1. Matemáticas

2. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Integrante
Maria Morales
C.I 27420126
Sección 0143
Presentación

3. Definición de conjunto
En matemáticas , un conjunto es una colección de elementos considerada en
Si misma como un objetivo. Los elementos de un conjunto puede ser las
Siguientes: Personas, números, colores, letras, figuras.
Se dice que un elemento ( o miembro) pertenece al conjunto si esta definido
Como incluso en algún modo dentro de él.
Ej.: el conjunto de los colores del arcoíris es:
Al:{ Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

4. Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus
elementos poseen. Por ejemplo los número naturales si se considera la
propiedad de ser un número primo, el conjunto de los número primos son
:
P= {2,3,5,7,11,13}
Los conjuntos son un concepto primitivos, en el sentido que no es posible
Definirlos en términos de nociones mas elementales por lo que su estudio
Puede realizarse de manera informal apelando a intuición y a la lógica por
Otro lado con las categorías son uno de los conceptos fundamentales
De la matemática mediante ellos puede formularse el resto de objetivos
Matemáticos como los números y las funciones

5. Operaciones de conjunto
Además de relacionar los conjuntos a través de la contenencia y la
igualdad,
Podemos crear unos nuevos a través de operaciones entre conjuntos.

6. Unión de conjuntos
Tenemos los conjuntos M y N definidos como se muestra en
La imagen.
Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos
Que pertenecen a M o a N, a este nuevo conjunto le llamamos
Unión de M y N.
Puedes observar el resultado de unir M y N.

7. Al elegir que elementos estarán en la unión de nuestro conjunto M y N
Debes preguntarte cuales están en el conjunto M o en el conjunto N.
El resultado de la operación el conjunto conformado por todos los
Elementos del conjunto universal U, que cumplan la condición de estar
En uno o en otro.
Tenemos en este caso: MUN = {a,c,b,g,e,1}

8. Intersección de conjuntos.
Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos M y N definidos
anteriormente.
Podemos determinar un nuevo conjunto por los elementos que
nuestra M y N
Tienen en común. A este nuevo conjunto le llamamos intersección de
M y N
Y lo notamos de la siguiente manera: M ∩ N

9. Para determinar que elemento pertenecen a la intersección de los
Conjuntos M y N te puedes preguntar que elementos están M y en N
Todos los elemento del conjunto U que cumplan esta condición
Deberán de estar en el conjunto M ∩ N. en la figura de arriba
Puedes ver intersección de nuestro conjunto M y N: M ∩ N =
{b}

10. Diferencias de conjuntos .
Además de la unión y de la intersección podemos realizar
Diferencia de conjuntos
En este caso se deben seleccionar los elementos de un conjunto
Que no este en el otro. Ej. Si realizas la operación M menos N
Debes seleccionar los elementos de M que no están en N.
Representamos la diferencia de M menos N así: M N.
En este caso M N = {a,c} .

11. Diferencia simétrica de conjuntos .
En este caso debes escoger los elementos de M que no están en N y
los
Elementos de N que no están en M, puedes ver el resultado de
diferente
Simetría entre M y N. Representamos la diferencia simétrica a
través del
Símbolo ∆ , en este caso de nuestro conjunto M y N. tenemos: M ∆ N
=
{a,c.g,1,e}.

12. Complemento de un conjunto
Decimos que el complemento de M es el conjunto conformado
Por todos los elementos del conjunto universal U que no pertenecen
Al conjunto M. es común usar símbolos MC, M , M`. Para representar
el Complemento del conjunto M, nosotros usaremos el símbolo MC .
En Nuestro caso tenemos MC = { j,f,g,1,e,i,h} y NC = {i,h,j,f,a,c}

13. Números reales.
Cuando se definen los numero reales se dice que son cualquier numero
Que se encuentre o corresponda con la recta real que incluye los
números racionales y numero irracionales por lo tanto el dominio de
los números reales se encuentra entre menos infinito y mas infinito.
Las principales características de los números reales son:
*Orden: Todos lo números reales siguen un orden Ej. 1, 2, 3, 4…
*Integral: La integridad de los numero reales marca que no hay espacio
Vacíos, es decir; cada conjunto que dispone de un limite superior tiene
Un limite mas pequeño
*Infinitos: Los numero reales no tienen final, ni por el lado positivo
Ni por el lado negativo. Por eso su dominio esta entre menos infinito
Y mas infinito.
*Decima: Los numero reales pueden ser expresados como una expansión
Decimal infinita.

