1. 1) Demostrarque: 4𝑥2 + 9𝑦2 + 24𝑥 + 36𝑦 + 36 = 0 esla ecuaciónde una elipse ydetermine:
a. Centro
b. Focos
c. Vértices
4𝑥2 + 9𝑦2 + 24𝑥 + 36𝑦 + 36 = 0
(4𝑥2 + 24𝑥) + (9𝑦2 + 36𝑦) = −36
4(𝑥2 + 6𝑥) + 9(𝑦2 + 4𝑦) = −36
4(𝑥2 + 6𝑥 + 9) + 9( 𝑦2 + 4𝑦 + 4) = −36 + 36 + 36
4(𝑥 + 3)2 + 9(𝑦 + 2)2 = 36
(𝑥 + 3)2
9
+
(𝑦 + 2)2
4
= 1 ↔
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2 = 1
−ℎ = 3 − 𝑘 = 2
ℎ = −3 𝑘 = −2
𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = (−3, −2)
VERTICES
𝑎2 = 9 → 𝑎 = 3
𝑏2 = 4 → 𝑏 = 2
(h ± a, k)
𝑉𝐸𝑅𝑇𝐼𝐶𝐸1 = (ℎ + 𝑎, 𝑘) = (−3 + 3, −2) = (0, −2)
𝑉𝐸𝑅𝑇𝐼𝐶𝐸2 = (ℎ − 𝑎, 𝑘) = (−3 − 3,−2) = (−6,−2)
𝑉𝐸𝑅𝑇𝐼𝐶𝐸3 = (ℎ, 𝑘 + 𝑏) = (−3,−2 + 2) = (−3,0)
𝑉𝐸𝑅𝑇𝐼𝐶𝐸4 = (ℎ, 𝑘 − 𝑏) = (−3, −2 − 2) = (−3,−4)

2. FOCO
𝑐 = √ 𝑎2 − 𝑏2
𝑐 = √32 − 22
𝑐 = √5
𝑓(ℎ 𝑐−
+
, 𝑘)
𝐹𝑂𝐶𝑂1 = (ℎ + 𝑐, 𝑘) = (−3 + √5, −2) = (−0.76,−2)
𝐹𝑂𝐶𝑂1 = (ℎ − 𝑐, 𝑘) = (−3 − √5, −2) = (−5.24,−2)
GRAFICA

3. 2) De la siguienteecuacióncanónicade laelipse,transformarla ecuación:
√( 𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎
En laecuación:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1
√(𝒙 − 𝒄) 𝟐 + 𝒚 𝟐 + √(𝒙 − 𝒄) 𝟐 + 𝒚 𝟐 = 2𝑎
√(𝒙 − 𝒄) 𝟐 + 𝒚 𝟐 = 2𝑎 − √(𝒙 − 𝒄) 𝟐 + 𝒚 𝟐
(𝒙 − 𝒄) 𝟐 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝒙 − 𝒄) 𝟐 + 𝒚 𝟐 + (𝒙 − 𝒄) 𝟐 + 𝑦2
𝑥2 + 𝟐𝒄𝒙 + 𝒄 𝟐 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝒙 − 𝒄) 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝑥2 + 𝟐𝒄𝒙 + 𝒄 𝟐 + 𝑦2
4𝑐𝑥 − 4𝑎2 = −4𝑎√(𝒙 − 𝒄) 𝟐 + 𝒚 𝟐
𝑐𝑥 − 𝑎2 = −𝑎√(𝒙 − 𝒄) 𝟐 + 𝒚 𝟐
𝑐2 𝑥2 − 𝟐𝒂 𝟐 𝒄𝒙 + 𝑎4 = 𝑎2[(𝒙 − 𝒄) 𝟐 + 𝑦2]
𝑐2 𝑥2 − 𝟐𝒂 𝟐 𝒄𝒙 + 𝑎4 = 𝑎2(𝒙 𝟐 − 𝟐𝒄𝒙 + 𝑐2 + 𝑦2)

