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Fundamentos matemáticos: Grupo 3

Actividad expositiva.

Fundamentos matemáticos: Grupo 3

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Universidad Técnica Particular de Loja
Fundamentos Matemáticos
Cónicas
Grupo N° 3
Integrantes
- Max Granda
- José Sánchez
- Digar Cueva
Línea Recta
 Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes
cualesquiera 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 y 𝑃2 𝑥2, 𝑦2 de la recta numérica.
Su Ecuación General dada : Ax + By + C = 0
 Una ecuación de una recta es representada como una ecuación de primer grado
 Su ecuación ordinaria es: y = mx + b
m; pendiente
b; ordenada ( indica donde corta al eje de las coordenadas (eje Y)
 El valor de la pendiente m es calculado mediante la fórmula
𝒎 =
𝒚 𝟏 − 𝒚 𝟐
𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐
Ecuación de la Recta que pasa por uno y dos puntos y tiene una pendiente dada
𝒚 − 𝒚 𝟏 = 𝒎 𝒙 − 𝒙 𝟏
PARÁBOLA
 Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a un
punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales.
 Características:
 Vértice. Es el punto donde la parábola corta a su eje focal.
 Foco. Es un punto que se encuentra situado sobre el eje focal y la distancia que se encuentra del vértice al
foco, es la misma que del vértice a la Directriz.
 Lado recto. La cuerda, perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a dos puntos de la parábola.
 Directriz. Es el eje focal de la parábola.
 Eje focal. Recta que contiene el foco y es perpendicular a la directriz.
 Parámetro p. Distancia del foco al vértice.
PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN.
 Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene
una ecuación de la forma 𝑦 = 𝑎𝑥2
.
 Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre hacia arriba y cuando es negativo se abre
hacia abajo.
 Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (P,0). La directriz es por tanto,
la recta vertical que pasa por (-P,0). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia
focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:
 La ecuación de una parábola con vértice en (0,0). A continuación se muestran las fórmulas que se utilizan
para el cálculo de ecuaciones, coordenadas del foco y la directriz.
Parábola
 Parábolas con Vértice (0, 0)
 • Ecuación estándar x2
= 4𝑝𝑦 𝑌2
= 4𝑝𝑥
 • Abre Hacia arriba o Hacia hacia abajo derecha
abajo o hacia la izquierda
 • Foco (0, p) (p, 0)
 • Directriz y =-p x =-p
 • Eje eje y eje x
 • Longitud focal p p
 • Ancho focal │4p│ │4p│
Parábola
 Parábolas con Vértice (h, k)
 • Ecuación estándar 𝑥 − ℎ 2
= 4𝑝(𝑦 − 𝑘) 𝑦 − 𝑘 2
= 4𝑝(𝑥 − ℎ)
 • Abre Hacia arriba o Hacia hacia abajo derecha
 abajo o hacia la izquierda
 • Foco (h, k+p) (h+p, k)
 • Directriz y =k-p x =h-p
 • Eje x=h y=k
 • Longitud focal p p
 • Ancho focal │4p│ │4p│

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Fundamentos matemáticos: Grupo 3

