra F(falsidade).
Km outros termos, contradição é toda proposição composta P(p, q. r ,. . .)cujo
valor lógico é sempre F(faisidade), quaisquer que sejam 'os valores lógicos das
proposições simples componentes p. q, r ,. ..
Como uma tautologia é sempre verdadeira(V), a negação de uma tautologia è
sempre falsa(F), ou seja, é uma contradição, e vice-versa.
Portanto, P(p. q, r ,. ..) é uma tautologia se e somente se ~P(p, q. r , . . . ) é
uma contradição, e P(p. q, r. . , é uma contradição se e somente se ~P(p, q. r , . . . )
é uma tautologia.
As contradições são também denominadas proposições contraválidas ou
proposições logicamente falsas.
Para as contradições vale um “Princípio de substituição” análogo ao que foi
dado' para as tautologías:
Se P(p, q, r, . ..) é uma contradição, então P(P0, Qo- • ■•) também é uma
contradição, quaisquer que sejam as proposições P0, Q0, R0. , . .
Exemplos:
<l) A proposição “ p A ~ p ” é uma contradição, conforme sc vê pela sua tabela-
-verdade:
p ~ P p A ~ p
V F F
F V F
Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e
falsa é sempre falso.
(2) A proposição “ p *—
»
■~
~p” é uma contradição, conforme mostra a sua tabela-
-verdade;
P ~ p p*~ *~p
V F F
F V F
(3) A proposição “(P A q) A ~ (p V q)” é uma contradição, conforme se vê pela
sua tabela-verdade;
I N I C I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 47
p q p A q p V q ~(p V q) (pAq) A ~ (p V q)
V v v v F F
V F F v F F
F v F v F F
F F F F v F
(4) A proposição “~-p A (p A ~ q )” é uma contradição, conforme mostra a sua
tabela-verdade:
P q ~ p ~ q ! p A ~ q ~ p A (p A ~ q )
v v F F F F
v F F v v F
F v v F F F
F F v V | F F
4. CONTINGÊNCIA
Definição Chama-se contingência toda a proposição composta em cuja
última coluna da sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada uma pelo
menos uma ve?.,
Em outros termos, contingência é toda proposição composta que não é
tautologia nc-m contradição.
As contingências são também denominadas proposições contingentes ou
proposições indeterminadas.
Exemplos;
(1) A proposição “p - » ~ p ” é uma contingência, conforme se vê pela sua
tabela verdade:
P ~p p-*~p
v F F
F v v
(2) A proposição “ p V q - ^ p ” é uma contingência, conforme mostra a sua
tabda-verdade:
4g E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
p q p V q p V q p
v v v v
v F v v
F v v F
F F F v
(3) A proposição “x - 3 A (x y x f- 3)” é uma contingência, conforme mostra
a sua tabcla-verdadc:
x= 3 x = y x 3 x # y x v* y x i~- 3 x = 3 A (x Ay -+ x t- 3)
v v F F v v
v F F V F F
F v v F v F
F F v V V F
EXERCÍCIOS
1. Mostrar que as seguintes proposições sao tautológicas:
(a) (p p) v (P -* ~P> (b) (p p A - p ) «-> ~ p
<c) (p -+ qj A p -* q íd ) p V (q V ~ p )
(e) (p- »q ) A ~ q ~ p ( f ) (p V q) A ~-p-*q
(g) p <
—
>p A (p V q) (h) ~ (p V - p ) v (q V *~q)
(i) ~ (p A ~ p ) v (q -*
■~~q) (j) p V ( p A q ) ^ p
(k) - ( p V q> -> (p +-*■ q) (D f p ^ q ) A p - > q
Mostrar que as seguintes proposiçoes sao tautológicas:
(a) (p -> q)-*(p A r -> q) (b) (p -> q) -» (p -*
■q V r)
(c) (p - q) -> (p A r q A r) (d) (p q) > (p V r -> q V i
Mostrar que as seguintes proposições são contingentes:
(a) p V q ^ p A q (b) (q -*
■p)-*(p-> q)
(c) (p -+ (p -* q)) -+ q (d) p ^ ( p - ^ q A - q )
4. Determinar quais das seguintes proposíçoes são tautológicas, contraválidas, ou
contingentes:
(a) p ->(~ p -»q) (b) - p V q ^ ( p ^ q )
(c) p (q -+ (q -> p}) (d) ((p -> q) *-» q) p
(e) p V ^ q ^ ( p ^ - v q ) (f) ~ p V ~ q -» ( p q )
(g) p (p V q) V r (h) p A q - ^ ( p ^ q V r )
Capítulo 5
Implicação Lógica
1. DEFINIÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA
Definição Diz-se que uma proposição Píp, q. r . .. .) implica logicamente ou
apenas implica uma proposição Q{p, q; r . . . se Qlp. q, r . ...} c verdadeira(V)
todas as vc7.es que P(p, q. r , . . . ) é verdadeirat V),
Em outros termos, uma proposição P(p, q. r. . . . ) implica logicamente ou
apenas implica uma proposição Q(p, q, r , .. .) todas as vezes que nas respectivas
tabelas-verda.de dessas duas proposições não aparece V na última coluna dc
P(p. q , i , e F na última coluna de Q(p. q. r , ...), com V e F em uma mesma
linha, isto e. não ocorre P(p, q, r , .. .) e Q(p, q. r . . . . ) com valores lógicos simul -
táñeos respectivamente V c F.
Indica-se que a proposição P(p, q, r , .. ,) implica a proposição Q(p, q, r , .. .)
com a. notação:
P(p, q, r , . . . ) =» Q(p. q- r----- >
Em particular, toda proposição implica uma tautologia e somente uma
contradição implica uma contradição.
2. PROPRIEDADES DA IMPLICAÇÃO LÓGICA
É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições goza das
propriedades reflexiva(R) e transitiva(T). isto é. simbólicamente:
(R) P(p, q, r, . . . ) ^ Píp. q, r, .. .)
(T) Se P(p, q, r , .. .) =
>
■ Q(p, q: r , .. .) e
Q(p, q, r , .. .) =
¡>R(p, q, r , . ..), então
Pfp, q, r , . . . ) => R(p, q, r , . . . )
50 EDGARD DE ALENCAR FILHO
3. EXEMPLIFICAÇÃO
(I) As tabeias-verdade das proposições:
p A q, p V q, p <
-*q
são:
P q p A q P V q p* * q
V v V v v
V F F v F
F V F v F
F F F F v
A proposição "p A q” é vcrdadeÍTa(V) somente na linha 1 e, nesta linha, as
proposições “p V q’ e “ p q” também sao verdadeiras(V). Logo, a primeira
proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto e:
p A q =» P V q e p A q => p <
—*q
As mesmas tabelas-verdade também demonstram as importantes Regras de
inferência:
O) P =* p v q e q =» p V q (Adição)
(ii) p A q =* p e p A q -> q (Simplificação)
(2) As tabelas-verdade das proposições:
P < --q , p -> q, q -> p
são:
P q p * q p->q q ^ p
V v V v v
V F F F v
F V F v F
F F V v v
A proposição “p * * q" e verdadeira(V) nas linhas 1 e 4 c, nestas linhas, as
proposições “p -+ q” e “q :ambém são verdadeiras. Logo, a primeira proposi-
ção implica cada uma das outras duas proposições, isto e:
P «— > q =* p -^ q e p ^ q =
> q ^ p
(3) A tabehirverdade da proposição: “(p V q) A ~ p ” c:
I N IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 51
p q pVq ~p (p V q) A ~ p)
v v v F F
v F v F F
F v v v v
F F F v F
Esta proposição é verdadeira(V) somente na linha 3 e, nesta linha, a proposição
“q” também é verdadeira(V). Logo, subsiste a implicação lógica:
(p V q) A ~ p => q
denominada Regra do Silogismo disjuntivo.
Outra forma desla importante Regra de inferência é:
(p V q) A ~ q => p
(4) A tabcla-verdade da proposição “(p -* q) A p” é:
P q p-*q (p -> q) a p
v v v v
v F F F
F v v F
F F v F
Esta proposição é verdadeira(V) somente na linha 1 e, nesta linha, a proposição
“q” também é verdadeira(V). Logo, subsiste a implicação lógica:
(p q) A p =
»
■ q
denominada Regra Modus ponens.
(5) As tabelas-verdade das proposições “(p-*q) A - q ” e “ ~p” são:
P q p-+q ~q (p-*q) A ~q) - p
v v v F F F
v F F v F F
F v v F F v
F F v v v v
A proposição ,v(p->q) A - q ” é verdadeirafV) somente na linha 4, e nesta
linha, a proposição “~ p ” também é vcrdadeira(V). Logo, subsiste a implicaçao
lógica:
(p~> q) A ~ q => ~ p
denominada Regra Modus tollens.
As mesmas tabelas-vcrdadc também mostram que M
~ p ” implica “p -+ q ’
isto é: ~ p => p -*•q-
4. TAUTOLOGIAS E IMPLICAÇÃO LOGICA
Teorema A proposição P(p. q, r, .. .) implica a proposição Q(p. q, r-----).
isto é:
P(p, q. r___ ) => Q(p, q. r, . . .)
se e somente se a condicional:
P(p. q, r___ ) -*• Q(p, q. i----- ) d )
é tautológica.
Dem. - (i) Se Píp, q, r , . . .) implica Q(p. q. r, . . .), então, não ocorre que os
valores lógicos simultâneos destas duas proposições sejam respectivamente V e l . e
por conseguinte a última coluna da tabela-verdade da condicional (1) encerra
somente a letra V, isto é, esta condicional é tautológica.
(ji) R e c ip r o c a m e n te , se a condicional (1) é tautológica, isto é, se a última
coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V, então, não ocorre quo os
valores lógicos simultâneos das proposições P( p. q, r----- ) e Q(p, q, r , . . .) sejam
respectivamente V e F, e por conseguinte a primeira proposição implica a segunda.
Portanto, a ioda im plicação lógica corresponde uma condicional tautológica, e
vice-versa.
Corolário - Se P(p, q, r , . . . ) =>Q (p , q, r , . . .), então, também se tem:
P(P„, Q0, Rn. . . .) => 0(P<„Qo-Ro...-)
quaisquer que sejam as proposições P0, Q0, R0, . ..
NOTA Os símbolos -* e => são distintos, pois, o primeiro é de operação
lógica (aplicado, p. ex., às proposições p e q dá a nova proposição p - q),
enquanto que o segundo é de relação (estabelece quo a condicional P(p, q, r , . . .)-*-
-> Q(p, q, r , . . . ) é tautológica).
E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
Exemplos:
(1) A condicional “(p -* q) A (q ->
■r) -*
■(p -*
■r)” é tautológica, pois, a últim;
coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V (Cap. 3, § 4, Ex. 4)
Logo, subsiste a implicação lógica:
Cp -> q) A (q -> r) => p —r
denominada Regra do Silogismo hipotético.
(2) A condicional “p e tautológica,pois, a última coluna da su;
tabela-verdade encerra somente a letra V:
IN IC IA Ç Ã O Ã L C G IC A M A T E M Á T IC A 5
p q ~p P A ~ p p A ~ p -»• q
V v F F v
V F F F v
F v v F v
F F v F v
Logo, subsiste a implicação lógica; p A ~ p =>q. Assim, de uma contradição
p A ~ p se deduz qualquer proposição q (Princípio da inconsistência).
(3) A proposição “(p >q) A p” implica a proposição “q", pois, a condicional
“(p «—■
>q) A p -•>q” é tautológica conforme se ve pela sua tabela-verdade:
p q p q (p ■
*
—
+q) A p (p «-►q) A p q
v v v v v
v F F F v
F v F F v
F F v F v
Portanto, simbolicamente: (p <-+ q) A p =* q.
EXERCfCIOS
1. Mostrar que a pio posição p implica a proposição qíp =>q) cm cada um do
seguintes casos:
(a) p : n > 3; q : tg45° = 1
(b) p : sen30° = 1; q : y j 2 >  f 1
(c) p : ABCD é um losango; q : ABCD é um paralelogramo
(d) p : O polígono ABCDE . . . é regular; q : O polígono ABCDE . . . é ins­
crit ível
(e) p ; O número inteiro x termina por 0; q : O número mte;ro x i divisível
por 5
(f> p : ABC’ é um triângulo; q : A soma dos ângulos internos A. B e C é igual
a 180°
(g) p ;ts | = v ^ i q ;sén f = cos f
2. Mostrar: (a) q =
>p -+ q; (b) q =
*
■p A q * p
3. Mostar que p —q não implica p -» q.
Resolução As tabelas-verdade das duas proposições dadas são:
5 4 E D G A ftD D £ A L O CAR F IL H O
p q - q p «-+ ~ q p-+q
V v F F v
v F v v F
F v F v v
F F v F v
A proposição “p »~ q ” é verdadeiraf V) na linha 2 e, nesta linha, a proposição
“p -*• q” é falsa(F). Logo, a primeira proposição não implica a segunda.
4. Mostrar que p não implica p A q e que p V q não implica p.
5. Mostrar: (x = y V x < 4) A x < 4 => x = y.
6. Mostrar: (x =£0 -> x = y) A x ¥=y =» x = 0.
Capítulo 6
Equivalência Lógica
í. DEFINIÇÃO DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA
Definição Diz-sc que uma proposição P(p, q, r. . . .) é logicamente equivalente
ou apenas equivalente a uma proposição Q(p, q. r , . . se as tabelas-verdade destas
duas proposições são idênticas.
Irtdica-sc que a proposição P(p. q. r, . . .)c equivalente a proposição Q(p, q, r ,. . .)
com a notação:
P(p, q, r ,. . .) ■*** Q(p, q, r , . . . )
Em particular, se as proposições P(p, q, r , . . .) e Q(p, q, r, . ..) são ambas
tautologías ou são ambas contradições, então são equivalentes.
2. PROPRIEDADES DA EQUIVALÊNCIA LÓGICA
É imediato que a relação de equivalência lógica entre proposições goza das
propriedades reflexiva(R), simétricaíS) e transitiva(T), isto é, simbolicamente:
<R) P(p, q, r , . . .) *=* P(p, q, r ,.. 0
(S) Se P(p, q, r, .) <=> Q(p, q,r, .), então
Q(p, q; r , .. -) <=* P(p, q, r , . . •)
(T) Se P(p, q, r, , , •) <=> Q(p, q, ^ •> c
Q(p, q, r , . . •) R(p, q, r, . . •)> então
P(p, q r , . . •) <=> R(p, q, r , . , •)
3. EXEMPLIFICAÇÃO
(i) As p r o p o siç õ e s ~ p ” e “ p ” são e q u iv a le n te s, isto é, s im b o lic a m e n te :
<==* p (Regra da d u p la n e g a çã o ). Realmente, é o que d e m o n str a a tabeia-veT da-
de:
5 6 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
p ~ P — p
v F v
F v F
t t
Portanto, a dupla negação equivale à afirmação.
(2) As proposições “ ~ p -* p ,, e “p” são equivalentes, isto 6, simbolicamente:
~.p_> p p (Regia de CLAVIUS). Realmente, é o que demonstra a tabela-verdade:
P ~ p ~ p -> p
v F v
F v F
t t
(3) As condicionais “p -> p A q” c “p -> q” têm tabelas-verdade idênticas:
P q p A q p-*p A q p-*q
v v v v v
v F F F F
F v F v v
F F F v v
+ _ *
Por consequência, estas condicionais são equivalentes, isto é, subsiste a
equivalência lógica:
p -* p A q <
fc=
>p -> q
denominada Regra de absorção.
(4) A condicional “ p -» q” e a disjunção “~ p V q” têm tabelas-verdades idênti­
cas:
p q p~*q - p ~ p v q
v v v F v
v F F F F
F v v v v
F F v v v
+ *
Por consequência, estas duas proposições são equivalentes, isto c, subsiste a
importante equivalência lógica:
p H- q <=*• —p V q
(5) A bicondicional “p «-4* q” e a conjunção “(p -*
■q) A (q -> p)” tem tabelas-
verdade idênticas:
I N tC IA Ç Ã O Ã L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 57
P q p ^ q p-^q q -^ p (p -+ q) A <q -> p)
v v v v v v
v F F F v F
F v F v F F
F F v v v v
...
Por consequência, estas duas proposições são equivalentes, isto é, subsiste a
importante equivalência lógica:
p <__* q <=> (p _>q) a (q -> p)
(6) A bicondicional *‘p q,J c a disjunção “(p A q) V (~ p A ~ q )” têm tabe-
las-verdade idênticas:
P q p«-> q (P A q) V (~ p A ~q)
v v v v v v v F F F
V F F v F F F F F v
F v F F F V F v F F
F F v F F F v v v v
t t
Por consequência, estas duas proposições são equivalentes, isto é, subsiste a
importante equivalência lógica:
p +-*■q «=* (p A q) V (~ p A ~ q)
4. TAUTOLOGIAS E EQUIVALÊNCIA LÓGICA
Teorema - A proposição P(p, q, r , . . . ) é equivalente à proposição Q(p, q, r , .. .)>
isto c:
P(p, q, r , .. .) <
*
=
► Q(p, q, r , ...)
se e somente se a bicondicional:
P(p, q, r , . . . ) <
—
* Qfp, q. r , .. . ) (1)
é tautológica.
Dem. (i) Sc as proposições P(p, q, r, . . .) e Q(p, q, r, .,,) são equivalentes,
então, têm tabelas-verdade idênticas, e por conseguinte o valor lógico da bicondicio­
nal (1) é sempre V(verdade), isto c, (1) é tautológica.
(ii) Reciprocamente, se a bicondicional (1) ó tautológica, então, a última
coluna da sua labela-verdade encerra somente a letra V(verdade), c por conseguinte-
os valores lógicos respectivos das proposições P(p, q. r , . . .) e Q(p. q, r , ...} são
ambos V(vcrdade) ou são ambos F(falsidade), isto é, estas duas proposições são
equivalentes.
Portanto, a toda equivalência lógica corresponde uma bicondicional tautológica,
c vice-versa.
Corolário Se P(p, q, r ,. . . ) <=* Q(p, q, r, . . .), então, também se tem:
P(P0s Q0, R0, ...)« = * Q(P<n Qo, R<i, •. ■
)
quaisquer que sejam as proposições P0, Qn, R0, . ..
NOTA — Os símbolos +-> e são distintos, pois, o primeiro é de operação
lógica (aplicado, p, ex,, às proposições p e q dá a nova proposição p ►
q), enquanto
que o segundo é de relação (estabelece que a bicondicional P(p, q, r, . . .) <
—
+
Q(p, q, r, . . .) é tautológica).