4. 𝑎4 − 𝑎2 𝑐2 = 𝑎2 𝒙 𝟐 − 𝑐2 𝒙 𝟐 + 𝑎2 𝒚 𝟐
(𝑎2−𝑐2) 𝒙 𝟐 + 𝑎2 𝒚 𝟐 = 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2)
Como a >c, entonces 𝑎2 > 𝑐2, luego 𝑎2 − 𝑐2 > 0. Si se sabe que 𝑎2 = 𝑏2+ 𝑐2 entonces la
Ecuación anterior se puede escribir así:
𝑏2 𝒙 𝟐 + 𝑎2 𝒚 𝟐 = 𝑎2 𝑏2
De donde, la ecuación de la elipse con centro (0, 0) y focos en los puntos (-c, 0) y (c, 0) es:
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
GRAFICA

5. 3). Demostrar que la ecuación: 9𝑥2 + 4𝑦2 − 54𝑥 + 8𝑦 + 113 = 0 representa una hipérbola.
Determine:
a. Centro
b. Focos
c. Vértices
9𝑥2
− 4𝑦2
− 54𝑥 + 8𝑦 + 113 = 0
9𝑥2
− 54𝑥 − 4𝑦2
+ 8𝑦 = −113
(9𝑥2
− 54𝑥) − (4𝑦2
− 8𝑦) = −113
9(𝑥2
− 6𝑥) − 4(𝑦2
− 2𝑦) = −113
9(𝑥2
− 6𝑥) − 4(𝑦2
− 2𝑦) = −113
9( 𝑥2
− 6𝑥 + 9) − 4( 𝑦2
− 2𝑦 + 1) = −113 + 81 − 4
9( 𝑥 − 3)2
− 4( 𝑦 − 1)2
= −36
9( 𝑥 − 3)2
−36
−
4( 𝑦 − 1)2
−36
=
−36
−36
−
( 𝑥 − 3)2
4
+
( 𝑦 − 1)2
9
= 1 ↔
( 𝑦 − 1)2
9
−
( 𝑥 − 3)2
4
= 1 ↔
( 𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
−
( 𝑥 − ℎ)2
𝑏2
= 1
−ℎ = −3 ↔ ℎ = 3
−𝑘 = −1 ↔ ℎ = 1
CENTRO
𝐶 = (3,1)

6. VERICES
𝑎2
= 9 → 𝑎 = 3
𝑏2
= 4 → 𝑏 = 2
(ℎ, 𝑘 ± 𝑎)
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒1 = (ℎ, 𝑘 + 𝑎) = (3,1+ 3) = (3,4)
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒2 = (ℎ, 𝑘 − 𝑎) = (3,1 − 3) = (3,−2)
FOCOS
𝑐 = √ 𝑎2 + 𝑏2
𝑐 = √9 + 4
𝑐 = √13 = 3.61
(ℎ, 𝑘 ± 𝑐)
𝑓𝑜𝑐𝑜1 = (ℎ, 𝑘 + 𝑐) = (3,1+ 3.61) = (3,4.61)
𝑓𝑜𝑐𝑜2 = (ℎ, 𝑘 − 𝑐) = (3,1− 3.61) = (3,−2.61)

