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∑ √ 𝐼𝑛𝑔𝑒𝑛𝑖𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒𝑙
𝐸𝑙
𝑅𝑖𝑛𝑐𝑜𝑛
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NOTA: Se valorará la claridad y justificación en la respuesta.
BORRADOR EXAMEN MECÁNICA DE ESTRUCTURAS
EJERCICIO 1 (TIEMPO MÁXIMO: 30 MINUTOS)
Sea la estructura de la figura, formada por un empotramiento en A, una rótula en B, un apoyo
deslizante en C y un tramo curvo de radio “L”. Las cargas aplicadas en la estructura son las
reflejadas en la figura, en la cual q=2P/L, M= 2PL. Calcular:
(NOTA PARA LA RESOLUCIÓN NO DADA EN EL EXAMEN: tomar L=2 [m] y P=2 [kN])
a) Reacciones en los apoyos.
b) Dibujar las leyes de esfuerzos axiles, cortantes y flectores, indicando sus valores extremos.
A
B C
D
q
P
M
2L L
NOTA: Se valorará la claridad y justificación en la respuesta.
EJERCICIO 2 (TIEMPO MÁXIMO: 30 MINUTOS)
El sistema de la figura está formado por un cable parabólico EF conectado al extremo derecho de
una estructura articulada, donde B, D y F son apoyos simples (o completos). Las cargas a las que
se ve sometido todo el sistema son las que se muestran en la figura, donde todas las dimensiones
geométricas están expresadas en metros.
En el cable, que está sometido a una carga uniformemente distribuida de valor q [kN/m], los
puntos E y F se hallan a la misma altura, f = 0,5 m. La máxima tensión del cable se sitúa en los
puntos E y F y es igual, en módulo, a T = 4472,13 [N].
Calcular:
a) La tensión vertical y horizontal en los puntos de apoyo del cable (E y F).
b) Los diagramas y expresiones de las leyes de esfuerzos cortantes y de momentos flectores en
la barra AC.
c) Los esfuerzos axiles en las barras AB, BC y CD utilizando el Método de las Secciones.
d) El incremento de longitud que experimentará la barra BD como resultado de las cargas que
actúan sobre la estructura articulada.
NOTA: todos los apartados del ejercicio son independientes entre sí, por lo que no necesitas
resultados para previos para poder resolverlos.
A
ED
B
C F
q kN/m
d = 4 m
1 m
2 m
2m
2m
q= 6 kN/m
2 kN
1m
f
G
∑ √ 𝐼𝑛𝑔𝑒𝑛𝑖𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒𝑙
𝐸𝑙
𝑅𝑖𝑛𝑐𝑜𝑛
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NOTA: Se valorará la claridad y justificación en la respuesta.
EJERCICIO 3 (TIEMPO MÁXIMO: 30 MINUTOS)
La estructura ABC que se muestra en la Figura 1 está sometida al sistema de cargas representado,
constituido por un momento M aplicado en D, una carga distribuida entre BC de valor q y una
carga puntual P en C.
Figura 1 Figura 2
Se pide:
a) Calcular y dibujar los diagramas de esfuerzos axiles y de momentos flectores de la
estructura ABC, en función de P, q y M.
b) Qué valores deben tener P y M, en función de q, para que la tensión normal máxima en
valor absoluto sea la misma en el tramo AB o en el tramo BC.
c) Demostrar que la fibra neutra se encuentra por encima del centro de gravedad en
cualquier sección de las barras AB y BC si se cumple la condición del apartado anterior.
d) Demostrar que el coeficiente de seguridad de la estructura es mayor en el caso en el que
se utilice para la sección transversal la “Configuración 1” que el caso en el que se utilice la
“Configuración 2”. Considerar que la tensión admisible del material toma el mismo valor
para tracción y compresión y tomares igual a σadm.
L/2 L/2
L
P
q
MA B
C
D
SOLUTION EXERCISE 1
1) Cálculo de reacciones en los apoyos de la viga y leyes de esfuerzo acotando sus valores.
∑ MB
R
= 0 → VcL − qL (
L
2
) − PL − M = 0 → 𝐕𝐜 = 𝟖 𝐤𝐍 (↑); ∑ Fy = 0 → Va + Vc = qL → 𝐕𝐚 = 𝟒 𝐤𝐍 (↓)
∑ MB
L
= 0 → 2VaL − Ma = 0 → 𝐌 𝐚 = 𝟏𝟔 𝐤𝐍. 𝐦 ; ∑ Fx = 0 → Ha − P = 0 → 𝐇 𝐚 = 𝟐 𝐤𝐍 (→)
2) Diagramas de esfuerzo.
SOLUTION EXERCISE 2
a) Reaction forces at the cable
f =
q
2To
x2
→ To = 4q [kN]
Ty =
qL
2
= 2q [kN]
Tmax = √Ty
2 + To
2 = √20q2 = 4472.13 [kN]
q ≅ 1
kN
m
→ 𝐓𝐨 = 𝟒𝐪 ≅ 𝟒 𝐤𝐍 (←); 𝐓𝐲 =
𝐪𝐋
𝟐
≅ 𝟐 𝐤𝐍(↑)
b) Force laws at stretch AC
q(x) = q (1 −
x
L
) = 6(1 − x)
VT(x) = 6 (x −
x2
2
)
VCH(x) =
5
2
− 6 (x −
x2
2
) = 3x2
− 6x +
5
2
[kN]
VHA(x) = −
1
2
[kN]
MT(x) = 6 (
x2
2
−
x3
6
)
M(x)CH =
5x
2
− 6 (
x2
2
−
x3
6
) = x3
− 3x2
+
5x
2
[kN. m]
Mmax →
dM(x)
dx
= V(x) = 0 → x = 0.59 [m]
Mmax = M(x = 0.59) = 0.636 [kN. m]
MHA(x) =
1
2
(2 − x) = 1 −
x
2
[kN]
c) Method of the sections
Cutting the structure:
∑ Fy = 0 →
√2
2
Nbc − 1 = 0 → 𝐍 𝐛𝐜 = √𝟐 𝐤𝐍 (𝐓)
∑ Mc = 0 → NabL + 0.5L = 0 → 𝐍 𝐚𝐛 = 𝟎. 𝟓 𝐤𝐍 (𝐂)
∑ Fx = 0 →
√2
2
Nbc + Ncd − Nab + 0.5 + 2.5 = 0
𝐍 𝐛𝐜 = 𝟑. 𝟓 𝐤𝐍 (𝐂)
d) Increment of length
∆𝐥 =
𝐍𝐋
𝐄𝐀
= 𝟎 → Boundary conditions
Stretch BD is restrained by two pinned supports;
therefore, its movement is restricted and there is
no length variation.
MECHANICS OF STRUCTURES Jun 22nd of 2020
SURNAME………………….………………..………...………………….………………….………NAME………………..………………………..
Group………….BACHELOR………………………………………………………………………………………………………………………………
G
AC H
2.5 kN
C A
0.5 kN
2 m
q=6 kN/m
1 m
2 kN
1 m
A B
1 kN
A B
1 kN
2,5 kN Ncd
Nbc
Nab0,5 kN
1,0 kN
SOLUTION EXERCISE 3
1) DIAGRMAS DE ESFUERZOS
[𝐁𝐂: 𝐍 = −𝐏; 𝐌(𝐱) =
𝐪𝐱 𝟐
𝟐
] [𝐁𝐃: 𝐍 = −𝐪𝐋; 𝐌(𝐱) =
𝐪𝐋𝟐
𝟐
− 𝐏𝐱 ] [𝐀𝐃: 𝐍 = −𝐪𝐋; 𝐌(𝐱) =
𝐪𝐋𝟐
𝟐
− 𝐏𝐱 + 𝐌]
2) Valores de P y M
σmax
AB
= σmax
BC
→
qL
A
+
(
qL2
2
+ M −
PL
2
) y
Ix
=
P
A
+
(
qL2
2
) y
Ix
→
(qL − P)
A
+
(M −
PL
2
) y
Ix
= 0 → 𝐏 = 𝐪𝐋; 𝐌 =
𝐪𝐋𝟐
𝟐
3) Fibra neutra
σ(y +) = 0 = −
N
A
+
Mx.yfn
Ix
→ yfn =
N. Ix
A. Mx
= (
Ix
A
) (
qL
qL2
2
) = (
2. Ix
A. L
) > 0 → A, L, Ix > 0 → 𝐲𝐟𝐧 𝐚𝐛𝐨𝐯𝐞 𝐜𝐨𝐠
4) Coeficiente de seguridad
La solicitación más crítica es la que se produce en la parte inferior de la sección, donde la compresión del axil y
del flector tienen el mismo signo:
σmax
comp
(y < 0) =
N
A
+
Mx.y
Ix
=
qL
A
+
(
qL2
2
) y
Ix
[MPa](C)
σmax1
comp
(y = −
b
2
) =
qL
b2
3
+
(
qL2
2
)
b
2
b3
12
(
b
3
)
= (
3qL
b2
+
9qL2
b3
) =
3qL
b2
(1 +
3L
b
) [MPa] (C)
σmax2
comp
(y = −
b
6
) =
qL
b2
3
+
(
qL2
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b
6
b
12 (
b
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3 = (
3qL
b2
+
27qL2
b3
) =
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b2
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9L
b
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(𝛔 𝐚𝐝𝐦𝟏 = 𝛔 𝐚𝐝𝐦𝟐) ∩ ( 𝛔 𝟐 > 𝛔 𝟏) → 𝐂𝐒 𝟏 > 𝐂𝐒 𝟐

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Examen mecánica de estructuras

  • 1. ∑ √ 𝐼𝑛𝑔𝑒𝑛𝑖𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒𝑙 𝐸𝑙 𝑅𝑖𝑛𝑐𝑜𝑛 http://www.elrincondelingeniero.com/ NOTA: Se valorará la claridad y justificación en la respuesta. BORRADOR EXAMEN MECÁNICA DE ESTRUCTURAS EJERCICIO 1 (TIEMPO MÁXIMO: 30 MINUTOS) Sea la estructura de la figura, formada por un empotramiento en A, una rótula en B, un apoyo deslizante en C y un tramo curvo de radio “L”. Las cargas aplicadas en la estructura son las reflejadas en la figura, en la cual q=2P/L, M= 2PL. Calcular: (NOTA PARA LA RESOLUCIÓN NO DADA EN EL EXAMEN: tomar L=2 [m] y P=2 [kN]) a) Reacciones en los apoyos. b) Dibujar las leyes de esfuerzos axiles, cortantes y flectores, indicando sus valores extremos. A B C D q P M 2L L
