1. MATEMÁTICA PROF. HOMERO E-MAIL: prof.homero@globo.com
TRIGONOMETRIA
01) “ a “ e “ 3a” são o cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo, respectivamente. A tg do ângulo
oposto ao menor lado, é
a) 10 / 10 b) 2 / 4 c) ½ d) 2 / 2 e) 2 2
SOLUÇÃO
Aplicando o teorema de Pitágoras , fica:
(3a )2 = a 2 + x 2 ⇒ 9a 2 = a 2 + x 2 ⇒ x 2 = 8a 2 ⇒ x = 8a 2 ⇒ x = 2a 2
a 1 2 2
tgm = = x =
2a 2 2 2 2 4
RESPOSTA: B
02) Se y = 3 cos x − 1, então y varia no intervalo
a) [2,4] b) [− 1,1] c) [− 1,3] d) [− 3,1] e) [− 4,2]
SOLUÇÃO
Substituímos o cos x pelo seu valor máximo (+ 1) e valor mínimo (− 1)
y = 3 cos x − 1. : y = 3.1 − 2 e y = 3(− 1) − 1 = −4 [− 4,2]
RESPOSTA: E
03) Assinale a alternativa correta
a) sen 300º< sem 230º < sen 200º
b) sen 230º< sem 300º < sen 200º
c) sen 230º< sem 200º < sen 300º
d) sen 200º< sem 230º < sen 300º
e) sen 300º<sem 200º < sen 230º

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RESPOSTA: A
04) Sabendo que sec x = a e tg x = b, o valor de sen x é
a) a − b
2 2
b) b 2 − a 2 + 1 c) a/b d) b/a e) a . b
SOLUÇÃO
sen x
sec x = a tgx = b cos x = 1 / a =b sec 2 x = 1 + tg 2 x
cos x
sen x
a2 = 1+ b2 = b. : sen x = b / a
1
a
RESPOSTA: D
tgx + tgy
05) A expressão é idêntica a
cot gx + cot gy
a) 1 b) 2 c) tgx + tgy d) tg 2 x + tg 2 y e) tgx.tgy
SOLUÇÃO
sen x sen y sen xx cos y + sen yx cos x
x
tgx + tgy cos x cos y cos xx cos y
= =
cot gx + cot gy cos x cos y sen yx cos x + sen xx cos y
x
sen x sen y sen xx sen y
sen ( x + y ) sen xx sen y sen xx sen y
x = = tgxxtgy
cos xx cos y sen ( x + y ) cos xx cos t
RESPOSTA: E
06) O valor de m que satisfaz simultaneamente sen x =
(m 3 ) e cos x =
6m
é
3 3
a) 2 b) 1 c) ½ d) 0 e) –3
SOLUÇÃO

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sen 2 x + cos 2 x = 1
(m 3 ) + (2
6m )
2
= 1. :
3m 6m
x = 1. : 9m = 9 m= 1
3 3 9 9
RESPOSTA: B
07) O valor de 4 sen 15º é
a) 2 b) 2 6 c) 2− 6 d) 6+ 2 e) 6− 2
SOLUÇÃO
4. sen 15º = 4.(sen 45º −30º ) = 4.(sen 45º. cos 30º − sen 30º. cos 45º ) =
 2  3 1 2   
4.  . − .  = 4 6 − 2  = 6 − 2
 2  2 2 2   4 4 
    
RESPOSTA: E
08) o período da função f (x) = 3 sen ( x / 2 ) é
a) π b) 2 π c) 3 π d) 4 π e) 5 π
SOLUÇÃO
 x 2π 2π
f ( x ) = 3 sen  p= = = 4π
2 k 1
RESPOSTA: D
2 cos x
09) Se tgx = 2 , a expressão vale
3 sen x
a) ½ b) 1/3 c) 2/3 d) 5 /3 e) 2 5 / 3
SOLUÇÃO
2 2 1 1
tgx = 2 . cot gx = . =
3 3 2 3
RESPOSTA: B
10) o valor de sen 30º - cos 60º é
1− 2 2 −1 3− 2
a) 0 b) 1 c) d) e)
2 2 2
SOLUÇÃO
sen 30º − cos 60º = 1 / 2 − 1 / 2 = 0
RESPOSTA: A
11) A soma das duas menores soluções positivas da equação sen (3 x − π 4 ) = 0 é:

