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Logica proposicional

La lógica es una herramienta importante para todo tipo de conocimiento y de actividad racional, pero también para la vida cotidiana (donde, de hecho, la usamos de manera inadvertida). En palabras de Ricardo Guibourg:

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INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO
LÓGICA PROPOSICIONAL.
Teoría ejercicios y taller
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
4 DE FEBRERO DE 2015
1
LÓGICA PROPOSICIONAL
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http://margaritapatinojaram.wix.com/lp#!
“Si así fue, así pudo ser; si así fuera,
así podría ser; pero como no es, no es.
Eso es lógica”.
Tweedledee, en Through the Looking
Glass, cap, IV,
¿POR QUÉ VAS A ESTUDIAR LÓGICA?
LA RELEVANCIA DE LA LÓGICA, EN GENERAL: La lógica es una
herramienta importante para todo tipo de conocimiento y de actividad
racional, pero también para la vida cotidiana (donde, de hecho, la usamos de
manera inadvertida). En palabras de Ricardo Guibourg:
"Quejarnos porque la cuenta del restaurante es alta no nos dará ningún
resultado: no lograremos convencer al mozo y pasaremos por mezquinos.
Pero si encontramos algún error en la suma provocaremos una consulta y
obtendremos, junto con la encomienda, las correspondientes excusas: tal es
el poder de la aritmética, que ni los comerciantes se atreven contra ella. Y la
aritmética no es una
Invención diabólica, ni el arma secreta de la administración impositiva: es,
simplemente, un sistema teórico que reconstruye, en abstracto, las
relaciones que todos aceptamos entre las cantidades concretas. Dos más
2
dos es igual a cuatro en cualquier tiempo y lugar, se trate de dólares,
camellos o vueltas en calesita; y el conjunto de las relaciones de este tipo,
reunidas en una teoría matemática universalmente admitida, nos permite
verificar formalmente la exactitud de cualquier calculo.
Lo mismo ocurre con la lógica. Si alguien nos endilga un largo discurso sobre
un tema que ignoramos, nos será difícil formarnos una idea sobre la verdad
o falsedad de cada una de sus afirmaciones; pero si entre ellas hay dos que
resulten contradictorias entre sí, no necesitaremos averiguar más para saber
que en esa cháchara hay algo que no funciona bien. Al razonar de este modo
habremos utilizado un sistema teórico - la lógica- que recopila, generaliza,
abstrae y reconstruye en formulas las relaciones aceptables entre las
proposiciones, aun con total prescindencia de su contenido: es decir, de
modo completamente formal".
Y, en palabras de Lewis Carroll1:
"Domine usted la maquinaria de la lógica simbólica y tendrá siempre a mano
una ocupación intelectual que absorberá su interés y que será de una efectiva
utilidad en cualquier tema del que pueda ocuparse. Ello le proporcionara la
claridad de pensamiento y la habilidad para encontrar el camino en medio de
la confusión, el hábito de disponer sus ideas de una forma metódica y
ordenada y -lo cual vale más que todo eso- el poder de detectar falacias y
despedazar los argumentos insustancialmente ilógicos que encontrara de
continuo en los libros, en los periódicos, en los discursos e incluso en los
sermones, y que con tanta facilidad engañan a los que nunca se han tomado
la molestia de aprender este arte fascinante." (El juego de la lógica)
(González Lagier, s.f)
1
Lewis Carroll es el seudónimo por el que es conocido en la historia de la literatura Charles
Lutwidge Dodgson (Daresbury, Cheshire, 27 de enero de 1832 – Guildford, Surrey, 14 de
enero de 1898), sacerdote anglicano, lógico, matemático, fotógrafo y escritor británico.
conocido sobre todo por su obra Alicia en el país de las maravillas.
3
CONTINUANDO… POR QUÉ TAN NECESARIA ES LA LÓGICA?
Entonces: LA IMPORTANCIA DEL RAZONAMIENTO…
Cuando uno de sus oyentes dijo, “Convénceme de que la lógica es útil”, él
respondió:
“¿Debo demostrarlo?”.
“Si”.
“Entonces, ¿no debo usar un argumento demostrativo?”
Y cuando es otro se mostró de acuerdo, él dijo. “¿Cómo sabrás que no te
impongo simplemente la conclusión?” Y, puesto que su interlocutor no tuvo
respuesta, le dijo: “¿Ves como tú mismo aceptas que la lógica es necesaria?,
sin ella no podrías aprender siquiera si es o no necesaria”
Discursos de Epícteto
 En Fausto, una de las obras de Goethe, Mefistófeles responde una
pregunta (que un joven estudiante le hace acerca de cómo conocer la verdad
en el cielo y en la tierra) de la siguiente manera:
 Le aconsejo querido amigo seguir primero el curso de Lógica. Allí le
peinarán debidamente el espíritu, se lo calzaran en boca de tortura, de suerte
que se deslice con más tiento2 por el sendero del pensar y no tuerza acá y
allá y se descarríe. En realidad, la fábrica de pensamientos es como la obra
maestra del tejedor: A un golpe de pedal se mueven mil hilos, suben y bajan
las devaneras, corren invisibles los cabos, y un golpecito solo fragua miles
de combinaciones. Así también el filósofo aparece y nos demuestra cómo
se debe proceder: lo primero tiene que ser así, lo segundo tiene que ser
2
TIENTO significa: mesura, cordura, prudencia.
4
asá, y de ahí se deriva lo tercero y lo cuarto, y si no existiera lo primero
y lo segundo, no tendríamos nunca lo tercero y lo cuarto. Así aprecian
los discípulos por doquier, pero ninguno ha llegado a ser tejedor. Quien aspira
a conocer y describir algo vivo, busca ante todo desentrañar el espíritu; tiene
entonces las partes en sus manos. Y sólo falta ¡por desgracia!, el lazo
espiritual.
¿ENTONCES QUÉ ES LA LÓGICA?
Si ocurrió, puede ser,
y si ocurriera, sería.
Pero como no ocurre, no es.
Eso es la lógica
Lewis Carrol
 Lo que nos dice Carroll es que la lógica tiene que ver con nuestra manera
de razonar. Y, como él lo dice, de eso trata la lógica.
 Todos razonamos. Tratamos de razonar sobre las bases de lo que ya
sabemos. Tratamos de persuadir a otros de que algo es así dándoles
razones. La lógica es el estudio de lo que cuenta como una buena razón
para explicar para qué y por qué.
La lógica es el lenguaje del razonamiento. Formalmente, es la ciencia
que se ocupa de la validez de la inferencia y la demostración.
A la lógica no le interesa si las premisas de una inferencia son verdadera o
falsas. Ése es asunto de alguien más. Le interesa simplemente si la
5
conclusión se sigue o resulta de las premisas. Así que la meta central de la
lógica es comprender la validez.
DEFINICIÓN DELÓGICA.
Es una ciencia formal porque sus objetos de conocimiento son las formas o
estructuras que adopta el pensamiento. Es una ciencia ideal porque se ocupa
de conceptos, juicios y raciocinios que son entes ideales y que constituyen el
pensamiento de una persona al hacer la interpretación de su entorno real. La
parte de la lógica que se ocupa de la corrección o validez del pensamiento
se llama lógica o dialéctica. La parte de la lógica que se ocupa de la verdad
del pensamiento se llama lógica material. (Barco Gómez, 2004 Pág 33)
Esto es lógica
Fuente: Lógica religiosa. http://www.diosesimaginario.com/index.php/2009/logica-religiosa/

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Logica proposicional

  • 1. INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO LÓGICA PROPOSICIONAL. Teoría ejercicios y taller MARGARITA PATIÑO JARAMILLO 4 DE FEBRERO DE 2015
  • 2. 1 LÓGICA PROPOSICIONAL Entrar a la página: http://margaritapatinojaram.wix.com/lp#! “Si así fue, así pudo ser; si así fuera, así podría ser; pero como no es, no es. Eso es lógica”. Tweedledee, en Through the Looking Glass, cap, IV, ¿POR QUÉ VAS A ESTUDIAR LÓGICA? LA RELEVANCIA DE LA LÓGICA, EN GENERAL: La lógica es una herramienta importante para todo tipo de conocimiento y de actividad racional, pero también para la vida cotidiana (donde, de hecho, la usamos de manera inadvertida). En palabras de Ricardo Guibourg: "Quejarnos porque la cuenta del restaurante es alta no nos dará ningún resultado: no lograremos convencer al mozo y pasaremos por mezquinos. Pero si encontramos algún error en la suma provocaremos una consulta y obtendremos, junto con la encomienda, las correspondientes excusas: tal es el poder de la aritmética, que ni los comerciantes se atreven contra ella. Y la aritmética no es una Invención diabólica, ni el arma secreta de la administración impositiva: es, simplemente, un sistema teórico que reconstruye, en abstracto, las relaciones que todos aceptamos entre las cantidades concretas. Dos más
  • 3. 2 dos es igual a cuatro en cualquier tiempo y lugar, se trate de dólares, camellos o vueltas en calesita; y el conjunto de las relaciones de este tipo, reunidas en una teoría matemática universalmente admitida, nos permite verificar formalmente la exactitud de cualquier calculo. Lo mismo ocurre con la lógica. Si alguien nos endilga un largo discurso sobre un tema que ignoramos, nos será difícil formarnos una idea sobre la verdad o falsedad de cada una de sus afirmaciones; pero si entre ellas hay dos que resulten contradictorias entre sí, no necesitaremos averiguar más para saber que en esa cháchara hay algo que no funciona bien. Al razonar de este modo habremos utilizado un sistema teórico - la lógica- que recopila, generaliza, abstrae y reconstruye en formulas las relaciones aceptables entre las proposiciones, aun con total prescindencia de su contenido: es decir, de modo completamente formal". Y, en palabras de Lewis Carroll1: "Domine usted la maquinaria de la lógica simbólica y tendrá siempre a mano una ocupación intelectual que absorberá su interés y que será de una efectiva utilidad en cualquier tema del que pueda ocuparse. Ello le proporcionara la claridad de pensamiento y la habilidad para encontrar el camino en medio de la confusión, el hábito de disponer sus ideas de una forma metódica y ordenada y -lo cual vale más que todo eso- el poder de detectar falacias y despedazar los argumentos insustancialmente ilógicos que encontrara de continuo en los libros, en los periódicos, en los discursos e incluso en los sermones, y que con tanta facilidad engañan a los que nunca se han tomado la molestia de aprender este arte fascinante." (El juego de la lógica) (González Lagier, s.f) 1 Lewis Carroll es el seudónimo por el que es conocido en la historia de la literatura Charles Lutwidge Dodgson (Daresbury, Cheshire, 27 de enero de 1832 – Guildford, Surrey, 14 de enero de 1898), sacerdote anglicano, lógico, matemático, fotógrafo y escritor británico. conocido sobre todo por su obra Alicia en el país de las maravillas.
  • 4. 3 CONTINUANDO… POR QUÉ TAN NECESARIA ES LA LÓGICA? Entonces: LA IMPORTANCIA DEL RAZONAMIENTO… Cuando uno de sus oyentes dijo, “Convénceme de que la lógica es útil”, él respondió: “¿Debo demostrarlo?”. “Si”. “Entonces, ¿no debo usar un argumento demostrativo?” Y cuando es otro se mostró de acuerdo, él dijo. “¿Cómo sabrás que no te impongo simplemente la conclusión?” Y, puesto que su interlocutor no tuvo respuesta, le dijo: “¿Ves como tú mismo aceptas que la lógica es necesaria?, sin ella no podrías aprender siquiera si es o no necesaria” Discursos de Epícteto  En Fausto, una de las obras de Goethe, Mefistófeles responde una pregunta (que un joven estudiante le hace acerca de cómo conocer la verdad en el cielo y en la tierra) de la siguiente manera:  Le aconsejo querido amigo seguir primero el curso de Lógica. Allí le peinarán debidamente el espíritu, se lo calzaran en boca de tortura, de suerte que se deslice con más tiento2 por el sendero del pensar y no tuerza acá y allá y se descarríe. En realidad, la fábrica de pensamientos es como la obra maestra del tejedor: A un golpe de pedal se mueven mil hilos, suben y bajan las devaneras, corren invisibles los cabos, y un golpecito solo fragua miles de combinaciones. Así también el filósofo aparece y nos demuestra cómo se debe proceder: lo primero tiene que ser así, lo segundo tiene que ser 2 TIENTO significa: mesura, cordura, prudencia.