  • 2. NOTA: Se valorará la claridad y justificación en la respuesta. EJERCICIO 2 (TIEMPO MÁXIMO: 30 MINUTOS) El sistema de la figura está formado por un cable parabólico EF conectado al extremo derecho de una estructura articulada, donde B, D y F son apoyos simples (o completos). Las cargas a las que se ve sometido todo el sistema son las que se muestran en la figura, donde todas las dimensiones geométricas están expresadas en metros. En el cable, que está sometido a una carga uniformemente distribuida de valor q [kN/m], los puntos E y F se hallan a la misma altura, f = 0,5 m. La máxima tensión del cable se sitúa en los puntos E y F y es igual, en módulo, a T = 4472,13 [N]. Calcular: a) La tensión vertical y horizontal en los puntos de apoyo del cable (E y F). b) Los diagramas y expresiones de las leyes de esfuerzos cortantes y de momentos flectores en la barra AC. c) Los esfuerzos axiles en las barras AB, BC y CD utilizando el Método de las Secciones. d) El incremento de longitud que experimentará la barra BD como resultado de las cargas que actúan sobre la estructura articulada. NOTA: todos los apartados del ejercicio son independientes entre sí, por lo que no necesitas resultados para previos para poder resolverlos. A ED B C F q kN/m d = 4 m 1 m 2 m 2m 2m q= 6 kN/m 2 kN 1m f G
  • 3. ∑ √ 𝐼𝑛𝑔𝑒𝑛𝑖𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒𝑙 𝐸𝑙 𝑅𝑖𝑛𝑐𝑜𝑛 http://www.elrincondelingeniero.com/ NOTA: Se valorará la claridad y justificación en la respuesta. EJERCICIO 3 (TIEMPO MÁXIMO: 30 MINUTOS) La estructura ABC que se muestra en la Figura 1 está sometida al sistema de cargas representado, constituido por un momento M aplicado en D, una carga distribuida entre BC de valor q y una carga puntual P en C. Figura 1 Figura 2 Se pide: a) Calcular y dibujar los diagramas de esfuerzos axiles y de momentos flectores de la estructura ABC, en función de P, q y M. b) Qué valores deben tener P y M, en función de q, para que la tensión normal máxima en valor absoluto sea la misma en el tramo AB o en el tramo BC. c) Demostrar que la fibra neutra se encuentra por encima del centro de gravedad en cualquier sección de las barras AB y BC si se cumple la condición del apartado anterior. d) Demostrar que el coeficiente de seguridad de la estructura es mayor en el caso en el que se utilice para la sección transversal la “Configuración 1” que el caso en el que se utilice la “Configuración 2”. Considerar que la tensión admisible del material toma el mismo valor para tracción y compresión y tomares igual a σadm. L/2 L/2 L P q MA B C D
  • 4. SOLUTION EXERCISE 1 1) Cálculo de reacciones en los apoyos de la viga y leyes de esfuerzo acotando sus valores. ∑ MB R = 0 → VcL − qL ( L 2 ) − PL − M = 0 → 𝐕𝐜 = 𝟖 𝐤𝐍 (↑); ∑ Fy = 0 → Va + Vc = qL → 𝐕𝐚 = 𝟒 𝐤𝐍 (↓) ∑ MB L = 0 → 2VaL − Ma = 0 → 𝐌 𝐚 = 𝟏𝟔 𝐤𝐍. 𝐦 ; ∑ Fx = 0 → Ha − P = 0 → 𝐇 𝐚 = 𝟐 𝐤𝐍 (→) 2) Diagramas de esfuerzo.
  • 5. SOLUTION EXERCISE 2 a) Reaction forces at the cable f = q 2To x2 → To = 4q [kN] Ty = qL 2 = 2q [kN] Tmax = √Ty 2 + To 2 = √20q2 = 4472.13 [kN] q ≅ 1 kN m → 𝐓𝐨 = 𝟒𝐪 ≅ 𝟒 𝐤𝐍 (←); 𝐓𝐲 = 𝐪𝐋 𝟐 ≅ 𝟐 𝐤𝐍(↑) b) Force laws at stretch AC q(x) = q (1 − x L ) = 6(1 − x) VT(x) = 6 (x − x2 2 ) VCH(x) = 5 2 − 6 (x − x2 2 ) = 3x2 − 6x + 5 2 [kN] VHA(x) = − 1 2 [kN] MT(x) = 6 ( x2 2 − x3 6 ) M(x)CH = 5x 2 − 6 ( x2 2 − x3 6 ) = x3 − 3x2 + 5x 2 [kN. m] Mmax → dM(x) dx = V(x) = 0 → x = 0.59 [m] Mmax = M(x = 0.59) = 0.636 [kN. m] MHA(x) = 1 2 (2 − x) = 1 − x 2 [kN] c) Method of the sections Cutting the structure: ∑ Fy = 0 → √2 2 Nbc − 1 = 0 → 𝐍 𝐛𝐜 = √𝟐 𝐤𝐍 (𝐓) ∑ Mc = 0 → NabL + 0.5L = 0 → 𝐍 𝐚𝐛 = 𝟎. 𝟓 𝐤𝐍 (𝐂) ∑ Fx = 0 → √2 2 Nbc + Ncd − Nab + 0.5 + 2.5 = 0 𝐍 𝐛𝐜 = 𝟑. 𝟓 𝐤𝐍 (𝐂) d) Increment of length ∆𝐥 = 𝐍𝐋 𝐄𝐀 = 𝟎 → Boundary conditions Stretch BD is restrained by two pinned supports; therefore, its movement is restricted and there is no length variation. MECHANICS OF STRUCTURES Jun 22nd of 2020 SURNAME………………….………………..………...………………….………………….………NAME………………..……………………….. Group………….BACHELOR……………………………………………………………………………………………………………………………… G AC H 2.5 kN C A 0.5 kN 2 m q=6 kN/m 1 m 2 kN 1 m A B 1 kN A B 1 kN 2,5 kN Ncd Nbc Nab0,5 kN 1,0 kN
  • 6. SOLUTION EXERCISE 3 1) DIAGRMAS DE ESFUERZOS [𝐁𝐂: 𝐍 = −𝐏; 𝐌(𝐱) = 𝐪𝐱 𝟐 𝟐 ] [𝐁𝐃: 𝐍 = −𝐪𝐋; 𝐌(𝐱) = 𝐪𝐋𝟐 𝟐 − 𝐏𝐱 ] [𝐀𝐃: 𝐍 = −𝐪𝐋; 𝐌(𝐱) = 𝐪𝐋𝟐 𝟐 − 𝐏𝐱 + 𝐌] 2) Valores de P y M σmax AB = σmax BC → qL A + ( qL2 2 + M − PL 2 ) y Ix = P A + ( qL2 2 ) y Ix → (qL − P) A + (M − PL 2 ) y Ix = 0 → 𝐏 = 𝐪𝐋; 𝐌 = 𝐪𝐋𝟐 𝟐 3) Fibra neutra σ(y +) = 0 = − N A + Mx.yfn Ix → yfn = N. Ix A. Mx = ( Ix A ) ( qL qL2 2 ) = ( 2. Ix A. L ) > 0 → A, L, Ix > 0 → 𝐲𝐟𝐧 𝐚𝐛𝐨𝐯𝐞 𝐜𝐨𝐠 4) Coeficiente de seguridad La solicitación más crítica es la que se produce en la parte inferior de la sección, donde la compresión del axil y del flector tienen el mismo signo: σmax comp (y < 0) = N A + Mx.y Ix = qL A + ( qL2 2 ) y Ix [MPa](C) σmax1 comp (y = − b 2 ) = qL b2 3 + ( qL2 2 ) b 2 b3 12 ( b 3 ) = ( 3qL b2 + 9qL2 b3 ) = 3qL b2 (1 + 3L b ) [MPa] (C) σmax2 comp (y = − b 6 ) = qL b2 3 + ( qL2 2 ) b 6 b 12 ( b 3) 3 = ( 3qL b2 + 27qL2 b3 ) = 3qL b2 (1 + 9L b ) [MPa] (C) (𝛔 𝐚𝐝𝐦𝟏 = 𝛔 𝐚𝐝𝐦𝟐) ∩ ( 𝛔 𝟐 > 𝛔 𝟏) → 𝐂𝐒 𝟏 > 𝐂𝐒 𝟐