14. Clasificación de los números reales.
La clasificación de los numero reales incluye los siguientes números:
*Números naturales: son los números iguales o mayores que uno no
Decimo, el conjunto de números naturales no tiene en cuenta el cero.
*Números enteros: son los números positivos y negativos no decimales
Incluyendo el cero, es decir; los números naturales incluyen los
*Números negativos y el cero.
*Números racionales: los que se pueden representar como el cociente de dos
Enteros con denominador diferente a cero son las fracciones que pueden
Crearse utilizando números naturales y enteros
*Números irracionales: aquellos que no pueden ser expresados
Como una fracción de números enteros con denominador
Distinto a cero, se trata de los numero decimales que no pueden
Expresarse ni de manera exacta, ni de manera periódica, siendo
El numero PI un ejemplo de estos números.

15. Operaciones de números reales.
*Propiedad interna
Cuando se suman dos números reales el resultado que
se obtiene es otro número real. Lo mismo ocurre con la
multiplicación de números reales, que también da como
resultado otro número real.
*Propiedad asociativa
El modo en que se asocian o agrupan los sumandos no
influye en el resultado de una suma. En el caso de una
multiplicación tampoco importa la asociación pues el
resultado será siempre el mismo
a + (b + c) = (a + b) + c
a x (b x c) = (a x b) x c

16. *Propiedad conmutativa
Tanto la suma como la multiplicación de números reales
cumplen con la propiedad conmutativa que indica que el
orden no varía el resultado.
a + b = b + a
a x b = b x a
ad conmutativa
*Elemento neutro y elemento opuesto
En la suma el cero se convierte en el elemento neutro pues
cualquier número que se sume con el 0 va a dar como
resultado el mismo número.
a + 0 = a
Por su parte, si al sumar dos números reales se obtiene
cero se dice que esos números son opuestos (e - e = 0).

17. En cuanto a la multiplicación, el elemento neutro en los
números reales es el 1, ya que cualquier número real que se
multiplique por 1 da lugar al mismo número.
a x 1 = a
0.453 x 1 = 0.453
En la multiplicación el inverso de un número es aquel que al
multiplicarlo, da como resultado la unidad:
a x 1/a = 1
3.4 x 1/3.4 = 1
*Propiedad distributiva.
El producto de un número real por una suma de números
reales es igual a la suma de los productos de dicho número
por cada uno de los sumandos.
a x (b + c) = a x b + a x c
Al proceso inverso de la propiedad distributiva se le conoce
como sacar el factor común.
a x b + a x c = a x (b + c)

18. Desigualdad.
La desigualdad matemática es aquella proposición que
relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son
distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos
elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor,
mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una de las distintas
tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente
signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones
matemáticas diferente según su naturaleza.
Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este
concepto con el menor número de palabras posibles diremos
que; el objetivo de la desigualdad matemática es mostrar que
dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes.

19. Signos de desigualdades matemáticas.
Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las
desigualdades matemáticas posibles en los cinco siguientes:
Desigual a: ≠
Menor que: <
Menor o igual que: ≤
Mayor que: >
Mayor o igual que: ≥
Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos.
De modo que implicaría que a es menor a b, mientras que “a>b”
significa que a es mayor a b. En el caso de “a≠b”, leeremos la
expresión como a es desigual a b, “a≤b”; a es menor o igual a b, y
“a≥b” implica que a es mayor o igual a b.

20. Es también importante conocer que la expresión de
desigualdad matemática “a≠b” no es excluyente con las
expresiones “a” y “a>b”, de modo que, por ejemplo, “a≠b” y
“a>b” pueden ser ciertas al mismo tiempo. Por otro lado,
tampoco son excluyentes entre sí las expresiones “a≥b” y
“a>b” o “a≤b” y “a”.
Ej.
Las desigualdades matemáticas están formadas, en la
mayoría de ocasiones, por dos miembros o componentes.
Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y
el otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos
diciendo que “cuatro veces nuestra incógnita menos dos
es superior a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el
elemento A y 9 el elemento B. La resolución nos
mostraría que (en números naturales) la desigualdad se
cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3).