  • 1. Universidad Técnica Particular de Loja Fundamentos Matemáticos Cónicas Grupo N° 3 Integrantes - Max Granda - José Sánchez - Digar Cueva
  • 2. Línea Recta  Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 y 𝑃2 𝑥2, 𝑦2 de la recta numérica. Su Ecuación General dada : Ax + By + C = 0  Una ecuación de una recta es representada como una ecuación de primer grado  Su ecuación ordinaria es: y = mx + b m; pendiente b; ordenada ( indica donde corta al eje de las coordenadas (eje Y)  El valor de la pendiente m es calculado mediante la fórmula 𝒎 = 𝒚 𝟏 − 𝒚 𝟐 𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐 Ecuación de la Recta que pasa por uno y dos puntos y tiene una pendiente dada 𝒚 − 𝒚 𝟏 = 𝒎 𝒙 − 𝒙 𝟏
  • 3. PARÁBOLA  Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales.  Características:  Vértice. Es el punto donde la parábola corta a su eje focal.  Foco. Es un punto que se encuentra situado sobre el eje focal y la distancia que se encuentra del vértice al foco, es la misma que del vértice a la Directriz.  Lado recto. La cuerda, perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a dos puntos de la parábola.  Directriz. Es el eje focal de la parábola.  Eje focal. Recta que contiene el foco y es perpendicular a la directriz.  Parámetro p. Distancia del foco al vértice.
  • 4. PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN.  Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma 𝑦 = 𝑎𝑥2 .  Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre hacia arriba y cuando es negativo se abre hacia abajo.  Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (P,0). La directriz es por tanto, la recta vertical que pasa por (-P,0). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:  La ecuación de una parábola con vértice en (0,0). A continuación se muestran las fórmulas que se utilizan para el cálculo de ecuaciones, coordenadas del foco y la directriz.
  • 5. Parábola  Parábolas con Vértice (0, 0)  • Ecuación estándar x2 = 4𝑝𝑦 𝑌2 = 4𝑝𝑥  • Abre Hacia arriba o Hacia hacia abajo derecha abajo o hacia la izquierda  • Foco (0, p) (p, 0)  • Directriz y =-p x =-p  • Eje eje y eje x  • Longitud focal p p  • Ancho focal │4p│ │4p│
  • 6. Parábola  Parábolas con Vértice (h, k)  • Ecuación estándar 𝑥 − ℎ 2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘) 𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)  • Abre Hacia arriba o Hacia hacia abajo derecha  abajo o hacia la izquierda  • Foco (h, k+p) (h+p, k)  • Directriz y =k-p x =h-p  • Eje x=h y=k  • Longitud focal p p  • Ancho focal │4p│ │4p│
  • 8. • Algebraicamente las secciones cónicas se pueden definir en términos de la ecuación general de segundo grado. • La circunferencia se define como el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen cierta propiedad geométrica. • Conjunto de todos los puntos (x,y) que son equidistantes de un punto fijo (h,k). • Forma canónica o estándar de la circunferencia. 022  FEyDxCyBxyAx Circunferencia
  • 9. x2 + y2 = r2 Con centro en (h, k)Con centro en el origen (0, 0)
  • 12. Es el conjunto de todos los puntos (x,y) para los que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. La recta que pasa por los dos focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento de recta que une a los vértices es el eje transversal, y el punto medio del eje transversal es el centro de la hipérbola . Tiene dos ramas separadas. Hipérbole
  • 13. El valor absoluto de la diferencia entre las distancias es constante Los elementos de una hipérbola son: - F y F’, focos. - VV’, eje transverso - V y V’, vértices. - C, centro - L, eje focal. - L’, eje normal - AA’, eje conjugado - CF, lado recto Hipérbole
  • 14. •Si el eje focal es paralelo al eje Y su ecuación es de la forma • Sus focos son (h,k+c) y (h,k -c) y • Sus vértices son (h-a,k ) y (h+a,k ). 1 )()( 2 2 2 2     b hx a ky
  • 15. Las intersecciones con el eje X, que también son los vértices son x=± a, y no hay intersecciones con el eje Y. Haga x=0 y despeje Y.
  • 16. •Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son: • Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son:
  • 17. Asíntotas de hipérbola con centro (0,0) La hipérbola se acerca a estas rectas asíntotas, en tanto un punto P(x,y) sobre la hipérbola se mueve hacia afuera del origen. Una forma fácil de dibujar las asíntotas es primero dibujar el rectángulo y luego trazar las diagonales de este rectángulo.
  • 18. • Los vértices se encuentran a unidades del centro, y los focos se encuentran a c unidades del centro con: • La excentricidad de la hipérbola está dada por el cociente. • En la hipérbola c>a, entonces resulta que e>1. Si la excentricidad es grande las ramas de la hipérbola son casi planas. Si la excentricidad es cercana a 1, las ramas son más puntiagudas
  • 19. ELIPSE  Elementos:  Focos: Son los puntos fijos F y F'.  Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.  Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.  Centro: Es el punto de intersección de los ejes.  Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.  Distancia focal: Es el segmento FF de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.  Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.  Eje mayor: Es el segmento AA de longitud 2 a, a es el valor del semieje mayor.  Eje menor:Es el segmento BB de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.  Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.  Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
  • 20. Elípse  Elipses con centro (0,0)  Ecuación estándar 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 𝑦2 𝑎2 + 𝑥2 𝑏2 = 1  Eje focal Eje x Eje y  Focos (±c, 0) 0, ±𝑐  Vértices (±𝑎, 0) 0, ±𝑎  Semieje mayor a a  Semieje menor b b  Relación pitagórica 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
  • 21. Gráficas de una Elipse (0,0)
  • 22. Elípse  Elipses con centro (h, k)  Ecuación estándar 𝑥−ℎ 2 𝑎2 + 𝑦−𝑘 2 𝑏2 = 1 𝑦−𝑘 2 𝑎2 + 𝑥−ℎ 2 𝑏2 = 1  Eje focal y=k x=h  Focos (ℎ ± 𝑐, 𝑘) ℎ, 𝑘 ± 𝑐  Vértices ℎ ± 𝑎, 𝑘 (ℎ, 𝑘 ± 𝑎)  Semieje mayor a a  Semieje menor b b
  • 23. Gráficas de una Elipse (h,k)