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π 3π 3π
a) b) c) π d) e) 2 π
2 4 2
SOLUÇÃO
π π π
3x - = 0 ⇒ 3x = ⇒x=
4 4 12
π 5π 5π π 5π 6π π
3x - = π ⇒ 3x = ⇒x= , então na soma, teremos: + = =
4 4 12 12 12 12 2
RESPOSTA: A
12) Um ponto A dista 2 cm de um círculo de 3 cm de raio. São traçadas tangentes AB e AC ao círculo. O
seno do ângulo BÂC é:
21 22 23 24 25
a) b) c) d) e)
25 25 25 25 25
SOLUÇÃO
Lembrar que uma reta tangente a uma circunferência forma 90° com o raio no ponto de tangência.
3 4 24
Sen 2x = 2 sen x . cos x = 2 . . =
5 5 25
RESPOSTA: D
π
13) Sabendo-se que cot g x = 1 2 e 0 < x < , pode-se afirmar que o valor de sen x é
2
5 2 5 5
a) 1 10 b) 2 5 c) d) e)
5 5 2
SOLUÇÃO
1 5 5 2 5 2 5
cos sec 2 x = 1 + cot g 2 x ⇒ 1 + = ⇒ cos sec x = ⇒ sen x = . =
4 4 2 5 5 5
RESPOSTA: D
14) Tendo em conta a figura, considere estas afirmações

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I - Se y for 5, o ângulo de x será de 90 0
II - Se y for maior que 5, o triângulo será obtusângulo
III- Para qualquer valor de y a área do triângulo será 6 u.a.
Está correta/ estão corretas
a) apenas I e II b) apenas I e III c) apenas II e III d) todas as afirmações
f) apenas I
SOLUÇÃO
Analisando as afirmações dadas, teremos:
I – Aplicando-se a lei dos co-senos: y 2 = 3 2 + 4 2 − 2.3.4 cos x ⇒ 5 2 = 25 − 24. cos x ou cos x = 0 ⇒
x = 90 0 ou x = 270 0 . Conforme sabemos, a medida de qualquer ângulo interno de um triângulo pertence
( )
ao intervalo 0 0 ,180 0 . Logo, 270 0 não serve
II – Consideremos como sendo a o lado maior do triângulo e b e c os outros dois lados, teremos
a 2 > b 2 + c 2 ⇒ triângulo obtusângulo
a 2 = b 2 + c 2 ⇒ triângulo retângulo
a 2 < b 2 + c 2 ⇒ triângulo acutângulo
Com base nas relações acima escrevemos: y 2 > 3 2 + 4 2 ⇒ y 2 > 25 , o que torna a afirmação correta
3.4. sen x
III- A = ⇒ A = 6. sen x , o que torna a afirmação falsa
2
RESPOSTA: A
3 π 
15) Sendo que sen x = , com x ∈  , π  , então a tangente desse ângulo x é
4 2 
3 39 3 13
a) - b) - c) 3 d) - e) -
13 13 13 4
SOLUÇÃO
Aplica-se a equação fundamental da trigonometria e a relação da tg
sen x
sen 2 x + cos 2 x = 1 e tgx =
cos x
2
 3 3 13
 
 4  + cos x = 1 ⇒ cos x = 1 − 16 ⇒ cos x = − 4
2 2
 
13 4 3 39
tgx = ⇒ tgx = − o que racionalizando dá: tgx = −
− 13 4 13 13
RESPOSTA: B