21. Tipología de desigualdades
Existen dos tipos distintos de desigualdades dependiendo de
su nivel de aceptación. Ninguna de ellas no incluye la
desigualdad general (≠). Son las siguientes:
*Desigualdades estrictas: son aquellas que no aceptan la
igualdad entre elementos. De este modo, entenderemos como
desigualdades de este tipo el “mayor que” (>) o “menor que”
(<).
*Desigualdades amplias o no estrictas: todas aquellas en las
que no se especifica si uno de los elementos es mayor/menor
o igual. Por lo tanto, estamos hablando de “menor o igual que”
(≤), o bien “mayor o igual que” (≥).

22. Propiedades.
Para operar con desigualdades debemos conocer todas sus
propiedades:
*Si los miembros de la expresión son multiplicados por el
mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 =
3(4x-2) > 3·9
*Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo
valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = (4x-
2)/3 > 9/3
*Si los miembros de la expresión son sumados o restados por
el mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9
= 4x-2 -3 > 9 - 3 / 4x – 2 > 9 = 4x-2 +3 > 9+3

23. Y también debes saber aquellas propiedades en las que
la desigualdad sí que cambia de sentido:
*Si los miembros de la expresión son multiplicados por
un valor negativo, sí cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = -
3(4x-2) < -3·9
*Si los miembros de la expresión son divididos por un
valor negativo, sí cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = (4x-2)
/ -3 < 9/-3

24. Notación encadenada
Conocemos por desigualdad de notación encadenada todas
aquellas expresiones de desigualdad en las que se relacionan más
de dos elementos. Sería este caso si, por ejemplo, relacionamos
a, b y c de modo que cada uno es menor al otro.
Pongamos como ejemplo: a < b < c indica que “a es menor que b” y,
a su vez, “b es menor que c”. De modo que podemos deducir que
“a es menor que c”, esta propiedad la conocemos por el nombre
de propiedad transitiva.

25. Diferencia entre desigualdad e inecuación
Es importante conocer que existe un elemento matemático diferente a la
desigualdad matemática que es usualmente confundido con ella: las
inecuaciones.
Una inecuación se basa en una desigualdad, pero su resultado puede ser
incongruente o, simplemente, denotar que no existe solución posible al
enunciado. Por lo tanto, una inecuación puede ser una desigualdad, pero,
por otro lado, una desigualdad no tiene por qué ser una inecuación.
Por ejemplo, 3 < 5 es una desigualdad que se cumple, pero no será nunca
una inecuación porque no contiene ninguna incógnita.
Por lo tanto, una desigualdad es una proposición que relaciona dos
expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. No necesita
contener una incógnita y si es así puede ser, a la vez, una inecuación. Para
operar con ellas debes entender sus propiedades ante la suma, resta,
multiplicación y división de sus elementos.

26. Definición de valor absoluto.
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas
para nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto
quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce
como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su
signo es positivo o negativo.
Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto
de +5 (5 positivo) como de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en
definitiva, es el mismo en el número positivo y en el número negativo:
en este caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe entre
dos barras verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta
es |5|.

27. Valor absoluto y modulo de un vector
Habiendo expuesto las bases de los espacios euclídeos, podemos
decir que los vectores se pueden representar en ellos en forma
de segmentos que se orientan entre dos puntos cualesquiera. Si
tomamos un vector, podemos definir su norma como la distancia
que existe entre dos puntos, los cuales le sirven de límite; tanto
es así, que en un espacio euclídeo esta norma corresponde con el
módulo, o sea con la longitud de dicho vector.
Así como el valor absoluto, el modulo de un vector
siempre es un número positivo o cero, ya que representa
una longitud, una distancia. En este caso, así como en
muchos otros, asociar esta magnitud a un signo podría
ocasionar complicaciones innecesarias.

28. Desigualdades con valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene
un signo de valor absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es
menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es {X|-4 <X<4}

29. Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .
Ej.
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos
descomponerla en una desigualdad compuesta.

30. x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así: