Equações 2º grau

1. Equações do 2º grau
Fórmula resolvente
9º Ano
Professora Cristina Alves

2. Vejamos como podemos resolver equações do 2º grau
completas
x2 + 8x +16 = 0Û ( x + 4)2 = 0Û
Û( x + 4)( x + 4) = 0Û
A partir de aqui podemos
resolver esta equação por dois
processos diferentes. Vejamos
com atenção cada processo.
Û x + 4 = 0 Ú x + 4 = 0Û
Û x = -4 Ú x = -4
Û x + 4 = ± 0
Û x + 4 = 0Û
Û x = -4
C.S. = {- 4}

3. Vejamos como resolver outra equação do 2º grau
x2 - 8x + 7 = 0Û x2 -8x + 42 + 7 = 42 Û
Û(x2 -8x +16) + 7 =16Û ( x - 4)2 =16 - 7Û
Û( x - 4)2 = 9Û ( x - 4) = ± 9 Û
Ûx -4 = 3 Ú x -4 = -3Û
Û x = 3 + 4 Ú x = -3 + 4Û
Ûx = 7 Ú x =1
C.S. = { 1, 7 }

4. De um modo geral, dada uma equação do 2º grau
completa temos:
ax2 + bx + c = 0Û
x c
a
Û 2 + + = 0Û
a
x b
2
b Û ÷ø
ö 2
çè
÷ø
æ
a
x b
a
ö çè
b
c
ö çèæ = + ÷ø
Û + + æ
2 2
2
2 a
a
2a
x b
x b 2
x b
a
ö çè
c
b
Û - = ÷ø
Û + + æ
a
a
a
2 2
2
2 4
x b 2
Ûæ +
c
b
ö = - Û a
÷øa
çè
a
2 2
2 4
Dividir ambos os membros da
equação por a ≠ 0
Adicionar a ambos os
membros da equação
c
Passar para o 2º membro o termo a
Factorizar o 1º membro da equação,
usando os casos notáveis da
multiplicação

5. c
x b b
2
Û - = ÷ø
÷ø
Reduzimos o 2º membro ao mesmo
denominador e escrevemos na forma
= b - ac
Û de uma única fracção x b
Ûæ + 2
2
4
b ac
Ûæ +
x b
a
Û + = ± - 4
Û 2
2 a
a
b ac
x b
Û = - ± - Û
2
2
4
4
a
2 a
Û = - ± 2 - 4
x b b ac
a
2
ö çè
a
a
a
2 2
2 4
Fórmula Resolvente
ö çè
2 2
4
4
2 a
Retiramos o quadrado do 1º membro
com a noção de raiz quadrada
Isolamos a incógnita x e
calculamos a raiz do denominador

6. Fórmula Resolvente
Para resolver uma equação do 2º grau completa,
basta aplicar a fórmula resolvente, isto é:
ax2 + bx + c = 0
Û = - ± 2 - 4
x b b ac
com a , b e c Î IR e a ≠ 0
a
2

7. Vejamos um exercício prático:
 Exercício 1:
2x2 - ( - 14 ) ± ( - 14 ) 2 -14x + 20 = 0 - 4 ´ 2 ´
20
Û
´
Û =
2 2
x
Aplicando a F.R.
Û x = 14 ± 196 -160 Û = ± Û
4
x 14 36
4
Û = ± Û = + Ú = 14 - 6
Û
4
x 14 6 x 14 6
x
4
4
Û x = 20 Ú x = Û x = Ú x =
5 2
8
4
4
C.S. = { 2, 5}

8. Exercício 2:
Resolve as seguintes equações do 2º grau
completas usando a Fórmula Resolvente
 a)
 b)
 c)
2x2 + 2x -12 = 0
2x2 - x -1 = 0
- x2 + 7x -12 = 0

9. 2x2 - 2 ± 22 - 4 ´ 2 ´ ( -
12
) + 2x -12 = 0 Û
´
Û =
2 2
x
Û = - ± + Û = - 2 ± 100
Û
4
x 2 4 96 x
4
Û = - + Ú = - 2 - 10
Û
4
x 2 10 x
4
Û x = 8 Ú x = - Û x = Ú x = -
2 3
12
4
4
C.S. = {- 3, 2}

10. 2x2 - x -1 = 0 - ( - 1 ) ± ( - 1 ) 2 - 4 ´ 2 ´ ( -
1
) Û
´
Û =
2 2
x
Û = ± + Û = 1 ± 9
Û
4
x 1 1 8 x
4
Û = + Ú = 1 - 3
Û
4
x 1 3 x
4
Û x = 4 Ú x = - Û x = Ú x = -
1 1
2
2
4
4
þ ý ü
C.S. 1
î í ì
= - , 1
2

11. x2 - 7 ± 72 - 4 ´ ( - 1 ) ´ ( -
12
)
- + 7x -12 = 0 ( ) Û
´ -
Û =
2 1
x
Û
Û = - ±
7 1
-
Û = - ± -
x 7 49 48 x
-
2
2
Û
Ú = - -
7 1
-
Û = - +
x 7 1 x
-
2
2
Û x = - Ú x = -
x x
6 Û = Ú =
3 4
8
2
2
-
-
C.S. = {3, 4}

12. Agora que já sabes resolver equações do 2º
grau completas, usando a Fórmula Resolvente,
deves praticar bastante para não cometeres
erros.