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16) Em relação às funções trigonométricas f ( x ) = sen x e g ( x ) = 2 − cos 3 x , são feitas as seguintes
afirmações:
I - O período de f ( x ) é 2 π
II - A imagem de g ( x ) é [− 1,1]
III – O domínio de f ( x ) é diferente do domínio de g ( x )
Pode-se afirmar que é / são verdadeiras
a) apenas II b) I, II e III c) apenas I d) apenas III e) apenas I e III
SOLUÇÃO
Analisando separadamente cada uma das afirmações dadas, teremos:
I – O período normal da função sen é 2 π , o que torna correta a afirmação
II – Basta atribuir a g ( x ) o maior e o menor valor que a função cos pode assumir, que são os valores 1 e –1,
respectivamente.
Fazendo cos 3 x = 1 fica g ( x ) = 2 − 1 = 1
Fazendo cos 3 x = −1 fica g ( x ) = 2 − (− 1) = 3 ⇒ I ( f ) = [1,3] , o que torna a afirmação falsa
III- O domínio das funções sen e cos é o mesmo, ou seja, o conjunto dos números reais, logo a afirmação é
falsa
RESPOSTA: C
1 π 
17) Sabendo-se que sen x =
2
e que x está no intervalo  2 , π  , então o valor da expressão
 
cos x + tgx
y= é
sec x − cot gx
5 3 3
a) - b) 3 c) d) - e) 1
2 2 3
SOLUÇÃO
Usamos a equação fundamental da trigonometria para encontrar o valor do cos x
2
1 3
sen 2 x + cos 2 x = 1 ⇒   + cos 2 x = 1 ⇒ cos x = ± . Como x é arco de 2º quadrante usamos o sinal
2 2
(− ) ⇒ cos x = − 3
2
sen x 1 cos x
tgx = ; sec x = , cot gx = , em função destas relações teremos:
cos x cos x sen x
sen x cos 2 x + sen x
cos x +
cos x ⇒ y = cos x cos 2 x + sen x
y= ⇒y= . sen x Fazendo-se a substituição na expressão
1 cos x sen x − cos 2 x sen x − cos 2 x
−
cos x sen x cos x. sen x
pelos valores obtidos, fica:

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2
 3 1
−  + 3 1
 2  2 1 +
y=   . ⇒y= 4 2 .1 ⇒ y = − 5
1 
2
3 2 1 3 2 2
− −  −
2  2  2 4
 
RESPOSTA: A
18) Dadas as afirmativas:
I. f ( x ) = sen x é uma função periódica
II Se cos x = 0,75, então x pertence ao primeiro quadrante
III Se tgx = −2, então x pertence ao terceiro ou ao quarto quadrante
É correto o que se afirma em
a) I apenas b) II apenas c) II e III apenas d) I e III apenas e) I, II e III
SOLUÇÃO
Analisando-se as alternativas dadas, temos:
I – Todas as funções trigonométricas são periódicas, logo está correta a afirmação
II – A alternativa o cos + apenas no 1º quadrante, mas conforme sabemos ele também é + no 4º quadrante, o
que torna falso o item dado
III- A alternativa dá a tg negativa no 3º e 4º quadrante, o que torna a afirmativa falsa pois a tg é negativa no
2ºe 4º quadrantes
RESPOSTA: A
3 π
19) Sabendo-se que cos x = − e que < x < π , o valor de sen x é
4 2
13 13 4+ 3 13 13
a) b) - c) d) e) -
4 4 4 16 2
SOLUÇÃO
Usando-se a equação fundamental da trigonometria fica:
2
 3 3 3 16 − 3 13 13
sen x + cos x = 1 ⇒ sen x +  −
2 2 2

 4  = 1 ⇒ sen x + 16 = 1 ⇒ sen x = 1 − 16 = 16 = 16 ⇒ sen x = 16
2 2 2
 
13 13
sen x = ± ⇒ sen x = ± . Conforme o enunciado o arco x pertence ao 2º quadrante, logo teremos que
16 4
13
sen x = +
4
RESPOSTA: A
20) Considere as expressões
A = sen 2 x + tg 2 x + cos 2 x e B = cos sec x. sec x. sen x, sendo x ≠ k π 2 e k um número inteiro. A função
trigonométrica equivalente a A/B é
a) tgx b) cot gx c) cos x d) sec x e) cos sec x