  • 5. 4 asá, y de ahí se deriva lo tercero y lo cuarto, y si no existiera lo primero y lo segundo, no tendríamos nunca lo tercero y lo cuarto. Así aprecian los discípulos por doquier, pero ninguno ha llegado a ser tejedor. Quien aspira a conocer y describir algo vivo, busca ante todo desentrañar el espíritu; tiene entonces las partes en sus manos. Y sólo falta ¡por desgracia!, el lazo espiritual. ¿ENTONCES QUÉ ES LA LÓGICA? Si ocurrió, puede ser, y si ocurriera, sería. Pero como no ocurre, no es. Eso es la lógica Lewis Carrol  Lo que nos dice Carroll es que la lógica tiene que ver con nuestra manera de razonar. Y, como él lo dice, de eso trata la lógica.  Todos razonamos. Tratamos de razonar sobre las bases de lo que ya sabemos. Tratamos de persuadir a otros de que algo es así dándoles razones. La lógica es el estudio de lo que cuenta como una buena razón para explicar para qué y por qué. La lógica es el lenguaje del razonamiento. Formalmente, es la ciencia que se ocupa de la validez de la inferencia y la demostración. A la lógica no le interesa si las premisas de una inferencia son verdadera o falsas. Ése es asunto de alguien más. Le interesa simplemente si la
  • 6. 5 conclusión se sigue o resulta de las premisas. Así que la meta central de la lógica es comprender la validez. DEFINICIÓN DELÓGICA. Es una ciencia formal porque sus objetos de conocimiento son las formas o estructuras que adopta el pensamiento. Es una ciencia ideal porque se ocupa de conceptos, juicios y raciocinios que son entes ideales y que constituyen el pensamiento de una persona al hacer la interpretación de su entorno real. La parte de la lógica que se ocupa de la corrección o validez del pensamiento se llama lógica o dialéctica. La parte de la lógica que se ocupa de la verdad del pensamiento se llama lógica material. (Barco Gómez, 2004 Pág 33) Esto es lógica Fuente: Lógica religiosa. http://www.diosesimaginario.com/index.php/2009/logica-religiosa/
  • 7. 6 Fuente: Lógica Materna. http://www.elece.net/blog/2009/07/16/logica-materna FORMALIZACIÓN Y VALORACIÓN DE PROPOSICIONES FUNCIONES DEL LENGUAJE  FUNCION EXPRESIVA  Cuando se usa el lenguaje para comunicar sentimientos, valores, actitudes y emociones. El lenguaje sirve a la función expresiva siempre que se usa para expresar o inducir sentimientos o emociones. Ejemplos:  ¡Por Júpiter! ¡Casi me saco la lotería!  Valentín es bueno  El viento de la noche gira en el cielo y canta  ¡Bravo! ¡Qué felicidad!  Es hielo abrazador, es fuego helado, es herida, que duele y no se siente, es un soñado bien, un mal presente, es un breve descanso muy cansado.
  • 8. 7  FUNCION APELATIVA  Cuando se usa el lenguaje para generar o evitar una acción, puede tratarse de una orden, un pedido, una prohibición, una interrogante etcétera. Cuando un padre le dice a su hijo que se lave las manos antes de comer, la intención no consiste en comunicar una información o en expresar o evocar una emoción en particular. El lenguaje intenta en este caso obtener resultados, ocasionar la acción de tipo previsto. Ejemplos:  ¿Estas estudiando?  Debemos honrar a nuestros héroes a los símbolos patrios.  Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o degradantes.  Guíame, oh Señor, por la senda de tu justicia: haz que sea recto ante tus ojos mi camino por causa de mis enemigos.  ¡Firmes!, ¡Descanso!, ¡Atención!  FUNCIÓN INFORMATIVA  Cuando se usa el lenguaje para describir objetos, hechos o situaciones, haciendo referencia a las características o cualidades que se supone, le corresponden efectivamente. El lenguaje usado para para afirmar o negar proposiciones, o para presentar argumentos, se dice que sirve a la función informativa. Ejemplos:  El cuadrilátero es un polígono de 4 lados
  • 9. 8  El planeta Marte gira alrededor del Sol  El agua se congela a cero grados centígrados en condiciones normales.  J. M. Arguedas escribió El Sexto.  La lógica es una ciencia formal CONCEPTOS BÁSICOS Y ahora llegamos a la gran pregunta del porqué. El robo no ha sido el objeto del asesinato, puesto que nada desapareció. ¿Fue por motivos políticos, o fue una mujer? Esta es la pregunta con que me enfrento. Desde el principio me he inclinado hacia esta última suposición. Los asesinatos políticos se complacen demasiado en hacer su trabajo y huir. Este asesinato, por el contrario, había sido realizado muy deliberadamente, y quien lo perpetró ha dejado huellas por toda la habitación, mostrando que estuvo allí todo el tiempo. Arthur Conan Doyle. Un Estudio en Escarlata. 1887 De todas las funciones del lenguaje, la lógica toma en cuenta sólo aquellas oraciones que sirvan para afirmar, negar, describir, informar, etc. Estas oraciones son las declarativas o aseverativas y son las únicas que pueden constituir proposiciones, según cumplan o no determinados requisitos.
  • 10. 9 Ejemplos:  El ornitorrinco es ave.  El átomo es molécula.  Arguedas es un poeta peruano  Perú está en Europa.  Cinco más tres es ocho.  Gabriel García Márquez escribió Cien años de soledad.  6 es un número primo.  3 + 2 = 6  1 es un número entero, pero 2 no lo es. Este tipo de proposiciones se llaman simples, ya que no pueden descomponerse en otras. Ejemplo Las siguientes no son proposiciones.  ¡Qué linda está la mañana!  ¿Qué hora es? La proposición es una oración aseverativa de la que tiene sentido decir que es verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez Nota: Las proposiciones se notan con letras minúsculas, p, q, r . . . . . . La notación p: Tres más cuatro es igual a siete se utiliza para definir que p es la proposición “tres más cuatro es igual a siete”.
  • 11. 10  ¿Te vas?  Compra cinco azules y cuatro rojas.  x = 2  Es importante notar que lo que interesa básicamente en una expresión proposicional es su sentido de verdad o falsedad, porque oraciones distintas pueden expresar una misma proposición. Por ejemplo, las 3 oraciones siguientes expresan una sola proposición:  Luis y María son compañeros de promoción.  Luis es compañero de promoción de María  María es compañera de promoción de Luis. VALOR DE VERDAD Ejemplo Dígase cuáles de las siguientes afirmaciones son proposiciones y determinar el valor de Verdad de aquellas que lo sean. (a) p: Existe Premio Nobel de informática. (b) q: La tierra es el único planeta del Universo que tiene vida Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposición a su veracidad o falsedad. El valor de verdad de una proposición verdadera es verdad y el de una proposición falsa es falso (González, 2005)
  • 12. 11 (c) r: Teclee Escape para salir de la aplicación. (d) s: Cinco más siete es grande. Solución (a) p es una proposición falsa, es decir su valor de verdad es Falso. (b) No sabemos si q es una proposición ya que desconocemos si esta afirmación es verdadera o falsa. (c) r no es una proposición ya que no es verdadera ni es falsa. Es un mandato. (d) s no es una proposición ya que su enunciado, al carecer de contexto, es ambiguo. En efecto, cinco niñas más siete niños es un número grande de hijos en una familia, sin embargo cinco monedas de cinco céntimos más siete monedas de un céntimo no constituyen una cantidad de dinero PROPOSICIÓN COMPUESTA Si las proposiciones simples p1, p2, . . . , pn se combinan para formar la proposición P, diremos que P la es una proposición compuesta de p1, p2, . . . , pn. Ejemplo “La Matemática Discreta es mi asignatura preferida y Mozart fue un gran compositor” es una proposición compuesta por las proposiciones “La Matemática Discreta es mi asignatura preferida” y “Mozart fue un gran compositor”
  • 13. 12 “Él es inteligente o estudia todos los días” es una proposición compuesta por dos proposiciones: “Él es inteligente” y “Él estudia todos los días”. VARIABLES DE ENUNCIADO Es una proposición arbitraria con un valor de verdad no especificado, es decir, puede ser verdad o falsa. En el cálculo lógico, prescindiremos de los contenidos de los enunciados y los sustituiremos por variables de enunciado. Toda variable de enunciado p, puede ser sustituida por cualquier enunciado siendo sus posibles estados, verdadero o falso. El conjunto de los posibles valores de una proposición p, los representaremos en las llamadas tablas de verdad, ideadas por L. Wittgenstein3 CONECTIVOS LÓGICOS Y TABLAS DE VERDAD 3 Ludwig Josef Johann Wittgenstein (Viena, Austria, 26 de abril de 1889 — Cambridge, Reino Unido, 29 de abril de 1951) fue un filósofo, matemático, lingüista y lógico austríaco, y posteriormente nacionalizado británico. En vida publicó solamente un libro: el Tractatus logico-philosophicus, que influyó en gran medida a los positivistas lógicos del Círculo de Viena, movimiento del que nunca se consideró miembro. Tiempo después, el Tractatus fue severamente criticado por el propio Wittgenstein en Los cuadernos azul y marrón y en sus Investigaciones filosóficas, ambas obras póstumas. Fue discípulo de Bertrand Russell en el Trinity College de la Universidad de Cambridge, donde más tarde también él llegó a ser profesor. Nota: La propiedad fundamental de una proposición compuesta es que su valor de verdad está completamente determinado por los valores de verdad de las proposiciones que la componen junto con la forma en que están conectadas.
