1. Deber 7
´
Algebra Lineal
Prof. Dr. Joseph P´ez Ch´vez
a a
II T´rmino 2009–2010
e
Problema 1. Considere la transformaci´n de rotaci´n Tα :
o o R2 → R2, Tα
x
y
=
x
Aα vista en clase.
y
(i) Demuestre que Aα1 +α2 = Aα1 Aα2 . Interprete este hecho geom´tricamente.
e
(ii) Encuentre el valor del ´ngulo α para que:
a
(a) Tα sea una reflexi´n al origen.
o
(b) Tα sea la transformaci´n identidad.
o
Problema 2. Sea la funci´n T : P2 → M2×2 , definida por:
o
p(1) p(−1)
T (p(x)) = .
p (1) p (−1)
(i) Determine si T es una tranformaci´n lineal.
o
(ii) Si T es una tranformaci´n lineal, encuentre rec(T ), nu(T ), ν(T ), ρ(T ). Verifique si se
o
cumple el teorema de la dimensi´n.
o
Problema 3. Construya transformaciones lineales T : V → W , con las caracter´
ısticas que
se indican:
(i) V = W = P3 , nu(T ) = {p(x) ∈ P3 : p(1) = p (1) = 0}, 4x2 + 1 ∈ rec(T ).
  
 x
R R

(ii) V = 3 , W = P2 , nu(T ) =  y  ∈ 3 : 2x − y + z = 0 , rec(T ) = {p(x) ∈ P2 :
z
 
2p(1) = p (−1) = p(0)}.
1

2. Problema 4. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
(i) Sea A ∈ Mm×n y T : Rn → Rm, tal que T (x) = Ax. Entonces, rec(T ) = rec(A) y
nu(T ) = nu(A).
(ii) Sean V , W espacios vectoriales y T : V → W una transformaci´n lineal. Sea {v1 , v2 ,
o
. . . , vn } un conjunto linealmente independiente en V . Entonces, {T (v1 ), T (v2 ), . . . ,
T (vn )} es un conjunto linealmente independiente en W .
(iii) Sean V , W espacios vectoriales y T : V → W una transformaci´n lineal. Sea o
S = {v1 , v2 , . . . , vn } un subconjunto de V . Si {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )} es linealmente
independiente en W , entonces S es un conjunto linealmente independiente en V .
(iv) Sean V , W espacios vectoriales y T : V → W una transformaci´n lineal. Sea o
S = {v1 , v2 , . . . , vn } un subconjunto de V . Si {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )} es linealmente
dependiente en W , entonces S es un conjunto linealmente dependiente en V .
(v) Sean V , W espacios vectoriales y T : V → W una transformaci´n lineal. Sea c ∈ ,
o R
c = 0, y considere la transformaci´n F : V → W , tal que F = cT . Entonces,
o
rec(T ) = rec(F ) y nu(T ) = nu(F ).
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