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la recta

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la recta

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Mat: Geometría Analítica 
Tema: Línea recta 
Examen: Segundo parcial 
Prof.: Héctor Aguilar 
Bachillerato Sabes: San Salvador Torrecillas 
Semestre: 3 “u” 
Equipo: 1 
Guadalupe Zarate 
Esmeralda 
Elva Graciela 
Rodrigo
Índice 
Rectas 
Angulo de inclinación 
Pendiente de una recta 
Intersección de la recta con los ejes coordenados 
Angulo formado por dos rectas que se cortan 
Rectas paralelas y perpendiculares 
Ecuación de la recta 
Ecuación de la recta a partir de sus elementos 
conocidos 
Ecuación general de la recta 
Forma simétrica de la ecuación de la recta 
Forma normal de la ecuación de la recta 
Distancia y rectas 
Distancia entre una recta y el origen 
Distancia entre un punto y una recta 
Distancia entre dos rectas paralelas 
Aplicación
Pendiente y ángulo de inclinación de una 
recta que pasa por dos puntos dados. 
Hallar la pendiente 
Definición: la pendiente o coeficiente angular, m, de una 
recta es la tangente del ángulo de inclinación de la recta. 
Si A es el ángulo de inclinación, se tiene entonces que: 
m = tan 푎 
Teorema: Si 푝1 (푥1,푦1 ) 푦 푝2(푥2,푦2 ) son dos puntos distintos 
de una recta, la pendiente, m, de la recta está dada por: 
Problema: 
3.4 Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la 
recta que pasa por los puntos (−3,2) 푦 (7, −3). 
Formula dados dos puntos: 
푚 = 
푦2 −푌1 
푥 2 − 푥 1 
*Se tiene que 
푃1(−3, 2) 푌 푃2 (7, −3) { 
푥1 = −3 
푦1 = 2 
푥2 = 7 
푦2 = −3 
(1) 
Procedimiento: 
Sustituyendo los valores la fórmula de la pendiente se 
obtiene: 
푚 = −3−2 
7−(−3) 
푚 = −5 
7+3 
= −5 
10 
푚 = − 1 
2 
= −0.5(2)
Angulo de inclinación: 
Definición: el ángulo de inclinación de una recta en el plano 
es aquél formado por el semieje positivo X y la recta. 
Formula: 
푚 = tan 휃 
Procedimiento: 
tan 휃 = −0.5 
휃 = tan −1(−0.5) = 153.26° (3) 
휃 = 153.26° 
Intersección de la recta con los ejes coordenados 
Hallar la intersección de la recta mediante la siguiente 
ecuación 푦 = 5푥 + 10 
푦 = 5푥 + 10 
푥 = 0 푦 = 0 
푦 = 5(0) + 10 0 = 5푥 + 10 
푦 = 10 푥 = 
10 
5 
= 2 
(0,10) (2,0)
Angulo formado por dos rectas que se cortan 
Encuentra los ángulos interiores del triángulo. 
푨(ퟔ, −ퟏ), 푩(−ퟑ, ퟓ), 푪(−ퟏ, −ퟐ). 
풎ퟏ = 
−ퟏ − ퟓ 
ퟔ − (−ퟑ) 
= 
−ퟔ 
−ퟗ 
= 
−ퟐ 
ퟑ 
푚 
ퟐ= 
−ퟐ−ퟓ 
−ퟏ−(−ퟑ) 
= 
−ퟕ 
ퟐ 
= 
−ퟕ 
ퟐ 
풎ퟑ = 
−ퟏ − (−ퟐ) 
ퟔ − (−ퟏ) 
= 
ퟏ 
ퟕ 
풑풂풓풂 휶 = 
−ퟐ 
ퟑ 
− (−ퟕ 
ퟐ 
) 
ퟏ + (−ퟐ 
ퟑ 
) (−ퟕ 
ퟐ 
) 
= 
−ퟐ 
ퟑ 
+ ퟕ 
ퟐ 
ퟏ 
ퟏ 
+ ퟏퟒ 
ퟔ 
= 
−ퟒ+ퟐퟏ 
ퟔ 
ퟔ+ퟏퟒ 
ퟔ 
= 
17 
20 
훼 = tan−1 70 
20 
40.36° 
풑풂풓풂 휷 = 
−7 
2 
− 
1 
7 
1 + (−7 
2 
) (1 
7 
) 
= 
−7 
2 
− 
1 
7 
1 
1 
− 
7 
14 
= 
−49 
14 
14−7 
14 
= 
−51 
7 
훽 = tan−1 −51 
7 
= −82.18° = 92.82 
풑풂풓풂 휽 = 
1 
7 
− (−2 
3 
) 
1 + (1 
7 
) (−2 
3 
) 
= 
1 
7 
+ 2 
3 
1 
1 
− 2 
3 
= 
3+14 
21 
21−2 
21 
= 
17 
19 
휽 = 퐭퐚퐧−ퟏ ퟏퟕ 
ퟏퟗ 
= ퟒퟏ. ퟖퟐ°
Rectas paralelas y perpendiculares 
1.-Se tiene que la recta 퐿1 pasa por los puntos 퐴(4, −8); 퐴(−7, −12) y 
la recta 퐿2 por 푃(6,13); 푄(−2,6). Determina si 퐿1y 퐿2 son paralelas, 
perpendiculares o se cortan oblicuamente. 
푚1 = 
푦2 − 푦1 
푥2 − 푥1 
푚1 = 
12 − (−8) 
−7 − 8 
= 
20 
−11 
= −1.81 
푚2 = 
6 − 13 
−2 − 6 
= 
−7 
−8 
= 0.87 
Son oblicuas 
Ecuación general de la recta 
Halla la distancia dirigida del origen de la recta 
8푥 + 15푦 + 17 = 0 
푑 = 
8(0) + 15(0) + 17 
√82 + 152 
= 
17 
√289 
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  • 1. Mat: Geometría Analítica Tema: Línea recta Examen: Segundo parcial Prof.: Héctor Aguilar Bachillerato Sabes: San Salvador Torrecillas Semestre: 3 “u” Equipo: 1 Guadalupe Zarate Esmeralda Elva Graciela Rodrigo
  • 2. Índice Rectas Angulo de inclinación Pendiente de una recta Intersección de la recta con los ejes coordenados Angulo formado por dos rectas que se cortan Rectas paralelas y perpendiculares Ecuación de la recta Ecuación de la recta a partir de sus elementos conocidos Ecuación general de la recta Forma simétrica de la ecuación de la recta Forma normal de la ecuación de la recta Distancia y rectas Distancia entre una recta y el origen Distancia entre un punto y una recta Distancia entre dos rectas paralelas Aplicación
  • 3. Pendiente y ángulo de inclinación de una recta que pasa por dos puntos dados. Hallar la pendiente Definición: la pendiente o coeficiente angular, m, de una recta es la tangente del ángulo de inclinación de la recta. Si A es el ángulo de inclinación, se tiene entonces que: m = tan 푎 Teorema: Si 푝1 (푥1,푦1 ) 푦 푝2(푥2,푦2 ) son dos puntos distintos de una recta, la pendiente, m, de la recta está dada por: Problema: 3.4 Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (−3,2) 푦 (7, −3). Formula dados dos puntos: 푚 = 푦2 −푌1 푥 2 − 푥 1 *Se tiene que 푃1(−3, 2) 푌 푃2 (7, −3) { 푥1 = −3 푦1 = 2 푥2 = 7 푦2 = −3 (1) Procedimiento: Sustituyendo los valores la fórmula de la pendiente se obtiene: 푚 = −3−2 7−(−3) 푚 = −5 7+3 = −5 10 푚 = − 1 2 = −0.5(2)
  • 4. Angulo de inclinación: Definición: el ángulo de inclinación de una recta en el plano es aquél formado por el semieje positivo X y la recta. Formula: 푚 = tan 휃 Procedimiento: tan 휃 = −0.5 휃 = tan −1(−0.5) = 153.26° (3) 휃 = 153.26° Intersección de la recta con los ejes coordenados Hallar la intersección de la recta mediante la siguiente ecuación 푦 = 5푥 + 10 푦 = 5푥 + 10 푥 = 0 푦 = 0 푦 = 5(0) + 10 0 = 5푥 + 10 푦 = 10 푥 = 10 5 = 2 (0,10) (2,0)