  • 14. 13 Se denominan conectivos lógicos a aquellas palabras o términos funcionales que ligan, juntan, unen o enlazan las proposiciones simples formando proposiciones compuestas. Los operadores o conectivos básicos son: CONECTIVO SÍMBOL O NOMBRE DE LA PROPOSICIÓN No ~ Negación Y ^ Conjunción O  Disyuntiva inclusiva o. . . o. . .  Disyuntiva exclusiva Si… entonces...  Condicional …si y sólo si …  Bicondicional A. NEGACIÓN (~): NO es un CONECTIVO, es un OPRADOR UNARIO. Se denomina proposición negativa aquella que cambia el valor de la proposición original. Se denota por: ~p,  p y se lee: “no p”. La negación, puede traducirse como: No es cierto que ... Nadie que sea ... Jamás ... Es falso que... No es el caso que ... Es inconcebible que... Nunca ... No es verdad que Es imposible que ... No ocurre que... Es absurdo que Es erróneo que ... Es mentira que ... No acaece que... De ningún modo … No es el caso que… Es inadmisible que… Es incierto que… Es refutable que… Es falaz que… En modo alguno… Ejemplo: p: INDECOPI es el Instituto Nacional de Defensa de la Competencia y de la Protección de la Propiedad Intelectual. ~p: Es falso que INDECOPI sea el Instituto Nacional de Defensa de la Competencia y de la Protección de la Propiedad Intelectual. Su tabla de verdad es como sigue:
  • 15. 14 p ~p 1 0 0 1 B. CONJUNCIÓN: Dadas las proposiciones “p”, “q”. La conjunción es el resultado de unir estas proposiciones con el conectivo lógico “y”. Se denota con el símbolo: “”, “”, se escribe “p  q”, “p  q” y se lee: “p y q”. La proposición conjuntiva es verdadera. Cuando las dos proposiciones son verdaderas. En nuestro lenguaje podemos emplear: Pero Aun cuando No obstante Sin embargo Al igual que Aunque Además Tanto …. como …. Más aún A la vez Siempre ambos…. con….. También Incluso No sólo….sino también…. Es compatible con Así como A pesar de Así mismo Del mismo modo ….con …. los dos a la vez De la misma forma que Ejemplo: Consideremos las siguientes proposiciones: p: “Roxana estudia” q: “Roxana escucha música” De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por: p  q: Roxana estudia al mismo tiempo que escucha música
  • 16. 15 Su tabla de verdad es como sigue: p q p  q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 C. DISYUNCIÓN: Es una proposición compuesta formada por “p” y por “q” relacionadas por el conectivo lógico “o”. Según el sentido del conectivo “o”, se puede interpretar de dos maneras: inclusiva o exclusiva. DISYUNCIÓN INCLUSIVA O DÉBIL: Se denota por “p  q”, “p + q” y se lee: “p o q”. La disyunción inclusiva es falsa sólo en el caso que ambas proporciones sean falsas. Se conoce como la suma lógica. Otras formas de conexión que nos indican una disyunción inclusiva son: A menos que O en todo caso Excepto que O también Salvo que O incluso A no ser que O bien Y bien o también Al menos uno de los dos …. o …. O sino Alternativamente Ejemplo: Consideremos: p: “Mañana estudiaremos Química” q: “Mañana estudiaremos Física” De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por: p  q: Mañana estudiaremos Química o sino estudiaremos Física p q p  q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
  • 17. 16  DISYUNCIÓN EXCLUSIVA O FUERTE: Se denota por: “p  q”, “p v q”, “p  q”, “p  q”, “p  q” y se lee: “p o q” pero no ambos. La disyunción exclusiva es verdadera sólo cuando una de las proposiciones es verdadera. Algunas formas de conectivos a emplear son: O ... o ... ... no equivale a ... O bien ... o bien ... No es cierto que...equivale a... No es equivalente ... con ... O solo .... o solo .... ....a menos que solamente... ...salvo que únicamente... ....excepto que sólo.... ....o bien necesariamente.... ....o exclusivamente.... ....no es idéntico a.... ....no es lo mismo que... Salvo que .... o .... Ejemplo: Consideremos: p: “Este año viajaré al extranjero” q: “Viajo a Lima” De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por: p  q: “Este año viajaré al extranjero salvo que únicamente viaje a Lima” D. Condicional: Proposición compuesta que resulta de la combinación de dos proposiciones simples, a través del conectivo: “Si ..., entonces ...” y su símbolo es : “”, “”. La notación “p  q”, “p  q” se lee “Si p, entonces q”. La proposición “p” se llama antecedente o hipótesis y la proposición “q” se llama consecuente o conclusión. La manera de expresar la condicional en el orden antecedente-consecuente p q p  q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
  • 18. 17 (“p q” Implicación directa), son las siguientes: Si p, entonces q p por tanto q Siempre que p entonces q p por consiguiente q p es suficiente para q p por ende q p implica q p por conclusión q Ya que p bien se ve que q Dado que p por eso q En cuanto p por tanto q Porque p por eso q Ejemplo: consideremos: p: “La producción es buena” q: “Habrá mayor rentabilidad en la empresa” De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por: p q: “Si la producción es buena, habrá mayor rentabilidad en la empresa” q  p: “Habrá mayor rentabilidad en la empresa siempre que la producción sea buena“ Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta “si p, entonces q” se le llama “proposición condicional” y se nota por p → q A la proposición “p” se le llama hipótesis, antecedente, premisa condición suficiente y a la “q” tesis, consecuente, conclusión o condición necesaria del condicional. Una proposición condicional es falsa únicamente cuando siendo verdad la hipótesis, la conclusión es falsa (no se debe deducir una conclusión falsa de una hipótesis verdadera). p q p  q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
  • 19. 18 Recordando su tabla de verdad: Obsérvese que si p → q es verdad no puede deducirse prácticamente nada sobre los valores de verdad de p y q ya que pueden ser ambas verdad, ambas falsas o la primera falsa y la segunda verdad. Ahora bien, si el condicional p → q es falso, entonces podemos asegurar que p es verdadera y q falsa. Otras formulaciones equivalentes de la proposición condicional p → q q son: “p sólo si q”. “q si p”. “p es una condición suficiente para q”. “q es una condición necesaria para p”. “q se sigue de p”. “q a condición de p”. “q es una consecuencia lógica de p.” “q cuando p”. Analizaremos con detalle cada uno de los cuatro casos que se presentan en la tabla de verdad. p q p  q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
  • 20. 19 1. Antecedente y consecuente verdaderos. En este caso parece evidente que el condicional “si p, entonces q” se evalúe como verdadero. Por ejemplo, “Si como mucho, entonces engordo” es una sentencia que se evalúa como verdadera en el caso de que tanto el antecedente como el consecuente sean verdaderos. Ahora bien, obsérvese que ha de evaluarse también como verdadero un condicional en el que no exista una relación de causa entre el antecedente y el consecuente. Por ejemplo, el condicional: “Si García Lorca fue un poeta, entonces Gauss fue un matemático” ha de evaluarse como verdadero y no existe relación causal entre el antecedente y el consecuente. Es por esta razón que no hay que confundir el condicional con la implicación lógica. “García Lorca fue un poeta implica que Gauss fue un matemático” Es una implicación falsa desde el punto de vista lógico. Más adelante estudiaremos la implicación lógica. 2. Antecedente verdadero y consecuente falso. En este caso parece natural decir que el condicional se evalúa como falso.
  • 21. 20 Por ejemplo, supongamos que un político aspirante a Presidente del Gobierno promete: “Si gano las elecciones, entonces bajaré los impuestos” Este condicional será falso sólo si ganando las elecciones, el político no baja los impuestos. A nadie se le ocurriría reprochar al político que no ha bajado los impuestos si no ha ganado las elecciones. Obsérvese que el hecho de que p sea verdadero y, sin embargo, q sea falso viene, en realidad, a refutar la sentencia p → q , es decir la hace falsa. 2. Antecedente falso y consecuente verdadero. Nuestro sentido común nos indica que el condicional p → q no es, en este caso, ni verdadero ni falso. Parece ilógico preguntarse por la veracidad o falsedad de un condicional cuando la condición expresada por el antecedente no se cumple. Sin embargo, esta respuesta del sentido común no nos sirve, estamos en lógica binaria y todo ha de evaluarse bien como verdadero, bien como falso, es decir, si una sentencia no es verdadera, entonces es falsa y viceversa. Veamos que en el caso que nos ocupa, podemos asegurar que el condicional no es falso. En efecto, como dijimos anteriormente, p → q es lo mismo que afirmar que “p es una condición suficiente para q” Es decir, p no es la única condición posible, por lo cual puede darse el caso de que q sea verdadero siendo p falso. O sea, la falsedad del antecedente
  • 22. 21 no hace falso al condicional y si no lo hace falso, entonces lo hace verdadero. Por ejemplo, “Si estudio mucho, entonces me canso” ¿Qué ocurriría si no estudio y, sin embargo, me cansara? Pues que la sentencia no sería inválida, ya que no se dice que no pueda haber otros motivos que me puedan producir cansancio. 4. ANTECEDENTE Y CONSECUENTE FALSOS. La situación es parecida a la anterior. La condición p no se verifica, es decir, es falsa, por lo que el consecuente q puede ser tanto verdadero como falso y el condicional, al no ser falso, será verdadero. Obsérvese, anecdóticamente, que es muy frecuente el uso de este condicional en el lenguaje coloquial, cuando se quiere señalar que, ante un dislate4, cualquier otro está justificado. “Si tú eres programador, entonces yo soy el dueño de Microsoft” Ejemplo: Sean p, q y r las proposiciones: “El número N es par”, “La salida va a la pantalla” y “Los resultados se dirigen a la impresora”, respectivamente. Enunciar las formulaciones equivalentes de las siguientes proposiciones. 4 DISLATE: disparate, absurdo, insensatez…
  • 23. 22        a)q p b) q r c)r p q Solución: a)q p  Si la salida va a la pantalla, entonces el número N es par  La salida ira a la pantalla, sólo si el número N es par.  El número N es par si la salida va a la pantalla.  Una condición necesaria para que la salida vaya a la pantalla es que el número N sea par.  Una condición suficiente para que el número N sea par es que la salida vaya a la pantalla.  b) q r  Si la salida no va a la pantalla, entonces los resultados se dirigen a la impresora.  La salida no va a la pantalla sólo si los resultados se dirigen a la impresora.  Los resultados se dirigen a la impresora si la salida no va a la pantalla.  Una condición suficiente para que los resultados se dirijan a la impresora es que la salida no vaya a la pantalla.  Una condición necesaria para que la salida no vaya a la pantalla es que los resultados se dirijan a la impresora.
  • 24. 23   c)r p q  Si los resultados se dirigen a la impresora, entonces el número N es par o la salida va a la pantalla.  Los resultados se dirigen a la impresora sólo si el número N es par o la salida vaya a la pantalla.  El número N es par o la salida va a la pantalla si los resultados se dirigen a la impresora. Una condición suficiente para que el número N sea par o la salida vaya a la pantalla es que los resultados se dirijan a la impresora PROPOSICIÓN RECIPROCA Dada la proposición condicional p → q , su reciproca es la proposición, también condicional, q → p Por ejemplo, la reciproca de “Si la salida no va a la pantalla, entonces los resultados se dirigen a la impresora” será “Si los resultados se dirigen a la impresora, entonces la salida no va a la pantalla”. Puede también expresarse en el orden consecuente-antecedente q →p p”) Implicación inversa o recíproca q si p q es implicada para p q de modo que p q siempre que p q cada vez que p q puesto que p q es necesario para p q en vista que p q porque p Sólo si p, q Sólo cuando p, q Solamente porque p, q q dado que p q ya que p q cada vez que p q a condición de que p q dado que p q se concluye de p q supone que p q sigue de p Únicamente si p, q
  • 25. 24 PROPOSICIÓN CONTRARRECÍPROCA Dada la proposición condicional p → q , su contrarreíproca es la proposición, también condicional, ¬q → ¬ p Por ejemplo, la contrarrecíproca de la proposición “Si María estudia mucho, entonces es buena estudiante” es “Si María no es buena estudiante, entonces no estudia mucho”. Ejemplo: Escribir la recíproca y la contrarrecíproca de cada una de las afirmaciones siguientes: (a) Si llueve, no voy. (b) Me quedare, sólo si tú te vas. (c) Si tienes cien pesetas, entonces puedes comprar un helado. (d) No puedo completar la respuesta si no me ayudas. Solución Escribiremos la recíproca y la contrarrecíproca de varias formas. (a) Si llueve, no voy. Reciproca.  Si no voy, entonces llueve.
  • 26. 25  Llueve si no voy.  Una condición necesaria para no ir es que llueva.  Una condición suficiente para que llueva es no ir. Contrarrecíproca.  Si voy, entonces no llueve.  Voy sólo si no llueve.  Es necesario que no llueva, para que vaya.  Es suficiente que vaya para que no llueva. (b) Me quedaré sólo si te vas. Recíproca.  Si te vas, entonces me quedaré.  Me quedaré, si te vas.  Una condición necesaria para que te vayas, es quedarme.  Una condición suficiente para quedarme es que te vayas. Contrarrecíproca.  Si no te vas, entonces no me quedaré.  No me quedaré si no te vas.  Es suficiente que no te vayas, para no quedarme. (c) No puedo completar la respuesta si no me ayudas.