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SOLUÇÃO
Usamos a equação fundamental da trigonometria e função cos sec ante
A sen 2 x + cos 2 x + tg 2 x 1 + tg 2 x sec 2 x
= = = = sec x
B 1 sec x sec x
. sec x. sen x
sen x
RESPOSTA: D
1 π
21) Se cos 2 x = e < x < π , então a tgx vale
25 2
24 2 6 2 6
a) b) 2 6 c) d) - e) -2 6
5 5 5
SOLUÇÃO
Usando a equação fundamental da trigonometria, teremos:
1 24 24
sen 2 x + cos 2 x = 1 teremos: sen 2 x + = 1 ⇒ sen x = ± ⇒ sen x = ±
25 25 5
1 1 1
Do enunciado temos que cos 2 x = ⇒ cos x = ± ⇒ cos x = ± . Como x ∈ 2º quadrante, temos:
25 25 5
24 1
sen x = + e cos x = − . Calculando-se a tg fica:
5 5
24
sen x
tgx = = 5 = − 24 = − 2 2.6 = −2 6
cos x 1
−
5
RESPOSTA: E
22) Analise as seguintes sentenças trigonométricas:
I. (1 + cos x )(1 − cos x ) = sen 2 x para todo x real
.
II cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x para todo x real
III sen x + cos x = 1 para todo x real.
Pode-se afirmar que
a) I e II são falsas
b) II e III são falsas
c) I e III são verdadeiras
d) I e II são verdadeiras
e) II e III são verdadeiras
SOLUÇÃO
Analisando-se as alternativas dadas, teremos:
I . Multiplicando-se (1 + cos x )(1 − cos x ) = 12 − cos 2 x = sen 2 x o que dá como correta a alternativa
.

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II. Desenvolvendo-se o arco duplo 2x temos: cos 2 x = cos(x + x ) = cos x. cos .x − sen x. sen x = cos 2 − sen 2 x , o
que dá como correta a alternativa
III. Ao substituirmos o arco x pelo valor π fica: sen π + cos π = 0 + (− 1) = −1 ⇒ Para o valor π temos
sen x + cos x ≠ 1, logo a afirmativa é falsa
RESPOSTA: D
23) Se f (x ) = sen x, então, para todo x real f (2 x ) é igual a
b) 2 f ( x ) d) [ f ( x )]
2
a) 2 sen 2 x c) 2 sen x cos x e) cos 2 x
SOLUÇÃO
f ( x ) = sen x ⇒ f (2 x ) = sen 2 x ⇒ f (2 x ) = sen ( x + x )
sen ( x + x ) = sen x. cos x + sen x. cos x = 2 sen x. cos x ⇒ f (2 x ) = 2 sen x. cos x
RESPOSTA: C
24) Sabendo que x + y = 90 0 e x – y = 60 0 , então o valor de sen x + sen y é
2 3 6
a) 0 b) c) d) e) 6
2 2 2
SOLUÇÃO
A partir do enunciado formamos um sistema de equações
 x + y = 90 0

 Resolvendo-se o sistema, teremos 2 x = 150 0 ⇒ x = 75 0 , substituindo-se este valor na 1ª
 x − y = 60

0
equação, fica: 75 0 + y = 90 0 ⇒ y = 15 0 .
( ) (
sen x + sen y = sen 75 0 + sen 15 0 ⇒ sen 45 0 + 30 0 + sen 45 0 − 30 0 )
Desenvolvendo-se o seno da soma e da diferença ficaremos com:
6+ 2 6− 2 6+ 4+ 6− 4 2 6 6
sen x + sen y = + ⇒ ⇒ =
4 4 4 4 2
RESPOSTA: D
π
25) Sabendo-se que cot gx = 1 2 e 0 < x < , pode-se afirmar que o valor de sen x é
2
5 2 5 5
a) 1 10 b) 2 5 c) d) e)
5 5 2
SOLUÇÃO
Lembrando a relação entre a cos sec x e a cot gx fica:
2
1 1 4 +1 5 5
cos sec x = 1 + cot g x ⇒ cos sec x = 1 +   = 1 + =
2 2 2
= ⇒ cos sec x = . Sabendo que o seno é
2 4 4 4 2
2 5 2 5
o inverso da cos sec temos: sen x = . =
5 5 5