7. GRAFICA

8. 4) Deducir la ecuación de la hipérbola:
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
A partir de la ecuación: √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = ±2𝑎
𝑓1 = ( 𝑐, 0) 𝑓2 = (−𝑐, 0) 𝑝 = (𝑥, 𝑦)
𝑑( 𝑃, 𝑓2) − 𝑑( 𝑃, 𝑓1) = 2𝑎
√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 − √( 𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎
√( 𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎 + √( 𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2
( 𝑥 + 𝑐)2
+ 𝑦2
= (2𝑎 + √( 𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2)2
𝑥2
+ 2𝑐𝑥 + 𝑐2
+ 𝑦2
= 4𝑎2
+ 4𝑎√( 𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 + (𝑥 − 𝑐)2
+ 𝑦2
𝑥2
+ 2𝑐𝑥 + 𝑐2
+ 𝑦2
= 4𝑎2
+ 4𝑎√( 𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 + 𝑥2
− 2𝑐𝑥 + 𝑐2
+ 𝑦2
4𝑐𝑥 = 4𝑎2
+ 4𝑎√( 𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2
4𝑐𝑥
4
=
4𝑎2
+ 4𝑎√( 𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2
4
𝑐𝑥 = 𝑎2
+ 𝑎√( 𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2
(𝑐𝑥 − 𝑎2
)2
= (𝑎√( 𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2)2
(𝑐𝑥 − 𝑎2
)2
= 𝑎2[( 𝑥 − 𝑐)2
+ 𝑦2]
𝑐2
𝑥2
− 2𝑐𝑎2
𝑥 + 𝑎4
= 𝑎2( 𝑥2
− 2𝑐𝑥 + 𝑐2) + 𝑎2
𝑦2
𝑐2
𝑥2
− 2𝑐𝑎2
𝑥 + 𝑎4
= 𝑎2
𝑥2
− 2𝑐𝑎2
𝑥 + 𝑎2
𝑐2
+ 𝑎2
𝑦2
𝑐2
𝑥2
− 𝑎2
𝑥2
− 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
𝑐2
− 𝑎4
(𝑐2
− 𝑎2
)𝑥2
− 𝑎2
𝑦2
= 𝑎2
(𝑐2
− 𝑎2
)
(𝑐2
− 𝑎2
)𝑥2
(𝑐2 − 𝑎2)
−
𝑎2
𝑦2
(𝑐2 − 𝑎2)
=
𝑎2
(𝑐2
− 𝑎2
)
(𝑐2 − 𝑎2)

9. 𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
(𝑐2 − 𝑎2)
= 1
𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
GRAFICA

10. 5). Demostrar que la ecuación 𝑥2
+ 𝑦2
− 10𝑥 + 18 = 0 es una
circunferencia. Determinar:
a. Centro
b. Radio
𝑥2
+ 𝑦2
− 10𝑥 + 18 = 0
𝑥2
− 10𝑥 + 𝑦2
= +18
𝑥2
− 10𝑥 + 25 + 𝑦2
= 25 − 18
(𝑥 − 5)2
+ (𝑦 + 0)2
= 7
(𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
−ℎ = −5 − 𝑘 = 0
ℎ = 5 𝑘 = 0
CENTRO
𝐶 = (5,0)
𝑟2
= 7
𝑟 = 2.65

11. GRAFICA
6) Demostrar que la ecuación representa una parábola
4𝑥2
− 20𝑥 − 24𝑦 + 97 = 0
Determine:
a. Vértice
b. Foco
c. Directriz
4𝑥2
− 20𝑥 − 24𝑦 + 97 = 0
4𝑥2
− 20𝑥 = 24𝑦 − 97
4(𝑥2
− 20𝑥) = 24𝑦 − 97
4(𝑥2
− 20𝑥 + 6.25) = 24𝑦 − 97 + 25
4(𝑥2
− 20𝑥 + 6.25) = 24𝑦 − 72

12. 4(𝑋 − 2.5)2
= 24𝑦 − 72
4(𝑋 − 2.5)2
= 24(𝑦 − 3)
4(𝑋 − 2.5)2
4
=
24(𝑦 − 3)
4
(𝑋 − 2.5)2
= 6(𝑦 − 3) ↔ ( 𝑋 − ℎ)2
= 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
−ℎ = −2.5 − 𝑘 = −3
ℎ = 2.5 𝑘 = 3
4𝑝 = 6
𝑝 = 1.5
VERTICE
𝒗 = (ℎ, 𝑘)
𝒗 = (2.5,3)
FOCO
𝑓 = (ℎ, 𝑘 + 𝑝)
𝑓 = (2.5,4.5)
DIRECTRIZ
𝑌 = ( 𝑘 − 𝑝)
𝑌 = (1.5)

13. GRAFICA