  • 27. 26 Reciproca.  Si no puedo completar la respuesta, entonces no me ayudas. Contrarrecíproca.  Si puedo completar la respuesta, entonces me ayudas.  Puedo completar la respuesta sólo si me ayudas.  Es necesario que ayudes para poder completar la respuesta. E.- BICONDICIONAL: Cuando dos proposiciones están unidas por el conectivo lógico “...si y sólo si...”, cuyo símbolo es: “”, “”, “”. La proposición compuesta se denota por: “p  q”, “p  q”, “p  q” y se lee: “p sí y sólo si q”. La proposición bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas. También se suele emplear expresiones como: Ejemplo: Consideremos: p: “El que yo te sonría” q: “Yo te enamore” …siempre y cuando… Es suficiente para que suficiente sea …es equivalente a… Es condición necesaria y suficiente para …es lo mismo que… …por lo cual y según lo cual… …cuando y sólo cuando… …cada vez que y sólo si… Si y sólo si p, q …si de la forma… …siempre que y sólo cuando… …implica y está implicado por… …es idéntico a… Siempre que … y siempre que …
  • 28. 27 De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por: p  q: El que yo te sonría es lo mismo que yo te enamore. Su tabla de verdad queda de la siguiente manera: TAUTOLOGÍAS Y CONTRADICCIONES Sea P una proposición compuesta de las proposiciones simples p1, p2…, pn Ejemplo: Establecer si las siguientes proposiciones son tautologías, contingencias o contradicciones. p q p  q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q p  q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 P es una Tautología si es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a p1, p2, . . . , pn. P es una Contradicción si es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a p1, p2, . . . , pn. Una proposición P que no es tautología ni contradicción se llama, usualmente, Contingencia o indeterminación
  • 29. 28                          1. p q q p 2)p q r p q p r    3. p q q   4. p p q                                     5. p q p 6. p q p p q 7. p q r s p r q s IMPLICACIÓN Estudiamos en este apartado la implicación lógica entre dos proposiciones. IMPLICACIÓN LÓGICA Se dice que la proposición P implica lógicamente la proposición Q, y se escribe P =) Q, si Q es verdad cuando P es verdad. Obsérvese que esto es equivalente a decir que P =) Q es falso si P es falso cuando Q es falso, ya que si P es verdad siendo Q falso, no se cumpliría la definición anterior. Ejemplo: Dadas las proposiciones p y q, demostrar que la negación de p ó q implica lógicamente la negación de p. Solución:
  • 30. 29 Lo que se pide es probar que     p q p, es decir si cada vez que  ( p q) es verdad, ¬p también lo es. En efecto, si  ( p q) es verdad, entonces ( p q) es falso, de aquí que p sea falso y, consecuentemente, ¬ p sea verdad. También podemos decir que si ¬p es falso, entonces p es verdad, luego ( p q)es verdad (cualquiera quesea el valor de verdad de q) y, por lo tanto,   p q es falso. _ Ejemplos: 1. Mario Vargas Llosa obtuvo el Premio Nobel de Literatura 2010. Fórmula será simplemente: p 2. Democracia significa un modo de vida en el que la libertad y la justicia están presentes. 3. p = Democracia significa un modo de vida en el que la libertad está presente q = Democracia significa un modo de vida en el que la justicia está presente Fórmula: p ∧ q 4. O está lloviendo y garuando, o está soplando el viento. p= Está lloviendo; q =Está garuando; r = Está soplando el viento Fórmula: (p ∧ q)  r 5. Si Pablo se queda, entonces Luis se va. p= Pablo se queda; q= Luis se va Fórmula: p → q 6. Cientos de vidas podrían salvarse cada año si la gente utilizara el cinturón de seguridad.
  • 31. 30 p = cientos de vidas pueden salvarse cada año; q= La gente utiliza el cinturón de seguridad Fórmula: q → p 7. No es el caso que, si la luna está hecha de queso verde, entonces los vehículos espaciales no pueden alunizar en ella. p= La luna está hecha de queso verde; q= Los vehículos espaciales pueden alunizar en la luna Fórmula: ¬(p → ¬q) 8. Si los verdaderos amigos tienen todo en común, entonces tú no puedes ser más rico que tu compañero si dices que son verdaderos amigos. p= Los verdaderos amigos tienen todo en común q= Puedes ser más rico que tu compañero r= Dices que tú y tu compañero son verdaderos amigos. Fórmula: p → (r → q) 9. Dos es un número primo porque sólo es divisible por sí mismo y por la unidad. p = 2 es un número primo q = 2 es divisible por sí mismo r = 2 es divisible por la unidad Fórmula: p ↔ (q ∧ r) 10. Decir que la suma de sucesiones positivas es una sucesión positiva y el producto de sucesiones positivas es una sucesión positiva equivale a decir que la suma y el producto de dos números reales positivos es un número real positivo. p = La suma de sucesiones positivas es una sucesión positiva q = El producto de sucesiones positivas es una sucesión positiva r = La suma de dos números reales positivos es un número real positivo s = El producto de dos números reales positivos es un número real positivo. Fórmula: (p ∧ q) ↔ (r ∧ s)
  • 32. 31 11. Si el Rh de la futura madre es negativo, debe analizarse inmediatamente después de cada parto la sangre del recién nacido y, si ésta es Rh positivo, ha de administrarse a la parturienta el suero apropiado si se desea evitar complicaciones a otros hijos. p = El Rh de la futura madre es negativo. q = La sangre del recién nacido debe analizarse inmediatamente después de cada parto r = La sangre del recién nacido es Rh positivo s = Ha de administrarse a la parturienta el suero apropiado. t = Se desea evitar complicaciones a otros hijos. Fórmula: (p → q) ∧ (r → (t → s)) 1.1. VALORACIÓN DE LAS PROPOSICIONES Para determinar la valoración de las proposiciones moleculares, es necesario tener en cuenta las tablas de verdad. Para la construcción de tablas de verdad debemos tener los siguientes hechos: 1. Determinar el número posibles de combinaciones. Si hay proposiciones, el número de combinaciones será n 2 2. Se debe procurar respetar el orden de los valores de verdad dentro de la tabla así por ejemplo: 3. Si hay tres proposiciones, el número de combinaciones serán ; por lo tanto para primera proposición serán 4 verdaderas y 2 falsas; para la segunda proposición 2 verdaderas y 2 falsas; para la tercera: una verdadera y la otra falsa.
  • 33. 32 Considere los siguientes ejemplos: a) “Los virus son alternados no obstante son virulentos. Por tanto tienen una clasificación” Tenemos las proposiciones: p: “Los virus son alternados” q: “Los virus son virulentos” r: “Tienen una clasificación” Se formaliza por: (p  q)  r Luego: como se puede observar el esquema molecular tiene 3 proposiciones simples, es decir que para este caso se tiene: 2 3 = 8 asignaciones posibles para los valores de verdad en total. La tabla de verdad para el esquema molecular, está dada por: b) Siempre que se apruebe el crédito entonces compraré el departamento; sin embargo se aprueba el crédito. Por tanto compraré el departamento. Sean las proposiciones: p q r (p  q)  r 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1
  • 34. 33 p: “Se aprueba el crédito” q: “Compraré el departamento” Se formaliza por: [(p  q)  p]  q La tabla de verdad para el esquema molecular, está dada por: c) La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos económicos pero los analistas en economía buscan soluciones, a pesar de que la crisis mundial no afecta a los países de bajos recursos. Tenemos las proposiciones: p: “La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos económicos” q: “Los analistas en economía buscan soluciones” p: “La crisis mundial no afecta a los países de bajos recursos económicos” Se formaliza por: (p  q)  p La tabla de verdad para el esquema molecular, está dada por: Como podemos apreciar las proposiciones, las expresamos en forma simbólica; a su vez que podemos encontrar sus valores de verdad. Con el fin de diferenciar los valores resultados de las expresiones, se definen los siguientes conceptos: p q [(p  q)  p]  q 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 p q (p  q)  p 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0
  • 35. 34 A. Tautología: Una expresión es tautológica, cuando los valores de su conectivo principal resultan ser verdaderos, para todas las asignaciones posibles de la tabla de verdad. Ver ejemplo (b). B. Contradicción o falacia: La expresión resulta ser una contradicción, cuando los valores de su conectivo principal resultan ser falsos, para todas las asignaciones posibles de la tabla de verdad. Ver ejemplo (c). C. Contingencia o indeterminación: Aquella expresión, que en su conectivo principal resulten valores verdaderos y falsos a la vez, para todas las posibles asignaciones de la tabla de verdad. Ver ejemplo (a). ACTIVIDADES 1. Construye la tabla de verdad para cada una de los siguientes esquemas moleculares, y determina si es: tautología, contradicción o contingencia. 1. 𝑞  (r  s) 2. (p  q)  ~(~p  ~q) 3. (p  q)  (p  ~ q) 4. (p  q)  (q  p) 5. ~[~(p  q)  ~ q]  p 6. [(p  q)  ~ p]  (~ q  p) 7. [(p  q)  (p  ~ q)]  (~ p  ~q) 8. [(p  q)  (p  q)]  [(p  q)  (q  p)] 9. ~~[(p  q)  (~p  r)]  ~(~r  q)  r 10. [p  (q  r)]  [q  (p  r)]  [(p  q)  r ]
  • 36. 35 2. A continuación se presenta una serie de ejercicios en la cual se especifica lo siguiente: 1. Si p es una proposición falsa, determinar el valor de verdad de: {(𝑝  ~𝑟)  [𝑟  (~𝑞  𝑝)]}  (𝑝  𝑞 2. Si ~[(𝑝  ~ 𝑠)  ~ (𝑟  ~𝑠)] ⟶ ~(𝑞  𝑠) es Falsa. Determine los valores de verdad de: a) 𝑝  𝑞 b) 𝑟  𝑠 c) 𝑟  ~𝑠 d) (𝑝  ~𝑞)  𝑟 3. Si [~(𝑝  (~𝑠  𝑞))  ~(𝑟  ~𝑞)] es verdadera. Determine los valores de verdad de: a) (𝑟  𝑝)  (𝑞  𝑠) b) 𝑟  𝑠 c) 𝑟  ~𝑞 4. Determinar el valor de verdad de la proposición molecular [(𝑝  𝑞)   𝑝]  (𝑟  𝑝) sabiendo que p es verdadera, q y r falsas. Hallar su valor de verdad. 5. Si la proposición (𝑝   𝑞)  ( 𝑟  𝑠) es falsa, deduzca el valor de verdad de los esquemas moleculares: a) ( 𝑝   𝑞)   𝑝 b) (𝑝  𝑞)  [(𝑝  𝑞)   𝑞] c) ( 𝑟  𝑞)  [( 𝑞  𝑟)  𝑠] 6. Si p y r son dos proposiciones cualesquiera y q: “2 es número impar”, y [(𝑟  𝑞)  (𝑟  𝑝)] Es de valor de verdad 0, cero, entonces el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares es: a) 𝑟  ( 𝑝   𝑞) b) [𝑟  (𝑝  𝑞)]  (𝑞   𝑝)
  • 37. 36 ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN 1. Escribe en forma simbólica, identificando cada una de las proposiciones atómicas que aparezca en las afirmaciones siguientes: 1. Esta fiesta es muy divertida y la música es muy buena, por lo cual y según lo cual todos la pasaron de maravilla. 2. Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción, más aún si la música es merengue a no ser que no baile. 3. Si no estoy equivocado, ella conducía un carro rojo, y había un hombre sentado a su lado. 4. Dos niños tienen los mismos apellidos si y sólo si tienen la misma madre y el mismo padre. 5. O Hugo tiene razón, o María y Carlos son o ambos culpables o ambos son inocentes 6. Si se ganan las elecciones y nuestros representantes acceden al poder, confiaremos en ellos si y sólo si cumplen sus promesas y el poder no les corrompe. 7. El abogado no es justo ni competente, a condición de que es falso que no haya consultado con los peritos sobre la cotización del inmueble embargado. 8. Es inobjetable que, una condición suficiente para que los países europeos tengan baja inflación por lo tanto estabilidad económica, es que sus gobiernos tienen programas estratégicos de crecimiento así como modelos económicos. 9. Subirán los intereses bancarios porque subirá la cotización del dólar, en vista de que, subirá la cotización del dólar sólo si el gobierno no puede controlar la inflación.
  • 38. 37 10. Los candidatos mienten en sus promesas y el pueblo les cree pero si hablaran la verdad el pueblo no les creería, es por eso que el Perú está como país subdesarrollado. 2. Construye la tabla de verdad para cada una de los siguientes esquemas moleculares, y determina si es: tautología, contradicción o contingencia. 1. [~(p  q)  ~r]  {[ (~p  q)  ~r]  p} 2. [p  (q  r)]  ~ [(p  q)  (r  q)] 3. [~(p  q)  ~r]  [(q  ~p)  (r  ~r)] 4. {p  [q  (r  ~p)]}  (q  ~s) 5. [~p  (~q  r)]  [(q  r)  (p  r)] 6. {[(p  q) r]  (p  q)}  r 7. [(p  q) (~p  q)] [(p  ~q)  (~p  ~q)]. 3. A continuación se presenta una serie de ejercicios en la cual se especifica lo siguiente: Si la proposición: [(p  q) r]  (s  q), es falsa. Determine los valores de verdad de “p”, “q”, “r” y “s” 4. Si la proposición: p  (q  r) es falsa y la proposición s es verdadera. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? I) ( 𝑝  𝑞) II)  𝑠  ( 𝑝  𝑟) III) (𝑝   𝑞)   𝑟 IV) ( 𝑝  𝑞)  𝑟 5. Si el valor de verdad del esquema molecular:  [ (𝑝   𝑞) (𝑟  𝑞)] (𝑞 ⨁ 𝑠) es uno, determine los valores de verdad de:
  • 39. 38 a) 𝒑  𝑞 b) 𝒓  𝑠 c) 𝑟  ~𝑠 6. Decida si cada una de las oraciones siguientes es o no una proposición. 1. Un código postal de la ciudad de Medellín es 345 2. Tenga un feliz día. 3. Levántese y pase a que lo cuenten. 4. 98 + 10 = 108 5. 2 + 4 = 6 y 27 + 11 =38 6. El baile es saludable. 7. Desde 1950, más personas han muerto en accidentes automovilísticos que de cáncer. 8. Los Mazda son mejores automóviles que los Toyota. 9. Preste atención. 10. El fútbol se juega con un balón. 11. Aristóteles nació en Estagira. 12. Los hombres son mortales. 13. Quiero ir al colegio. 14. ¡Tengo hambre! 15. Debes ir a estudiar. 16.La ballena es un mamífero.