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RESPOSTA: D
26) Para todo x real, o valor da expressão
1 1
+ é igual a
1 + tg x 1 + cot g 2 x
2
a) 1 b) 2 c) 2 + tg 2 x + cot g 2 x d) sec 2 x + cos sec 2 x
1
f)
sec x + cos sec 2 x
2
SOLUÇÃO
1 1 1 1 1 1
+ ⇒ + ⇒ + ⇒ cos 2 x + sen 2 x = 1
1 + tg x 1 + cot g x
2 2
sec x cos sec 2 x
2
1 1
cos x sen 2 x
2
RESPOSTA: A
π 
sen (π − x ) + cos − x 
27) A expressão 2  vale
cos(π + x ).tg (2π − x )
a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2
SOLUÇÃO
π 
Lembrar que: sen (π − x ) = sen x cos − x  = sen x cos(π + x ) = − cos x
2 
tg (2π − x ) = −tgx
Substituindo os valores acima na equação dada, teremos:
sen x + sen x 2. sen x
⇒ =2
− cos x. − tgx sen x
− cos x.
cos x
RESPOSTA: E
1
28) Se sen x − cos x = , então sen 2 x é igual a
5
24 4 3 2 1
a) b) c) d) e)
25 5 5 5 5
SOLUÇÃO
Regra: Elevam-se os dois membros da equação ao quadrado
2
(sen x − cos x ) =  1  ⇒ sen 2 x − 2. sen x. cos x + cos 2 x = 1
2
 
5 25
Aplicando-se a equação fundamental da trigonometria e o arco duplo sen 2 x , fica:

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sen x + cos x = 1 e sen 2 x = 2. sen x. cos x
2 2
1 24
Fazendo a substituição, teremos: 1 - sen 2 x = ⇒ sen 2 x =
25 25
RESPOSTA: A
29) O valor do lado c na figura é
a) 20 b) 3 5 c) 7 5 d) 5 e) 5 7
SOLUÇÃO
1
Lei dos cos sen os; ⇒ c 2 = 15 2 + 10 2 − 2.15.10. cos 60 0 ⇒ c 2 = 225 + 100 − 300. ⇒ c 2 = 175
2
⇒ c = 175 ⇒ c = 5 7
RESPOSTA: E
30) O valor da expressão
1 7
2 cos180 0 − 3 sen 90 0 + 0
− é
cos 360 tg135 0
a) –11 b) –10 c) 1 d) 3 e) 7
SOLUÇÃO
Lembrar que por redução de quadrante tg135 0 = tg 45 0 = −1
1 7
Então na expressão dada fica: 2 (− 1) − 3.1 + − ⇒ −2 − 3 + 1 + 7 = 3
1 −1
RESPOSTA: D
x 3
31) Se tg = , então sen x é igual a
2 3
1 3 3
a) 3 b) 6 c) d) e)
2 2 6
SOLUÇÃO
x 3
= 30 0 ⇒ x = 2.30 0 ⇒ x = 60 0 ⇒ sen 60 0 =
2 2
RESPOSTA: D

12. MATEMÁTICA PROF. HOMERO E-MAIL: prof.homero@globo.com
32) Á área do triângulo da figura é:
a) 18 b) 9 c) 10 d) 36 e) 40
SOLUÇÃO
1
0 6.12.
a.b. sen C 6.12. sen 30 2 ⇒ A = 6.12. 1 . 1 ⇒ A = 18
A= ⇒ A= ⇒ A=
2 2 2 2 2
RESPOSTA: A
1
33) O menor valor de , com x real, é:
3 − cos x
1 1 1
a) b) c) d) 1 e) 3
6 4 2
SOLUÇÃO
O menor valor do cos x = −1 será substituído no valor de x. Lembrar que –1 é o valor mínimo do cos e +1 é
o valor máximo
1 1 1 1
= = =
3 − cos x 3 − (− 1) 3 + 1 4
RESPOSTA: B
( )
34) O valor de tg10 0 + cot g10 0 . sen 20 0 é:
1 5
a) b) 1 c) 2 d) e) 4
2 2
SOLUÇÃO
 sen 10 0 cos10 0   sen 2 10 0 + cos 2 10 0
 1

 cos10 0 + sen 10 0 . sen 20 ⇒ 

0
. sen 20 0 ⇒
 sen 10 0. cos10 0
 0 0
. sen 20 0
    sen 10 . cos10
( )
Lembrando que sen 20 0 = sen 2.10 0 ⇒ 2. sen 10 0. cos10 0 ⇒ sen 10 0. cos10 0 =
sen 20 0
2
logo, teremos
sen 20 0 2
0
⇒ sen 20 0. =2
sen 20 sen 20 0
2
RESPOSTA: C