  • 5. Angulo formado por dos rectas que se cortan Encuentra los ángulos interiores del triángulo. 푨(ퟔ, −ퟏ), 푩(−ퟑ, ퟓ), 푪(−ퟏ, −ퟐ). 풎ퟏ = −ퟏ − ퟓ ퟔ − (−ퟑ) = −ퟔ −ퟗ = −ퟐ ퟑ 푚 ퟐ= −ퟐ−ퟓ −ퟏ−(−ퟑ) = −ퟕ ퟐ = −ퟕ ퟐ 풎ퟑ = −ퟏ − (−ퟐ) ퟔ − (−ퟏ) = ퟏ ퟕ 풑풂풓풂 휶 = −ퟐ ퟑ − (−ퟕ ퟐ ) ퟏ + (−ퟐ ퟑ ) (−ퟕ ퟐ ) = −ퟐ ퟑ + ퟕ ퟐ ퟏ ퟏ + ퟏퟒ ퟔ = −ퟒ+ퟐퟏ ퟔ ퟔ+ퟏퟒ ퟔ = 17 20 훼 = tan−1 70 20 40.36° 풑풂풓풂 휷 = −7 2 − 1 7 1 + (−7 2 ) (1 7 ) = −7 2 − 1 7 1 1 − 7 14 = −49 14 14−7 14 = −51 7 훽 = tan−1 −51 7 = −82.18° = 92.82 풑풂풓풂 휽 = 1 7 − (−2 3 ) 1 + (1 7 ) (−2 3 ) = 1 7 + 2 3 1 1 − 2 3 = 3+14 21 21−2 21 = 17 19 휽 = 퐭퐚퐧−ퟏ ퟏퟕ ퟏퟗ = ퟒퟏ. ퟖퟐ°
  • 6. Rectas paralelas y perpendiculares 1.-Se tiene que la recta 퐿1 pasa por los puntos 퐴(4, −8); 퐴(−7, −12) y la recta 퐿2 por 푃(6,13); 푄(−2,6). Determina si 퐿1y 퐿2 son paralelas, perpendiculares o se cortan oblicuamente. 푚1 = 푦2 − 푦1 푥2 − 푥1 푚1 = 12 − (−8) −7 − 8 = 20 −11 = −1.81 푚2 = 6 − 13 −2 − 6 = −7 −8 = 0.87 Son oblicuas Ecuación general de la recta Halla la distancia dirigida del origen de la recta 8푥 + 15푦 + 17 = 0 푑 = 8(0) + 15(0) + 17 √82 + 152 = 17 √289 = 17 17 = 1
  • 7. Forma simétrica Pag.134Geometría 1. Halla la forma simétrica de la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 5 y -3 respectivamente. 푥 푦 + = 1 5 −3 푥 5 − 푦 3 = 1 5 −3 Forma normal Pag.136 Geometría 12. Determina la ecuación de la recta en la forma normal si en la figura 푝 = 4 y 휃 = 30° Formula:푦 sin 휃 + 푥 cos 휃 − 푝 = 0 Procedimiento:푦 sin 30° + 푥 cos 30° − 4 = 0 P=4 (. 86푥 + .5푦 − 4 = 0)10 30˚ 9푥 + 5푦 − 40 = 0
  • 8. Graficar la siguiente ecuación 3푦 − 30 = 0 3푦 = 30 푦 = 30 −3 푦 = −10 -10 Distancia entre el punto y una recta 2.-Determina la distancia dirigida del punto 푝(−2, −1) a la recta 5푥 − 12푦 − 15 = 0 푑 = 5(−2) + 12(−1) + 15 √(5)2 + (−12)2 = 13 √169 = 13 13 = 1 Distancia entre dos rectas paralelas 3.-Determina la distancia no dirigida entre las rectas paralelas 20푥 − 21푦 + 60 = 0 y 20푥 − 21푦 + 2 = 0 20푥 − 21푦 + 2 = 0 20푥 − 21(0) = −2 2표푥 = 60 푦 = −2 20 = −0.1 퐴푥 + 퐵푦 + 퐶 √퐴2 + 퐵2 푑 = | | 20(−0.1) − 21(0) + 60 푑 = | √(20)2 + (−21)2 | 58 29 푑 = | | = 2
  • 9. Aplicación El valor comercial de un automóvil que tiene 푥2 6 años de uso es de 푦2 75000. Cuando tenía 푥1 4 años de uso su valor era de 푦1 90 000. Si dicho valor varia linealmente con el tiempo determina. a) la ecuación particular que expresa el valor del auto en términos del tiempo de uso.  formula dados dos puntos:푚 = 푦2−푦1 푥2−푥1 푚 = 75000 − 90000 6 − 4 = −2,504 Formula pendiente ordenada al origen: 푦 = 푚푥 = +푏 Procedimiento: 푦 − 75000 = −2,504(푥 − 8) 푦 = −2,504 + 20,032 + 75,000 푦 − 2,504푡 + 95,032 푣 = −2,504 + 95,032 b) el valor del auto cuando tenga10 años de uso. 푣(10) = −2,504(10) + 95,032 푣(10) = −25,040 + 95,032 푣(10) = $69,992 c) el valor del automóvil cuando era nuevo. 푣(0) = −2,504(0) + 95,032 푣(0) = 95,032