  • 40. 39 17.La abeja produce la cera. II. Decida si cada una de las proposiciones siguientes es compuesta. 18.Mi hermana contrajo matrimonio en París. 19.Yo leo novelas y periódicos. 20.Si Jaime es un político entonces Carlos es un ladrón. 21.El sol es una estrella y la luna es un satélite de la tierra. 22.Hace calor pero hay humedad en el aire. 23.Si hace bonito día entonces vamos al paseo. 24.Manuel obtendrá el diploma si y sólo si termina todos sus estudios y paga todos los derechos. 25.El curso de lógica matemática es muy interesante y el de español es sencillo. III. Escriba la negación para cada una de las proposiciones siguientes. 26.Se regarán las flores. 27.El nombre de su abuela es Leticia. 28.Hoy no llovió al norte de Medellín. 29.Cada perro tiene su día. 30.Todos los estudiantes presentes tendrán otra oportunidad, 31.María Teresa irá al baile.
  • 41. 40 32.El sol ilumina la tierra y la nieve enfría el páramo. 33.Roma es la capital de Italia. 34.María Teresa irá al baile. 35.El sol ilumina la tierra y la nieve enfría el páramo. 36.Roma es la capital de Italia. IV. Usando las letras: P, Q, R, S y T, para abreviar las proposiciones simples: “Egipto disminuye sus aprovisionamientos”, “Irán eleva el precio del petróleo”, “Jordania pide ayuda a Estados unidos”, “Arabia Saudita compra otros quinientos aviones de guerra”. Simbolice lo siguiente: 37.Irán y Libia aumentarán el precio del petróleo. 38.Irán y Libia no aumentarán el precio del petróleo. 39.Irán o Libia aumentarán el precio del petróleo pero no lo harán ambos a la vez. 40.Irán eleva el precio del petróleo pero Libia no aumenta el precio del petróleo. 41. Arabia Saudí compra otros quinientos aviones de guerra y o bien Irán eleva el precio del petróleo o Jordania pide más ayuda norteamericana. V. Represente con P a la proposición “Ella tiene ojos azules” y con Q a “Él tiene 43 años de edad” y traduzca cada proposición compuesta a palabras.
  • 42. 41 42. P 43. Q 44. P  Q 45. P  Q 46. P  Q 47. (P  Q) 48. P  Q 49. P  Q 50. P  Q 51. (P  Q). 7. Realiza la tabla de verdad para las siguientes proposiciones: 1. ((p q)  (¬q p)) 2.  (p  q) 3.  (p  q)  q 4. [ (p  q)  q ]  q 5. (p  q)  p  q 6. (p  q)  p  q 7. [ (p  q)  r]  s 8. (r  s)  (p  s) 9. (s  q)  p 10.( P  Q )  ( P  Q ) 11. 2) P   P  ( Q  P ) 12. 3) ( P  Q )  P   P 13. 4) ( P  Q )  R  ( R  P )  ( S  P) 14.( P  ( Q  R )  ( P  Q )  ( P  R ) 15.(p →  q) ↔ (q →  p) Ayuda: entra a la siguiente dirección de internet: http://media.wix.com/ugd/d3be72_7c67667315c352f747dac5a08c32e76c.docx?dn=EJ EMPLOS%2BSIMPLIF%2BLEYES.docx
  • 43. 42 8. Decida si cada una de las oraciones siguientes es o no una proposición lógica. Marque con una X las que sean proposición El código postal de Medellín es 0500000 El 12 de octubre de 1949 fue Miércoles Tenga un día feliz 8+15=23 El baile es saludable 9-4=5 y 2+1=6 Un galón de agua pesa más de 5 libras No todos los números son positivos Levántese y pase a que lo cuenten Los Toyota son mejores autos que los Dodge 9. Decida si las siguientes proposiciones son simples o compuestas Proposición simple compuesta Yo leo novelas y leo periódicos 3 + 5<6 Luís canta o baila Si Francisco no es un político, entonces Edgardo es un ladrón Mi hermana contrajo matrimonio en París 10.En la columna de la izquierda hay una lista de proposiciones. Para cada una de ellas, indique si la correspondiente proposición a la derecha es o no su negación. Si no lo es, escriba correctamente la negación. Proposición El pizarrón es verde El pizarrón es negro 4 es múltiplo de 8 4 no es múltiplo de 8 El conjunto A tiene un solo elemento El conjunto A es vacío A es un conjunto vacío A tiene al menos un elemento A ≤ B A > B A B A  B A < B C A  B ó B>C Hoy no llovió en Medellín Hoy llovió en Medellín 11.Represente con p la proposición “Ella tiene ojos azules” y con q a “El tiene 43 años de edad”. Traduzca cada proposición compuesta a palabras. Proposición Traducción A p
  • 44. 43 B qp  C qp  D q E qp F  qp  G  qp  H qp  20- Conteste 1. Si sabemos que p es verdadera ¿Qué podemos decir acerca del valor de verdad de qp , aun cuando no tenemos el valor de verdad de q? 2. Si p es falsa, ¿Qué podemos saber acerca del valor de verdad de qp  , aun cuando no tenemos el valor de verdad de q? 3. Si p es falsa, ¿Cuál es el valor de verdad de  rqp  ? 12.Si p es una proposición falsa y q una proposición verdadera. Encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas: 13. Suponga que p representa una proposición verdadera y q y r son proposiciones falsas. Encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas   prq a)    qrqr b)    qrqpc)  14. Construya la tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones compuestas qp a)  qpq b)    qpqpc)  pa)  qb)  qqc)    pqp d) qpe)    qqpf)  qp g)  qp h)
  • 45. 44 15.Decida cuando cada proposición es verdadera o falsa 1. Si el antecedente de una proposición condicional es falso, la proposición condicional es verdadera. 2. Si el consecuente de una proposición condicional es verdadero, la proposición condicional es verdadera. 3. si q es verdadera, entonces p q q  es verdadera. 4. La negación de “Si los cerdos vuelan, yo lo creería” es “si los cerdos no vuelan, yo no lo creería” 5. La proposición “si esto vuela, entonces es un pájaro” y “esto no vuela o es un pájaro” son proposiciones lógicas equivalentes. 6. Dado que p es verdadera y q falsa, la condicional p q es verdadera. 16. Complete la siguiente tabla. Antecedente Consecuente Si hace frío entonces uso guantes 2x>10 si x>5 Todo cuadrado es paralelogramo Ser mendocino es suficiente para ser argentino 17. Sean p ,q y r las proposiciones siguientes: p : “está lloviendo'' q : “el sol está brillando'' r : “hay nubes en el cielo''. Traduzca los siguientes enunciados a notación lógica, utilizando p , q , r y conectivos lógicos. 1. Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo. 2. Si no está lloviendo, entonces el Sol no está brillando y hay nubes en el cielo. 3. El Sol está brillando si y sólo si no está lloviendo. 4. Si no hay nubes en el cielo, entonces el Sol está brillando.
  • 46. 45 18. Sean p , q y r como en el ejercicio anterior. Traduzca las siguientes proposiciones a oraciones en español. 1. ( )p q r  2. ( )p q r   3. ( )p r q  4. ( ( ))p q r   19. Realice la tabla de verdad y concluya si se trata de una tautología, una contradicción o una contingencia. 1) ( p  q )   q 2) ( p v  p )  ( q   q ) 3) ( p  q )  (q  p) 4)  ( p   p )  r 5) ( p   q )  ( q v  r ) 6) ( p  q )  (  q   p ) 7) ( p v q )  ( p  q ) 8)  [( p  q ) v  (  p  r )]  [( p  q  r )  (  p  q  r )] 9) { [( p  q )   r ]  [ ( p v q)  r] } v ( q  r ) 10) [( q  r )   p]  [( r v s)  (p v q)] 11)  p  ( q  r )    [( t  t )  (  s v  q )]  (  p v  s)} 12.  ( p  q )  p    ( q v r )  (  q   r )  13. ( p  q )    ( p   q )   (  p  q )  14.  ( p  q ) v r     r  ( p  q )  15.   p  (q  r )]  ( r  s ) }  {( r  s )  [ p  ( q  r )]} 16.  (  p  q )  ( q  r )   (  p  r ) 17. ( p  r )  ( q  s )  [( p  q )  (r  s )]
  • 47. 46 20. Formalizar el siguiente razonamiento: ( Es decir, que siga la lectura y simbolice el enunciado, utilizando las letras proposicionales P, Q, R, S, T Si utilizo un amperímetro, averiguaré la intensidad de la corriente eléctrica que atraviesa este circuito. Si utilizo un voltímetro, averiguaré la diferencia de potencial existente entre dos puntos del mismo. Si averiguo la intensidad y la diferencia de potencial, podré calcular la resistencia eléctrica del conductor. Utilizo un amperímetro y un voltímetro. Luego, podré calcular la resistencia eléctrica del conductor {( p q ) ( r s ) [ ( q s ) t ] ( p r ) } t 21. Sabiendo que p tiene valor de verdad igual a 1, que q es cero (0), y r es cero (0), determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1. [ ( p → ( q  r)] 2. ( p  q)  ( p v  q) 3. p   (q   r) 4.  q   (p   r) 5. [ p  (p  r)]  r 6. [ (p → q)  q  r) ]  (p  r) 22. Demostrar que los siguientes esquemas moleculares son equivalentes a) p  ( q  r ) ]  [ ( p  q )  ( p  r ) b)  p  ( q  r ) ]   ( p  q )  ( p  r ) c) ( p  ( q  r)  (p  q )  r d) (p  (q  r)  (p  q)  r e)  ( p  q )  (  p   q ) f)  ( p  q )  (  p   q)
  • 48. 47 LEYES DE AL LÓGICA En lógica, las tautologías son conocidas con el nombre de leyes o principios lógicos. A continuación anotamos las principales leyes que vamos a utilizarlos en el futuro y que usted de familiarizarse: L- 1: Leyes de Idempotencia para  y para  Si p es una proposición simple o compuesta, entonces: a. (p  p)  p b. (p  p)  p Según estas leyes, las proporciones ( p  p) o (p  p) pueden sustituirse por p. L – 2: Leyes de Identidad para  y para  Si p es una proposición simple o compuesta, entonces: a) p  ( 1 )  ( 1 ); es decir, cuando formamos la disyunción de una proporción p, cuyo valor de verdad es desconocido, con otra cuyo valor de verdad de ( 1 ), el resultado es ( 1 ), ya que la disyunción es ( 1 ) cuando al menos una de las proposiciones dadas es verdadera. b) p  ( 0 )  p; es decir, el valor de verdad de la disyunción de una proposición p, cuyo valor de verdad no conocemos, con otra cuyo valor de verdad es ( 0 ), depende del valor de p. c) p  ( 1 )  p; en este caso el análisis es similar a la parte b), teniendo en cuenta que aquí el conector es
  • 49. 48 d) p  ( 0 )  ( 0 ); el análisis es similar al de la parte a), teniendo en cuenta aquí que el conector es  L- 3: Leyes Conmutativas  y para  Si p y q son proposiciones, entonces: a) ( p  q )  ( q  p ) b) (p  q )  (q  p), es decir, dos proporciones conectadas con   pueden escribirse en cualquier orden. L - 4: Leyes Asociativas Si p, q, , son proposiciones cualesquiera, entonces: g) ( p  ( q  r)  (p  q )  r h) (p  (q  r)  (p  q)  r L– 5: Leyes Distributivas: Si p, q, r son proposiciones cualesquiera, entonces. i) [ p  ( q  r ) ]  [ ( p  q )  ( p  r ) j)  p  ( q  r ) ]  ( p  q )  ( p  r ) Estas leyes son similares a las que conocemos en el álgebra para la suma y la multiplicación. Recordemos que: 4( x + y ) = (4x) + ( 4y) L – 6: Ley de la Doble Negación:
  • 50. 49 Si p es una proposición simple cualquiera, entonces:  (  p )  p Al negar dos veces una proposición obtenemos una afirmación. L – 7: Ley del Tercer Excluido: Si p es una proposición cualesquiera, entonces: ( p   p)  (1 ) Estas leyes nos indican cómo negar una disyunción y una conjunción. La parte: a) establece que para negar una conjunción es necesario cambiar la conjunción por disyunción ( por ) y negar las proposiciones dadas. La parte b) establece que para negar una disyunción debemos cambiar la disyunción por la conjunción (la  por ) y negar las proposiciones dadas. Ejemplo: Negar la proposición: “7 es un número primo y 30 es divisible por 5”. Solución: Cambiamos “y” por “o” y negamos las proposiciones simples que forman el enunciado, así: “7 no es un número primo o 30 no es divisible por 5”. L– 10: Ley de la condicional: Usando tablas de verdad podemos verificar que: p  q equivale a  p  q . La proposición p  q es una abreviación de la proposición  p  q; es decir: ( p  q )  (  p  q)
  • 51. 50 NOTA: Son muchos los esquemas lógicos que ofrecen alguna complejidad y pueden simplificarse utilizando esta definición alterna del condicional. Esta propiedad establece que independientemente del valor de verdad que tenga p, la proposición: (p   p) siempre es verdadera. Por tanto, en un esquema lógico complejo podemos reemplazar (p   p), (q   q), (r   r), (a  b)   (a  b), etc., por (1). L – 8: Ley de Contradicción: Si p es una proposición cualesquiera, entonces: ( p   p )  ( 0 ) Esquemas como (p   p), (q   q), (r   r) pueden remplazarse por (0) L – 9: Leyes de De Morgan: Si p, q son proposiciones simples o compuestas, entonces: k)  ( p  q )  (  p   q ) l)  ( p  q )  (  p   q ) L- 11 Ley de la Bicondicional p  q  ( p  q )  ( q  p ) L- 12 Conjunción Negativa.- p  q   p   q L-13 Disyunción Exclusiva.- p  q  ( p  q )   ( p  q) APLICACIONES DE LAS LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL
  • 52. 51 Las leyes nos pueden servir para demostrar que un esquema es equivalente a otro, también podemos utilizar en la simplificación de proposiciones etc. Ejemplo 1: Probemos que  ( p  q )   p   q )] SOLUCIÓN: 1.  ( P  Q )   ( p )  q  Definición alterna de implicación 2.   ( p)   ( q ) Ley de De Morgan para  3.  p  ( q) Ley de la Doble Negación Luego:  ( p  q )   p  (q) Ejemplo 2: Probemos que la proposición ( p  q)  p es una tautología. SOLUCIÓN: 1.  ( p  q )  p ]   ( p  q )  p Definición alterna de  2.  (  p   q)  p Ley de De Morgan para  3.  (  p  p )  (  q) Ley Asociativa de la  4.  ( 1 )  (  q ) Ley del Tercer excluido 5.  (1 ) Ley dominación de la  Por lo tanto, al ser ( p  q )  p  ( 1 ), concluimos que es una tautología. Ejemplos: 1. Probemos que la proposición [ ( p  q)  (  q)]  (  p) es una tautología. 2. Probemos que la siguiente proposición es una contradicción:  [  p  q )  (  p  q ) ]   [  (  p  q )    (  p  q ) Elaborar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones y decir en cada caso si se trata de una tautología, una contradicción o una determinación. a)  ( p   q)  ( p  q ) b) ( p   q)  (  p  q) c) p  ( q  r )
  • 53. 52 d) p  (  p  q) e) (  p   q )  ( p  q) f) ( p  q )   p g) (  q  r )  ( q   r) h) ( r   r )  r Los siguientes ejercicios deben resolverse aplicando las Leyes del Álgebra proposicional y no por tablas de verdad.- Probar que las proposiciones siguientes son tautologías: a) [ q  ( p  q ) ]  (  p ) b) [ ( p  q )   q ]  ( p ) c) [ ( p  ( q  r ) ]  [ ( p  q )  r ] d) [ p  ( p  q ) ]  q e) p  ( p  q ) Simplificar la siguiente proposición utilizando leyes: a)   p   q )  ( p  q ) b) p  ( p   q ) c)  m  ( m   n ) d)  [ t  ( m  t )  e)   ( p  q )  (  p  q ) ] LEYES DE LA LÓGICA LEY NOMBRE L1. (P ) P Ley de la doble negación L2. P  P P  P Leyes de identidad L3. P  0  P P  1  P P  1  1 P  0  0 Ley de dominación 1 Ley de dominación 2 Ley de dominación 3 Ley de dominación 4 L4. P  P  P P  P  P Ley de idempotencia 1 Ley de idempotencia 2
  • 54. 53 L5. P  P  0 L6. P  P  1 Ley de contradicción Ley del medio o tercero excluido L7. P  Q  P P  Q  Q Ley para la simplificación. Ley para la simplificación. L8. P  (P  Q) Q  (P  Q) Leyes de adición L9. (P  Q)  (Q  P) (P  Q)  (Q  P) (P  Q)  (Q  P) (P  Q) NO es conmutativo Ley conmutativa para la disyunción Ley conmutativa para la conjunción Ley conmutativa para el bicondicional L10. (P  Q)  R  (P  (Q  R) (P  Q)  R  (P  ( Q  R) (P  Q)  R  (P  (Q  R) Ley asociativa de la conjunción. Ley asociativa de la disyunción. Ley asociativa del bicondicional. L11. P  (Q  R)  ( P  Q)  (P  R) P  (Q  R)  ( P  Q)  ( P  R) P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R) P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R) ( P  Q)  ( P  R)  P  (Q  R) ( P  Q)  (P  R)  P  (Q  R) Ley distributiva de la conjunción por la disyunción Ley distributiva de la disyunción por la conjunción Ley distributiva del condicional por la conjunción Ley distributiva del condicional por la disyunción. Otra presentación para la ley distributiva L12. (P  Q)  R  P  (Q  R) Ley de exportación o transportación. L14. (P  Q)  (Q  R)  (P  R) (P  Q)  (Q  R)  (P  R) Ley de transitividad del condicional. Ley de transitividad del bicondicional. L15. (P  Q)  (P  R)  (Q  R)  R (P  Q)  (P  R)  (Q  S)  (R  S) (P  Q)  (R  P)  (S  Q)  (R  S) Ley del dilema constructivo. Segunda ley del dilema constructivo. Ley del dilema destructivo. L16. (P  Q)  ( Q  P) (P  Q)  (Q  P) Ley de transposición para el condicional. Ley de transposición para el bicondicional L17. (P  Q)  (P Q)  (Q P) (P  Q)  (P  Q)  (P  Q) (P  Q)  (P  Q)  (P  Q) Ley del bicondicional (definición de ). Segunda ley del bicondicional. Tercera ley del bicondicional. L18. (P  Q)  (P  Q) (P  Q)  (P  Q) Ley del condicional disyunción Ley del condicional conjunción
  • 55. 54 (P  Q)  (Q  P) Ley del contrarrecíproco L19. (P  Q)  (P  Q) (P  Q)  (P  Q) (P  Q)  (P  Q) Ley de dualidad de Morgan. Segunda ley de Morgan. Tercera ley de Morgan. L20. (P  Q)  P  Q Ley de Modus Ponendo Ponens L21. (P  Q)  Q  P Ley de Modus Tollendo Tollens. L22. (P  Q)  P  Q Ley de Modus Tollendo Ponens. Reglas de inferencia: Para inferir un razonamiento a partir de otros se requiere de un proceso en el que se aplican propiedades o leyes fijadas de antemano y que no hayan sido obtenidas de casos particulares o para casos particulares. Estas leyes dan la certeza de que solo es posible obtener conclusiones ciertas de premisas ciertas. 1.- MODUS PONENDO PONENS ( REGLA DE SEPARACIÓN): Su abreviatura es PP. Simbólicamente tenemos: p  q (1) p (1) _______  q (1) Su fórmula inferencial es: [ ( p  q )  p   q Si una proposición condicional es verdadera y si verdadero el antecedente, entonces necesariamente será verdadero el consecuente. Ejemplo:
  • 56. 55 Premisa 1: Si él está en el partido de fútbol, entonces él está en el estadio. Premisa 2: El está en el partido de fútbol Conclusión: El está en el estadio. Se simboliza de la siguiente manera el ejercicio anterior p  q (1) p (2) _______  q (conclusión) Ejercicios: A. ¿Qué conclusión se puede sacar de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas? Es decir ¿qué proposición lógica se sigue de las premisas? 1) Si usted está en Madrid, entonces su reloj señala la misa hora que en Barcelona. Usted está en Madrid. 2) Si no nos despedimos ahora, entonces no cumpliremos nuestro plan. No nos despedimos ahora. 3) Si vivo en la capital del Ecuador, entonces no vivo en ninguno de las 21 provincias del Ecuador. Vivo en la capital del Ecuador. B. Utilizando Modus Ponendo Ponens sacar una conclusión de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes. Escribir la conclusión en la línea (3) 1) p  q  r 2) p  q 3)
  • 57. 56 1)  p   r 2) p 3) 1)  r 2)  r  q  p C. Poner una C junto a cada ejemplo en el que la conclusión es correcta según el Modus Poniendo Ponens. Poner una I junto a cada conclusión incorrecta. 1. Premisas: s y s  t: conclusión: t 2. Premisas: t  v y t: conclusión v 3. Premisas: p  q y q: conclusión r 4. Premisas: s y r  s 5. Premisas: r y r  s 2. DOBLE NEGACIÓN. La regla de doble negación es una regla simple que permite pasar de una premisa única a la conclusión. Simbólicamente tenemos:  p (1) p (1) ________ _______ p (1)   p (1) Ejemplo: No ocurre que María no es estudiante Simbolizando el ejemplo anterior tenemos:  p (1) ________ p (1) La conclusión es que María es estudiante.