13. MATEMÁTICA PROF. HOMERO E-MAIL: prof.homero@globo.com
sen 135 0 + sen 150 0
35) O valor de é
cos 210 0
a) -
3
3
(
.1+ 2 ) b)
3
3
.1+ 2 ( ) c)
2
2
(1+ 3 ) d) -
2
2
(
.1− 3 ) e)
3
3
(
.1− 2 )
SOLUÇÃO
Trata-se de uma questão de redução ao primeiro quadrante ou seja:
2 1
+
sen 45 0 + sen 30 0
− cos 30 0
⇒ 2
3 3
(
2 ⇒ − 1 .1+ 2 ⇒ − 3 .1+ 2
3
) ( )
−
2
RESPOSTA: A
36) A expressão tg 2 5 − sec 2 5 vale:
a) 0 b) 1 c) –1 d) 5 e) –5
SOLUÇÃO
( )
REGRA: sec 2 x = 1 + tg 2 x ⇒ tg 2 5 − 1 + tg 2 5 ⇒ tg 2 5 − 1 − tg 2 5 = −1
RESPOSTA: C
1
37) A expressão mais simples para 2 2
+ 1 − sec 2 x é
cos x. cos sec x
a) sec 2 x b) cos 2 x c) 0 d) 1 e) –1
SOLUÇÃO
REGRA; Lembrar que
1 1
cos sec 2 x = Daí, fica: + 1 − sec 2 x ⇒ tg 2 x + 1 − sec 2 x ⇒ sec 2 x − sec 2 x = 0
sen 2 x 1
cos 2 x.
sen 2 x
RESPOSTA: C
38) Se A = sen 580 0 , B = sen − 780 0( ) e C = cos 350 0 , então:
a) A < B < C b) B < A < C c) A < C < B d) B < C < A e) C < B < A
SOLUÇÃO
Usando redução de quadrante, fica:
sen 580 0 = sen 220 0 = − sen 40 0 ⇒ A = − sen 40 0
( ) ( )
sen − 780 0 = sen − 60 0 ⇒ B = −
2
3
cos 350 0 = cos10 0

14. MATEMÁTICA PROF. HOMERO E-MAIL: prof.homero@globo.com
3
Como conclusão, teremos: - < − sen 40 0 < cos10 0 , então B < A < C
2
RESPOSTA: B
0 0 1
π
39) Se x + y = , então cos x sen x 0 é igual a:
3
sen y cos y 0
1 2 3 3
a) c) d) 3 e)
2 2 2 3
SOLUÇÃO
O enunciado nos dá um determinante de 3ª ordem ao qual aplicamos a regra de Sarrus
0 0 1 0 0
cos x sen x 0 cos x sen y ⇒ cos x. cos y − sen x. sen y ⇒ cos( x + y ) . Como no enunciado foi dado que
sen y cos y 0 sen y cos y
π π 1
x+ y = , temos que: cos =
3 3 2
RESPOSTA: A
cos 285 0 + sen 165 0 − sen 195 0
40) Se A= então log A 3 vale:
cos 75 0
1 1 3 1
a) b) c) d) e) 24
3 9 4 2
SOLUÇÃO
Através da redução de quadrante, teremos:
sen 15 0 + sen 15 0 + sen 15 0 3. sen 15 0
A= ⇒ A= ⇒ A=3
sen 15 0 sen 15 0
1
CONCLUSÃO: log A 3 = log 3 3 = x ⇒ 3 x = 3 ⇒ 3 x = 31 2 ⇒ x =
2
RESPOSTA: D