Exemplos:
(1) A bicondicional “(p A ~ q -> c) «-*■(p q j”, oridc c é uma proposição cujo
valor iógieo é F(falsidade), é tautológica, pois, a última coluna da sua tabela-vcrdade
encerra somente a letra V(verdade):
58 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
p q (P A - q -» c) (P q)
V v V F F V F V v V v
V F V V V F F V V F F
F V F F F V F V F v v
F F F F V V F v F v F
1 3 2 4 1 5 1 2 1
Portanto, as proposições “ p A —q -* c” c “p -* q ” são equivalentes, isto é,
simbolicamente:
p A ~~q -v c <=>- p -> q
Nesta equivalência consiste o “Método de demonstração por absurdo’4
.
IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 59
(2) À bicondicional “(p A q - > r ) ^ ( p - > ( q - > r ) ) ” é tautológica, pois, a última
coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V(vcrdade):
íp A q -> r) <
—
> (P (q - 0)
V v v v v v v v v v v
v v v F F v v F v F F
v F F v v v v v F v v
v F F v F v v v F v F
F F v v v v F v v v v
F F v V F v F v v F F
F F F v v v F v F v v
F F F v F v F v F v F
1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1
Portanto, as condicionais “p A q -> r” e “p -►(q -* r)” são equivalentes, isto é,
simbolicamente:
p A q r *=> p (q -» r)
Esta importante equivalência lógica é denominada “ Regra de Exportação-lmpor-
tação”.
(3) As proposições “x = I V x < 3 ” e “~ { x < 3 A x = 1)” não são equivalentes,
pois. a bicondicional:
(x = 1 V x < 3) <
—
* ~ (x < 3 A x = 1)
não é tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:
(x= 1 V x < 3) - (x < 3 A x = l )
v v F F F V v v
v v v v v F F v
F F F F v V F F
F v v v v F F F
5. PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL
Definição — Dada a condicional p -> q, chamam-se proposições associadas a
p -> q as três seguintes proposições condicionais que contcm p e q:
(a) Proposição recíproca de p -+ q : q -»
■p
(b) Proposição contrária de p -» q : - p -*■~-q
(c) Proposição contrapositiva de p -> q : ~ q -> ~ p
Ás tabelas-verdade destas quatro proposições são:
60 E O G A R D DE A L E N C A R F IL H O
p q p "
*
■q q~>p ~ p -» ~ q ~ q -> ~ p
v v v v v v
v F F v v F
F v v F F v
F F v v v v
t
t
í
, c demonstram as duas importantes propriedades:
(I) À condicional p -> q c a sua contrapositiva ~ q -> ~ p são equivalentes, is­
to é, simbolicamente:
p -» q < = * ~ q ^ ~ p
(II) A recíproca q-> p e a contrária ~ p -> ~ q da condicional p -+ q são
equivalentes, isto é, simbolicamente:
q -> p <=> ~ p ~ q
As mesmas tabelas-verdade também demonstram que a condicional p -+ q e a
sua recíproca q -+ p ou a sua contrária —p > ~ q ntâo são equivalentes.
A contrária de p -*
■q também é denominada a inversa de p -> q e a contrapositiva
de p -»• q outra coisa não é que a contrária da recíproca de p q c por isso
também ê denominada contra-recíproca dc p > q. Também se diz que p ^ -q é a
direta cm relação às associadas.
Exemplos:
(1) Seja a condicional relativa a um triângulo T:
p "> q : Se T é equilátero, então T é isósceles
A recíproca desta proposição é:
q -> p : Sc T c isósceles, então T é equilátero
Aqui, a condicional p -> q é verdadeira(V), mas a sua recíproca q -> p é falsa(F),
(2) A contrapositiva da condicional:
p -+ q : Se Carlos é professor, então c pobre
é
~ q -> ~ p : Se Carlos não é pobre, então não e professor
IN IC I A Ç Ã O Ã L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 61
(3) Seja achar a contrapositiva da condicional: “Sc x c menor que zero, então x
não é positivo”.
Representando por p a proposição “x é menor que 7.ero,k e por q a proposição
“x é positivo”, a condicional dada sob forma simbólica escreve-se: p ^ -q , e
por conseguinte a sua contrapositiva c:
— q ^ ~ p ^ = > q -*
■~ p
isto é, em linguagem corrente: “Se x c positivo, então x não é menor que zero” .
(4) Seja demonstrar a proposição condicional:
p -?
■q : Se x2 é ímpar, então x c ímpar
A contrapositiva desta condicional é:
—q ~ p : Se x é par, então x 2 c par
que vamos demonstrar ser verdadeira.
Com efeito, suponhamos x par, isto c, x = 2 n (n € Z ). Como x2 =2.2n2 ,
segue-se que x2 e par. Logo, a contrapositiva é verdadeira, e por conseguinte a
proposição condicional dada p q também ó verdadeira.
(5) Determinar:
(a) A contrapositiva da contrapositiva de p -»
■q
(b) A contrapositiva da recíproca de p -»
>q
(c) A contrapositiva da contrária dc p -> q
Resolução —(&) A contrapositiva de p-> q é ~ q -> ~p. £ a contrapositiva de
~ q -*
■~ p é: ~ ~ p -> -— q <=* p -*
■q.
(b) A recíproca de p -* q é q p. É a contrapositiva de q p c: ~ p -»
■~q.
(c) A contrária dc p ^ q é ~ p -» ~ q . E a contrapositiva de ~ p -+ ~ q é:
-— q ->
• -v~p <
■
-->q -> p.
Observe-se que a recíproca, e a contrária são cada uma a contrapositiva da
outra c que a condicional e a contrapositiva são cada uma a contrapositiva da
outra.
(6) Determinar:
(a) A contrapositiva de p -> ■
*
-q
(b; A contrapositiva de ~ p q
(c) A contrapositiva da recíproca dc p -+ ~ q
(d) A recíproca da contrapositiva de - p ^ q
Resolução —(a) A contrapositiva de p -* ~q é:
— q + ~ p « q - * ~ p
(b) A contrapositiva dc ~ p -* q é:
4 “*
■
"— p « - q - p
(c) A recíproca de p - * ~ q é - q - > p. E a contrapositiva de - q - p é:
~ p ~— q <=> —p -*
■q
(d) A contrapositiva. de ~ p -* ~ q é:
— ' 9 * — -p«=» q-*p
E a recíproca de q -> p c p -» q.
(7) Determinar;
(a) A contrapositiva da recíproca de x = 0 -+ x < 1
(b) A contrapositiva da contrária de x < 1 — < 3
Resolução (a) A recíproca de x = 0 -» x < 1 c x <. 1 — - D E a cuntraposi-
tiva desta recíproca c x ^ O - ^ x ^ l .
(b) A contrária de x < l -* x < 3 é x < l ^  < 3 . F
- a contrapositiva desta
contrária c x < 3 -* x < 1.
62 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
6. NEGAÇÃO CONJUNTA DE DUAS PROPOSIÇÕES
Definição Chama-se negação conjunta dc duas proposições p c q a proposição
“não p e não q”, isto é, simbolicamente “ ~~p A ~ q ”.
A negação conjunta de duas proposições p e q também :ndici peia rotação
“p i q”. Portanto, temos;
p 4 q ~ p A -~q
Como a proposição “~ p A —q” é verdadeira somente nr c-m que p e q são
ambas falsas, então, a tabcla-vcrdadc dc “p l q” c a seguinte:
p q p 4 q
v v F
v F F
F v F
F F v
I N I C I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 63
7. NEGAÇÃO DISJUNTA DE DUAS PROPOSIÇÕES
Definição Chama-se negação disjunta dc duas proposições p e .q a proposição
“não p ou não q”, isto é, simbolicamente “~ p V ~ q ”.
A negação disjunta de duas proposições p e q também se indica pela notação
“p t q”. Portanto, temos:
p t q ' p V ~ q
Como a proposição “~ pV ~ q ” é falsa somente no caso em que p e q são
ambas verdadeiras, então, a tabela-verdade de “p t q ca seguinte:
p q p f q
v v F
v F v
F v v
F F v
Os sírnbolos é “ t ” são chamados “conectivos de SCIIEFFER”,
EXERCÍCIOS
1. Mostrar que as proposições p e q sao equivalentes ( p ^ q) cm cada um dos
seguintes casos:
(a) p : l +3 = 4; q : ( l + 3)2 = 16
(b) p:senO° = l; q:co s0 0;=:ü
(c) p : 2o = 1; q : n <! 4
(d) p :x = y; q : x + ?= y + z (x, y, z € R)
(e) p :x é p a r ; q :x + I é ímpar (x S Z)
(f) p : O triângulo ABC é isósceles (AB = AC); q : Os ângulos B e C sáo iguais
(g) p :a 1 b; q : b 1 a
(h) p ;a || b; q : b || a
(i) p : 0 triângulo ABC c retângulo em A; q : a2 = b2 + cz
(j) p : X
-e {a} ; q : x = a
2. Exprimir a bicondicional p *
■q em função dos três conectivos: A, V e ~ .
Resolução Temos:
p q <:=* (p _* q) A (q -* p)
p -*
■q ~ p V q
q p <
=
=
s-~ q V p
Portanto: p *
■q *=* ( - p V q) A (~ q V p).
3. Demonstrar por tabelas-verdadc as seguintes equivalências:
(aj p A ( p V q ] « p (b) P V (p A q) <=>* p
(C) p * — *
■ p Aq <=> p -> q (dj q *■ p V q «=> p -+ q
( è ) (p -í-q ) A( p ^ r ) * = * p - > q A r (f) (p -►qj V (p r).«■ p q V r
(gJ (P q) "*■1*=* P A ~ r -> ~ q
4. Mostrar que as proposições “x = l V x < 3 ” c “—{x < 3 A x = l) não são
equivalentes.
5. Demonstrar que o conectivo “ V ” (“ou” exclusivo) exprime-se em função dos
três conectivos A e V do seguinte modo:
p V q (p V q) A ~ (p A q)
Dern. Com efeito, as tabelas-vcrdade de “p V q” e “(p V q) A - ( p A q)”
são idênticas:
¡4 E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O
p q p v q (P V q) A (P A <l)
v v F v v v F F v v v
v F v v v F v v v F F
F v v F v v v v F F v
F F F F F F F v F F F
1 2 1 4 3 1 2 1
6. Demonstrar que os três conectivos ~ , V c A exprimem-se em funçao do
conectivo “ 4 ” dc SCHEFFER do seguinte modo:
(a) —p p f p
(b) p V q <=> (p i q) l (p 4
-q)
(c) p A q « (p i p) i (q i q)
Dem. Realmente, é o que demonstram as tres tabelas-vcrdadc seguintes:
I N I C I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 65
(a)
p ~p P 1P
v F F
F v v
+ t
<b)
P q p V q p 4 q (P 1 q) 4(p i q)
v v v F v
v F v F v
F v v F v
F F F v F
t t
(e)
P q p A q p 1p q i q (p 4 p) 4(q 4 q)
v v v F F v
v F F F v F
F v F v F F
F F F v v F
t
7. Demonstrar por tabclas-verdade que os três conectivos V e A exprimem-
-se cm lunção do conectivo “ t ” dc SCHEFFER do seguinte modo:
(a) ~ p ^ =
(b) P V q
(c) p A q
p t p
=* (P t p) t (q t q)
!=
*
■(p f q) t (p t q)
Sabendo queas proposições p c q são verdadeiras e que a proposição r é falsa,
determinar o valor lógico (V ou F) das seguintesproposições:
(a) (~ p 4 q) A ( q t - r )
(b) ((p t q) V (q 4 r» t (r 4 p)
(c) ( - p t - q ) <-»■((q 4 r) 4 p)
(d) ((p t ~ p) V q) l ( q A r )
9. DemOmtxar que o conectivo “ V ” exprimose em função unicamente de
“ -*
■" pela equivalência: p V q <=> (p -*
■q) -* p-
10. Demonstrar que a negação conjunta e a negação disjunta gozam da propriedade
comutativa, isto é:
p 1 q<-*q i p e p t q*=* q t p
11. Demonstrar; ((p t ~ p) t (p t " p)) *=*• p A —p
12. Demonstrar que as seguintes proposições são contingentes:
(a) ( p l q ) y ( - q t p )
(b) ( p t ( q V r ) ) ^ M
(c) {(p 1 ~p) V q) * (~q / W )
E D G A R D d e A L E N C A R F IL H O
6 6
Capítulo 7
Álgebra das Proposições
I. PROPRIED/VIJES DA CONJUNÇÃO
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t c c proposições também
simples cu|os valores lógicos respectivos são V(verdadc) c F(falsidade).
(a) Idempotente: p A p (^* p
Dem. - Com efeito, são idênticas as t a bcl as - veT dade das proposições p A p c
p, ou seja, a bicondiconal p A p^—
>p é tautológica:
p p A p p A p <
—
» p
v v v
F F v
t f
Assim, p. ex., temos:
(i) x 1 A x * 1 <
=
> x # 1
(ii> x < 0 A x < 0 í = * x < 0
(b) Comutativa: p A q <=> q A p
Dem. Com efeito, são idênticas as tabelas-vòrdade das proposições p A q c
q A p, ou seja, a bicondicional p A q *—* q A p é tautológica:
p 4 p A q q A p p A q *-*• q A p
v v v v v
v F F F v
F v F F v
F F F F v
t t
Assim, p. ex., temos:
(i) x 1 A X > 0 <==* x > 0 A x ^ 1
(ii) t i > 3 A / r < 4 <
-■
■■
>n < 4 A 7r > 3
(iii) [2 > 1 A s/~$ < 3 V T < 3 A V ? > I
(c) Associativa: (p A q) A r <==• p A (q A r)
Dem. Com cfcilo, são idênticas as tabelas-vcrdade das proposições (p a q) A r
e p A (q A r):
6 8 E D G A ft D DE A L E N C A R F IL H O
p q r pa q (P A q) A r q A r P A(q A r)
v v v v v v v
v v F V F F F
v F v F F F F
v F F F F F F
F v v F F v F
F v F F F F F
F F v F F F F
F F F F F
í
F F
t
Observe-se que íi bicondicional (p A q) A r * p A (q A r) Ctautológica.
Assim, p. ex., temos:
(i) (a 2* b A b ^ c ) A c < d <*=*a > b A (b ^ c A c < d)
(ii) (x # 0 A X > 1) A X < 3 <=> X # 0 A (x > 1 A X < 3)
(d) Identidade; p A t <=
>
• p C pA
Dem. Com efeito, são idênticas as tabelas-vordade das proposições p a t e
p, p A c e c, ou seja, as bicondicionais p A t «—>p e p A c c são tauto­
lógicas:
P t c p A í P A C p A t « -* p p A c f—» c
v v F v F v v
F
í
v F
t
F
- t -
F
t
v v
Kstas propriedades exprimem quo t e c sao respectivamente elemento neutro e
elemento absorvente da conjunção.
Assim, p. ex., temos:
(i) x =£ 1 A I x | > 0 <=> x ¥=1
(ii) x ^ 1 A | x | < 0 *=> | x | < 0
IN IC IA Ç A Q A L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 69
2. PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também
simples cujos valores lógicos respectivos são V(verdade) e F(falsidade).
(a) Idempotente: p v p<^=» p
Dein. Com efeito, são idênticas as tabelas-vcrdade das proposições p Vp e p,
ou seja, a bicondicional p 1/ p p é tautológica:
p P V P p v P ^ P
V v v
F F v
t t
Assim, p. ex., lemos:
(i)x ¥
=
■0 V x 0 *-=» x ^ 0
(ii)x < 1 V x < 1 '■*=* x <- 1
(b) Comutativa: p V p
Dem. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p v q e
q V p, ou seja, a bicondicional p V q «—
* q V p é tautológica:
p q P V q q v p p v q « -* q V p
v v v v v
v F v v v
F v v v v
F F F
í t
v
Assim, p. ex., temos:
(i) x ^ l V x ^ O ^ x ^ O V x ^ l
(ii) a > b v b < c b < c v a > b
(c) Associativa: (p v q) V r<=>p v (q v r)
Dem. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições (p v q) v r
e p v (q V r):
7 0 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
p q r p v q (p V q) V r q V r P V (q V r)
v v v v v v v
v v F v v v v
v F v v v v v
v F F v v F v
F v v v v v v
F v F v v v v
F F v F v v v
F F F F F
í
F F
t
Observc-se que a bieondicional (p v q) V r *—
*
■p v (q v r) é tautológica.
Assim, p. ex., temos:
(i) (x # 1 V X > 2) V X < 4 <=> x * 1 V (x> 2 V X < 4 )
(ii) j a ^ b V b < c) v c < d ■
■
*
*
=
>a ^ b v (b < c v c < d)
(d) Identidade: p V t <=M e p v c <=> p
Dem. — Com efeito, são idênticas as tabclas-verdade das proposições p V t e
t, p V c e c, ou seja, as bícondicionais p V t*~> t e p V c«—
>p são tauto­
lógicas:
P t c p v t p V c p v t- M t p V c p
v v F v v v v
F
í
v
t
F v
t
F
í
v v
Estas propriedades exprimem que t e c são respectivamente elemento absor­
vente e elemento neutro da disjunção.
Assim, p. ex., temos:
(i) x * 1 V 1x | > 0 | x J> 0
(ii) x * 1 V | x | < 0 «=#■x ¥= 1
(iií) x * 0 V x2 < 0 <
=
*
»
■x # 0
IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 71
3. PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer.
(a) Distributivas:
(i) p a (q v r) *=> (p A q) V (p a r)
0 0 P V (q A r) <==> (p V q) A (p V r)
Dem. —
(i) Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições
p A (q v r) e (p A q) V (p a r):
p q r q V r P A (q V r) P A q p A r (p A q) v (p A r)
v v v v v v v v
v v F v v v F v
v F v v v F v v
v F F F F F F F
F v v v F F F F
F v F v F F F F
F F v v F F F F
F F F F F
í
F F F
í
Obs-erve-sc quo a bieondicional p A (q V r) ^►{p a q) v (p a r) é tautológica,
(ii) Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p v (q A r)
e (p v q) a (p V r):
P q r q A r P V (q A r) P v q p V r (p V q) A (p v r)
v v v v v v v v
v v F F v v v v
v F v F v v v v
v F F F v v v v
F v v v v v v v
F v F F F v F F
F F v F F F v F
F F F F F
í
F F F
í
Observe-se que a bicondicional p V (q a r) (p V q) A (p V r) c tautológica.
A equivalência (i) exprime que a conjunção é distributiva em relação à
disjunção e a equivalência (ii) exprime que a disjunção é distributiva em
relação à conjunção.
Assim, p, ex., segundo (i), a proposição:
“Carlos estuda e Jorge ouve música ou lê4'
é equivalente à seguinte proposição:
“Carlos estuda e Jorge ouve música” ou “Carlos estuda e Jorge Jê”
Segundo (ii), a proposição;
“Chove ou faz vento e frio”
é equivalente à seguinte proposição:
“Chove ou faz vento” e “Chove ou faz frio"
(b) Absorção:
(i) p A (p V q) *=* P
(ii) p V Í p A ^ ^ P
Dem. - (i) Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições
p A (p v l) c P» ou scÍa’ a bicondicional p a (p v q) *-* p é tautológica;
72 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
p q
. p V q p A (P V q) p A (p V q) <
*
—
►
p
v v v v v
v F v v v
F v v F v
F
r
F F F
í
v
(ii) Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p V (p A q)
e p, ou seja, a bicondicional p v (p A q) 4—
» p é tautológica;
P q p a q p V (p A q) p V (p A q) *-*■ p
v v v v v
v F F v v
F v F F v
F
í
F F F v
IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A
73
(c) Regras de DE MORGAN (1806-1871):
(0 "(p Aq)^=>~pv'vq
(ii) ~ (p v q) - p A ~ q
Dem. (i) Com efeito, são idénticas as tabelas-verdade das proposições
~(p A q) c - p v ~ q:
p q P a q H P A q) ~ p - q -p v -q
v v v F F F F
v F F v F v v
F v F v v F v
F F F v v v v
í t
Observe-se que a bicondicional ~ (p A q) ■
*
—►
~ p v ~ q é tautológica.
(ii) Analogamente, são idénticas as tabelas-vcrdadc das proposições -(p V q)
e -v-p a ~q:
p q p v q ~(P V q) ~ p ~ q - p A ~ q
v v v F F F F
v F v F F v F
F v v F v F F
F F F v v v v
t r
Observe-sc que a bícondícional -( p V q ) ^ - p A - q c tautológica.
As Regras dc DE MORGAN ensinam:
(i) Negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale
a afirmar que uma pelo menos é falsa.
(ii) Negar que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivale a
afirmar que ambas são falsas.
Estas Regras de DE MORGAN podem exprimir-se ainda dizendo que a negação
transforma a conjunção em disjunção e a disjunção em conjunção.
Assim, p. ex,, segundo (i), a negação da proposição:
“K inteligente e estuda”
é a proposição:
"Nao é inteligente ou não estuda”
Segundo (ii), a negação da proposição:
“E médico ou professor’*
é a proposição:
‘"Não &médico e não é professor”
NOTA As Regras de DE MORGAN mostram como é possível definir a
disjunção a partir da conjunção e da negação, ou a conjunção a partir da
disjunção e da negação:
p vq «= > ~ (~ p A ~q)
p A ~ ( ~ p v ~ q )
4. NEGAÇÃO DA CONDICIONAL
Como p -> q <==* - p V q {Cap. 6, §3, Ex. 4), temos:
~ (p q) ^ ~ (~ P v q) H ^ p A ~ q
ou seja:
~(p-> q) <
=
=
>
' p A - q
Esla cquivalência também é demonstrada pelas tabclas-vcrdadc das proposições
~(p e p a ~q, que são idênticas:
74 E D G A R D DE A L E N C A R Fl LH O
p q p->q ~(p -*
■q) ~ q P A ~ q
v v v F F F
v F F v v v
F v v F F F
F F v F v F
t t
NOTA — A condicional p -*
■q não goza das propriedades idempotente,
comutativa e associativa, pois, as tabelas-verdade das proposições p -> p e p , p -^ q e
q ->
■p, (p ->• q) r e p (q -> r) não são idênticas.
5. NEGAÇÃO DA B1CONDICIONAL
Como p <
--* q c (p q) A (q ■
-
>p) (Cap. 6, §3, Ex. 5), temos:
P«-»■q <=»(~P V q) A (~ q Vp)
IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 75
e, portanto:
M.p q) ^ v q ) v ~(~qiv p )
~(P +-+ q) ■
«=
>(~ ~ p A ~ q) V (---- q A - p )
ou seja:
~(p 9) ^ ( P A ~q) v (*“P A q)
Esta equivalência também c demonstrada pelas tabelas-verdade das proposições
-( p q) c (p A ~ q ) V (~- p A q), que são idênticas:
(P q) (P A q) V (~P A q)
f v v v v F F F F F v
v v F F v v v v F F F
v F F v F F F v v v v
F
t
F v F F F v F
t
v F F
As tabelas-verdade das proposições M p «—
*
■q), p *—*
■~ q e ~ p ^ q sãoidênticas:
P 9 P * * 9 ~(p+-*q) ~q p — - q ~p ~p*-> q
v v v F F F F F
v F F v v v F v
F v F v F v v v
F F v F
t
v F
t
v F
t
PortantO, subsistem as equivalências:
~(p +-* q) <=* p *-* ~q «=*~p «-* q
NOTA A bicondicional p <
—
* q não goza da propriedade idempotente, pois, é
imediato que uâo são idênticas as tabelas-verdade das proposições p <
■ * p c p, mus
goza das propriedades comutativa e associativa.
EXERCÍCIOS
1. Demonstrar as propriedades comutativa e associativa da bicondicional, isto c:
(a) p <
—
>
•q <
=
$
■q •
*
—
*
■p (b) (p ^ -» q )^ + r< -* » p * -> (q ^ f)
76 EDGARD DE ALENCAR FILHO
2. Demonstrar por tabelas-verdade as equivalencias:
(a) p ->q A r <=►(p q) A(p ->r) (b) p -+ q v r «=> (p -> q) v (p -» )
Dem. —(a) Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p ->qA r
e (p q) a (p - r ) :
P q A r (P q) A (p -> r)
v V v v v v v v v v v v
• v F v F F v v v F v F F
v F F F v v F F F v v v
v F F F F v F F F v F F
F v v v v F v v v F v v
F v v F F F v v v F v F
F v F F v F v F v F v v
F v F F F F v F v Fl v F
t t
(b) Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p -+ q V r e
(P ■
+ q) v (p -> r):
p q V r (P 4) V (P -*
■ , r)
v v v v v v v v v v v v
v v v v F v v v v v F F
v v F v v v F F v v v v
v F F F F v F F F v F F
F v v v v F v v v F v v
F v v v F F v v v F v F
F v F v v F v F v F v v
F v F F F F v F v F v F
t t
A equivalência (a) exprime que a condicional é distributiva à esquerda em
relação à conjunção e a equivalência (b) exprime que a condicional é distributiva
à esquerda em relação à disjunção.
A condicional não 6 distributiva à direita em relação i nenhuma dessas duas
operações (conjunção e disjunção).
3. Dar a negação em linguagem corrente da proposição: ‘ Rosas são vermelhas e
violetas são a7.uis”.
I N I C I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 77
Resolução Denotando por p a proposição “Rosas são vermelhas” c por q a
proposição “ Violetas são azuis”, a proposição dada sob forma simbólica
cscreve-se “p a q”, cuja negação é (P A O) <í=3‘~ P v ■ Lo§°’ a
negação da proposição dada cm linguagem corrente 6:
“ Rosas não são vermelhas ou violetas não são azuis”
4. Dar a negação em linguagem corrente de cada uma das seguintes proposições:
(a) É falso que não está frio ou que está chovendo.
(b) Não é verdade que o pai de Marcos c pernambucano ou que a mãe é gaúcha.
(c) Não é verdade que as vendas estão diminuindo e que os preços estão au­
mentando.
(d) Não é verdade que Jorge estuda Física, mas não Química.
5. Demonstrar as seguintes Regras de DE MORGAN para três componentes:
(a) ~ (p A q A r) ~ p v ~ q V ~ r
(b) M p V q V r ) « ~ p A - q A - r
6. Demonstrar por “ Indução matemática” as seguintes “Propriedades distributivas
generalizadas” :
(a) p A ( q i V qj V . . . V qnJ <
=
*•(p A q i) V (p A q2) V . . . V (p A qn)
(b) p V (qi A q2 A ••• Aqn) «=
*■(p V q i) A (p v q2>A . •• A (p v qn)
Capítulo O
Método Dedutivo
1. Todas as implicações c equivalèncias foram demonstradas ate aqui pelo
“Método das tabelas-verdade”. Vamos agora exemplificar a demonstração de
implicações e equivalencias por um método mais eficiente, denominado Método de­
dutivo”.
No emprego do “Método dedutivo” desempenham papel importante as equiva­
lencias relativas à “Álgebra das Proposições”, que, observamos, subsistem quando
as proposições simples p, q, r, t (verdadeira) e c (falsa), que nelas figuram,são
substituídas respectivamente por proposições com postas P, Q, R, I (tautología) c
C (contradição).
2. EXEMPLIFICAÇÃO
(1) Demonstrar as implicações:
(i) c =
>
■p (ii) p =* t
onde p é urna proposição qualquer c c e t sao proposições cujos valores
lógicos respectivos são F(falsidade) c V(verdadc).
Dem. - Temos, sucessivamente:
(i) c p *=>~ c V p <
=
=
>t v p <=* t
(ii) p -* i ~ p ^ t ^ t
Observc-se quo as tabelas-verdade de c p c p + t mostram que estas
condicionais são tautológicas:
p c t c -> p p-M
v F v v v
F
F
v v v
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  • 1. Edgerd de Alencat Fiiho Nobel
  • 2. ■D 1975 Edgard de Alencar Filho Direitos desta edição reservadas á AMPUB Comercial Ltda. (Nobel é um selo editorial da AMPUB Comercial Ltda.) Rua Pet!roso Alvarenga 1046 9o-andar 04531 0 0 4 - São Paulo. SP Fone: (II) 3706-1466 - Fax: (11) 3706-1462 wwvv.cditoranobel.com.br L-maiI: ednobel@editoranobel.com.br Impressão: Paym Gráfica c Editora l.tda. Reimpressão: 2003 Dados Internacionais dc Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro. SP. Brasil) Alcncar Filho, Edgard de, 1913 A.355Í Iniciação à lógica malemática/ Odgard de Alencar Filho. - São Paulo : Nobel. 2002. Bibliografia ISBN 85-213-0403-X 1. Lógica simbólica e matemática f. Título. 86-0802 CDD-511.3 Índice para catálogo sistemático: 1. Lógica matemática 511.3 É PROIBIDA A RLPRODUÇÀO Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida, copiada, transcrita ou mesmo transmitida por meios eletrônicos ou gravações, sem a permissão, por escrito, do editor. Os infratores serão punidos péla Lei n° 9.610/98. Impresso no BrasiliPrmted in Brazil
  • 3. Indice Capítulo 1 PROPOSIÇÕES. CONECTIVOS 1. Conceito dc proposição . .............................................................. I j 2. Valores lógicos cias proposições.......................................................................... p 3. Proposições simples e proposições com postas................................................... p 4. Conectivos ............................................................................................................. jg 5. Tabela-verdade........................................................................................................ j j 6. N o tação .................................................................................................................. j^ Exercícios ................................................ ............................................................ Capítulo 2 o p e r a ç õ e s l ó g ic a s s o b r e p r o p o s iç õ e s 2. N egação................................................................................................................... p 3. Conjunção ............................................................................................................. Ig 4. Disjunção .............................................................................................................. 20 5. Disjunção exclusiva ................................................................................ 21 6. Condicional............................................................................................................. 7. Bicondicional ..................................................................., .................................. 23 Exercícios ................ ............................................................................................ 27 Capítulo 3 CONSTRUÇÃO DE TABELAS-VERDADE 1. 1 abela-verdadc de uma proposição com posta................................................... 29 2. Número de linhas de uma tabela-verdade........................................................... 29
  • 4. 3. Construção da tabela-vcrdadc de uma proposição composta 4. Exemplificação ......................................................' ................... 5. Valor lógico de uma proposição com posta............................. 6. Uso de parêntesis ...................................................................... 7. Outros símbolos para os conectivos..................................... Exercícios ................................................................................. Capítulo 4 TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇOES E CONTINGÊNCIAS 1. Tautologia ................................................................................... ’ 2. Princípio de substituição para as tautologías ........................ 3. Contradição................................................................................... 4. Contingência .............................................................................. Exercícios ........................................................................... • • • Capítulo 5 IMPLICAÇÃO LÓGICA 1. D e fin iç ã o de im p lic a ç ã o ló g ic a ............................................................. 2. Propriedades da implicação lógica ........................................ 3. Exemplificação ........................................................................... 4. Tautologias c implicação lógica .............................................. Exercícios ................................................................................... Capítulo 6 EQUIVALÊNCIA LÓGICA 1. Definição de equivalência lógica............................................. 2. Propriedades da equivalência lógica........................................ 3. Exemplificação ........................................................................... 4. Tautologías e equivalência lógica.............................................. 5. Proposições associadas a uma condicional........................ .. • 6. Negação conjunta de duas proposições................................... 7. Negação disjunta de duas proposições................................... Exercícios ................- .............................*................................ Capítulo 7 ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES 1. Propriedades da conjunção........................................................ 2. Propriedades da disjunção........................................................ 30 30 36 38 39 39 43 45 46 47 48 49 49 50 53 55 55 56 57 59 62 63 63 67 69
  • 5. 3. Propriedades da conjunção e da disjunção.................................................... 71 4. Negação da condicional........................................................................................ 74 5. Negação da bicondicional ................................................................................ 74 Exercícios ................ , , ......................................... - .......................................... 75 Capítulo 8 MÉTODO DEDUTIVO 2. Exemplificação................................................................ . ..................................... 78 3. Redução do número de conectivos................................................................... 81 4. Forma, normal das proposições ....................................................................... 82 5. Forma normal conjuntiva . . .............................................................................. 82 6. Forma normal disjuntiva .................................................................................. 84 7. Princípio de dualidade ................................................................................... • 85 Exercícios ................................................ - .............* .......................................... '85 Capítulo 9 ARGUMENTOS. REGRAS DE INFERÊNCIA 1. Definição de argumento. . . , .............................................................................. 8/ 2. Validade de um argumento................................................................................... 87 3. Critério de validade de um argum ento.............................................................. 8X 4. Condicional associada a um argum ento..................................................... .. . 89 5. Argumentos válidos fundam entais..................................................................... 90 6. Regras de infcrcncia ..................................................................................................... 91 7. Exemplos do uso das regras de inferência........................................................ 92 Exercícios ........................................................ . ................................................ 96 Capítulo 10 VALIDADE MEDIANTE TABELAS-VERDADE 2. Exemplificação ............................. ................... 3. Prova de não-validade........................................ Exercícios .......................................................... Capítulo 11 VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA 2. Exemplificação. ........................................ ............................................................ Exercícios .........................................................................................................- - 118
  • 6. Capítulo 12 VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA E EQUIVALENCIAS 1. Regra de substituição................................................................................ 2. Equivalencias notáveis ........................................................... .................... 3. Exemplificação .................................................................................................. 4. Inconsistência........................................................................................ .. Exercícios ...................- .......................................................................... Capítulo 13 • DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL E DEMONSTRAÇÃO INDIRETA 1. Demonstração condicional...........................................* .................. * • • 2. Exemplificação ........................................................................................... 3. Demonstração indireta ........................................................................... 4. Exemplificação ........................................................................................... Exercícios .................................................................................................* Capítulo 14 SENTENÇAS ABERTAS 1. Sentenças abertas com uma variável........................................... 2. Conjunto-verdade de uma sentença aberta com uma variável . 3. Sentenças abertas com duas vanáveis ...................................... 4. Conjunto-verdade de uma sentença aberta com duas variáveis 5. Sentenças abertas com n variáveis............................................. 6. Conjunto-verdade de uma sentença aberta com n variáveis. . Exercícios ...................................................................- ............. Capítulo 15 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE SENTENÇAS ABERTAS 2. Conjunção ........................................ *.................. 3. Disjunção ............. ............................................................... 4. Negação ................................................................................... 5. Condicional............................................................................. 6. Bicondicional ......................................................................* 7. Álgebra das sentenças abertas.............................................. Exercícios ......................................................... * ................. 129 129 131 138 141 145 146 149 150 153 156 156 158 159 160 161 162 164 166 168 169 170 171 172
  • 7. Capítulo 16 QUANTIFICADORES 1. Quantificador universal......................................* ........................................- . . 175 2. Quantificador existencial .......................................................................... .. ■- 178 3. Variável aparente e variável livre......................................................................... 180 4. Quanti ficador de existência e unicidade ................................................ .. 180 5. Negação de proposições com quantificadoT ................................................... 181 6. Contra-exemplo ................................ .................................................................. 183 Exercícios ............................................................................................................. 183 Capítulo 17 QUANTIFICAÇÃO DE SENTENÇAS ABERTAS COM MAIS DE UMA VARIÁVEL 1. Quantificação parcial.............................................................................................. 187 2. Quantificação m ú ltip la ......................................................................................... 187 3. Comutatividadc dos quantificadores................................................................ .. 189 4. Negação de proposições com quanti ficadores................... . . . ...............................190 Exercícios .......................................................................................* .................. 190 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS ......................................................................... 193 BIBLIOGRAFIA......................................................................................................... 203
  • 8. Capítulo 1 Proposições. Conectivos 1. CONCEITO DE PROPOSIÇÃO Definição - Cbama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. As proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes. Assim, p. ex., são proposições: (a) A Lua é um satélite da Terra (b) Recife é a capital de Pernambuco (c) n > í 5 (d) sen = 1 A Lógica Matemática adota como regras fundamentais do pensamento os dois seguintes princípios (ou axiomas): (I) PRINCIPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (II) PRINCIPIO DO TERCEI RO EXCLUÍDO: Toda a proposição ou é verda­ deira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. Por virtude deste princípio diz-se que a Lógica Matematica é uma Lógica bivalente. Por exemplo, as proposições (a), (b), fc) e (d) são todas verdadeiras, mas são falsas as cinco seguintes proposições: (a) VASCO DA GAMA dcscobriu o Brasil (b) DANTE escreveu os Lusíadas
  • 9. (c) -j é um numero inteiro (d) O númeTo n é racional (e) t g | =2 Assim, as proposições são expressões a respeito das quais tem sentido dizer que são verdadeiras ou falsas. . 2. VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES Definição Cliatna-se valsr lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade sc a proposição c falsa. Os valores lógicos verdade e falsidade dc uma proposição designam-se abrevia­ damente pelas letras V e F, respectivamente. Assim, o que os princípios da não contradição e do terceiro excluído alirmam c que: Toda a proposição tem um, e um só, dos valores V, F. Consideremos, p. ex., as proposições; (aj O mercúrio é mais pesado que a água (b) O Sol gira cm torno da Terra 0 valor lógico da proposição (a) é a verdade( V) e o valor lógico da proposição (b) ê a falsidade! F). 3. PROPOSIÇÕES SIMPLES E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS As proposições podem ser classificadas em simples ou atómicas e compostas ou moleculares. Definição l Chama-se proposição simples ou proposição atómica aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante dc si mesma. As proposições simples são geralmente designadas pelas letras latinas minúsculas p, q, i , s , .. . , chamadas letras proposici onais. Assim, p. ex., são proposições simples as seguintes: p : Carlos 6 careca q : Pedro é estudante r : O número 25 é quadrado perfeito Definição 2 Chama-se proposição composta ou proposição molecular aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. As proposições compostas sao habitualmente designadas pelas letras latinas maiúsculas P. O. R, S, . . . , também chamadas letras proposicionais. 12 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
  • 10. I N IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 13 Assim, p. ex.f são proposições compostas as seguintes: P : Carlos é careca e Pedro é estudante Q : Carlos é careca ou Pedro é estudante R : Se Carlos é careca, então e infeliz visto que cada uma delas é formada por duas proposições simples. As proposições compostas também costumam ser chamadas fórmulas propo- sicionais ou apenas fórmulas. Quando interessa destacar ou explicitar que uma proposição composta P é formada pela combinação das proposições simples p, q, r , . . ., escreve-se: P(p, q, i ■• •}■ As proposições simples e as proposições compostas tambcm são chamadas respectivamente átomos c moléculas. Observaremos ainda que as proposições componentes de uma proposição composta podem ser, elas mesmas, proposições compostas. 4 CONECTIVOS Definição — Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras. Assim, p. ex., nas seguintes proposições compostas: P : 0 número 6 c par e o número 8 é cubo perfeito Q : O triângulo ABC é retângulo ou é isósccles R : Não está chovendo S : Se Jorge é engenheiro, então sabe Matemática T : O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiãngulo são conectivos usuais em Lógica Matemática as palavras que estão grifadas, isto c: “e”, “ou”, “não”, “se . . . então . . . ” “ . . . se e somente se . . . ” S. TABELA-VERDADE Segundo o Princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p c verdadei­ ra ou é falsa, isto c, tem o valor lógico V(verdade) ou o valor lógico F(falsidade). Em se tratando de uma proposição composta, a determinação do seu valor lógico, conhecidos os valores lógicos das proposições simples componentes, se faz com base no seguinte princípio:
  • 11. O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente deter­ minado. Admitido este princípio, para aplicá-lo na ptática à determinação do valor lógico de uma proposição composta dada, recoirc-se quasi sempre a um dispositivo denominado tabela-verdade, na qual figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta correspondentes a todas as possíveis atribuições dc valores lógicos às proposições simples componentes. Assim, p. ex., tio caso dc urna proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são: , v 14 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O P q l v v 2 v F 3 F v 4 F F Observe-sc que os valores lógicos V e F sc alternam dc dois em dois para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso. W , VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F. No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p, q e r, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são: V P q r 1 v v v 2 v v F 3 v F v 4 v F F 5 F v v 6 F v F 7 F F v 8 F F F
  • 12. I N IC IA Ç A O A L Ú G IC A M A T E M Á T IC A 15 Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatru em quatro para aprimeira proposição p, de dois em dois para a segundaproposição q e de um emuni para a terceira proposição r. e que, alem disso,V W , W F ,VFV. VFF, F W , FVF, FFV c FFF são os arranjos ternários com repetição dos dois ele­ mentos V e F. 6. NOTAÇÃO 0 valor lógico de uma proposição simples p indica-$e porV(p). Assim,expri­ me-se que p é verdadeira! V), escrevendo: V(p) - V. Analogamente, exprime-se que p é falsa(F), escrevendo: V(p) - F. Sejam, p. ex., as proposições simples: p : O Sol é verde q : Um hexágono tem 9 diagonais r ; 2 c raiz. da equação x2 + 3x - 4 = ü Temos: V(p) = F, V(q) - V, V(r) = F Do mesmo modo, o valor lógico de uma proposição composta Findica-sc por V(P). EXERCÍCIOS 1. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: ( a ) O número 17 c primo. ^ b ) Fortaleza é a capital do Maranhão. ( c ) TIRADENTES morreu afogado. ( d ) (3 + 5f = 32 + 52 ( e ) O valor archimediano de ir é ~ - ( { ) - K - 7 ( g ) 0,131313. . . é uma dízima periódica simples. ( h ) As diagonais de um paralelogramo são iguais. ( i ) Todo polígono regular convexo é inscritível. ( j ) O hexaedro regular tem 8 arestas.
  • 13. 16 E D G A R D DE A L E M C A R F IL H O ( k. ) A expressão n2 - n + 4 1 (n t N) só produz números primos. I 1 ) Todo número divisível por 5 termina por 5. (m) 0 produto de dois números ímpares é um número ímpar. ( n ) sen230° + s e n 2 b0c - 2. ^o J 1 + 3 + 5 + . . . + o - 1f = n2. i, p j As raízes da equação x3 - 1 0 são todas reais. ( q J O número 125 é c u b o porfcito. ( r) 0,4 e -4 são as raízes da equação x3 I6x = 0. ( s) O cubo é um poliedro regular. ( t j sen( ~ + x) = sen( f - x). U ) 5 < * f •
  • 14. Capítulo 2 Operações Lógicas sobre Proposições 1. Quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas operações sobre proposições, chamadas operações lógicas. Estas obedecem a regras de um cálculo, denominado cálculo proposicional, semelhante ao da aritmética sobre números. Bstudarcmos a seguir as operações lógicas fundamentais. 2. NEGAÇÃO O ) ,',T Definição Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por “não p”, cujo valor lógico é a verdade(V) quando p é falsa c a falsidade(F) quando p é verdadeira. Assim, "não p ” tem o valor lógico oposto daquele de p. Simbolicamente, a negação de p indica-se com a notação “ " p ”, que se lé: “não p”. O valor lógico da negação de uma proposição é, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade muito simples: ou seja, pelas igualdades: V - F, ~ F = V e V( - p) = - V(p)
  • 15. Hxemplos: ( 1) p : 2 + 3 = 5 (V) c p ; 2 + 3 £ 5 (F) V( ~ p) = ~ V(p) '= ~ V = F (2) q : 7 < 3 (F) e. ~ q ; 7 < 3 (V) V( - q .) > - V(q) = ~ F = V (3) r: Roma é acapital da França (F) t ~ r :Roma não é a capital da França (V) V( - r) - - V(r) = ~ F - V Na linguagem comum a negação efetua-sc, nos casos mais simples, antepondo o advérbio “não” ao verbo da proposição dada. Assim, p. ex., a negação da proposição: p : O Soi é uma estrela é ~ p : O Sol não é uma estrela Outra maneira de efetuar a negação consiste cm antepor à proposição dada expressões tais como “não é verdade que”, “é falso que”. Assim, p. ex., a negação da proposição: q : Carlos ó mecânico é (j : Não é verdade que Carlos c mecânico ou ~ q : É falso que Carlos c mecânico Observe-se, entretanto, que a negação dc “Todos os homens são elegantes” é “Nem todos os homens são elegantes” e a de “Nenhum homem c elegante" é “Algum homem é elegante”. 18 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O 3. CONJUNÇÃO ( A > I - : Definição Cbama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p e q ' cujo valor lógico é a verdade(V) quando as proposições p e q são ambas verdadeiras e a falsidade(F) nos demais casos. Simbolicamente, a conjunção de duas proposições p e q indica-se com a notação: “p a q”, que se lê: “p e q”.
  • 16. O valor lógico da conjunção de duas proposições c, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade; IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 19 p q p A q V v v V F F F V F F F F ou seja, pelas igualdades: V A V = V, V A F = F, F A V = F, F A F - F e V(p Aq} = V(p) A V(q) Fxemplos: (1) ( p : A neve é branca (V) <|q : 2 < 5 (V) p A q : A neve é branca e 2 < 5 (V) V(p A q) ■ =V(pJ A V(q) = V A V = V (2) í p : O enxofre é verde (F) ^ q : 7 é um número primo (V) p A q : O enxofre é verde e 7 é um número primo (F) V(p A q) - V(p) A V(q) = F A V = F (3) ( p : CANTOR nasceu na Rússia (V) | q : FERMAT era médico (F) p A q : CANTOR nasceu na Rússia c FERMATera médico (F) V(p A q) - V(p) A V(qj = VA F = F (4) í p : tr > 4 (F) q : sen j = O (F) p A q : rc > 4 e sen ^ =0 (F) V(p A q) = V(p) A V(q) = F A F = F
  • 17. 4. DISJUNÇÃO ( V ) e g Definição Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade(V) quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira e a falsidade(F) quando as proposições p e q são ambas falsas. Simbolicamente, a disjunção de duas proposições p e q indica-se com a notação: “p V q”, que se lê: “p ou q”. O valor lógico da disjunção de duas proposições 6, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade: 2 0 E D G A R D OE A L E N C A R F IL H O p q p V q V V V V F V F V V F F F ou seja, pelas igualdades: V V V = V, V V F - v, F V v = V, F V F = F V(p V q) = Vip) V V(q) Hxemplos: (1) íp : Paris é a capital da França (V) q : 9 - 4 = 5 (V) p V < i : Paris é a capital da França ou 9 - 4- 5 (VJ V (p V q) - V (p ) V V (q) = V V V ~ V (2) i p : CAMÕES escreveu os Lusíadas (V) n : n = 3 (F) p V q : CAMÕES escreveu os Lusíadas ou n = 3 (V) V(p V q) = V(p) V V(qJ = V V F = V (3) í p : Roma é a capital da Rússia (F) ( q : 5/7 é uma fração própria (V) p V q : Roma é a capital da Rússia ou 5/7 c uma fração própria (V) V(p Vq) = V(p) V V(q) - F V V - V
  • 18. I N IC I A Ç Ã O À LÓ G IC A M A T E M Á T IC A 21 (4) i p : CARLOS GOMES nasccu na Bahia (F) q : V ^ = l (F)________________________ p V q :CARLOS GOMES nasceu na Bahia ou / - T ; l (F) V(p V q) - V(p) V V(q) = F V F = F 5. DISJUNÇÃO EXCLUSIVA ( V ) Na linguagem comum a palavra "ou” tem dois sentidos. Assim, p. ex., conside­ remos as duas seguintes proposições compostas: P : Carlos é médico ou professor O : Mario c alagoano ou gaúcho Na proposição P sc está a indicar que uma pelo menos das proposições “Carlos é médico”, “Carlos é professor” é verdadeira, podendo ser ambas verdadeiras: “Carlos c médico e professor”. Mas, na proposição Q,seestá aprecisar que uma c somente uma das proposições “Mario é alagoano”, “Marioégaúchoé verdadeira, pois, não c possível ocorrer “Mario é alagoano c gaúcho”. Na proposição P di/.-sc que “ou” é inclusivo, enquanto que, na proposição Q, diz-se que “ou” é exclusivo, Fin Lógica Matemática usa-se habitualmente o símbolo ” V ” para “ou' inclusivo e o símbolo “ V ” para “ou” exclusivo. Assim sendo, a proposição P c a disjunção inclusiva ou apenas disjunção das proposições simples “Carlos c médico”, “Carlos é proíessor”, isto c: P ; Carlos é médico V Carlos c professor ao passo que a proposição O c a disjunção exclusiva das proposições simples “Mario é alagoano”, “Mário c gaúcho”, isto c; O' : Mario é alagoano V Mario c gaúcho De um modo geral, chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada simbolicamente por “p V q”, que se le: “ou p ou q ’ ou “p ou q, mas não ambos”, cujo valor lógico c a verdade(V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p c q são ambas verdadeiras, c a falsidade(F) quando p c q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Logo, o valor lógico da disjunção exclusiva de duas proposições c definido peia seguinte tabela-verdade: p q p v q v V F V F v F v v F F F
  • 19. ou seja, pelas igualdades: v v v = F , v v f = v, F y v = v , f v f = f e V(p v q) = V(p) v V(q) NOTA A língua latina tem duas palavras diferentes correspondentes aos dois sentidos distintos da palavra “ou” na linguagem comum. A palavra latina "vei" exprime a disjunção no seu sentido débil ou inclusivo, ao passo que a palas latina “aut” exprime a disjunção no seu sentido forte ou exclusivo. 6. CONDICIONAL ( -*•) Definição Charna-se proposição condicional ou apenas condicional uma proposição representada por “sc p então q”, cujo valor lógico é a falsidade'F ) no caso em que p é verdadeira c q é falsa c a verdade( V) nos demais casos. Simbolicamente, a condicional de duas proposições p e q indica-se com a notação: “p -» q”, que também se lê dc uma das seguintesmaneiras: (1) p é condição suficiente para q (ii) q é condição necessária para p Na condicional‘'p -^ q ”, diz-sc que p é o antecedente e q o consequente. O sím bolo L ‘ > ” c chamado símbolo de implicação. 0 valor lógico da condicional de duas proposições é. portanto, definido pela seguinte tabela-verdade: 2 2 E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O p q V v v V F F F V v F F v ou seja, pelas igualdades: V -v V - V, V -» F = P f ->v = v , f -» f = v C V(p -> qj = V(p) -» V(q) Portanto, uma condicional é verdadeira todas as vezes que o seu antecedente é uma proposição talsa.
  • 20. IN IC I A Ç Ã O Ã L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 23 Exemplos: (1) íp : GALOIS morreu em duelo (V) 1 q : 1 7 c um número real (V) { p -> q : Sc GALOIS morreu em duelo, então7r é um número real (V) V(p -»■ ’qj = V(p) -+ V(q) = V V = V (2) i p : O mes de Maio tem 31 dias (V) ( q : A Terra é plana (F) p -* ■q : Se o mcs de Maio tem 31 dias, então a Terra é plana (F) V(p -* ■q) = V(p) -> •V(q ) = V -»■F = F (3) i p : DANTE escreveu os Lusíadas (F) I q : CANTOR criou a Teoria dos Conjuntos (V) p q : Sc DANTE escreveu os Lusíadas, então CANTOR criou a Teoria dos Conjuntos (V) V(p -*• q) = V(p) -> V(q) = F V - V (4) j p : SANTOS DUMONT nasceu no Ceará (F) ) q : O ano tem 9 meses (F) p -> q : Se SANTOS DUMONT nasceu no Ceará, então o ano tem 9 meses (V) V(p -+ q) = V(pj -* V(q) = F -* ■F = V NOTA Uma condicional p -* ■q não afirma que o consequente q se deduz ou é conseqüência do antecedente p. Assim, p. ex., as condicionais: não estão a afirmar, de modo nenhum, que o lato de “Brasília ser lima cidadc se deduz do fato de “7 ser um número ímpar” ou que a proposição “SANTOS DUMONT nasceu no Ceará5' é conseqüência da proposição u3 + S = 9 ”. O que uma condicional afirma c unicamente uma relação entre os valores lógicos do anlcccdcn- te e do consequente de acordo com a tabela-verdade anterior. 7. BICONDICIONAL ( ) Definição — Chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional uma proposição representada por “p sc c somente se q”, cujo valor lógico c a verdade{ V) quando p ú q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, c a falsidade(F) nos demais casos. 7 é um número ímpar -* Brasília c uma cidade 3 + 5 = 9 - * SANTOS DUMONT nasceu no Ceará
  • 21. Simbolicamente, a bicondicional de duas proposições p e q indica-se com a notação: p < —> ■q, que também sc lê de uma das seguintes maneiras: (i) p é condição necessária c suficiente para q (ii) q é condição necessária e suficiente para p O valor lógico da bicondicional de duas proposições é, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade: 2 4 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O p q p <~* q v v v v F F F v F F F v ou seja, pelas igualdades: V < _ » V - V , V«— * F = F, F*~* V = F, F < - ^ F = V e V(p q) = V(p) V(q) Portanto, uma bicondicional c verdadeira somentequandotambém osão as duas condicionais: p -* q e q -» p. Exemplos (1) j p : Roma fica na Europa (V) ( q : A neve é branca (V) P q ; Roma fica na Europa se c somente se a neve é branca (V) V(p *-+ q) = V(p) V(q) = V +-+ V - V (2) í p : Lisboa é a capital de Portugal (V) l q : tg f = 3 (F) p q ; Eisboa é a capital de Portugal se e somente setg= 3 (F) V(p<-H> q) = V(p) <r-+V(q) = V <— * F = F (3) ( p : VASCO DA GAMA descobriu o Brasil (F) j q : TIRADENTES foi enforcado (V) P q ; VASCO DA GAMA descobriu o Brasil se e somente sc TIRADENTES foi enforcado (F) V(p < — v q) = V(p) V(q) = F V = F
  • 22. IN IC I A Ç Ã O Ã L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 25 (4) ( p ; A Terra é plana (F) q : V ^ c um número racional (F) pq : A Terra c plana se e somente se yJ~T é um número racional (V) V(p q) - V(p) V(q) = F >F = V EXERCÍCOS 1. Sejam as proposições p : Está frio e q : Está chovendo. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: (a) - p (b) p A q (c) p V q (d) q < —* -p (e) p ^ ~ q (f) p V ~ q (g) ** p A ~ q 00 p « -+ ~ q (i) p A ~ q -> p 2. Sejam as proposiçocs p : Jorge é rico c q : Carlos c feliz. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: (a) q -* ■p (b) p V ~ q (c) q ~ p (d) ~ p q (e) ~ ~ p (f) - p A q - p 3. Sejítm as proposições p : Cláudio lála inglês e q : Cláudio fala alemáo. Tradu/.ir para a linguagem corrente as seguintes proposições: (a) p V q (b) p A q (c) p A ~ q (d) - p A - q (c) ~ ~ p (f) ~ ( - p A -q) 4. Sejam as proposições p : João é gaúcho e q : Jaime c paulista. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: (a) H P A - q ) (b) — p (c) ~ ( - p V - q ) (d) p - * - q (e) ~ p ► ~ q (f) ~(~q->-pJ 5. Sejam as proposições p : Marcos é alto e q : Marcos é elegante. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: (aj Marcos é alto e elegante (b) Marcos é alto, mas não é elegante (c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante (d) Marcos não c nem alto e nem elegante (e) Marcos é alto ou c baixo e elegante (f) É falso que Marcos c baixo ou quo não é elegante
  • 23. 6. Sejam as proposições p : Suely c rica c q : Suely é feliz. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: (a) Suely é pobre, mas feliz (b) Suely é rica ou infeliz (c) Suely é pobre e infeliz (d) Suely é pobre ou rica, mas é inleliz 7. Sejam as proposições p : Carlos (ala francês, q : Carlos fala inglês e r : Carlos fala alemão. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: (a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão (b) Carlos fala francês e inglês, ou não falafrancês e alemão (c) É falso que Carlos fala francês mas que nãofalaalemão (d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não fala francês 8. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas: (a) x = 0 oi.i x > 0 <b) x ^ O e y=£0 (c) x > 1 t>u x + y = 0 (d ) x2 =x . x e x° = 1 9. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas: (a) (x + y = 0 e z > 0) ou /. = 0 (b) x - 0 e (y + 7 > x ou 7 = 0) (c) x ^ 0 ou (x = ü e y < 0) (d) (x = y e *=t.) ou (X < y c r. - 0) 10. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas: (a) Se x > 0 então y - 2 íb) Se x + y = 2 então z > 0 (c) Se x = 1 ou z = 2 então y > J (d) Se z > 5 então x # I ex ¥= 2 (c) Se x y então x +z > 5 ey + z < 5 {f) Se x + y > z e /. = 1 então x + y > 1 (g) Se x < 2 então x = I ou x - 0 (h) y - 4 esc x < y então x < 5 11. Simbolizar as seguintes proposições matemáticas: (a) x ê maior que 5 e menor que 7 ou x não é igual a 6 (b) Se x é menor que 5 e maior que 3, então x c igual a 4 (c) x é maior que 1 ou x é menor que 1 e maioi que 0 26 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
  • 24. IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 12. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) 3 + 2 = 7 e 5 + 5 = 10 (b) 2 + 7 = 9 e 4 + 8 = 1 2 (c) sen n = 0 e cos n = 0 (d) 1 > 0 A 2 + 2 = 4 (e) 0 > 1 A y /T é irracional (f) ( Í ~ T )2 - -1 A it é racionai (g) f T < 1 A fs " é racional 13. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) Roma é a capital da França ou tg45' = I (b) FLEMING descobriu a penicilina ou sen30° = ^ (c) V ? < o ou Londres é a capital da Itália (d) 2 > > /T ou Recife é a capital do Ceará (e) > 1 V rr nao é um número real (0 2 = 2 V sen90° ± tg45° (g) 52 = 10 V 7r é racional (h) 3 * 3 V 5 * 5 (i) f -4 ' = 2 f~ -T V 13 é um número primo ò ) -5 < - 7 V | - i i = -2 (k) | -5 | < 0 V tg | < 1 14. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) Se 3 + 2 - 6 entao 4 + 4 = 9 (bj Se 0 < 1 então / T é irracional (c) Se V 3 > 1 então -1 < -2 (d) Se j — 1 1 = 0 então sen30° = ^ (e) LgóO0 =y / J -» 2 = 2 (f) y / j > V T -> 2° - 2 (g) - -1 -* V 2 T = 5 (h) 7 J > 4 — » ■ 3 > y f T 15. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) 3 + 4 = 7 sc c somente se 53 = 125 (b) 02 =1 sc c somente se (1 + 5)° = 3 (c) = 4 sc e somente se J~T - 0 (d) tg7r = 1 scc somente sc senir = 0 (e) -1 > -2 «-> rr2 < 2 0 (f) -2 > 0 «-► JT2 < 0 (g ) 3J + 4 2 = 5 2 ►rr é racional (h) 1 > sen ^ +-+ cos ^ < I ( i) seri20° > I cos20° > 2 (j) v ^ T = - ] < - > -2
  • 25. 16. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) Nâo é verdade que 12 é um número ímpar (b) Não é verdade que Belém é a capital do Pará (c) É falso que 2 + 3 = 5 e1 +1- 3 (d) E falso quo 3 + 3 = 6 ou / -1 = 0 (e) ~{J + 1 = 2 «— ►3 + 4 =5) (i ) '-(1 + 1 = 5 «— * ■ 3 + 3 =1) (g) 2 + 2= 4 ->-(3 + 3 = 7 ►1+ 1 -4 ) (h) -(2 + 2 * 4 e 3 + 5 - 8 ) 17. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) ~(senO° = 0 ou eosO° = 1) (b) ~ (2 3 =£8 ou 43 t é 4 3) (e) ~(tg45° = 2 se e somente se ctg45° = 3) (d) Brasília é a capital do Brasil, c 2o= 0ou 3o = I (e) ~ (32 =9 -> 3 -- 5 A O2 = 0) (O 34 = 81 ^ - ( 2 + I =3 /. 5 . 0 = 0) (g) 43 ¥■64 ~(3 + 3 = 7 « —» 1 + i - 2) 18. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente V c h determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) p A ~~q (b) p V - q (c) ~ p A q (d) ~ p A ~ q (e) ~ p v ~ q (f) p A ^ p V q) 19. Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo: (a) V(qJ = F e V(p A q ) - F (b) V(q) = F e V(p V q) = F (c) V(q) - F e V(p.-*q) = F (d) V(q) = F e V(q -> p) = V (e) V(q) = V e V ( p ^ 'q ) = F (f) V(q) = F e V(q p) = V 20. Determinar V(p) e V(q> cm cada um dos seguintes casos, sabendo: (a) V(p -> q) = V e V(p Aq) - F (b) V(p -> q) = V e V(p V q) = F (c) V( p <-> q) = V e V(p Aqj = V (d) V(p «— >q) = V e V(p V qj = V (e) V(p «— » ■q) = F e V(~p V qj = V 28 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
  • 26. Capitulo 3 Construção de Tabelas-Verdade 1. TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Dadas várias proposições simples p, q, r, .. . , podemos combiná-las pelos conectivos lógicos: — , A , V , -» , «— ► e construir proposições compostas, tais como: p(p>q) ~ ~p v (p -* •q) Q<p, q) = (p ~q) A q R(.p, q, r) - (p - —q V r) A ~ (q V fp »-r)) Então, com o emprego das tabelas-vcrdadc das operações lógicas lundamentais (Cap. 2): ~p, p A q , p V q, p -+q, p * * q é possível construir a tabela-verdadc correspondente a qualquer proposição compos­ ta dada,tabeía-verdade esta que mostrará exatamente os casos em que a proposição compostaserá verdadeira(V) ou falsa(F), admitindo-se, como é sabido, que o seu valor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples componentes. 2. NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA VERDADE O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta deponde _ número de proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema: A tabela-verdade de uma proposição composta eom n proposições simple» componentes contém 2n linhas.
  • 27. 30 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O Dem. Com efeito, toda proposição simples tem dois valores lógicos: V e F, que se excluem. Portanto, para uma proposição composta P(pi, p2, . . . , pn,) com n proposições simples componentes pi, p2 , . . . , Pn há tantas possibilidades deatri- buição dos valores lógicos V c F a tais componentes quantos são os arranjos com repetição n a n dos dois elementos V e F, isto é, A2jn = 2n, segundo ensina a Análise Combinatória. 3. CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Para a construção prática da tabcla-verdade dc unia proposição composta começa-se por contar o número dc proposições simples quo a integram. Sc há n proposições simples componentes: p ,, p¿,. . . , pn, então a tabcla-verdade contém 2n linhas. Posto isto, à 1? proposição simples p, atribuem-se 2n/2 ~ 2n ~ ‘ valoresV seguidos de 2n_1 valores F; à 2? proposição simples p2 atribuem-se 2n/4 = 2n - * valores V, seguidos de 2n - 2 valores F, seguidos dc 2n 2 valores V,seguidos, finalmente, dc 2n " 2 valores F; e assim poT diante. De modo genérico, a k-ésima proposição simples p|<(k<n) atribuem-se alternadamente 2n/2*c = 2n ^ valores V seguidos de igual número de valores F. No caso, p. ex., de uma proposição composta com cinco (5) proposições simples componentes, a tabela-veidade contém 25 " 32 linhas, e os grupos de valores V e F sc alternam de 16 em 16 para a Ia proposição simples p ,, de 8 em 8 para a 2? proposição simples p2, de 4 em 4 para a 3? proposição simples p ;1, de 2 cm 2 para a 4? proposição simples p4, c, enfim, de 1 em 1 para a 5? proposição simples ps. 4. EXEMPLIFICAÇÃO ( I ) Construir a tabela-vcrdade da proposição: P(p, q) = ~ (p A - q ) 1? Resolução — Forma-se, em primeiro lugar, o par de colunas correspondentes às duas proposições simples componentes p c q. Em seguida, forma-se a coluna para -q . Depois, forma-se a coluna para p a ~ q Afinal, forma-se a coluna relativa aos valores lógicos da proposição composta dada. p < 1 ~ q p A ~ q ~ (p A ~ q) v v F F v v F v v F F v F F v F F v F v
  • 28. IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 31 2? Resolução — Formam-se primeiro as colunas corrcspondentes às duas proposições simples p e q. Em seguida, à direita, traça-se uma coluna para cada Uma dessas proposições c para cada um dos conectivos que figuram na proposição composta dada. p q ~ (P A - q) V v v F F v F F Depois, numa certa ordein, completam-se essas colunas, escrevendo em cada uma delas os valores lógicos convenientes, no modo abaixo indicado: p q ~ (P A ~ < L > v v v v F F F v F F v v v F F v v F F F v F F v F F v F 4 1 3 o 1 Os valores lógicos da proposição composta dada encontram-se nacoluna completada em último lugar (coluna 4). Portanto, os valores lógicos da proposição composta dada correspondentes a todas as possíveis atribuições dos valores lógicos V e F às proposições simples componentes p c q (W , VF, FV e FF) são V, F, V e V, isto é, simbolicamente: P<W ) = V, P(VF) = F, P( FV) = V, P( FF) = V ou seja, abreviadamente: P (W . VF, FV, FF) = V F W Observe-se que a proposição P(p, q) associa a cada um dos elementos do conjunto U - { W , VF, FV, FF } um único elemento do conjunto {V, F} , isto é, P(p, q) outra coisa não é que uma função de U em {V, F} : P(p, q) : U -* {V, F }
  • 29. cuja representação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte: 32 E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O U 3? Resolução Resulta de suprimir na tabela-verdade anterior as duas primeiras colunas da esquerda iclativas. às proposições simples componentes p e q, o que dá a seguinte tabela-verdade simplificada para a proposição composta dada: (P A q) V v F F v F v v v F v F F F v v F F v F 4 1 3 2 1 (2) Construir a (abela-vcrdadc da proposição: P(p, q) = M p a q) V <-»■pj lí1Resolução: P q p A q q ^ P ~(P A q) ~ (q ^ p ) ~{p A q) V ~(q<— *-p) v v v v F F F v F F F v v v F v F F v v v I F F v v F v 2? Resolução: p q (P A q) V (q P) v v F v v v F F v v v v F v v F F. v v F F v F v v F F v v v v F F F F v F F F. v F F v F 3 1 2 1 4 3 1 2 1
  • 30. I N IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A Portanto, simbolicamente; P(VV) * F, P( VF) = V, P(FV) = V, P<FF) = V ou seja, abreviadamente: P (W , VI’, FV, FF) - FV W Obscrve-sc que P(p, q) outra coisa não 6 que uma função de li - ( W , VF, FV, FF) em (V, F} , cuja representação gráfica por um diagrama sagital 6 a seguinte: 3? Resolução. - (P A q) ,v (q < — > P) F v v v F F v v v V v F F v v F F v v F F V v v v F F v F F F v F F v F 3 1 2 1 4 3 1 2 1 (3) Construir a tabela-verdade da proposição: P(p, q, r) = p V ~ r -» ■q A —r 1? Resolução: P q T ~ r p V ~ r q A p V - r - ^ q A - r v v v F v F F v v F v V v v v F v F V F F v F F v v F F F V v F F F V F v F v v v V F F v F F F V F F F v v F F
  • 31. _ E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O 34 2? Resolução: p q r P V - ! •i A r V v v v v F v F v F F v v v F v v v F v v v v F v F v v v F v F F F F V v F F v v v F F F F v F F v v F F F v v v F F V F v F F v v F v v v v F * F F v F F F v v F F F v F F F F v v F F F F v F 1 3 2 J 4 1 3 2 1 Portanto, simbolicamente: P( V W ) - F, P(W F) = V, P(VFV) - F, P(VFF) = F P(FVV) = V, P(FVF) = V, P(FFV) = V, P(FFF) = F ou seja. abreviadamente: PfVVV, W F . VFV, VFF, F W , FVF, FFV, FFF) ~ FV FFW V F Observe-se que a proposição P(p, q, r) outra coisa não é que uma função de u 3 = {w v , W F . VFV. VFF, F W , FVF, FFV, FFF) em {V, F) , cuja represen­ tação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte:
  • 32. INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 3a Resolução: 35 p V ~ r -+ ■ q A - r v v F v F v F F v v v v F v v v v F v v F v F F F F v v v v F F F F v F F F F v v v F F v F v v F v v v v F F F F v v F F F v F v v F F F F v F 1 3 2 1 4 1 3 2 i (4) Construir a tabela-verdade da proposição: P(p, q, r) - (p -►q) A (q -* r) -►(p -> r) Resolução: P q r (P -* ■ q) A (q — r) -> • (P -y r) v v v v v v v v v V v v V v v v F v v v F v F F v v F F v F v v F F F F v V v v v v v F F v F F F F v F v v F F F v v F v v v v v v v F v v F v F F v v F v F F v F v F F F v F v F v F v v v F v V F F F F v F v F v F v F v F 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 Portanto, simbolicamente: P(W V ) = V, P(VVF) = V, P( VFV) = V, P(VFF) = V P(F W ) = V, P{FVF) = V, P(FFV) = V. P(FFF) = V ou seja, abreviadamente: P(W V . W F , VFV, VFF, F W , FVF, FFV, FFF) - VVVVVVW
  • 33. Observe-se que a última coluna (coluna 4) da tabeia-verdade da proposição P(p, q, r) só encerra a letra V(verdade), isto é, o valor lógico desta proposição é sempre V quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes p» q e r. (5) Construir a tabela-verdade da proposição: P(p, q, r) = (p -> (~ q V r» A ~ (q V (p ~r)) 3 e E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O Resolução: (p -y (~ q V r» A ~ (q V (P r)) V v F v v v F F v v v F F v V F F v F F F F v v v v v F V v v F v v v v F F v F F v V v v F v F F F F v v v v F F v F v v v F F v v F v F v F v F v F F F F v v F F v F F v v F v v F F F v F v F v F v v F v F v v F F F F v F 1 4 2 1 3 1 6 5 1 4 1 3 2 1 Note-se que é uma tabela-verdade simplificada da proposição P(p, q, r), pois, não encerra as colunas relativas às proposições componentes p, q e r. Portanto, simbolicamente: P(W V ) = F, P(VVF) = F, P(VFV) = V, P(VFF) = F P (F W ) = F, P(FVF) = F, P(FFV) = F, P(FFF) = V ou seja, abreviadamente: P(W V , W F , VFV, VFF, F W , FVF, FFV, FFF) = FFVFFFFV 5. VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Dada uma proposição composta P(p, q, r , , . .), pode-se sempre determinar o seu valor lógico (V ou F) quando são dados ou conhecidos os valores lógicos respectivos das proposições componentes p, q, r, . . .
  • 34. IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 37 Exemplos: (1) Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente V e F, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição: PÍP- q) = ~ (p v q) ~ p A ~ q Resolução Temos, sucessivamente: V(P) - ~(V V F)«-+ ~ V A ~ F = ~ V ► F A V •- F + -*■ F = V (2) Sejam as proposições p : ir = 3 e q : sen ~ = 0. Determinar o valor lógico (V ou F) da proposição: P(p, q) = (p -* ■q) -* ■(p -+ p A q) Resolução — As proposições componentes p e q são ambas falsas, isto é, V(p) = F e V(q) = F. Portanto: V(P) = (F + F )-M F -* F A F) = V (F -> F) = V -> V = V (3) Sabendo que V(p) = V, V(q) = F e V(r) = F, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição: P(p, q, r) = (q < — * (r -* ■—p)) V ( ( - q ^ p j Resolução Temos, sucessivamente: V(P) = (F (F ~ V)) V ((—F -v V) F) = - (F (F F)J V ((V V) F) = = ( F ^ V j v ( V ^ > F ) = F V F = F (4) Sabendo que V(r) = V, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição: p -* ~ q V r. Resolução Como r c vcrdadcira(V), a disjunção --q V r é vcrdadcira(V). Logo, a condiciona] dada é verdadeira(V). pois, o seu consequente é verdadeiro (V). (S,) Sabendo que V(q) = V, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição: (p -» q) -»( ~ q -> ~p). Resolução —Como qé verdadeira(V), então ~ q é falsa(F). Logo, a condicional ~ q -> ■~ p é verdadeira(V), pois, o seu antecedente é falso(F). Por conseqüência, a condicional dada é verdadeira(V), pois, o seu consequente é verdadciro(VJ.
  • 35. (6) Sabendo que as proposições “x = 0” e “x = y” são verdadeiras e que a proposição “y = z” é falsa, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição: x ^ O V x ^ y - t y ^ z Resolução Temos, sucessivamente: ~V V ~V -> -rF = FV F -»V= F -* v = v . 6. USO DE PARENTESIS óbvia a necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições, que devcin ser colocados para evitar qualquer tipo de ambiguidade. Assim, p. ex., a expressão p A q V r dá lugar, colocando parêntesis, às duas seguintes proposições: (0 (p A q) V r e (ii) p A (q V r) que não têm o mesmo significado, pois, na (i), o conectivo principal é " V , e na (ii), o conectivo principal c “ A ”, isto é, a (i) 6 uma disjunção e a (ii) c uma conjunção. Analogamente, a expressão p A q-+r V s dá lugar, colocando parêntesis, às seguintes proposições: t(P A -s- r> V s, p A ((q -+ r) V s), (p A (q -* r)) V s, p A (q -* (r V s)), (p A q)-+(rV s) tais que, duas quaisquer delas, não têm o mesmo significado. Por outro lado, cm muitos casos, parêntesis podem ser suprimidos, a fim dc simplificar as proposições simbolizadas, desde que, naturalmente, ambiguidade alguma venha a aparecer. A supressão de parêntesis nas proposições simbolizadas se faz mediante algumas convenções, das quais são particularmente importantes as duas seguintes: (I) A “ordem de precedencia” para os conectivos é: (1) ~ ; (2) A e V ;(3) ■+; (4) Portanto, o conectivo mais “fraco” c e o conectivo mais '‘forte ’ é . Ássim, p. ex., a proposição: p -> • q < — * s A r é uma bicondicional c nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la numa condicional há que usar parêntesis: p (q «-*- s A rj 3 8 E D G A R O DE A L E N C A R F IL H O
  • 36. I N IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 39 e, analogamente, para convertê-la numa conjunção; (p q « —► s) A r O conseqüente da condicional é uma bícondicional. Desejando-se converter este consequente numa conjunção cumpre escrever: P " * ■((q s) A r) Também são bicondicionais as três seguintes proposições; p A q j-t-r V s; p q < —* ■r As; p V q -—*~ r s (II) Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem - -se os parêntesis, fazendo-se a associação a partir da esquerda. Segundo estas duas convenções, as quatro seguintes proposições: (( ~ÜMP a q))) v (~p))i((P V (~q)) A (rA(~p))) (((p V (- q)j A r) A (~p)); ((~p) (q -> (~(p V r)))) escrevem-se mais simplesmente assim: -.'-(p A q ) V ' p ; (p V ~ q) A (r A ~p) (p V - q) A r A ~p; ~ p-* (q -* -~ (p V rj) 7. OUTROS SÍMBOLOS PARA OS CONECTIVOS Nos livros de Lógica, usam-se diferentes símbolos para os conectivos, Assim, p. ex., são frequentemente usados os símbolos: “ 1 ” para a negação ( ) “ . ” e “ ec ” para a conjunção ( A ) “ D ” (ferradura) para a condicional (->-) EXERCÍCIOS 1. Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições: (a) ~ (p V - q) (b) ~ ( p - > - q ) (c) p A q - > p V q (d) ~ p -*-(<! * p) (e) (p- ^q ) - » - pAq (f) q & * "~q A p (g) (p ~q) " í-i> q ^ P (hj (p *— * ~q) -» ~ p A q
  • 37. 2. Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições: (a) - p A r ^ q V - r (b) p -* ■r q • -: (cj p~Mp -+ ~r)*-* q V r(d) (p A q ™r) V f^ p — * q V -i> 40 E D G A R D DE A L E N C A R F fL H O 3. Determinar P (W , VF, FV, FF) em cada um dos seguintes casos: (a) P(p, qj = ~C^P ► q) (b) P (p.q) = ~ p V q -►p (0) P(p, q) = (p V q) A H p A q) (d) P(p, qj - (p A ~ q ) V ( ~p A q_) (e) P(p, q) = -((p V q) A (~ p V - q)) (f) P(p, q) - - q V p ^ q - » ~ p (g.) p(p. q) = (p V q) A - p -+ (q -> p) Determinar P(V W , W F , VFV. VFF, F W , FVF, FFV, FFF) em cada um dos seguintes casos: (a) P<p, q,r) = p V j q A r) (b) P(p, q,r) = tP A ~q) V i (c) P(p, q,r) = - p V (q A ~ r ) (d) P{p, q,r) = (p V q) A (p V r) (e) P(p. q,c) = (p V - r) A (q V ~r) (f ) P(p, q, r) = M p V - q ) A ( - p V r) Determinar P(VFV)em cada um dos seguintes casos: (a) P(p, q,r) = p A M - » ~ q (b) P(p, q,r) = ~ p A (q V —r) (c) P(p, q,r) = ~ ip A q )* -> -(p V -r ) (d) P(p, q,r) = {r A (p V -q)) A ~ (~ r V(p A q)j (e) P(p, q,r) = (p V q -> r) -►q V ~ r ( f ) P(p, q,r) = (p V (q - * -r)) A (~ p V r* —-q) 6. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente F e V, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição: {p A (,- q -4- p)) A ~((p *-*► '~q) - q V ~ p) 7. Sejam as proposições p : tg(jr -x.) = ctgx c q : n < 2. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) (~ p A q ) V (p A - q ) (b) (p -►q) A ~ p -* ~ q (c) ~ (p A q) *—* ■- p v - q (d) (p V (~p v qj) V ( ~ p A - q )
  • 38. 8 Sabendo que os valores Lógicos das proposições p, q e r são respectivamente V, F e F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes propor­ ções: ¿ , . i (a) (p<—>p-^q) V (p-*r) (b) ( p -*~<Ú*-»"U-P ■ r) ^ (c) (p A q •+ 0 ** (p -*(< l-+T)) 9. Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que as propostçoes r e s são falsas, determinar o valor lógico (V ou F) de cada urna das segum es proposições: (a) p A q - » f (b) i V s q (c) q <-*■ p A s (d) p ~ (r A s) (e) (q - S) -> r (Ó ~ r -+ P A q (g) ( q V r ) A ( p V s ) (h) ( r ^ ) A ( p A q) ( i ) ( p A ~ q ) V r 0 ) - ( t r ^ p ) V ( s - q ) ) (k) (s +-* r) (p q) 0 ) r ^ q ^ (~ P «-* r) 10. Sabcndo que os valores lógicos das proposições p, q, r c s s ã o respectivamente V, V, F e F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada urna das seguintes proposições: (a) p -? ■q * —► q p (b) ( t - ' P ) *lp r) (c) (p - t) - ( - P - ~ r) (d) - (p A q)--> >'P V ~q (e) '-(p A s)-> ~ p A ~ s (O p V sj A (s V i)) 11. Sabcndo queV(p)-V(r) = V e V(q) = V(s) ” F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada urna das seguintes proposições: (a) p Aq<—> -r A 'S (b) ( p - * - * - q ) í ) (c) ( ~ p -» ■q ) -> ( s ->r) (d) (,p A q ) V s - , ( p ^ s ) (e) (q A r) A s -» (p s) (O p -» ~ q (p V r) A s (g) (p A q) A (r A s) >pV s (b) (~ p v s) V ( - s A r) 12. Sabcndo queas proposições “x = 0” e “x = y ” são verdadeiras c que as proposições “y = e “y = t” são falsas, determinar o valor logico(V ou f ) de cada uma das seguintes proposições: (a) x - l ) A x - y - > y ^ (b) x ^ 0 V y = t - + y - z íc( 1 « * + 0 V * * * ■ * * * ' ■ (e) x = 0 + ( x ^ y V y t 6 t ) 13. Sabcndo que a condicional p ^ q é verdadeira(V), determinar o valor lógico (V ou F) das condicionais: p V i ^ q V r e p A r - > q A r IN IC I A Ç Ã O A L Ó G IC A M A T E M Á T IC A
  • 39. 14. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma dasseguinies proposições: (a) p * —* ■q A ~r, sabendo que V(pJ - V(r) = V (b) p A q - » p V r, sabendo que V(p) = V(r) = V (c) (p -> ~q) A (~p V r), sabendo que V(qJ = F c V(r) =V 15. Suprimir o maior número possível de parêntesis nas seguintes proposições: (a) {(q < — >(r V q)) * — * (p A (~ (-q )))) (b) ((p A ('-(~ q))) ^ ( q ^ ( r V q») (c) (((p V q)-+(~r)) V ((((— q> A r) A q))) 4 2 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
  • 40. Capitulo 4 Tautologías, Contradições e Contingências I. TAUTOLOGIA Definição Chama-sc tautologia toda a proposição composta cuja última coluna da sua tabcla-verdade encerra somente a letra V( verdade). Em outros termos, tautologia é toda proposição compostn P(p, q, r , .. .) cujo valor lógico é sempre V(verdade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p, q, r, . . . As tautologías são também denominadas proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras. É imediato que as proposições p ^ p e p * — * ■p são tautológicas (Principio de identidade para as proposições), hxeniplos: (1) A proposição “~{p A ~ p )” (Princípio da não contradição) é tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade; p ~ p p A ~p ~ (p A~*-p) v F F v F v P V - Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultáneamente verdadeira e falsa é sempre verdadeiro.
  • 41. (2) A proposição "p V p” (Princípio do terceiro excluído) é tautológica, corno imediatamente se vc pela sua labcla-verdadc: 4 4 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O p ~p P V' P v F v F v v Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro. (3) A proposição up V M p A q f c tautológica, conforme se vê pela sua tabeia- -verdade: p 9 p A q H p A q) p V ~ (p A q) v v v F v v F F v v F v F v v F * ' F F v v (4) A proposição “p A q -M p+-+q)” é tautológica, conforme mostra a sua (abcla- -verdade: p q p A q p*-*q ' p A q -^(p-e— » q) v V v v v v F F 1 v F v F F v F F F v v (.5) A proposição “ p V ( q A ~q')+-+p” é tautológica, conforme mostra a sua labela-verdíidc: p q ^q q A - q p V (q A ~q) p V (q A ~ q) p v v F F v v V f v F v v F v F F F v F v F F v
  • 42. (6) A proposição up A r -+ q V r” c tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade: I N IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T F M Á T IC A 45 p q r ~ q p A r ~ q V r p A r - * ~ q V r v v v F v v v v v F F F F v v F v v v v v v F F v F v v F V V F F v v F v F F F F v F F v v F v v F F F v F v v (7) A proposição % í((p -* ■q> *) {p -»•(q -+ r)J” c tautológica, conforme mostra a sua tabela-verdade: IIP -> q) -* r) - (P (q r)) v v v v v v v v v v v V v v F F v V F v F F v F F V v v V v F v v v F F V F v v v V V v F v v v v v F v v V v F v v F F v F v v F F F v F V v v F v F V v F v F F 1 v F v F v F 1 2 1 3 1 4 1 3 1 -) 1 2. PRINCIPIO DE SUBSTITUIÇÃO PARA AS TAUTOLOGIAS Seja Pfp. q, r . . . . ) uma tautologia e sejam P0(p. q, r , .. .), Qo<P' q, r , . ..), R()(p, q, r. . proposições quaisquer. Como o valor lógico de P(p, q, r , . ..) c sempre Víverdade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p, q, r , .. c óbvio que, substituindo p por P0,q por Q0,r por R0, . . . na tautologia P(p, q, r ,. ..), a nova proposição P(P0, Qo> • • •) Q ue assim se obtém também é uma tautologia. Subsiste, pois, para as tautologías o chamado “ Princípio de substituição” seguinte: Se P(p. q. r , . . é uma tautologia, então P(P{i. Q0, R<>, . ..) também é uma tautologia, quaisquer que sejam as proposições P0, Q0. R0, . . .
  • 43. 4 6 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O 3. CONTRADIÇÃO Definição — Chama-se contradição toda a proposição composta cuja última coluna da sua tabela-verdade cncerra somente a letra F(falsidade). Km outros termos, contradição é toda proposição composta P(p, q. r ,. . .)cujo valor lógico é sempre F(faisidade), quaisquer que sejam 'os valores lógicos das proposições simples componentes p. q, r ,. .. Como uma tautologia é sempre verdadeira(V), a negação de uma tautologia è sempre falsa(F), ou seja, é uma contradição, e vice-versa. Portanto, P(p. q, r ,. ..) é uma tautologia se e somente se ~P(p, q. r , . . . ) é uma contradição, e P(p. q, r. . , é uma contradição se e somente se ~P(p, q. r , . . . ) é uma tautologia. As contradições são também denominadas proposições contraválidas ou proposições logicamente falsas. Para as contradições vale um “Princípio de substituição” análogo ao que foi dado' para as tautologías: Se P(p, q, r, . ..) é uma contradição, então P(P0, Qo- • ■•) também é uma contradição, quaisquer que sejam as proposições P0, Q0, R0. , . . Exemplos: <l) A proposição “ p A ~ p ” é uma contradição, conforme sc vê pela sua tabela- -verdade: p ~ P p A ~ p V F F F V F Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre falso. (2) A proposição “ p *— » ■~ ~p” é uma contradição, conforme mostra a sua tabela- -verdade; P ~ p p*~ *~p V F F F V F
  • 44. (3) A proposição “(P A q) A ~ (p V q)” é uma contradição, conforme se vê pela sua tabela-verdade; I N I C I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 47 p q p A q p V q ~(p V q) (pAq) A ~ (p V q) V v v v F F V F F v F F F v F v F F F F F F v F (4) A proposição “~-p A (p A ~ q )” é uma contradição, conforme mostra a sua tabela-verdade: P q ~ p ~ q ! p A ~ q ~ p A (p A ~ q ) v v F F F F v F F v v F F v v F F F F F v V | F F 4. CONTINGÊNCIA Definição Chama-se contingência toda a proposição composta em cuja última coluna da sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma ve?., Em outros termos, contingência é toda proposição composta que não é tautologia nc-m contradição. As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas. Exemplos; (1) A proposição “p - » ~ p ” é uma contingência, conforme se vê pela sua tabela verdade: P ~p p-*~p v F F F v v
  • 45. (2) A proposição “ p V q - ^ p ” é uma contingência, conforme mostra a sua tabda-verdade: 4g E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O p q p V q p V q p v v v v v F v v F v v F F F F v (3) A proposição “x - 3 A (x y x f- 3)” é uma contingência, conforme mostra a sua tabcla-verdadc: x= 3 x = y x 3 x # y x v* y x i~- 3 x = 3 A (x Ay -+ x t- 3) v v F F v v v F F V F F F v v F v F F F v V V F EXERCÍCIOS 1. Mostrar que as seguintes proposições sao tautológicas: (a) (p p) v (P -* ~P> (b) (p p A - p ) «-> ~ p <c) (p -+ qj A p -* q íd ) p V (q V ~ p ) (e) (p- »q ) A ~ q ~ p ( f ) (p V q) A ~-p-*q (g) p < — >p A (p V q) (h) ~ (p V - p ) v (q V *~q) (i) ~ (p A ~ p ) v (q -* ■~~q) (j) p V ( p A q ) ^ p (k) - ( p V q> -> (p +-*■ q) (D f p ^ q ) A p - > q Mostrar que as seguintes proposiçoes sao tautológicas: (a) (p -> q)-*(p A r -> q) (b) (p -> q) -» (p -* ■q V r) (c) (p - q) -> (p A r q A r) (d) (p q) > (p V r -> q V i Mostrar que as seguintes proposições são contingentes: (a) p V q ^ p A q (b) (q -* ■p)-*(p-> q) (c) (p -+ (p -* q)) -+ q (d) p ^ ( p - ^ q A - q ) 4. Determinar quais das seguintes proposíçoes são tautológicas, contraválidas, ou contingentes: (a) p ->(~ p -»q) (b) - p V q ^ ( p ^ q ) (c) p (q -+ (q -> p}) (d) ((p -> q) *-» q) p (e) p V ^ q ^ ( p ^ - v q ) (f) ~ p V ~ q -» ( p q ) (g) p (p V q) V r (h) p A q - ^ ( p ^ q V r )
  • 46. Capítulo 5 Implicação Lógica 1. DEFINIÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA Definição Diz-se que uma proposição Píp, q. r . .. .) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q{p, q; r . . . se Qlp. q, r . ...} c verdadeira(V) todas as vc7.es que P(p, q. r , . . . ) é verdadeirat V), Em outros termos, uma proposição P(p, q. r. . . . ) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p, q, r , .. .) todas as vezes que nas respectivas tabelas-verda.de dessas duas proposições não aparece V na última coluna dc P(p. q , i , e F na última coluna de Q(p. q. r , ...), com V e F em uma mesma linha, isto e. não ocorre P(p, q, r , .. .) e Q(p, q. r . . . . ) com valores lógicos simul - táñeos respectivamente V c F. Indica-se que a proposição P(p, q, r , .. ,) implica a proposição Q(p, q, r , .. .) com a. notação: P(p, q, r , . . . ) =» Q(p. q- r----- > Em particular, toda proposição implica uma tautologia e somente uma contradição implica uma contradição. 2. PROPRIEDADES DA IMPLICAÇÃO LÓGICA É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições goza das propriedades reflexiva(R) e transitiva(T). isto é. simbólicamente: (R) P(p, q, r, . . . ) ^ Píp. q, r, .. .) (T) Se P(p, q, r , .. .) = > ■ Q(p, q: r , .. .) e Q(p, q, r , .. .) = ¡>R(p, q, r , . ..), então Pfp, q, r , . . . ) => R(p, q, r , . . . )
  • 47. 50 EDGARD DE ALENCAR FILHO 3. EXEMPLIFICAÇÃO (I) As tabeias-verdade das proposições: p A q, p V q, p < -*q são: P q p A q P V q p* * q V v V v v V F F v F F V F v F F F F F v A proposição "p A q” é vcrdadeÍTa(V) somente na linha 1 e, nesta linha, as proposições “p V q’ e “ p q” também sao verdadeiras(V). Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto e: p A q =» P V q e p A q => p < —*q As mesmas tabelas-verdade também demonstram as importantes Regras de inferência: O) P =* p v q e q =» p V q (Adição) (ii) p A q =* p e p A q -> q (Simplificação) (2) As tabelas-verdade das proposições: P < --q , p -> q, q -> p são: P q p * q p->q q ^ p V v V v v V F F F v F V F v F F F V v v A proposição “p * * q" e verdadeira(V) nas linhas 1 e 4 c, nestas linhas, as proposições “p -+ q” e “q :ambém são verdadeiras. Logo, a primeira proposi- ção implica cada uma das outras duas proposições, isto e: P «— > q =* p -^ q e p ^ q = > q ^ p
  • 48. (3) A tabehirverdade da proposição: “(p V q) A ~ p ” c: I N IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 51 p q pVq ~p (p V q) A ~ p) v v v F F v F v F F F v v v v F F F v F Esta proposição é verdadeira(V) somente na linha 3 e, nesta linha, a proposição “q” também é verdadeira(V). Logo, subsiste a implicação lógica: (p V q) A ~ p => q denominada Regra do Silogismo disjuntivo. Outra forma desla importante Regra de inferência é: (p V q) A ~ q => p (4) A tabcla-verdade da proposição “(p -* q) A p” é: P q p-*q (p -> q) a p v v v v v F F F F v v F F F v F Esta proposição é verdadeira(V) somente na linha 1 e, nesta linha, a proposição “q” também é verdadeira(V). Logo, subsiste a implicação lógica: (p q) A p = » ■ q denominada Regra Modus ponens. (5) As tabelas-verdade das proposições “(p-*q) A - q ” e “ ~p” são: P q p-+q ~q (p-*q) A ~q) - p v v v F F F v F F v F F F v v F F v F F v v v v
  • 49. A proposição ,v(p->q) A - q ” é verdadeirafV) somente na linha 4, e nesta linha, a proposição “~ p ” também é vcrdadeira(V). Logo, subsiste a implicaçao lógica: (p~> q) A ~ q => ~ p denominada Regra Modus tollens. As mesmas tabelas-vcrdadc também mostram que M ~ p ” implica “p -+ q ’ isto é: ~ p => p -*•q- 4. TAUTOLOGIAS E IMPLICAÇÃO LOGICA Teorema A proposição P(p. q, r, .. .) implica a proposição Q(p. q, r-----). isto é: P(p, q. r___ ) => Q(p, q. r, . . .) se e somente se a condicional: P(p. q, r___ ) -*• Q(p, q. i----- ) d ) é tautológica. Dem. - (i) Se Píp, q, r , . . .) implica Q(p. q. r, . . .), então, não ocorre que os valores lógicos simultâneos destas duas proposições sejam respectivamente V e l . e por conseguinte a última coluna da tabela-verdade da condicional (1) encerra somente a letra V, isto é, esta condicional é tautológica. (ji) R e c ip r o c a m e n te , se a condicional (1) é tautológica, isto é, se a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V, então, não ocorre quo os valores lógicos simultâneos das proposições P( p. q, r----- ) e Q(p, q, r , . . .) sejam respectivamente V e F, e por conseguinte a primeira proposição implica a segunda. Portanto, a ioda im plicação lógica corresponde uma condicional tautológica, e vice-versa. Corolário - Se P(p, q, r , . . . ) =>Q (p , q, r , . . .), então, também se tem: P(P„, Q0, Rn. . . .) => 0(P<„Qo-Ro...-) quaisquer que sejam as proposições P0, Q0, R0, . .. NOTA Os símbolos -* e => são distintos, pois, o primeiro é de operação lógica (aplicado, p. ex., às proposições p e q dá a nova proposição p - q), enquanto que o segundo é de relação (estabelece quo a condicional P(p, q, r , . . .)-*- -> Q(p, q, r , . . . ) é tautológica). E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O
  • 50. Exemplos: (1) A condicional “(p -* q) A (q -> ■r) -* ■(p -* ■r)” é tautológica, pois, a últim; coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V (Cap. 3, § 4, Ex. 4) Logo, subsiste a implicação lógica: Cp -> q) A (q -> r) => p —r denominada Regra do Silogismo hipotético. (2) A condicional “p e tautológica,pois, a última coluna da su; tabela-verdade encerra somente a letra V: IN IC IA Ç Ã O Ã L C G IC A M A T E M Á T IC A 5 p q ~p P A ~ p p A ~ p -»• q V v F F v V F F F v F v v F v F F v F v Logo, subsiste a implicação lógica; p A ~ p =>q. Assim, de uma contradição p A ~ p se deduz qualquer proposição q (Princípio da inconsistência). (3) A proposição “(p >q) A p” implica a proposição “q", pois, a condicional “(p «—■ >q) A p -•>q” é tautológica conforme se ve pela sua tabela-verdade: p q p q (p ■ * — +q) A p (p «-►q) A p q v v v v v v F F F v F v F F v F F v F v Portanto, simbolicamente: (p <-+ q) A p =* q. EXERCfCIOS 1. Mostrar que a pio posição p implica a proposição qíp =>q) cm cada um do seguintes casos: (a) p : n > 3; q : tg45° = 1 (b) p : sen30° = 1; q : y j 2 > f 1 (c) p : ABCD é um losango; q : ABCD é um paralelogramo
  • 51. (d) p : O polígono ABCDE . . . é regular; q : O polígono ABCDE . . . é ins­ crit ível (e) p ; O número inteiro x termina por 0; q : O número mte;ro x i divisível por 5 (f> p : ABC’ é um triângulo; q : A soma dos ângulos internos A. B e C é igual a 180° (g) p ;ts | = v ^ i q ;sén f = cos f 2. Mostrar: (a) q = >p -+ q; (b) q = * ■p A q * p 3. Mostar que p —q não implica p -» q. Resolução As tabelas-verdade das duas proposições dadas são: 5 4 E D G A ftD D £ A L O CAR F IL H O p q - q p «-+ ~ q p-+q V v F F v v F v v F F v F v v F F v F v A proposição “p »~ q ” é verdadeiraf V) na linha 2 e, nesta linha, a proposição “p -*• q” é falsa(F). Logo, a primeira proposição não implica a segunda. 4. Mostrar que p não implica p A q e que p V q não implica p. 5. Mostrar: (x = y V x < 4) A x < 4 => x = y. 6. Mostrar: (x =£0 -> x = y) A x ¥=y =» x = 0.
  • 52. Capítulo 6 Equivalência Lógica í. DEFINIÇÃO DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA Definição Diz-sc que uma proposição P(p, q, r. . . .) é logicamente equivalente ou apenas equivalente a uma proposição Q(p, q. r , . . se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas. Irtdica-sc que a proposição P(p. q. r, . . .)c equivalente a proposição Q(p, q, r ,. . .) com a notação: P(p, q, r ,. . .) ■*** Q(p, q, r , . . . ) Em particular, se as proposições P(p, q, r , . . .) e Q(p, q, r, . ..) são ambas tautologías ou são ambas contradições, então são equivalentes. 2. PROPRIEDADES DA EQUIVALÊNCIA LÓGICA É imediato que a relação de equivalência lógica entre proposições goza das propriedades reflexiva(R), simétricaíS) e transitiva(T), isto é, simbolicamente: <R) P(p, q, r , . . .) *=* P(p, q, r ,.. 0 (S) Se P(p, q, r, .) <=> Q(p, q,r, .), então Q(p, q; r , .. -) <=* P(p, q, r , . . •) (T) Se P(p, q, r, , , •) <=> Q(p, q, ^ •> c Q(p, q, r , . . •) R(p, q, r, . . •)> então P(p, q r , . . •) <=> R(p, q, r , . , •)
  • 53. 3. EXEMPLIFICAÇÃO (i) As p r o p o siç õ e s ~ p ” e “ p ” são e q u iv a le n te s, isto é, s im b o lic a m e n te : <==* p (Regra da d u p la n e g a çã o ). Realmente, é o que d e m o n str a a tabeia-veT da- de: 5 6 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O p ~ P — p v F v F v F t t Portanto, a dupla negação equivale à afirmação. (2) As proposições “ ~ p -* p ,, e “p” são equivalentes, isto 6, simbolicamente: ~.p_> p p (Regia de CLAVIUS). Realmente, é o que demonstra a tabela-verdade: P ~ p ~ p -> p v F v F v F t t (3) As condicionais “p -> p A q” c “p -> q” têm tabelas-verdade idênticas: P q p A q p-*p A q p-*q v v v v v v F F F F F v F v v F F F v v + _ * Por consequência, estas condicionais são equivalentes, isto é, subsiste a equivalência lógica: p -* p A q < fc= >p -> q denominada Regra de absorção. (4) A condicional “ p -» q” e a disjunção “~ p V q” têm tabelas-verdades idênti­ cas: p q p~*q - p ~ p v q v v v F v v F F F F F v v v v F F v v v + *
  • 54. Por consequência, estas duas proposições são equivalentes, isto c, subsiste a importante equivalência lógica: p H- q <=*• —p V q (5) A bicondicional “p «-4* q” e a conjunção “(p -* ■q) A (q -> p)” tem tabelas- verdade idênticas: I N tC IA Ç Ã O Ã L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 57 P q p ^ q p-^q q -^ p (p -+ q) A <q -> p) v v v v v v v F F F v F F v F v F F F F v v v v ... Por consequência, estas duas proposições são equivalentes, isto é, subsiste a importante equivalência lógica: p <__* q <=> (p _>q) a (q -> p) (6) A bicondicional *‘p q,J c a disjunção “(p A q) V (~ p A ~ q )” têm tabe- las-verdade idênticas: P q p«-> q (P A q) V (~ p A ~q) v v v v v v v F F F V F F v F F F F F v F v F F F V F v F F F F v F F F v v v v t t Por consequência, estas duas proposições são equivalentes, isto é, subsiste a importante equivalência lógica: p +-*■q «=* (p A q) V (~ p A ~ q) 4. TAUTOLOGIAS E EQUIVALÊNCIA LÓGICA Teorema - A proposição P(p, q, r , . . . ) é equivalente à proposição Q(p, q, r , .. .)> isto c: P(p, q, r , .. .) < * = ► Q(p, q, r , ...) se e somente se a bicondicional: P(p, q, r , . . . ) < — * Qfp, q. r , .. . ) (1) é tautológica.
  • 55. Dem. (i) Sc as proposições P(p, q, r, . . .) e Q(p, q, r, .,,) são equivalentes, então, têm tabelas-verdade idênticas, e por conseguinte o valor lógico da bicondicio­ nal (1) é sempre V(verdade), isto c, (1) é tautológica. (ii) Reciprocamente, se a bicondicional (1) ó tautológica, então, a última coluna da sua labela-verdade encerra somente a letra V(verdade), c por conseguinte- os valores lógicos respectivos das proposições P(p, q. r , . . .) e Q(p. q, r , ...} são ambos V(vcrdade) ou são ambos F(falsidade), isto é, estas duas proposições são equivalentes. Portanto, a toda equivalência lógica corresponde uma bicondicional tautológica, c vice-versa. Corolário Se P(p, q, r ,. . . ) <=* Q(p, q, r, . . .), então, também se tem: P(P0s Q0, R0, ...)« = * Q(P<n Qo, R<i, •. ■ ) quaisquer que sejam as proposições P0, Qn, R0, . .. NOTA — Os símbolos +-> e são distintos, pois, o primeiro é de operação lógica (aplicado, p, ex,, às proposições p e q dá a nova proposição p ► q), enquanto que o segundo é de relação (estabelece que a bicondicional P(p, q, r, . . .) < — + Q(p, q, r, . . .) é tautológica). Exemplos: (1) A bicondicional “(p A ~ q -> c) «-*■(p q j”, oridc c é uma proposição cujo valor iógieo é F(falsidade), é tautológica, pois, a última coluna da sua tabela-vcrdade encerra somente a letra V(verdade): 58 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O p q (P A - q -» c) (P q) V v V F F V F V v V v V F V V V F F V V F F F V F F F V F V F v v F F F F V V F v F v F 1 3 2 4 1 5 1 2 1 Portanto, as proposições “ p A —q -* c” c “p -* q ” são equivalentes, isto é, simbolicamente: p A ~~q -v c <=>- p -> q Nesta equivalência consiste o “Método de demonstração por absurdo’4 .
  • 56. IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 59 (2) À bicondicional “(p A q - > r ) ^ ( p - > ( q - > r ) ) ” é tautológica, pois, a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V(vcrdade): íp A q -> r) < — > (P (q - 0) V v v v v v v v v v v v v v F F v v F v F F v F F v v v v v F v v v F F v F v v v F v F F F v v v v F v v v v F F v V F v F v v F F F F F v v v F v F v v F F F v F v F v F v F 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1 Portanto, as condicionais “p A q -> r” e “p -►(q -* r)” são equivalentes, isto é, simbolicamente: p A q r *=> p (q -» r) Esta importante equivalência lógica é denominada “ Regra de Exportação-lmpor- tação”. (3) As proposições “x = I V x < 3 ” e “~ { x < 3 A x = 1)” não são equivalentes, pois. a bicondicional: (x = 1 V x < 3) < — * ~ (x < 3 A x = 1) não é tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade: (x= 1 V x < 3) - (x < 3 A x = l ) v v F F F V v v v v v v v F F v F F F F v V F F F v v v v F F F 5. PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL Definição — Dada a condicional p -> q, chamam-se proposições associadas a p -> q as três seguintes proposições condicionais que contcm p e q: (a) Proposição recíproca de p -+ q : q -» ■p (b) Proposição contrária de p -» q : - p -*■~-q (c) Proposição contrapositiva de p -> q : ~ q -> ~ p
  • 57. Ás tabelas-verdade destas quatro proposições são: 60 E O G A R D DE A L E N C A R F IL H O p q p " * ■q q~>p ~ p -» ~ q ~ q -> ~ p v v v v v v v F F v v F F v v F F v F F v v v v t t í , c demonstram as duas importantes propriedades: (I) À condicional p -> q c a sua contrapositiva ~ q -> ~ p são equivalentes, is­ to é, simbolicamente: p -» q < = * ~ q ^ ~ p (II) A recíproca q-> p e a contrária ~ p -> ~ q da condicional p -+ q são equivalentes, isto é, simbolicamente: q -> p <=> ~ p ~ q As mesmas tabelas-verdade também demonstram que a condicional p -+ q e a sua recíproca q -+ p ou a sua contrária —p > ~ q ntâo são equivalentes. A contrária de p -* ■q também é denominada a inversa de p -> q e a contrapositiva de p -»• q outra coisa não é que a contrária da recíproca de p q c por isso também ê denominada contra-recíproca dc p > q. Também se diz que p ^ -q é a direta cm relação às associadas. Exemplos: (1) Seja a condicional relativa a um triângulo T: p "> q : Se T é equilátero, então T é isósceles A recíproca desta proposição é: q -> p : Sc T c isósceles, então T é equilátero Aqui, a condicional p -> q é verdadeira(V), mas a sua recíproca q -> p é falsa(F), (2) A contrapositiva da condicional: p -+ q : Se Carlos é professor, então c pobre é ~ q -> ~ p : Se Carlos não é pobre, então não e professor
  • 58. IN IC I A Ç Ã O Ã L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 61 (3) Seja achar a contrapositiva da condicional: “Sc x c menor que zero, então x não é positivo”. Representando por p a proposição “x é menor que 7.ero,k e por q a proposição “x é positivo”, a condicional dada sob forma simbólica escreve-se: p ^ -q , e por conseguinte a sua contrapositiva c: — q ^ ~ p ^ = > q -* ■~ p isto é, em linguagem corrente: “Se x c positivo, então x não é menor que zero” . (4) Seja demonstrar a proposição condicional: p -? ■q : Se x2 é ímpar, então x c ímpar A contrapositiva desta condicional é: —q ~ p : Se x é par, então x 2 c par que vamos demonstrar ser verdadeira. Com efeito, suponhamos x par, isto c, x = 2 n (n € Z ). Como x2 =2.2n2 , segue-se que x2 e par. Logo, a contrapositiva é verdadeira, e por conseguinte a proposição condicional dada p q também ó verdadeira. (5) Determinar: (a) A contrapositiva da contrapositiva de p -» ■q (b) A contrapositiva da recíproca de p -» >q (c) A contrapositiva da contrária dc p -> q Resolução —(&) A contrapositiva de p-> q é ~ q -> ~p. £ a contrapositiva de ~ q -* ■~ p é: ~ ~ p -> -— q <=* p -* ■q. (b) A recíproca de p -* q é q p. É a contrapositiva de q p c: ~ p -» ■~q. (c) A contrária dc p ^ q é ~ p -» ~ q . E a contrapositiva de ~ p -+ ~ q é: -— q -> • -v~p < ■ -->q -> p. Observe-se que a recíproca, e a contrária são cada uma a contrapositiva da outra c que a condicional e a contrapositiva são cada uma a contrapositiva da outra. (6) Determinar: (a) A contrapositiva de p -> ■ * -q (b; A contrapositiva de ~ p q (c) A contrapositiva da recíproca dc p -+ ~ q (d) A recíproca da contrapositiva de - p ^ q
  • 59. Resolução —(a) A contrapositiva de p -* ~q é: — q + ~ p « q - * ~ p (b) A contrapositiva dc ~ p -* q é: 4 “* ■ "— p « - q - p (c) A recíproca de p - * ~ q é - q - > p. E a contrapositiva de - q - p é: ~ p ~— q <=> —p -* ■q (d) A contrapositiva. de ~ p -* ~ q é: — ' 9 * — -p«=» q-*p E a recíproca de q -> p c p -» q. (7) Determinar; (a) A contrapositiva da recíproca de x = 0 -+ x < 1 (b) A contrapositiva da contrária de x < 1 — < 3 Resolução (a) A recíproca de x = 0 -» x < 1 c x <. 1 — - D E a cuntraposi- tiva desta recíproca c x ^ O - ^ x ^ l . (b) A contrária de x < l -* x < 3 é x < l ^ < 3 . F - a contrapositiva desta contrária c x < 3 -* x < 1. 62 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O 6. NEGAÇÃO CONJUNTA DE DUAS PROPOSIÇÕES Definição Chama-se negação conjunta dc duas proposições p c q a proposição “não p e não q”, isto é, simbolicamente “ ~~p A ~ q ”. A negação conjunta de duas proposições p e q também :ndici peia rotação “p i q”. Portanto, temos; p 4 q ~ p A -~q Como a proposição “~ p A —q” é verdadeira somente nr c-m que p e q são ambas falsas, então, a tabcla-vcrdadc dc “p l q” c a seguinte: p q p 4 q v v F v F F F v F F F v
  • 60. I N I C I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 63 7. NEGAÇÃO DISJUNTA DE DUAS PROPOSIÇÕES Definição Chama-se negação disjunta dc duas proposições p e .q a proposição “não p ou não q”, isto é, simbolicamente “~ p V ~ q ”. A negação disjunta de duas proposições p e q também se indica pela notação “p t q”. Portanto, temos: p t q ' p V ~ q Como a proposição “~ pV ~ q ” é falsa somente no caso em que p e q são ambas verdadeiras, então, a tabela-verdade de “p t q ca seguinte: p q p f q v v F v F v F v v F F v Os sírnbolos é “ t ” são chamados “conectivos de SCIIEFFER”, EXERCÍCIOS 1. Mostrar que as proposições p e q sao equivalentes ( p ^ q) cm cada um dos seguintes casos: (a) p : l +3 = 4; q : ( l + 3)2 = 16 (b) p:senO° = l; q:co s0 0;=:ü (c) p : 2o = 1; q : n <! 4 (d) p :x = y; q : x + ?= y + z (x, y, z € R) (e) p :x é p a r ; q :x + I é ímpar (x S Z) (f) p : O triângulo ABC é isósceles (AB = AC); q : Os ângulos B e C sáo iguais (g) p :a 1 b; q : b 1 a (h) p ;a || b; q : b || a (i) p : 0 triângulo ABC c retângulo em A; q : a2 = b2 + cz (j) p : X -e {a} ; q : x = a
  • 61. 2. Exprimir a bicondicional p * ■q em função dos três conectivos: A, V e ~ . Resolução Temos: p q <:=* (p _* q) A (q -* p) p -* ■q ~ p V q q p < = = s-~ q V p Portanto: p * ■q *=* ( - p V q) A (~ q V p). 3. Demonstrar por tabelas-verdadc as seguintes equivalências: (aj p A ( p V q ] « p (b) P V (p A q) <=>* p (C) p * — * ■ p Aq <=> p -> q (dj q *■ p V q «=> p -+ q ( è ) (p -í-q ) A( p ^ r ) * = * p - > q A r (f) (p -►qj V (p r).«■ p q V r (gJ (P q) "*■1*=* P A ~ r -> ~ q 4. Mostrar que as proposições “x = l V x < 3 ” c “—{x < 3 A x = l) não são equivalentes. 5. Demonstrar que o conectivo “ V ” (“ou” exclusivo) exprime-se em função dos três conectivos A e V do seguinte modo: p V q (p V q) A ~ (p A q) Dern. Com efeito, as tabelas-vcrdade de “p V q” e “(p V q) A - ( p A q)” são idênticas: ¡4 E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O p q p v q (P V q) A (P A <l) v v F v v v F F v v v v F v v v F v v v F F F v v F v v v v F F v F F F F F F F v F F F 1 2 1 4 3 1 2 1 6. Demonstrar que os três conectivos ~ , V c A exprimem-se em funçao do conectivo “ 4 ” dc SCHEFFER do seguinte modo: (a) —p p f p (b) p V q <=> (p i q) l (p 4 -q) (c) p A q « (p i p) i (q i q)
  • 62. Dem. Realmente, é o que demonstram as tres tabelas-vcrdadc seguintes: I N I C I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 65 (a) p ~p P 1P v F F F v v + t <b) P q p V q p 4 q (P 1 q) 4(p i q) v v v F v v F v F v F v v F v F F F v F t t (e) P q p A q p 1p q i q (p 4 p) 4(q 4 q) v v v F F v v F F F v F F v F v F F F F F v v F t 7. Demonstrar por tabclas-verdade que os três conectivos V e A exprimem- -se cm lunção do conectivo “ t ” dc SCHEFFER do seguinte modo: (a) ~ p ^ = (b) P V q (c) p A q p t p =* (P t p) t (q t q) != * ■(p f q) t (p t q) Sabendo queas proposições p c q são verdadeiras e que a proposição r é falsa, determinar o valor lógico (V ou F) das seguintesproposições: (a) (~ p 4 q) A ( q t - r ) (b) ((p t q) V (q 4 r» t (r 4 p) (c) ( - p t - q ) <-»■((q 4 r) 4 p) (d) ((p t ~ p) V q) l ( q A r )
  • 63. 9. DemOmtxar que o conectivo “ V ” exprimose em função unicamente de “ -* ■" pela equivalência: p V q <=> (p -* ■q) -* p- 10. Demonstrar que a negação conjunta e a negação disjunta gozam da propriedade comutativa, isto é: p 1 q<-*q i p e p t q*=* q t p 11. Demonstrar; ((p t ~ p) t (p t " p)) *=*• p A —p 12. Demonstrar que as seguintes proposições são contingentes: (a) ( p l q ) y ( - q t p ) (b) ( p t ( q V r ) ) ^ M (c) {(p 1 ~p) V q) * (~q / W ) E D G A R D d e A L E N C A R F IL H O 6 6
  • 64. Capítulo 7 Álgebra das Proposições I. PROPRIED/VIJES DA CONJUNÇÃO Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t c c proposições também simples cu|os valores lógicos respectivos são V(verdadc) c F(falsidade). (a) Idempotente: p A p (^* p Dem. - Com efeito, são idênticas as t a bcl as - veT dade das proposições p A p c p, ou seja, a bicondiconal p A p^— >p é tautológica: p p A p p A p < — » p v v v F F v t f Assim, p. ex., temos: (i) x 1 A x * 1 < = > x # 1 (ii> x < 0 A x < 0 í = * x < 0 (b) Comutativa: p A q <=> q A p Dem. Com efeito, são idênticas as tabelas-vòrdade das proposições p A q c q A p, ou seja, a bicondicional p A q *—* q A p é tautológica: p 4 p A q q A p p A q *-*• q A p v v v v v v F F F v F v F F v F F F F v t t
  • 65. Assim, p. ex., temos: (i) x 1 A X > 0 <==* x > 0 A x ^ 1 (ii) t i > 3 A / r < 4 < -■ ■■ >n < 4 A 7r > 3 (iii) [2 > 1 A s/~$ < 3 V T < 3 A V ? > I (c) Associativa: (p A q) A r <==• p A (q A r) Dem. Com cfcilo, são idênticas as tabelas-vcrdade das proposições (p a q) A r e p A (q A r): 6 8 E D G A ft D DE A L E N C A R F IL H O p q r pa q (P A q) A r q A r P A(q A r) v v v v v v v v v F V F F F v F v F F F F v F F F F F F F v v F F v F F v F F F F F F F v F F F F F F F F F í F F t Observe-se que íi bicondicional (p A q) A r * p A (q A r) Ctautológica. Assim, p. ex., temos: (i) (a 2* b A b ^ c ) A c < d <*=*a > b A (b ^ c A c < d) (ii) (x # 0 A X > 1) A X < 3 <=> X # 0 A (x > 1 A X < 3) (d) Identidade; p A t <= > • p C pA Dem. Com efeito, são idênticas as tabelas-vordade das proposições p a t e p, p A c e c, ou seja, as bicondicionais p A t «—>p e p A c c são tauto­ lógicas: P t c p A í P A C p A t « -* p p A c f—» c v v F v F v v F í v F t F - t - F t v v Kstas propriedades exprimem quo t e c sao respectivamente elemento neutro e elemento absorvente da conjunção.
  • 66. Assim, p. ex., temos: (i) x =£ 1 A I x | > 0 <=> x ¥=1 (ii) x ^ 1 A | x | < 0 *=> | x | < 0 IN IC IA Ç A Q A L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 69 2. PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples cujos valores lógicos respectivos são V(verdade) e F(falsidade). (a) Idempotente: p v p<^=» p Dein. Com efeito, são idênticas as tabelas-vcrdade das proposições p Vp e p, ou seja, a bicondicional p 1/ p p é tautológica: p P V P p v P ^ P V v v F F v t t Assim, p. ex., lemos: (i)x ¥ = ■0 V x 0 *-=» x ^ 0 (ii)x < 1 V x < 1 '■*=* x <- 1 (b) Comutativa: p V p Dem. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p v q e q V p, ou seja, a bicondicional p V q «— * q V p é tautológica: p q P V q q v p p v q « -* q V p v v v v v v F v v v F v v v v F F F í t v Assim, p. ex., temos: (i) x ^ l V x ^ O ^ x ^ O V x ^ l (ii) a > b v b < c b < c v a > b
  • 67. (c) Associativa: (p v q) V r<=>p v (q v r) Dem. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições (p v q) v r e p v (q V r): 7 0 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O p q r p v q (p V q) V r q V r P V (q V r) v v v v v v v v v F v v v v v F v v v v v v F F v v F v F v v v v v v F v F v v v v F F v F v v v F F F F F í F F t Observc-se que a bieondicional (p v q) V r *— * ■p v (q v r) é tautológica. Assim, p. ex., temos: (i) (x # 1 V X > 2) V X < 4 <=> x * 1 V (x> 2 V X < 4 ) (ii) j a ^ b V b < c) v c < d ■ ■ * * = >a ^ b v (b < c v c < d) (d) Identidade: p V t <=M e p v c <=> p Dem. — Com efeito, são idênticas as tabclas-verdade das proposições p V t e t, p V c e c, ou seja, as bícondicionais p V t*~> t e p V c«— >p são tauto­ lógicas: P t c p v t p V c p v t- M t p V c p v v F v v v v F í v t F v t F í v v Estas propriedades exprimem que t e c são respectivamente elemento absor­ vente e elemento neutro da disjunção. Assim, p. ex., temos: (i) x * 1 V 1x | > 0 | x J> 0 (ii) x * 1 V | x | < 0 «=#■x ¥= 1 (iií) x * 0 V x2 < 0 < = * » ■x # 0
  • 68. IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 71 3. PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Sejam p, q e r proposições simples quaisquer. (a) Distributivas: (i) p a (q v r) *=> (p A q) V (p a r) 0 0 P V (q A r) <==> (p V q) A (p V r) Dem. — (i) Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p A (q v r) e (p A q) V (p a r): p q r q V r P A (q V r) P A q p A r (p A q) v (p A r) v v v v v v v v v v F v v v F v v F v v v F v v v F F F F F F F F v v v F F F F F v F v F F F F F F v v F F F F F F F F F í F F F í Obs-erve-sc quo a bieondicional p A (q V r) ^►{p a q) v (p a r) é tautológica, (ii) Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p v (q A r) e (p v q) a (p V r): P q r q A r P V (q A r) P v q p V r (p V q) A (p v r) v v v v v v v v v v F F v v v v v F v F v v v v v F F F v v v v F v v v v v v v F v F F F v F F F F v F F F v F F F F F F í F F F í Observe-se que a bicondicional p V (q a r) (p V q) A (p V r) c tautológica. A equivalência (i) exprime que a conjunção é distributiva em relação à disjunção e a equivalência (ii) exprime que a disjunção é distributiva em relação à conjunção.
  • 69. Assim, p, ex., segundo (i), a proposição: “Carlos estuda e Jorge ouve música ou lê4' é equivalente à seguinte proposição: “Carlos estuda e Jorge ouve música” ou “Carlos estuda e Jorge Jê” Segundo (ii), a proposição; “Chove ou faz vento e frio” é equivalente à seguinte proposição: “Chove ou faz vento” e “Chove ou faz frio" (b) Absorção: (i) p A (p V q) *=* P (ii) p V Í p A ^ ^ P Dem. - (i) Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p A (p v l) c P» ou scÍa’ a bicondicional p a (p v q) *-* p é tautológica; 72 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O p q . p V q p A (P V q) p A (p V q) < * — ► p v v v v v v F v v v F v v F v F r F F F í v (ii) Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p V (p A q) e p, ou seja, a bicondicional p v (p A q) 4— » p é tautológica; P q p a q p V (p A q) p V (p A q) *-*■ p v v v v v v F F v v F v F F v F í F F F v
  • 70. IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 73 (c) Regras de DE MORGAN (1806-1871): (0 "(p Aq)^=>~pv'vq (ii) ~ (p v q) - p A ~ q Dem. (i) Com efeito, são idénticas as tabelas-verdade das proposições ~(p A q) c - p v ~ q: p q P a q H P A q) ~ p - q -p v -q v v v F F F F v F F v F v v F v F v v F v F F F v v v v í t Observe-se que a bicondicional ~ (p A q) ■ * —► ~ p v ~ q é tautológica. (ii) Analogamente, são idénticas as tabelas-vcrdadc das proposições -(p V q) e -v-p a ~q: p q p v q ~(P V q) ~ p ~ q - p A ~ q v v v F F F F v F v F F v F F v v F v F F F F F v v v v t r Observe-sc que a bícondícional -( p V q ) ^ - p A - q c tautológica. As Regras dc DE MORGAN ensinam: (i) Negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que uma pelo menos é falsa. (ii) Negar que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivale a afirmar que ambas são falsas. Estas Regras de DE MORGAN podem exprimir-se ainda dizendo que a negação transforma a conjunção em disjunção e a disjunção em conjunção. Assim, p. ex,, segundo (i), a negação da proposição: “K inteligente e estuda” é a proposição: "Nao é inteligente ou não estuda”
  • 71. Segundo (ii), a negação da proposição: “E médico ou professor’* é a proposição: ‘"Não &médico e não é professor” NOTA As Regras de DE MORGAN mostram como é possível definir a disjunção a partir da conjunção e da negação, ou a conjunção a partir da disjunção e da negação: p vq «= > ~ (~ p A ~q) p A ~ ( ~ p v ~ q ) 4. NEGAÇÃO DA CONDICIONAL Como p -> q <==* - p V q {Cap. 6, §3, Ex. 4), temos: ~ (p q) ^ ~ (~ P v q) H ^ p A ~ q ou seja: ~(p-> q) < = = > ' p A - q Esla cquivalência também é demonstrada pelas tabclas-vcrdadc das proposições ~(p e p a ~q, que são idênticas: 74 E D G A R D DE A L E N C A R Fl LH O p q p->q ~(p -* ■q) ~ q P A ~ q v v v F F F v F F v v v F v v F F F F F v F v F t t NOTA — A condicional p -* ■q não goza das propriedades idempotente, comutativa e associativa, pois, as tabelas-verdade das proposições p -> p e p , p -^ q e q -> ■p, (p ->• q) r e p (q -> r) não são idênticas. 5. NEGAÇÃO DA B1CONDICIONAL Como p < --* q c (p q) A (q ■ - >p) (Cap. 6, §3, Ex. 5), temos: P«-»■q <=»(~P V q) A (~ q Vp)
  • 72. IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 75 e, portanto: M.p q) ^ v q ) v ~(~qiv p ) ~(P +-+ q) ■ «= >(~ ~ p A ~ q) V (---- q A - p ) ou seja: ~(p 9) ^ ( P A ~q) v (*“P A q) Esta equivalência também c demonstrada pelas tabelas-verdade das proposições -( p q) c (p A ~ q ) V (~- p A q), que são idênticas: (P q) (P A q) V (~P A q) f v v v v F F F F F v v v F F v v v v F F F v F F v F F F v v v v F t F v F F F v F t v F F As tabelas-verdade das proposições M p «— * ■q), p *—* ■~ q e ~ p ^ q sãoidênticas: P 9 P * * 9 ~(p+-*q) ~q p — - q ~p ~p*-> q v v v F F F F F v F F v v v F v F v F v F v v v F F v F t v F t v F t PortantO, subsistem as equivalências: ~(p +-* q) <=* p *-* ~q «=*~p «-* q NOTA A bicondicional p < — * q não goza da propriedade idempotente, pois, é imediato que uâo são idênticas as tabelas-verdade das proposições p < ■ * p c p, mus goza das propriedades comutativa e associativa. EXERCÍCIOS 1. Demonstrar as propriedades comutativa e associativa da bicondicional, isto c: (a) p < — > •q < = $ ■q • * — * ■p (b) (p ^ -» q )^ + r< -* » p * -> (q ^ f)
  • 73. 76 EDGARD DE ALENCAR FILHO 2. Demonstrar por tabelas-verdade as equivalencias: (a) p ->q A r <=►(p q) A(p ->r) (b) p -+ q v r «=> (p -> q) v (p -» ) Dem. —(a) Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p ->qA r e (p q) a (p - r ) : P q A r (P q) A (p -> r) v V v v v v v v v v v v • v F v F F v v v F v F F v F F F v v F F F v v v v F F F F v F F F v F F F v v v v F v v v F v v F v v F F F v v v F v F F v F F v F v F v F v v F v F F F F v F v Fl v F t t (b) Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p -+ q V r e (P ■ + q) v (p -> r): p q V r (P 4) V (P -* ■ , r) v v v v v v v v v v v v v v v v F v v v v v F F v v F v v v F F v v v v v F F F F v F F F v F F F v v v v F v v v F v v F v v v F F v v v F v F F v F v v F v F v F v v F v F F F F v F v F v F t t A equivalência (a) exprime que a condicional é distributiva à esquerda em relação à conjunção e a equivalência (b) exprime que a condicional é distributiva à esquerda em relação à disjunção. A condicional não 6 distributiva à direita em relação i nenhuma dessas duas operações (conjunção e disjunção). 3. Dar a negação em linguagem corrente da proposição: ‘ Rosas são vermelhas e violetas são a7.uis”.
  • 74. I N I C I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 77 Resolução Denotando por p a proposição “Rosas são vermelhas” c por q a proposição “ Violetas são azuis”, a proposição dada sob forma simbólica cscreve-se “p a q”, cuja negação é (P A O) <í=3‘~ P v ■ Lo§°’ a negação da proposição dada cm linguagem corrente 6: “ Rosas não são vermelhas ou violetas não são azuis” 4. Dar a negação em linguagem corrente de cada uma das seguintes proposições: (a) É falso que não está frio ou que está chovendo. (b) Não é verdade que o pai de Marcos c pernambucano ou que a mãe é gaúcha. (c) Não é verdade que as vendas estão diminuindo e que os preços estão au­ mentando. (d) Não é verdade que Jorge estuda Física, mas não Química. 5. Demonstrar as seguintes Regras de DE MORGAN para três componentes: (a) ~ (p A q A r) ~ p v ~ q V ~ r (b) M p V q V r ) « ~ p A - q A - r 6. Demonstrar por “ Indução matemática” as seguintes “Propriedades distributivas generalizadas” : (a) p A ( q i V qj V . . . V qnJ < = *•(p A q i) V (p A q2) V . . . V (p A qn) (b) p V (qi A q2 A ••• Aqn) «= *■(p V q i) A (p v q2>A . •• A (p v qn)
  • 75. Capítulo O Método Dedutivo 1. Todas as implicações c equivalèncias foram demonstradas ate aqui pelo “Método das tabelas-verdade”. Vamos agora exemplificar a demonstração de implicações e equivalencias por um método mais eficiente, denominado Método de­ dutivo”. No emprego do “Método dedutivo” desempenham papel importante as equiva­ lencias relativas à “Álgebra das Proposições”, que, observamos, subsistem quando as proposições simples p, q, r, t (verdadeira) e c (falsa), que nelas figuram,são substituídas respectivamente por proposições com postas P, Q, R, I (tautología) c C (contradição). 2. EXEMPLIFICAÇÃO (1) Demonstrar as implicações: (i) c = > ■p (ii) p =* t onde p é urna proposição qualquer c c e t sao proposições cujos valores lógicos respectivos são F(falsidade) c V(verdadc). Dem. - Temos, sucessivamente: (i) c p *=>~ c V p < = = >t v p <=* t (ii) p -* i ~ p ^ t ^ t Observc-se quo as tabelas-verdade de c p c p + t mostram que estas condicionais são tautológicas: p c t c -> p p-M v F v v v F F v v v