  • 58. 57 Ejercicios: A. Qué conclusión podemos sacar de cada una de las proposiciones siguientes por la doble negación: 1. Todos los mamíferos son animales de sangre caliente 2. El granito es un tipo de mineral ígneo 3. No ocurre que un quinto no es el veinte por cierto B. Demostrar que las conclusiones son consecuencia de las premisas dadas: 1. Demostrar:  t 2. Demostrar: b (1) s  t (1)  a (2) s (2)  a   b 3.- MODUS TOLLENDO TOLLENS. Su abreviatura es TT. Simbólicamente tenemos: (1) (1)  p (1) Su fórmula es: [ ( p  q )   q ]   p Si una proposición condicional es verdadera y si es verdadera la negación del consecuente, entonces necesariamente será verdadera la negación del antecedente. Ejemplo: Premisa 1: Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrella Premisa 2: El astro no es una estrella. Conclusión: Por tanto no tiene luz propia p  q  q
  • 59. 58 Se simboliza de la siguiente manera el ejercicio anterior  p TT 1, 2 Ejercicios: A. ¿Qué conclusión se puede deducir de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes utilizando TT? Escribir las conclusiones es castellano. 1) Si la luz fuera simplemente un movimiento ondulatorio continuo, entonces la luz más brillante dará lugar siempre a una emisión de electrones con mayor energía que los originados por luz más tenue. La luz más brillante no siempre emite electrones con mayor energía que los originados. 2) Si un ángulo de un triángulo es mayor de 90 grados, entonces la suma de los otros dos ángulos es menor de 90 grados. La sima de los otros dos ángulos no es menor de 90 grados. 3) Si el arriendo se mantiene válido, entonces el dueño es responsable de las reparaciones. El dueño no es responsable de las reptaciones. B. Deducir una conclusión de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes, aplicando la regla del Modus Tollendo Tollens. 1. (1) q  r 2. (1) q   r 3. (1) ( p  q)  r (2)  r (2)  r (2)  r C. Demostrar que las conclusiones son consecuencia de las premisas dadas. Indicar la demostración completa. p  q  q
  • 60. 59 Demostrar: c Demostrar: r  s Demostrar: (1)  b (1) p  q (1) f (2) a  b (2) q (2)  e   f (3)  a  c (3)  p  r  s 4.- MODUS TOLLENDO PONENS. Su abreviatura es: MTP Simbólicamente tenemos: q p Sus fórmulas son:  (p  q )   p   q  (p  q )   q   p Si una proposición disyuntiva es verdadera y si es verdadera la negación de una de sus componentes, entonces necesariamente será verdadera la otra componente de la disyunción. Ejemplo: Supóngase que se tiene como premisa: O esta sustancia contiene hidrógeno o contiene oxígeno La segunda premisa dice: Esta sustancia no contiene oxígeno p  q  p p  q  q
  • 61. 60 Por medio del Modus Tollendo Ponens se puede concluir: Esta sustancia contiene oxígeno Para aclarar la forma de esta inferencia, se puede simbolizar el ejemplo: p: Esta sustancia contiene hidrógeno q: Esta sustancia contiene oxígeno La demostración de la conclusión es: q TP 1, 2 Ejercicios: A. ¿Qué conclusión, en forma de proposición escrita en castellano, se puede deducir de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes utilizando la regla TP? 1. Este hombre o es un abogado o es un político. No es un abogado. 2. Juan o ha terminado el libro o no ha ido a devolverlo hoy a la biblioteca. 3. Juan no ha terminado el libro. B. Deducir una conclusión de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas usando el Modus Tollendo Ponens. (1)  q  r P (1) t  ( p  q) P (1) (s  t)  r P (2)  r P (2)  t P (2)  (s  t) P C. Demostrar que las conclusiones son consecuencia de las premisas dadas en los Ejercicios que siguen. Dar una demostración completa. p  q P  p P
  • 62. 61 1) Demostrar: p 2) Demostrar a  b 3)Demostrar: p (1) p  q P (1)  a  b P (1) t  p  q P (2)  t P (2)  a  e P (2)  t P (3) q  t P (3)  e P (3)  q P 5.- TAUTOLOGÍA SIMPLIFICATIVA Simbólicamente tenemos: p  q p p  q q Su fórmula es: (p  q)  p (p  q)  q Si una conjunción de proposiciones es verdadera entonces necesariamente será verdadera cada una de sus componentes. Ejemplo: Apruebo los talleres y apruebo el módulo 2 Premisa 1: apruebo los talleres Premisa 2: apruebo el módulo 2 Conclusión: 1) apruebo los talleres Conclusión: 2) apruebo el módulo 2 6.- TAUTOLOGÍA ADJUNCIÓN Simbólicamente tenemos:
  • 63. 62 p q p  q Su fórmula es:  ( p )  ( q )   ( p  q) Si dos proporciones cualesquiera son verdaderas, entonces necesariamente será verdadera la conjunción que con dichas proposiciones se forme. Ejemplo: Salí bien en el examen y tengo 10 p: salí bien en el examen q: tengo 10 (p  q ) : salí bien en el examen y tengo 10 7. TAUTOLOGÍA ADICIÓN Simbólicamente tenemos: p p  q Su fórmula es: p   p  q] Si una proposición cualesquiera es verdadera, entonces necesariamente será verdadera la disyunción que se forme con dicha proposición y cualquier otra. Ejemplo:
  • 64. 63 Estudio con responsabilidad o pierdo el módulo p: estudio con responsabilidad q: pierdo el módulo p  q: estudio con responsabilidad o pierdo el módulo. 8. SILOGISMO HIPOTÉTICO (LEY TRANSITIVA). Su abreviatura es HS Simbólicamente tenemos: p  q q  r p  r Su fórmula es: ( p  q )  ( r  s )  ( p  r )  (q  s) Si una proposición condicional es verdadera y si es verdadera otra condicional que tenga como antecedente el consecuente de la primera, entonces necesariamente será verdadera otra condicional que tenga por antecedente el de la primea y por consecuente el consecuente de la segunda. Ejemplo: (1) Si hace calor, entonces Juana va a nadar (2) Si Juana va a nadar, entonces arregla la casa después de comer. Se puede concluir: (3) Si hace calor, entonces arregla la casa después de comer. Ejercicios
  • 65. 64 En los ejemplos siguientes de la ley del silogismo hipotético obsérvese que algunos de los antecedentes y consecuentes son proposiciones moleculares. La forma, sin embargo es la misma. a. (1)  p   q P (2)  q   r P (3)  p   r HS 1,2 b. (1) (p  q)  r P (2) r  (q  t ) P (3) (p  q)  ( q  t ) HS 1,2 A. ¿Qué conclusiones se puede sacar, si se puede sacar alguna, por la ley de silogismo hipotético de los conjuntos de proposiciones siguientes? 1. Si el agua se hiela, entonces sus moléculas forman cristales. Si las moléculas forman cristales, entonces el agua aumenta de volumen. 2. Si un haz fino de fotones penetran en un gas en una cámara de niebla, entonces los fotones expulsan electrones de lo s átomos del gas. Si los fotones expulsan electrones de átomos de gas, entonces la energía de la luz se convierte en energía cinética de los electrones. B. Traducir los razonamientos del ejercicio A en símbolos lógicos y demostrar que su conclusión es consecuencia lógica de las premisas. C. Utilizar la ley del silogismo hipotético y obtener una conclusión del siguiente conjunto de premisas. 1. (1) q   p 2. (1) s  t  r  q (2)  p  r (2) r  q  p D. Indicar una deducción formal de las siguientes conclusiones a partir de las premisas dadas.
  • 66. 65 1. Demostrar:  t 2. Demostrar: q (1) ( q  r)  p (1)  r  s (2) r  t (2) s  p  q (3) ( q  r )   t (3) r  t (4)  t 9.- SILOGISMO DISYUNTIVO (LEY DEL DILEMA). Su abreviatura es DS Simbólicamente tenemos: p  q r  s p  r q  s Su fórmula es: (p  q)  (r  s )  (p  q)  (q  s) Si dos proposiciones condicionales son verdaderas y si es verdadera la disyunción que se forme con los antecedentes de dichas condicionales, entonces necesariamente será verdadera la disyunción que se forme con los consecuentes. Ejemplo: O llueve o el campo está seco Si llueve, entonces jugaremos dentro. Si el campo está seco, entonces jugaremos al baloncesto ¿Qué conclusión se puede sacar de estas proposiciones? La conclusión es que o jugaremos dentro o jugaremos el baloncesto. La conclusión es otra disyunción. Simbolizamos: r: llueve
  • 67. 66 d: el campo está seco p: jugaremos dentro b: jugaremos al baloncesto Esto se simboliza así: (1) r  d P (2) r  p P (3) d  b P (4) p  b D S1, 2, y 3 Ejercicios: A. ¿Qué conclusión se puede sacar de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas, por la ley del silogismo disyuntivo? Dar como conclusión una proposición en lenguaje corriente. 4) O Juan tiene mayoría o Pedro tiene mayoría. Si Juan tiene mayoría. Pedro será el tesorero. Si Pedro tiene mayoría, entonces Juan será el tesorero. 5) O la planta es una planta verde o es una planta no verde. Si es una planta verde, entonces fabrica su propio elemento. Si es una planta no verde, entonces depende de las materias de otras plantas para su alimento. B. Simbolizar los razonamientos de los ejemplos anteriores y demostrar que las conclusiones son consecuencia lógica de las premisas. C. Utilizar la ley del silogismo disyuntivo (DS) para obtener una conclusión de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas.
  • 68. 67 1. (1) p   q 2. (1)  t   s (2)  q  r (2)  s  p (3) p   s (3) t  q 6. Dar una deducción completamente formal de las siguientes conclusiones a partir de las premisas dadas. 7. 1. Demostrar: r  (p  q ) 2. Demostrar:  q  s (1) p  q (1) s   r (2) q  r (2) r   t (3) p  t (3) q  t (4)  t 10. CONMUTATIVA Simbólicamente tenemos: p  q p  q _______ ______ q  p q  p Su fórmula es: (p  q )  (q  p) (p  q)  ( q  p) Ejemplo: Pedro trabaja y estudia p  q Por lo tanto: Pedro estudia y trabaja q  p 11. SIMPLIFICACION DISYUNTIVA: Simbólicamente tenemos: p p ________ p Su fórmula es: (p  p)  p
  • 69. 68 Ejemplo: Pedro trabaja o Pedro trabaja p  p Se concluye: que Pedro trabaja. 12. LAS LEYES DE DE MORGAN: Simbólicamente tenemos: a)  (p  q) b)  p  q ______ ________  p   q  (p q) Ejemplos: a) No ocurre a la vez que: hace calor o que hace frío  (p  q) Se puede también expresar: No hace calor y no hace frío  p   q b) No llueve y no hace sol  p  q Se puede también expresar: No ocurre que: llueve o haga sol  (p  q) RESUMEN REGLAS DE INFERENCIA: 1. MODUS PONENDO PONENS (PP): 2. REGLA DE LA DOBLE NEGACIÓN (D. N) ( P) P ; P ( P)    
  • 70. 69 3. MODUS TOLLENDO TOLENS (T.T) P Q Q P    ; ó P Q Q P    ; ó P Q Q P P      4. REGLA DE SIMPLIFICACIÓN (S): P Q P  ; ó P Q Q  5. REGLADE ADICIÓN (AD): P P Q ; ó Q Q P 6. SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH): P Q Q R P R    7. DILEMA CONSTRUCTIVO (DC): P Q P R Q S R S ó S R      O SILOGISMO DISYUNTIVO (SD) 8. SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (SD): P P P  9. MODUS TOLLENDO PONENS (TP) P Q P Q   ; ó P Q Q P   ; ó P Q Q P   ; ó P Q P Q   10. REGLA DEL BICONDICIONAL (RB):
  • 71. 70 P Q P Q   ; ó P Q Q P   ; ó   P Q (P Q) Q P     ; ó P Q Q P P Q    11. REGLA DE UNIÓN O ADJUNCIÓN (U): P P Q P R Q R    ; ó Q R Q R 12. REGLA CONMUTATIVA (C): P Q Q P   ; ó P Q Q P   ; ó P Q Q P   13. REGLAS DE DUALIDAD DE MORGAN:        P Q P QP Q P Q A) ; B) ; C) ; D) P Q P Q P Q P Q                            P Q P QP Q P Q E) ; F) ; G) ; H) P Q P Q P Q P Q                    Ejercicios: A. ¿Qué se puede concluir de las premisas siguientes utilizando las leyes de De Morgan? 1. O los arácnidos no son insectos o no tienen ocho patas 2. No ocurre que o el aire es un buen conductor del calor o el agua es un buen conductor del calor. 3. No ocurre que los murciélagos son pájaros o que las focas son peces B. Aplicar las leyes de De Morgan para deducir conclusiones:
  • 72. 71 1.  ( p  q) 2.  r   t 3.  ( r   s) 4.  g   h C. Indicar una demostración formal completa para cada uno de los razonamientos simbolizados siguientes: 1. Demostrar:  s 2. Demostrar: r  q (1)  (p  q) (1)  s   ( p  t) (2)  q  t (2) t  (q  r) (3)  p  t (3)  s (4) s   t D. Dar una demostración formal completa para cada uno de los razonamientos siguientes: 1. Demostrar: x = 1 (1)  (z  3)  ( x  y)  y = 2 (2) x  y  x = 1 (3) x  z  x  y (4) x  z  x  y 13.- REGLA DE LA BICONDICIONAL. Su abreviatura es LB Simbólicamente tenemos: p  q p  q ___________________ q  p (p  q )  (q  p) ____________ p  q Ejercicios: A. Simbolizar las siguientes proposiciones y dar una deducción formal: 1. Esta ley será aprobada en esta sesión si y solo si es apoyada por la mayoría. O es apoyada por la mayoría o el gobernador se opone a ella. Si el gobernador se opone a ella, entonces será pospuesta en las
  • 73. 72 deliberaciones del comité. Por tanto o esta ley será aprobada en esta sesión o será pospuesta en la deliberación del comité. 2. 3 x 5 = 12  5 +5 +5 = 12 4 x 4  13 5 +5 +5 = 12  4 x 4 = 13 Por lo tanto: 3 x 5  12 B. Dar una demostración formal completa de cada uno de los razonamientos siguientes: 1. Demostrar: 2 x 5 = 5 + 5  2 x 4 = 4 + 4 (1) 2 x 4 = 4 + 4  2 x 5 = 5 + 5 2. Demostrar: x = 4  3x + 2 = 14 (1) 3x + 2 = 14  3x = 12 (2) 3x = 12  x = 4 14. CONJUNCIÓN NEGATIVA Simbólicamente: p  q _________  p  q Su fórmula es: (p  q)  ( p  q) Ejemplo: Ni Luis estudia ni Juan trabaja p  q Se concluye que: Luis no estudia y Juan no trabaja.  p  q 15. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA Simbólicamente:
  • 74. 73 p  q _____________ (p  q )   ( p  q) Ejemplo: Inés es hija de Pedro o hija de Luis p v q Se concluye: Inés es hija de Pedro o Inés es hija de Luis y no es cierto que: Inés es hija de Pedro y de Luis PROCESOS DE DEDUCCIÓN De un conjunto de premisas dadas, que se puede deducir: 1. Determinar el valor de verdad de las premisas. Si alguna de ellas es falsa no es posible inferir nada de ellas. Ejemplo: que se puede deducir de: 2 + 3 = 5  3 = 3 4 + 2 = 7  9 + 2 = 11 4 + 2 = 7  2 = 2 Determinamos el valor de verdad 2 + 3 = 5  3 = 3 V 4 + 2 = 7  9 + 2 = 11 V 4 + 2 = 7  2 = 2 F De este conjunto de premisas no se puede concluir nada. 2. Determinar si las premisas son inconsistentes o no.
