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Ecuaciones empíricas
OBJETIVOS
Obtener una ecuación empírica que relaciona la elongación, Δx, que sufre un resorte al
aplicarle una fuerza dada.
Determinar, de forma experimental, la constante elástica (k) de un resorte.
1. FUNDAMENTO
1.1 Ley de Hooke
Si estiramos un resorte cíe modo que uno de sus extremos se mueva (mientras el otro lado permanece
fijo) hasta la posición x, dicho resorte ejercerá una fuerza sobre el agente que causa el estiramiento,
cuyo valor es, con buena aproximación
(1)
donde k se denomina constante de fuerza del resorte. El signo menos indica que la dirección de la
fuerza es siempre opuesta al desplazamiento. La fuerza ejercida por el resorte es una fuerza de
restitución, y los resortes reales que se comportan según la ecuación (1), mientras no se estiren
demasiado, se dicen obedecer la Ley de Hooke.
1.2 Ajuste de curvas
En los experimentos físicos, con frecuencia surge el problema de obtener una dependencia funcional
entre dos o más magnitudes físicas (variables), teniendo como base las mediciones de estas
magnitudes físicas (datos experimentales). Esta dependencia funcional toma la forma de una
ecuación, que por ser construida con los datos experimentales se le denomina empírica.
Así, el alargamiento que sufre un resorte como consecuencia de la aplicación de una fuerza, puede ser
descrito mediante una ecuación empírica que exprese la relación entre estas dos magnitudes
(alargamiento y fuerza). En este caso, tanto la fuerza aplicada como el alargamiento producido se
pueden medir y constituyen, respectivamente, las variables independiente y dependiente de la
dependencia funcional.
Para cada valor elegido de la variable independiente le corresponde un valor de la variable
dependiente , y la dependencia funcional que se obtiene en base a los diversos valores de y
forma la ecuación empírica, la cual se expresa como:
(2)
Los pasos a seguir para obtener una ecuación empírica, de modo muy general, son:
1. Identificar el sistema físico y el modelo experimental.
2. Elegir las magnitudes físicas a relacionar de forma adecuada.
3. Obtener los datos experimentales de las mediciones de las magnitudes anteriores.
4. Granear los datos experimentales en papel milimetrado, o mediante algún software ploteador.
5. Plantear la ecuación empírica que corresponda a la gráfica.
6. Si los puntos de la gráfica tienen un comportamiento lineal, entonces plantear como ecuación
empírica la siguiente:
(3)
y calcular los parámetros a y b con ayuda del método de mínimos cuadrados (o regresión lineal) .
7. Si los puntos de la gráfica tienen, otro tipo de comportamiento, donde el origen (0, 0) pertenece a la
curva, debemos plantear una ecuación empírica de la forma de una potencia, si este fuera el caso.
(4)
y luego proceder a linealizar (4), aplicando el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación, es decir
por último haciendo un adecuado cambio de variables

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obtenemos una ecuación empírica semejante a la ecuación (3), esto es
(5)
Al graficar y* en función de x*, los puntos deben tener un comportamiento lineal. Luego a y b se
calculan con ayuda del método de mínimos cuadrados.
1.2.1 Método de mínimos cuadrados.
Asumiendo que los puntos observados en la gráfica tienen una distribución lineal, se plantea una
ecuación empírica de la forma, (3). El i-ésimo punto de esta recta está dado por
(6)
y para N puntos (número de datos) se tiene
(7)
a partir de (6) tenemos
(8)
y de (7) y (8) se puede obtener una expresión para calcular los parámetros a y b de la línea, esto es
(9)
(10)
donde
Para la ecuación (5) del paso siete se utilizan estas últimas expresiones pero con los valores de x* y
y*.
La desviación estándar de a y b se calculan en términos de la distribución de los valores y con las
siguientes expresiones:
(11)
Nota: La aplicación del método de mínimos cuadrados se restringe al caso especial de que toda
incertidumbre se limita a la variable y, es decir, los valores de x se asumen exactos, o al menos con
una precisión mayor que los valores de y, para poder despreciar la incertidumbre en la variable x.
2. MATERIALES E INSTRUMENTOS
1 soporte universal.
1 resorte de aproximadamente 10 cm de longitud.
1 soporte conteniendo 10 pesas de diferente valor.
1 regla graduada (incertidumbre de 0.001 m).
1 balanza analógica, máximo de 1 Kg, (incertidumbre de 0,0001 Kg).
Tabla 1: Medición de la masa aplicada y de la elongación del resorte, (g = 9,81 m/s2)
n Masa, M, (x10-3 Kg) Fuerza, F = Mg, (x10-3N) Elongación, Δx (x10-2 m)
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3. PROCEDIMIENTO
1. Disponer el montaje del equipo experimental como se muestra en la figura 1a.
2. Anotemos la longitud inicial, L0, del resorte con la regla graduada.
3. Coloquemos una pequeña masa en la parte inferior del resorte y anotemos su longitud final, L,
como se ve en la figura 1b. Observe que la elongación es: Δx = L – L0.
4. Registremos los valores de la masa M, la fuerza F y de la elongación Δx, en la Tabla 1.
5. Luego, adicionemos una segunda masa y de forma análoga repitamos los pasos 3 y 4. Realicemos
este proceso hasta completar la Tabla, 1.
6. Con los datos registrados de la Tabla 1, hagamos una gráfica entre la fuerza y la elongación del
resorte y observemos el comportamiento entre éstas magnitudes físicas.
7. Teniendo en cuenta la Tabla 1, realicemos una segunda tabla que nos permita dar cuenta del cálculo
estadístico, según se indica en la sección 1.2.
4. DATOS A ANALIZAR
Basándonos en las ecuaciones (1), (3), (9), (10), (11) y sus mediciones, obtengamos una dependencia
funcional entre la fuerza y la elongación. Luego determinemos la constante de fuerza del resorte,
indicado la incertidumbre (o precisión) en su valor. Comparemos nuestra medida con alguna tabla
estándar, para identificar el material del resorte que se ha utilizado.
Figura 1: Montaje experimental para obtener la dependencia funcional entre la elongación y la fuerza
aplicada a un resorte.