  • 75. 74 a. Si las premisas no son consistentes (inconsistentes) no se puede inferir nada de ellas. b. Si las premisas son consistentes es posible deducir una conclusión utilizando las reglas de inferencia. Ejemplo: que se deduce de: Si 3 + 2 = 5, 6 – 4 = 2 Si 6 – 4 = 2, 6 = 3 + 3 1. Determinamos el valor de verdad de las premisas: 3 + 2 = 5  6 – 4 = 2 V 6 – 4 = 2  6 = 3 + 3 V 2. Determinamos la conclusión: 3 + 2 = 5  6 = 3 + 3 Ejemplo: Considerando que las premisas son verdaderas, que se puede deducir de: p  q  r  p q  r p  q P1  r  p P2 q  r P3  r C1 de P2 (Regla de la simplificación)  q C2 de P3 y C1 (M T.T)  p C3 de P1 y C2 (M. T.T) p C4 de P2 (Regla de la simplificación) p  p C5 de C3 y C4 (Regla de adjunción) Las premisas son inconsistentes, en consecuencia nada se puede deducir de ellas
  • 76. 75 Ejercicios: Que se puede deducir de: 1. 4 + 3 = 7  2 = 2 3. q v r 3 + 2 = 6  4 + 3 = 7  q  p 3 + 2  6  2  2  r  ( s  t) 2.  p  q 4. p  q  p  q   s  (r  p)  s  q MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN Los métodos de demostración pueden ser: directo, condicional e indirecto. La demostración de una proposición tiene por objeto establecer que es verdad, infiriéndola de verdades conocidas o ya demostradas. MÉTODO DIRECTO: Consiste en inferir una conclusión, partiendo únicamente de un conjunto de premisas. Ejemplo: Demostrar: s; de p  q p  q P1 p  s p  s P2 q  s q  s P3 s  C1; de P1, P2 y P3 (Regla del Silogismo Disy.) s C; de C1 (Simplificación Disyuntiva) REGLA DE DEMOSTRACIÓN CONDICIONAL: (R.D.C) Si de un conjunto de premisas y de p se deduce q, entonces de tal conjunto de premisas se deduce p  q.
  • 77. 76 La premisa p, puede ser introducida en cualquier momento del proceso deductivo. Ejemplo: Demuestre:  q  s; de: p  q p  s No existe regla alguna que nos permita inferir la conclusión pedida, sin embargo por la regla de la demostración condicional si podemos concluir así: p  q P1 p  s P2  q P p C1; P1 y P (Modus T.P.) s C2; P2 y C1 (Modus P. P)  q  s C, (R.D.C) DEMOSTRACIÓN INDIRECTA: Esta demostración se la denomina también demostración por contradicción o reducción al absurdo. Según el Modus Tollens, se puede deducir la negación del antecedente de una condicional cuando se sabe que el consecuente es falso. Si el consecuente es una contradicción se sabe que es lógicamente falso. Así de p  ( q   q), se puede deducir  p. (Ley del Absurdo) Ejemplo: Demuestre:  s, de: q   s P1 p  q P2 p  r P3 s   r P4 r   s C1; P2, P1 y P3 (Silogismo disyuntivo)
  • 78. 77 s P r C2; C1 y P (Doble Neg. Y M.T.P)  r C3; P4, y P (M.P.P) r   r C4; de C2 y C3 (Regla de Adjunción) s  ( r  r) C5; de P y C4 (Regla de contradicción.)  s C; de C5 Ley del absurdo REGLA DE LA DEMOSTRACIÓN CONTRA RECIPROCA (R. C. R) Si de un conjunto de premisas, se infiere  q   p, de dicho conjunto se infiere también: p  q. (que es la contra recíproca) Ejemplo: Demostrar:  q   (p  r) de: p  q r  q Demostraremos: (p  r )  q de: p  q P1 r  q P2 p  r P p C1, de P (Simplificativa) r C2, de P (Simplificativa) q C3, de C1 y P1 (M.P.P) (p  r)  q C4, de P y C3 (R.D. C)  q   (p  ) C. de C4 (R. C. R) Tarea: Resolver ejercicios, aplicando los métodos y reglas antes indicadas. CIRCUITOS DE CONMUTACIÓN (CIRCUITOS ELCTRICOS, conformados por wiches) El valor de verdad de una proposición puede asociarse al pasaje de corriente en un circuito eléctrico controlado por un interruptor. En efecto, para representar un interruptor mediante una proposición p, se tiene:
  • 79. 78 p p Circuito cerrado Circuito abierto Es decir, el interruptor está cerrado (pasa corriente) si V(p) = 1, y está abierto (no pasa corriente) si V(p) = 0. De aquí establecemos una identificación entre las proposiciones y los interruptores de un circuito eléctrico. Las operaciones proposicionales (conjunción, disyunción, etc.) pueden representarse mediante circuitos con tantos interruptores como proposiciones componentes. Considerando las clases de instalaciones: en serie y en paralelo, es factible diseñar esquemas de circuitos eléctricos para representar a proposiciones compuestas o viceversa. CIRCUITOS EN SERIE: Consideremos dos interruptores p y q conectados en serie: p q Se observa que este circuito admite poso de corriente cuando los dos (interruptores p y q están cerrados, en cualquier otro caso no hay paso de corriente. De aquí tenemos el comportamiento de la conjunción de las proposiciones p  q. Por tanto: a) p  q: representa un circuito cerrado en serie, que deja posar corriente solo si los interruptores p y q están cerrados a la vez. Diremos que solo en este estado p  q es verdadera. c) ¬ p ¬ q: representa un circuito abierto en serie que deja pasar corriente. Diremos entonces que en este estado ¬ p ¬ q es falsa. d)
  • 80. 79 p q  p  q p  q  p   q Circuitos en paralelo: Consideremos ahora dos interruptores instalados en paralelo: p q Se observa en el circuito que hay paso de corriente cuando uno de los interruptores o ambos están cerrados; no hay paso de corriente cuando los dos interruptores están abiertos. Tenemos, entonces, el comportamiento de la disyunción de las proposiciones p y q. La falsedad de p  q, es decir, el hecho de que no pase corriente, solo se verifica en el caso de la falsedad simultánea de p  q; Por tanto: a) p  q: representa un circuito cerrado en paralelo que deja pasar corriente si por lo menos uno de los interruptores eléctricos está cerrado. Diremos que solo en este estado p  q es verdadero b) ¬ p  ¬ q: representa un circuito abierto en paralelo que no deja pasar corriente, polo que en este estado ¬ p  ¬ q es 0 p ¬ p q ¬ q p  q  p   q Las representaciones anteriores nos permiten diseñar o simbolizar redes de circuitos eléctricos conectados en serie y en paralelo, o también simplificar circuitos muy complicados haciendo uso de las ya conocidas equivalencias notables.
  • 81. 80 Ejemplo: Disertar circuitos lógicos de las siguientes proposiciones: a) (p  q)  r b) p  q c) p  q Solución: a) Vemos que (p  q)  r es la conjunción de p  q y r, que deben estar conectados en serie: p  q r Pero, p  q se representa por: (1) p q Luego sustituyendo en (1), tendremos la representación pedida, esto es: p r q b) Según la condicional: p  q  ¬ p  q Luego, la representación de p  q, es la disyunción (conexión en paralelo) de ¬ p q. Esto es:  p q c) De la equivalencia: p  q  (p  q)  (q  p)  (¬ p  q )  (¬ q  p) Entonces, la representación de p  q es conjunción (conexión en serie) de (¬ p v q ) y (¬ q  p), esto es: ¬ p  q ¬ q  p
  • 82. 81 Pero ¬p  q y ¬ q  p, se representan, respectivamente, por: (2) ¬ q ¬ p q p Sustituyendo en (2) se tiene: (3  p q q p Pero, según la equivalencia: p  q  ( p  q )  (¬ p  ¬ q) Representando la disyunción de p  q y ¬ p  ¬ q, tendremos: Los circuitos (3) y (4) son representaciones de p  q; se dice entonces que (3) y (4) son circuitos equivalentes. Ejercicios: 1. Describir simbólicamente el circuito: p r ¬ q q ¬ r 2. . Determinar el circuito equivalente al circuito: ¬ p ¬ q p p  q q q ¬ p
  • 83. 82 q q p p q 3. Construir el circuito lógico equivalente del esquema:      pqppqp  ¬ p q 4. ¿La proposición p ∆ q (Disyunción exclusiva) a cuáles de los siguientes circuitos es equivalente? p  q p p p q (1) (2) q p q q  p p q (3) (4) p  q q p 6. Qué representa el circuito equivalente a: p ¬ p q ¬ q p q ¬ p ¬ q 6. Hallar la menor expresión que representa el circuito: p r ¬ q q q ¬ r ¬ r q r ¬ q
  • 84. 83 7. Sea A el circuito lógico más simple correspondiente a la proposición:          spsprpqp  y B el circuito lógico más simple equivalente a: q ¬ p ¬ q ¬ p q q 8. Hallar la proposición x de manera que sea una tautología el circuito simplificado siguiente: ¬ p ¬ q p p q q  p  q p q p q r ¬ p ¬ r 9. Construir el circuito lógico más simple equivalente a: p  q  p p r s t r s t r s t pr s q
  • 85. 84 BIBLIOGRAFÍA EQUIPO ENnarvaez@fenix. “Proposición lógica”. El portal de la educación Peruana. [Publicación electrónica]. Perú. Disponible desde Internet en: <http://expernarv.virtualave.net/profeweb/logica/proposic.html González Lagier, D. (s.f). APUNTES SOBRE LÓGICA Y ARGUMENTACIÓN JURÍDICA. Obtenido de http://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/20530/1/apuntes_sobre_logica_y_a rgumentacion_juridica.pdf González, F. J. (2005). Lógica de Proposiciones. Obtenido de http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1711051/Apuntes/Leccion1. pdf JIMÉNEZ M. José Alfredo. “Lógica Matemática” [Publicación electrónica]. Monografías.com. México. Disponible desde internet en: <http://www.monografias.com/trabajos4/logica/logica.shtml KOLMAN, Bernard y C, Robert. Estructuras de Matemáticas Discretas.McGraw-Hill.1989 LIPSCHUTZ, Seymour. Matemática para computación. McGraw-Hill. 1985 MANO, Morris. Diseño Digital. México. Prentice-Hall. 1987 MOYA; Juan Diego. 1998. “Apuntaciones críticas de teología racional”. Revista Acta Académica, Universidad Autonoma de Centroamérica. [Publicación electrónica]. Disponible desde internet en: <http://www.uaca.ac.cr/acta/1998may/jdmoya.htm> TREMBLAY, Jean Paul Tremblay. Matemáticas Discretas con aplicación a las ciencias de la computación. CECSA.